浙江省金丽衢十二校2008年3月第二次联考(数学文)

浙江省金丽衢十二校2008年3月第二次联考试卷数学（文科）命题者：龙游中学 汪晓华、陈柏成考生须知：1．全卷分试题卷、和答题卷，满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，在答题卡相应的位置、答题卷密封区内，填写学校、姓名、准考证号、学号. 3．所有答案必须写在答题卷第Ⅰ卷(答题卡)、第Ⅱ卷上指定的位置，写在试题卷上无效.第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：(本题共有10个小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项填入答题卷上指定的位置)1.已知全集,U R =集合{{,.M x R y N y R y =∈==∈=则M C N U =( ） A ．∅ B.{}01x x ≤< C.{}01x x ≤≤ D. {}11x x -≤< 2.若平面向量b 与向量a =（1，－2）的夹角是180°，且|b |=53，则b = （ ）A ．（－1，2）B ．（－3，6）C ．（3，－6）D ．（－3，6）或（3，－6） 3. 若直线==++=-++a y ax ay x a 则垂直与直线,01202)1(2（ ）A ．－2B ．0C ．－2或0D ．222±4.在等差数列{}n a 中，18153120a a a ++=，则9102a a -= ( ) A ．24 B ．22 C ．20 D ．8-5.命题p ：若1||1||||,>+>+∈b a b a R b a 是，则的充分不必要条件； 命题q ：函数)23(log 21-=x y 的定义域是]1,(-∞，则 （ ）A ．“p 或q ”为假B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p 假q 真 6.下列函数中,值域为()+∞,0的函数是（ ）A ．xy 12=B ．12-=x yC ．12+=x yD ．xy -⎪⎭⎫⎝⎛=2217. 若函数y =f （x ）同时具有下列三个性质：（1）最小正周期为π，（2）图象关于直线3π=x 对称；（3）在区间]3,6[ππ-上是增函数，则y =f （x ）的解析式可以是 （ ）A ．)62sin(π+=x y B ．)32cos(π+=x yC ．)62sin(π-=x y D ．)62cos(π-=x y8. 现有6个人分乘两辆不同的出租车，每辆车最多乘4人，则不同的乘车方案有（ ）A ．35种B ． 50种C ．60种D ．70种9.如图，在三棱柱111C B A ABC -中，在平面11B ABA 内有一点P ，则过P 在平面11B ABA 内可作与棱AC 所成角为600的直线的条数不可能只有（ ） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条10.已知椭圆191622=+y x 的两个焦点为21,F F ,P 是椭圆上任意一点, 若521=⋅PF PF ,21PF F ∆的面积为 ( )A. 6B.275 C. 4 D. 3 第Ⅱ卷 ( 非选择题，共100分)二、填空题：(本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填在答题卷中指定的横线上)11．甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生人数为_______________ 12．若n xx )3(3-展开式中的各项系数之和为－32，那么展开式中的常数项为13.过点)0,4(-A 作直线l 与圆2224200xy x y ++--=交于M 、N=8，则l 的方程为________（写成一般式）．14.如图，函数)sin(ϕω+=x A y ),,0,0(R x A ∈≤<-><πϕπω的图象经过点)0,6(π-、)0,67(π，且该函数的最大值为2，最小值为－2，则该函数的解析式为________________(结果要求πϕπω≤<-><,0,0A )15. 已知实数x,y 满足y x z x y x y x +=⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-≤+3,13492则的最大值是16. 已知函数⎩⎨⎧≥<+-=1,ln 1,2)(x x x x x f ，则不等式0)1(<-x xf 的解集为____________17. 将4个相同的球全部放到5个编有1、2、3、4、5五个号码的盒子中,假设每个球放入哪个盒子是等可能性的,并且每个盒子能容纳的球不限,则2号盒子放有1个球的不同的放法有______ (用数字作答)种; 1号和2号盒子各放一球的概率为_______ (用最简分数作答) 三、解答题：（本大题共5小题，共72分,解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 18．（本小题满分14分）设A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c . 若＝()C B sin ,cos ，n ＝()B C sin ,cos -，且21=⋅． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a ＝32，三角形面积S ＝3，求c b +的值.19.(本小题满分14分)如图，正三棱柱111C B A ABC -中，底面边长为a ，侧棱长为a 22，若经过1AB 且与1BC 平行的平面交上底面于1DB(Ⅰ)试确定点D 的位置，并证明你的结论； (Ⅱ)求二面角D AB A --11的大小. 20．