《函数的概念与图象》参考答案
高考数学专题《函数的图象》习题含答案解析
专题3.7 函数的图象1．（2021·全国高三专题练习（文））已知图①中的图象是函数()y f x=的图象，则图②中的图象对应的函数可能是（）A．(||)y f x=B．|()|y f x=C．(||)y f x=-D．(||)y f x=--【答案】C【解析】根据函数图象的翻折变换，结合题中条件，即可直接得出结果.【详解】图②中的图象是在图①的基础上，去掉函数()y f x=的图象在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧图象翻折到y轴右侧，y轴左侧图象不变得来的，∴图②中的图象对应的函数可能是(||)y f x=-.故选：C.2．（2021·浙江高三专题练习）函数()lg1y x=-的图象是（）A．B．C．练基础D ．【答案】C【解析】将函数lg y x =的图象进行变换可得出函数()lg 1y x =-的图象，由此可得出合适的选项.【详解】将函数lg y x =的图象先向右平移1个单位长度，可得到函数()lg 1y x =-的图象，再将所得函数图象位于x 轴下方的图象关于x 轴翻折，位于x 轴上方图象不变，可得到函数()lg 1y x =-的图象.故合乎条件的图象为选项C 中的图象.故选：C.3．（2021·全国高三专题练习（理））我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来研究函数图象的特征．若函数()y fx =在区间[],a b 上的图象如图，则函数()y f x =在区间[],a b 上的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】先判断出函数是偶函数，根据偶函数的图像特征可得选项．【详解】 函数()y f x =是偶函数，所以它的图象是由()y f x =把0x ≥的图象保留，再关于y 轴对称得到的．结合选项可知选项D 正确，故选：D ．4．（2021·全国高三专题练习（文））函数()5xf x x x e =-⋅的图象大致是（ ）． A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】由()20f >和()20f -<可排除ACD ，从而得到选项.【详解】由()()2223222160f e e =-=->，可排除AD ；由()()2223222160f e e ---=-+=-<，可排除C ；故选：B.5．（2021·陕西高三三模（理））函数x y b a =⋅与()log a y bx =的图像在同一坐标系中可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据指数函数和对数函数的单调性，以及特殊点函数值的范围逐一判断可得选项．【详解】令x f x b a ，()()log a g x bx =，对于A 选项：由x f xb a 得>1a ，且()00>1f b a b ==⋅，所以log >0a b ，而()1log 0a g b =<，所以矛盾，故A 不正确；对于B 选项：由x f xb a 得>1a ，且()001f b a b ⋅=<=，所以log 0a b <，而()1log >0a g b =，所以矛盾，故B 不正确；对于C 选项：由x f xb a 得>1a ，且()001f b a b ⋅=<=，所以log 0a b <，又()1log 0a g b =<，故C 正确；对于D 选项：由x f xb a 得>1a ，且()00>1f b a b ==⋅，而()()log a g x bx =中01a <<，所以矛盾，故D 不正确；故选：C ． 6．（2021·宁夏吴忠市·高三其他模拟（文））已知函数()()()ln 2ln 4f x x x =-+-，则（ ）． A ．()f x 的图象关于直线3x =对称B ．()f x 的图象关于点()3,0对称C ．()f x 在()2,4上单调递增D ．()f x 在()2,4上单调递减【答案】A【解析】先求出函数的定义域.A ：根据函数图象关于直线对称的性质进行判断即可；B ：根据函数图象关于点对称的性质进行判断即可；C ：根据对数的运算性质，结合对数型函数的单调性进行判断即可；D ：结合C 的分析进行判断即可.【详解】 ()f x 的定义域为()2,4x ∈，A ：因为()()()()3ln 1ln 13f x x x f x +=++-=-，所以函数()f x 的图象关于3x =对称，因此本选项正确；B ：由A 知()()33f x f x +≠--，所以()f x 的图象不关于点()3,0对称，因此本选项不正确；C ：()()()2ln 2ln 4ln(68)x x x f x x =-+-=-+- 函数2268(3)1y x x x =-+-=--+在()2,3x ∈时，单调递增， 在()3,4x ∈时，单调递减，因此函数()f x 在()2,3x ∈时单调递增，在()3,4x ∈时单调递减，故本选项不正确；D ：由C 的分析可知本选项不正确，故选：A7．