离散型随机变量分布列及二项分布
2.2 离散型随机变量及其分布
}
满足下列性质 性质: 满足下列性质:
pk ≥ 0 (k = 1,2,⋯);
概率论与数理统计 数学科学学院 徐 鑫
∑p
k =1
∞
k
常用来确定分布律中的待定参数] 常用来确定分布律中的待定参数 = 1 [常用来确定分布律中的待定参数
这两条也是非负 数列能为某随机 变量分布律的充 要条件
离散型随机变量分布列的求法 求法: 离散型随机变量分布列的求法: 利用古典概率、 利用古典概率、条件概率等计算方法及运算 性质求事件{X=x 概率; 性质求事件{X=xk}概率; 利用已知的重要分布的分布列; 利用已知的重要分布的分布列; 利用分布函数. 利用分布函数. 离散型随机变量分布列的应用 应用: 离散型随机变量分布列的应用: 确定分布列中的待定参数; 确定分布列中的待定参数; 求分布函数； 求分布函数； 求随机事件的概率. 求随机事件的概率.
概率论与数理统计 数学科学学院 徐 鑫
四、几种重要的离散型随机变量 1、(0-1)分布[两点分布] (0-1)分布 两点分布] 分布[ 定义2 定义2 设随机变量X只取0,1两值, 设随机变量X只取0,1两值,且其分布律为 0,1两值
P{X = k} = p (1 − p) (k = 0,1;0 < p < 1)
(−∞, x1 ), [ x1 , x2 ), [ x2 , x3 ) ⋯, [ xk ,+∞)
分别求出F(x)的值,即就x 分别求出F(x)的值,即就x落在上述各区间内计算 F(x)的值 {X≤x}所含可能值概率的累积和; {X≤x}所含可能值概率的累积和; 所含可能值概率的累积和 离散型随机变量X的分布函数是一个右连续的阶梯 离散型随机变量X 函数. 函数.
离散型随机变量的分布
泊松定理 数,
设 0是一个常数 ,
n是任意正整
有
设np , 则对于任一固定的非负 整数k ,
n
lim C p (1 pn )
k n k
nk
k
k!
e
当 n 很大， p 很小，而乘积 np 大小适中（ 0 np 5 ）时，可 以用泊松定理近似计算。
C p (1 p )
非负性
,
2)
P{ X k} k ! e
k 0 k 0
k
规范性
e
k!
k 0
k
e e
1
11
例6： 某商店根据过去的销售记录,总结出某种商品每月的销售量可以用参数为
的泊松分布来描述,试求：
5
(1)下个月该商店销售2件此种商品的概率是多少？
解 设该商店每月销售该商品的件数为 X 依题意 X ~ P(5) ，且
场合
练习 200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件,那么,若规定
1, X 0,
取得不合格品,
取得合格品.
X
X 的分布列为:
0
1
10 200
pk
190 200
则随机变量 X 服从(0 -1)分布.
2. 二项分布
产生背景：n 重伯努利试验
设试验 E 只有两个可能结果 : A 及 A 设 P( A) p (0 p 1), 此时P( A) 1 p.
6
X ~ B(10, 0.75)
X ~ B(6, 0.5)
从图中可以看出，对于二项分布， X 取 k 值的概率随着 k 的增大先是逐渐增大，直至
离散型随机变量的分布列20080327.
ξ
x1
x2
…
xi
…
p
p1
p2
…
pi
…
为随机变量ξ的概率分布，简称为ξ的分布列.
离散型随机变量ξ分布列的性质： (1)pi≧0,i=1,2,3, …
(2)p1+p2+p3+……=1
3、求离散型随机变量ξ的概率分布的步骤:
(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；
(2)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际 行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多 几分钟?
问题1：抛掷一个骰子，设得到的点数为ξ，则ξ 的取值情况如何？ ξ取各个值的概率分别是什么？
ξ
1
2
3
4
5
6
p
1
1
1
1
1
1
6
6
6
6
6
6
问题2：连续抛掷两个骰子，得到的点数之和为ξ ， 则ξ取哪些值？各个对应的概率分别是什么？
“随机试验”的概念
一般地，一个试验如果满足下列条件：
①试验可以在相同的情形下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且 不只一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的 一个，但在一次试验之前却不能肯定这次 试验会出现哪一个结果
这种试验就是一个随机试验，为了方便 起见，也简称试验
问题 1 某射击运动员在射击训练中，其中
(2)取球次数ξ可能取1，2，…；
(3)由于取后放回。因此，各次取球相互独立。
P( k) P(AAA A) P(A)P( A)P(A)P( A) 0.9k1 0.1
常见离散型随机变量的分布
P(X=2) =0.2304 P(X=4) =0.2592
P(X=3) =0.3456 P(X=5) =0.07776
若A和A是n重伯努利实验的两个对立结果,“成功”
可以指二者中任意一个, p 是“成功”的概率.