（本小题满分14分） 已知函数223241)(234--++-=x ax x x x f 在区间[-1,1] 上单调递减,在区间[1,2]上单调递增, (1)求实数a 的值(2)若关于x 的方程m f x=)2(有三个不同实数解,求实数m 的取值范围. 21．（本小题满分15分，第1小题6分，第2小题9分）如图，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点.（1）若︒=∠6021F AF ，且,021=⋅AF 求椭圆的离心率； （2）若,1,2==b a 且F F 112-=.求直线l 的方程.22．（本小题满分15分）已知二次函数2()f x ax bx =+的图象过点(4,0)n -，且*(0)2,()f n n N '=∈ （1）求()f x 的解析式； （2）若数列{}n a 满足111()n nf a a +'=，且14a =，求数列{}n a 的通项公式； （3）对于（2）中的数列{}n a ，求证： ∑=<++++=nk n ka a a a a13216浙江省金丽衢十二校2008年3月第二次联考试卷数学（文科）评分标准一、选择题(每小题5分,共50分)题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案B BC A AD C B D A二、填空题（每小题4分，其中第17题每格2分，共28分）11. _30，45，15____ 12._____90_____ 13. 04020125=+=++x y x 或14.)4323sin(2π--=x y 15. __17__ 16. (-∞，0) 17. _20__、625108(即422453⋅A ) 三、解答题18、解：（Ⅰ）∵＝()C B sin ,cos ，n ＝()B C sin ,cos -，且21=⋅n m∴ 21sin sin cos cos =⋅-⋅C B C B ……………………………………3分 ∴ ()21cos =+C B ……………………………………4分 即 ()21cos =-A π ……………………………………5分即－21cos =A ，又()π,0∈A ，∴π32=A …………………………7分（Ⅱ）332sin 21sin 21=⋅=⋅=∆πbc A bc S ABC ，∴4=bc …………………9分又由余弦定理得：bc c b bc c b a ++=-+=220222120cos 2……………12分∴16＝()2c b +，故4=+c b ………14分19、解：(Ⅰ)D 为A 1C 1的中点(D 也可以是△A 1B 1C 1的边A 1C 1中线上任一点).连结A 1B 与AB 1交于E ，则E 为A 1B 的中点，DE 为平面AB 1D 与平面A 1BC 1的交线， ∵BC 1∥平面AB 1D∴BC 1∥DE ，∴D 为A 1C 1的中点. ………………… 7分 (Ⅱ)过D 作DF ⊥A 1B 1于F ，由正三棱柱的性质，AA 1⊥DF ，∴DF ⊥平面ABB 1A 1， 连结EF ，DE ，在正三角形A 1B 1C 1中，∵D 是A 1C 1的中点，∴B 1D ＝32A 1B 1＝32a ， 又在直角三角形AA 1D 中， ∵AD ＝AA 21＋A 1D 2＝32a ，∴AD ＝B 1D .∴DE ⊥AB 1，∴可得EF ⊥AB 1，则∠DEF 为二面角A 1－AB 1－D 的平面角. ………10分可求得DF ＝34a ，∵△B 1FE ∽△B 1AA 1，得EF ＝34a ，∴∠DEF ＝π4，即为所求. ……………14分(Ⅱ)解法(二)(空间向量法)建立如图所示空间直角坐标系，则A (0，－12a,0)，B 1(0，12a ，22a )，C 1(－32a,0，22a )，A 1(0，－12a ，22a )， D (－34a ，－14a ，22a ). ∴AB 1＝(0，a ，22a )，B 1D ＝(－34a ，－34a,0). 设n 1＝(x ，y ，z )是平面AB 1D 的一个法向量，则可得 ⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB 1＝0n 1·B 1D ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ay ＋22az ＝0－34ax －34ay ＝0.∴n 1＝(－3，1，－2). ………………10分又平面ABB 1A 1的一个法向量n 2＝OC ＝(－32a,0,0)，设n 1与n 2的夹角是θ，则 cos θ＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝22.又可知二面角A 1－AB 1－D 是锐角.∴二面角A 1－AB 1－D 的大小是4π……………14分 20、解: (1)由函数223241)(234--++-=x ax x x x f 在区间[-1,1] 上单调递减,在区间[1,2]上单调递增, 1=x 取得极小值∴0)1(='f ………………………………………………3分∵222)(23-++-='ax x x x f ∴=')1(f 2102221=⇒=-++-a a ………………………………………………6分 (2)由(1)知22213241)(234--++-=x x x x x f , ∴22)(23-++-='x x x x f =)2)(1)(1(-+--x x x , 令0)(='x f 得1=x ,1-=x ,2=xx(-∞,-1)-1 (-1,1) 1 (1,2) 2 (2,+ ∞) )(x f '+-+-)(x f增125)1(-=-f减1237)1(-=f增38)2(-=f减所以函数)(x f 有极大值125)1(-=-f ,38)2(-=f ,极小值1237)1(-=f ………………………10分作出)(x f 的示意图如图因关于x 的方程m f x=)2(有三个不同实数解,令)0(2>=t t x即关于t 的方程m t f =)(在),0(+∞∈t 上有三个不同实数解,即)(t f y =的图象与直线m y =在),0(+∞∈t 上有三个不同的交点.