（2021·安徽高三二模（理））函数()n xf x x a =，其中1a >，1n >，n 为奇数，其图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】分析()f x 在()0,∞+、(),0-∞上的函数值符号，及该函数在()0,∞+上的单调性，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对任意x ∈R ，0x a >，由于1n >，n 为奇数，当0x <时，0n x <，此时()0f x <，当0x >时，0n x >，此时()0f x >，排除AC 选项；当0x >时，任取1x 、()20,x ∈+∞且12x x >，则120x x a a >>，120n n x x >>，所以()()12f x f x >，所以，函数()f x 在()0,∞+上为增函数，排除D 选项.故选：B.8．（2021·浙江高三专题练习）已知函数f (x )＝1331,,log 1x x x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩则函数y ＝f (1－x )的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】由()f x 得到()1f x -的解析式，根据函数的特殊点和正负判断即可.【详解】因为函数()f x 133,1log ,1x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩， 所以函数()1f x -()1133,0log 1,0x x x x -⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩， 当x ＝0时，y ＝f (1)＝3，即y ＝f (1－x )的图象过点(0，3)，排除A ；当x ＝－2时，y ＝f (3)＝－1，即y ＝f (1－x )的图象过点(－2，－1)，排除B ；当0x <时，()1311,(1)log 10x f x x ->-=-<，排除C ，故选：D ．9.【多选题】（2021·浙江高一期末）如图，某池塘里浮萍的面积y （单位：2m ）与时间t （单位：月）的关系为t y a =．关于下列法正确的是（ ）A ．浮萍每月的增长率为2B ．浮萍每月增加的面积都相等C ．第4个月时，浮萍面积不超过280mD ．若浮萍蔓延到22m 、24m 、28m 所经过的时间分别是1t 、2t 、3t ，则2132t t t =+【答案】AD【解析】根据图象过点求出函数解析式，根据四个选项利用解析式进行计算可得答案.【详解】由图象可知，函数图象过点(1,3)，所以3a =，所以函数解析式为3ty =， 所以浮萍每月的增长率为13323233t t tt t +-⨯==，故选项A 正确； 浮萍第一个月增加的面积为10332-=平方米，第二个月增加的面积为21336-=平方米，故选项B 不正确；第四个月时，浮萍面积为438180=>平方米，故C 不正确；由题意得132t =，234t =，338t =，所以13log 2t =，23log 4t =，33log 8t =，所以2133333332log 2log 8log (28)log 16log 42log 42t t t +=+=⨯====，故D 正确.故选：AD10．（2020·全国高一单元测试）函数()2x f x =和()3g x x =的图象如图所示，设两函数的图象交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且12x x <．（1）请指出图中曲线1C ，2C 分别对应的函数；（2）结合函数图象，比较(3)f ，(3)g ，(2020)f ，(2020)g 的大小．【答案】（1）1C 对应的函数为()3g x x =，2C 对应的函数为()2x f x =；（2）(2020)(2020)(3)(3)f g g f >>>．【解析】（1）根据指数函数和一次函数的函数性质解题；（2）结合函数的单调性及增长快慢进行比较.【详解】（1）1C 对应的函数为()3g x x =，2C 对应的函数为()2x f x =．（2）(0)1f =，(0)0g =，(0)(0)f g ∴>，又(1)2f =，(1)3g =，(1)(1)f g ∴<，()10,1x ∴∈；(3)8f =，(3)9g =，(3)(3)f g ∴<，又(4)16f =，(4)12g =，(4)(4)f g ∴>，()23,4x ∴∈．当2x x >时，()()f x g x >，(2020)(2020)f g ∴>．