例如: 一批产品的合格率为0.8,有放回地抽取 4次, 每次一件, 取得合格品件数X, 以及取得不合 格品件数Y均服从分布为二项分布. “成功”即取得合格品的概率为p=0.8,
X对应的实验次数为n=4, 所以, X~B(4,0.8)
类似,Y~B(4,0.2)
二项分布的期望与方差 X ~ b(n, p)
1 如第i 次试验成功 X i 0 如第i 次试验失败
i 1,2,, n.
则 X X1 X2 Xn Xi ~ (0 1)分布 EX i p, DX i p(1 p)
两点分布的期望与方差
设X服从参数为p的0-1分布，则有
E(X ) p
E(X 2) p
X
0
1
pk 1 p
p
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 p p2 p(1 p)
二、二项分布
若在一次伯努利实验中成功（事件A发生）的概率 为p(0<p<1),独立重复进行n次, 这n次中实验成功的 次数（事件A发生的次数）X的分布列为:
E(X ) 1 p
D(X )
q p2
EX 2 k 2 pqk1 p[ k(k 1)qk1 kqk1]
k 1
k 1
k 1
qp(
qk ) EX
qp( q ) 1 q
1 p
k 1
qp
2 (1 q)3
1 p
2q 1 p2 p
2
2-2离散型随机变量的概率分布
(3) 二项概率公式 若 X 表示 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数, 则 X 所有可能取的值为
0, 1, 2, , n.
当 X k (0 k n) 时, 即 A 在 n 次试验中发生了 k 次.
AAA AAA ,
泊松资料
泊松分布的图形
泊松分布随机数演示
上面我们提到
二项分布 np ( n )泊松分布
单击图形播放/暂停 ESC键退出
合理配备维修工人问题
例5 为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修 工人 (工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生 产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备 的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况 ) ,问至少需配备多少工人 ,才能保证设备发生故障 但不能及时维修的概率小于0.01?
把检查一只元件是否为一级品看成是一次试 验, 检查20只元件相当于做20 重伯努利试验.
解 以 X 记 20 只元件中一级品的只数, 则 X ~ b(20, 0.2), 因此所求概率为
P{ X k} 20(0.2)k (0.8)20k , k 0,1,,20. k
P{ X 0} 0.012 P{ X 4} 0.218 P{ X 8} 0.022 P{ X 1} 0.058 P{ X 5} 0.175 P{ X 9} 0.007 P{ X 2} 0.137 P{ X 6} 0.109 P{ X 10} 0.002 P{ X 3} 0.205 P{ X 7} 0.055
一、离散型随机变量的分布律
定义 设离散型随机变量X 所有可能取的值为 xk (k 1,2,), X 取各个可能值的概率, 即事件 { X xk } 的概率, 为
§2.3几种重要的离散型分布
几何分布的无记忆性： X ~ G p , 则对 设
任意的正整数 m 与 n 有
P X m n X m P X n .
概率意义： 伯努利试验序列中，在前 m 次试验 都没有成功的条件下，再做 n 次试验都还没有成 功的概率与直接做 n 次试验没有成功的概率相等． 似乎忘记了前 m 试验结果，这就是无记忆性．
几何分布为什么有无记忆性呢？
27
证明很简单： 因为
P X n
k n1
1 p
k 1
1 p p n p 1 p , 1 1 p
n
所以由条件概率的定义，
X m n X n
的习惯写法
P X m n X m
4
函数为
三、二项分布
若X表示每次试验成功概率为 p 的 n 重伯 努利试验中成功的次数，则可把伯努利公式 (1.9)重新写成如下的形式
P X k C p q
k n k
n k
,
k 0, 1, 2, , n,
其中
0 p 1 , q 1 p , 称X服从参数为
5
n, p 的二项分布，记作 X ~ B n, p .
9
例2.9 已知某种疾病患者自然痊愈率为0.1，
为了鉴定一种新药是否有效，医生把它给10个病 人服用，且事先规定一个决策准则：这10个病人 中至少有3个人治好此病，则认为这种药有效，提 高了痊愈率；反之，则认为此药无效．求新药完 全无效，但通过试验被认为有效的概率． 解 每次成功(病人痊愈)的概率为0.1，用X表 示10个病人中痊愈的人数，则 X ~ B 10, 0.1 . 于是，所求概率为
离散型随机变量的分布列
说明：①分类依据：按离散取值还是连续取值。 ②离散型随机变量的研究内容：随机变量取什么值、取这些值的多与少、所取值的平均值、稳定性等。
3. 离散型随机变量的分布列：
设离散型随机变量 可能取的值为
且
，则
，
x1,x2,,xi,
P(xi)pi
x1 x2 …
xi
…
P
p1 p2 …
pi
…
称为随机变量 的分布列。
离散型随机变量的分布列
一、基本知识概要： 1.随机变量：随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量的随机变量，记作 ；
,
说明：若 是随机变量，
a,b
ab ，其中 是常数，则 也是随机变量。
一、基本知识概要： 2. 离散型随机变量：随机变量可能取的值，可以按一定顺序一一列出
连续型随机变量：随机变量可以取某一区间内的一切值。
说明：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力。
思考讨论：
（1） ＝4时哪些情况？
（2）本题若改为取出后放回，如何求解？
例4、某人骑车从家到学校的途中有5个路口,假设他在各个路口遇到红灯的事件是相互独立的,且概率均 为.