而)(t f y =的图象与)(x f y =的图象一致.又2)0(-=f 由图可知381237-<<-m ……………………………14分 21、解：（1） 021=⋅AF AF ，21AF AF ⊥∴,6021 =∠F AF 1212AF F F =∴，123AF AF =…………………………3分212AF AF a +=∴，212F F c =132121-=+==∴AF AF F F a ce 离心率………………………………………6分（2）1,2==b a ，)0,1(),0,1(,121F Fc -=∴点.1°若AB 垂直于x 轴，则)22,1(),22,1(---B A ， F F 11-=,显然不满足F F 112-= ………………8分2°若AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的斜率为k ， 则直线AB 的方程为 )1(+=x k y 由⎩⎨⎧=-++=022)1(22y x x k y 得 0)1(24)21(2222=-+++k x k x k0882>+=∆k ，∴方程有两个不等的实数根. 设),(11y x A ，),(22y x B .2221214k k x x +-=+……………① 222121)1(2k k x x +-=⋅………………② ………………11分∵F F 112-=∴),1(2),1(2211y x y x +-=+即⎩⎨⎧-=--=+④y y ③x x 21212221 由③得3221--=x x代入①、②得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⋅--+-=--222222221)1(2)32(2143k k x x k k x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⋅--++-=++-=22222222221)1(2)32(21322143k k x x k k k k x 由两式消去2x 得22222221)1(2)2132()2132(k k k k k k +-=++-⋅++- 即)21)(22(94224k k k +-=-即722=k ,∴214±=k ∴直线l 的方程为214214+=x y 或214214--=x y ………………15分 法2：1,2==b a ，)0,1(),0,1(,121F F c -=∴点.1°若AB 垂直于y 轴,则)0,2(,)0,2(-B A 或)0,2(,)0,2(B A -)0,12(1+=A F ,)0,12(1+-=B F 或)0,12(1+-=A F )0,12(1+=B F显然不满足B F A F 112-=………………7分2°若AB 与y 轴不垂直,设直线AB 的方程为 1-=my x⎩⎨⎧=-+-=022122y x my x 得012)2(22=--+my y m0882>+=∆m ，∴方程有两个不等的实数根. 设),(11y x A ，),(22y x B .则22221+=+m my y …………①21221+-=m y y …………② ………………10分 ∵F F 112-=∴),1(2),1(2211y x y x +-=+ 即⎩⎨⎧-=--=+④y y ③x x 21212221 由④代入①、②得⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+=-2122222222m y m m y 消去2y 得21)22(2222+-=+--m m m ，即272=m 所以714±=m所以直线l 的方程为 1714-=y x 或1714--=y x 即214214+=x y 或214214--=x y ………………15分 22、解（1）由b ax x f +='2)(，∴⎩⎨⎧=-=041622nb a n n b 解之得n b a 2,21== 即2*1()2()2f x x nx n N =+∈； ……………………………5分 （2）由111()n nf a a +'=得n a a n n 2111+=+ ∴n a a n n 2111=-+ 由累加得n n a n -=-2411 ∴*24()(21)n a n N n =∈-； ……………………………10分（3）)2()121321(2)12)(32(4)12(42≥---=--<-=k k k k k k a k当1n =时，显然成立； 当2≥n 时,)]121321()5131()3111[(241---++-+-⋅+≤∑=n n ank k =61226<--n综上知∑=<++++=nk n ka a a a a13216 ……………………………15分浙江省金丽衢十二校2008年3月第二次联考试卷数学（文科）命题者：龙游中学 汪晓华、陈柏成考生须知：1．全卷分试题卷、和答题卷，满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，在答题卡相应的位置、答题卷密封区内，填写学校、姓名、准考证号、学号. 3．所有答案必须写在答题卷第Ⅰ卷(答题卡)、第Ⅱ卷上指定的位置，写在试题卷上无效.第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：(本题共有10个小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项填入答题卷上指定的位置)1.已知全集,U R =集合{{,.M x R y N y R y =∈==∈=则M C N U =( ） A ．∅ B.{}01x x ≤< C.