1
(1)求此人在途中遇到红灯的次数 的分布列;
相应的概率都产生了变化，要具体问题具体分析。
说明：放回抽样时，抽到的次品数为独立重复试验事件，即
。
~B(3,0.8)
例2：一袋中装有5只球，编号为1,2，3，4，5，在袋中同时取3只，以 表示取出的三只球中的最小号 码，写出随机变量 的分布列。
剖析：因为在编号为1，2，3，4，5的球中，同时取3只，所以小号码可能是1或2或3，即 可以取1，2， 3。
离散型随机变量及其分布列知识点
离散型随机变量及其分布列知识点离散型随机变量及其分布列知识点离散型随机变量是指在有限个或无限个取值中，只能取其中一个数值的随机变量。
离散型随机变量可以用分布列来描述其概率分布特征。
离散型随机变量的概率分布列概率分布列是描述离散型随机变量的概率分布的表格，通常用符号P 表示。
其一般形式如下：P(X=x1)=p1P(X=x2)=p2P(X=x3)=p3…P(X=xn)=pn其中，Xi表示随机变量X的取值，pi表示随机变量X取值为Xi的概率。
离散型随机变量的特点1. 离散型随机变量只取有限或无限个取值中的一个，变化不连续。
2. 取值之间具有间隔或间距。
3. 每个取值对应一个概率，概率分布可用概率分布列来体现。
4. 概率之和为1。
离散型随机变量的常见分布1. 0-1分布0-1分布是指当进行一次伯努利试验时，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p的离散型随机变量的分布。
其分布列为：P(X=0)=1-pP(X=1)=p2. 二项分布二项分布是进行n次伯努利试验中，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p时，恰好出现k次事件发生的离散型随机变量的分布。
其分布列为：P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)其中，C(n,k)为从n中选出k个的组合数。
3. 泊松分布泊松分布是指在某个时间段内，某一事件发生的次数符合泊松定理的离散型随机变量的分布。
其分布列为：P(X=k)=λ^ke^(-λ)/k!其中，λ为这段时间内事件的平均发生次数。
总结离散型随机变量及其分布列是概率论中的重要基础概念之一，具有广泛的应用。
掌握离散型随机变量及其分布列的知识点对于深入理解概率论及其实际应用有重要意义。
2.2离散型随机变量及其分布
例1
从中任取3 从中任取 个球 取到的白球数X是一个随机变量 取到的白球数 是一个随机变量 X可能取的值是 0,1,2 可能取的值是
C 1 取每个值的概率为 P(X=0)= = C 10 3 且 CC 6 ∑P( X = i) = 1 P(X= )= 1 = i=1 C 10 1 2 这样，我们就掌握了X这个 这样，我们就掌握了 这个 C3C2 3 P(X=2)= 3 = 随机变量取值的概率规律. 随机变量取值的概率规律 C5 10
P( X =1) = p,0 < p <1 P( X = 0) =1 p = q
或 P(X＝k)＝pk(1－p)1－k, (0<p<1;k＝0,1) ＝ ＝ － － ＝ 1)
2. 二项分布
每次试验中， 设将试验独立重复进行n次，每次试验中， 事件A发生的概率均为p，则称这n次试验为 n重贝努里试验. 重贝努里试验. 表示n重贝努里试验中事件 用X表示 重贝努里试验中事件 （成功） 表示 重贝努里试验中事件A（成功） 出现的次数， 出现的次数，则
P(X=k)=C (0.8) (0.2) , k = 0,1,2,3 把观察一个灯泡的使用
时数看作一次试验, 时数看作一次试验 P(X ≤ =P(X=0)+P(X=1) 1)
k 3 k
3k
“使用到 使用到1000小时已坏” 小时已坏” 使用到 小时已坏 视为“成功” 每次试验, 视为“成功 每次试验 )3+3(0.8)(0.2)2 ”.每次试验 =(0.2 “成功”的概率为 成功” 成功 的概率为0.8
例5 解: 当 当
X p
0 1 2 1 1 1 3 6 2
，求 F(x).
F(x) = P(X ≤ x)
高中数学 离散型随机变量及其分布列(二)二项分布讲义 新人教A版选修2-3
离散型随机变量及其分布列(二)重难点易错点解析题一：某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的.(Ⅰ) 求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；(Ⅱ)用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望.题二：一名学生骑车上学要经过6个交通路口，每个路口遇到红灯是独立事件，且概率均为13，(1)设X为这名学生在途中遇到的红灯次数，求X的分布列.(2)设Y为这名学生第一次遇到红灯时已通过的路口数，求Y的分布列. 金题精讲题一：某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(p>q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为：(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(Ⅱ)求p，q的值；(Ⅲ)求数学期望Eξ.题二：在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮．现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是11,32．两人投篮3次，且第一次由甲开始投篮，假设每人每次投篮命中与否均互不影响．(1)求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；(2)若投篮命中一次得1分，否则得0分，用ξ表示甲的总得分，求ξ的分布列和数学期望．离散型随机变量及其分布列(二)讲义参考答案重难点易错点解析题一：(Ⅰ) 65 81(Ⅱ) X的分布列EX=4 3题二：(1) X的分布列(2) Y的分布列金题精讲题一：(Ⅰ) 119125(Ⅱ) p=35；q=25(Ⅲ) Eξ=95题二：(1) 2 9(2)Eξ=27.。
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一、选择题 (每小题5分，共40分)
1. 设随机变量X 的分布列为()15k P X k ==
(12345k =，
，，，)则1
52
2P X ⎛⎫<< ⎪⎝⎭=( ) Ａ．215
Ｂ．2
5
Ｃ．15
Ｄ．115
2. 随机变量X 的概率分布列为)
1()(+==n n a
n X P ，(1,2,3,4n =) 其中a 为常数，则)2
52
1(<<X P 的值为（ ）
A. 23
B.34
C.45
D.5
6
3. 袋中有2个黑球和6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是（ ）
Ａ.取到球的个数 B. 取到红球的个数 C.至少取到一个红球 D. 至少取到一个红球的概率 4. 每次试验的成功率为)10(<<p p ，重复进行试验直至第n 次才能得
)1(n r r ≤≤次成功的概率为 （ ） A 、r n r r n p p C --)1( B 、r n r
r n p p C ---)1(1 C 、r n r p p --)1( D 、r n r r n p p
C -----)1(111 5. 某机械零件由2道工序组成，第一道工序的废品率为a ，第二道工序的废品率为b ，假设这两道工序出废品是彼此无关的，那么产品的合格率为 ( )
A ．ab-a-b+1
B ．1-a-b
C ．1-ab
D ．1-2ab
6. 在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击（各发射一枚导弹），由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为0.9，0.9，0.8，若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为（ ）
Ａ．0.998 Ｂ．0.954 Ｃ．0.002 Ｄ．0.046 二、填空题 (共4小题，每小题5分，共20分)
7. 一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，
取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次停止，设停止时,取球次数为随机变量,则==)12(X P _______________．（只需列式，不需计算结果）
8. 一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0．9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为 （用数字作答）．
9. 一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率
为
81
80
，则此射手的命中率是 ． 10. 某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：
①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93
×0.1；
③他至少击中目标1次的概率是41(0.1)-．
其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号）． 三、解答题
11.某种项目的射击比赛，开始时选手在距离目标100m 处射击，若命中则记3分，且停止射击．若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但需在距离目标150m 处，这时命中目标记2分，且停止射击．若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时需在距离目标200m 处，若第三次命中则记1分，并停止射击．若三次都未命中则记0分，并停止射击．已知选手甲的命中率与目标的距离的平方成反比，他在100m 处击中目标的
概率为，且各次射击都相互独立．
（Ⅰ）求选手甲在三次射击中命中目标的概率； （Ⅱ）设选手甲在比赛中的得分为，求的分布列.
12. 甲、乙两位篮球运动员进行定点投蓝，每人各投4个球，甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为．
(1)求甲至多命中2个且乙至少命中2个的概率；
(2)若规定每投篮一次命中得3分，未命中得分，求乙所得分数的概率分布．
13.甲、乙等五名深圳大运会志愿者被随机地分到A B C D ，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者． (Ⅰ)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率；
(Ⅱ)设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求ξ的分布列．
14.2011年4月28日，世界园艺博览会已在西安正式开园，正式开园前，主办方安排了4次试运行，为了解前期准备情况和试运行中出现的问题，以做改进，组委会组织了一次座谈会，共邀请20名代表参加，他们分别是游客15人，志愿者5人。
（I ）从这20名代表中随机选出3名谈建议，求至少有1人是志愿者的概率；
（II ）若随机选出2名代表发言，表示其游客人数，求的分布列。
1
2ξξ2
1
3
21-ηξξ。