{}01x x ≤≤ D. {}11x x -≤< 2.若平面向量与向量=（1，－2）的夹角是180°，且||=53，则= （ ）A ．（－1，2）B ．（－3，6）C ．（3，－6）D ．（－3，6）或（3，－6）3. 若直线==++=-++a y ax ay x a 则垂直与直线,01202)1(2（ ） A ．－2 B ．0 C ．－2或0 D ．222±4.在等差数列{}n a 中，18153120a a a ++=，则9102a a -= ( ) A ．24 B ．22 C ．20 D ．8-5.命题p ：若1||1||||,>+>+∈b a b a R b a 是，则的充分不必要条件； 命题q ：函数)23(log 21-=x y 的定义域是]1,(-∞，则 （ ）A ．“p 或q ”为假B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p 假q 真 6.下列函数中,值域为()+∞,0的函数是（ ）A ．xy 12=B ．12-=x yC ．12+=x yD ．xy -⎪⎭⎫⎝⎛=2217. 若函数y =f （x ）同时具有下列三个性质：（1）最小正周期为π，（2）图象关于直线3π=x 对称；（3）在区间]3,6[ππ-上是增函数，则y =f （x ）的解析式可以是 （ ）A ．)62sin(π+=x y B ．)32cos(π+=x yC ．)62sin(π-=x y D ．)62cos(π-=x y8. 现有6个人分乘两辆不同的出租车，每辆车最多乘4人，则不同的乘车方案有（ ） A ．35种 B ． 50种 C ．60种 D ．70种9.如图，在三棱柱111C B A ABC -中，在平面11B ABA 内有一点P ，则过P 在平面11B ABA 内可作与棱AC 所成角为600的直线的条数不可能只有（ ） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条10.已知椭圆191622=+y x 的两个焦点为21,F F ,P 是椭圆上任意一点, 若521=⋅PF PF ,21PF F ∆的面积为 ( )A. 6B.275 C. 4 D. 3 第Ⅱ卷 ( 非选择题，共100分)二、填空题：(本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填在答题卷中指定的横线上)11．甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生人数为_______________ 12．若n xx )3(3-展开式中的各项系数之和为－32，那么展开式中的常数项为13.过点)0,4(-A 作直线l 与圆2224200xy x y ++--=交于M 、N=8，则l 的方程为________（写成一般式）．14.如图，函数)sin(ϕω+=x A y ),,0,0(R x A ∈≤<-><πϕπω的图象经过点)0,6(π-、)0,67(π，且该函数的最大值为2，最小值为－2，则该函数的解析式为________________(结果要求πϕπω≤<-><,0,0A )15. 已知实数x,y 满足y x z x y x y x +=⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-≤+3,13492则的最大值是16. 已知函数⎩⎨⎧≥<+-=1,ln 1,2)(x x x x x f ，则不等式0)1(<-x xf 的解集为____________17. 将4个相同的球全部放到5个编有1、2、3、4、5五个号码的盒子中,假设每个球放入哪个盒子是等可能性的,并且每个盒子能容纳的球不限,则2号盒子放有1个球的不同的放法有______ (用数字作答)种; 1号和2号盒子各放一球的概率为_______ (用最简分数作答) 三、解答题：（本大题共5小题，共72分,解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 18．（本小题满分14分）设A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c . 若＝()C B sin ,cos ，n ＝()B C sin ,cos -，且21=⋅． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a ＝32，三角形面积S ＝3，求c b +的值.19.(本小题满分14分)如图，正三棱柱111C B A ABC -中，底面边长为a ，侧棱长为a 22，若经过1AB 且与1BC 平行的平面交上底面于1DB (Ⅰ)试确定点D 的位置，并证明你的结论；(Ⅱ)求二面角D AB A --11的大小.20．（本小题满分14分） 已知函数223241)(234--++-=x ax x x x f 在区间[-1,1] 上单调递减,在区间[1,2]上单调递增, (1)求实数a 的值(2)若关于x 的方程m f x =)2(有三个不同实数解,求实数m 的取值范围.21．（本小题满分15分，第1小题6分，第2小题9分） 如图，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点.（1）若︒=∠6021F AF ，且,021=⋅AF 求椭圆的离心率；（2）若,1,2==b a 且F F 112-=.求直线l 的方程.22．（本小题满分15分）已知二次函数2()f x ax bx =+的图象过点(4,0)n -，且*(0)2,()f n n N '=∈（1）求()f x 的解析式；（2）若数列{}n a 满足111()n nf a a +'=，且14a =，求数列{}n a 的通项公式； （3）对于（2）中的数列{}n a ，求证：∑=<++++=n k n k a a a a a 13216。