(2020)(2020)(3)(3)f g g f ∴>>>．1．（2021·湖南株洲市·高三二模）若函数()2()mx f x e n =-的大致图象如图所示，则（ ）A ．0,01m n ><<B ．0,1m n >>C ．0,01m n <<<D ．0,1m n <>【答案】B【解析】令()0f x =得到1ln x n m =，再根据函数图象与x 轴的交点和函数的单调性判断.【详解】令()0f x =得mx e n =，即ln mx n =，解得1ln x n m =，由图象知1l 0n x m n =>，当0m >时，1n >，当0m <时，01n <<，故排除AD ，当0m <时，易知mx y e =是减函数，当x →+∞时，0y →，()2f x n →，故排除C故选：B2．（2021·甘肃高三二模（理））关于函数()ln |1|ln |1|f x x x =++-有下列结论，正确的是（ ） A ．函数()f x 的图象关于原点对称 B ．函数()f x 的图象关于直线1x =对称 练提升C ．函数()f x 的最小值为0D ．函数()f x 的增区间为(1,0)-，(1,)+∞【答案】D 【解析】A.由函数的奇偶性判断；B.利用特殊值判断；C.利用对数函数的值域求解判断；D.利用复合函数的单调性判断. 【详解】2()ln |1|ln |1|ln |1|f x x x x =++-=-，由1010x x ⎧+>⎪⎨->⎪⎩，解得1x ≠±，所以函数的定义域为{}|1x x ≠±， 因为()ln |1|ln |1|ln |1|ln |1|()f x x x x x f x -=-++--=++-=,所以函数为偶函数，故A 错误. 因为(0)ln |1|0,(3)ln8f f =-==，所以(0)(3)f f ≠，故B 错误；因为 ()2|1|0,x -∈+∞，所以()f x ∈R ，故C 错误；令2|1|t x =-，如图所示：，t 在(),1,[0,1)-∞-上递减，在()(1,0],1,-+∞上递增，又ln y t =在()0,∞+递增，所以函数()f x 的增区间为(1,0)-，(1,)+∞，故D 正确； 故选：D3．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三其他模拟（理））函数ln xy x=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 求出函数ln xy x=的定义域，利用导数分析函数的单调性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】 对于函数ln xy x =，则有0ln 0x x >⎧⎨≠⎩，解得0x >且1x ≠， 所以，函数ln xy x=的定义域为()()0,11,+∞，排除AB 选项；对函数ln x y x =求导得()2ln 1ln x y x -'=.当01x <<或1x e <<时，0y '<；当x e >时，0y '>. 所以，函数ln xy x=的单调递减区间为()0,1、()1,e ，单调递增区间为(),e +∞， 当01x <<时，0ln xy x =<，当1x >时，0ln x y x=>，排除D 选项. 故选：C.4．（2021·海原县第一中学高三二模（文））函数2xx xy e+=的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】利用导数可求得2xx xy e+=的单调性，由此排除AB ；根据0x >时，0y >可排除C ，由此得到结果. 【详解】 由题意得：()()222211x xxxx e x x e x x y e e +-+-++'==，令0y '=，解得：1x =，2x =，∴当11,,22x ∞∞⎛⎛⎫+∈-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，0y '<；当11,22x ⎛+∈ ⎝⎭时，0y '>；2x x x y e +∴=在1,2⎛--∞ ⎝⎭，1,2⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在1122⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，可排除AB ； 当0x >时，0y >恒成立，可排除C. 故选：D.5．（2021·天津高三三模）意大利画家列奥纳多·达·芬奇的画作《抱银鼠的女子》（如图所示）中，女士颈部的黑色珍珠项链与她怀中的白貂形成对比.光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美.达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究得出，悬链线并不是抛物线，而是与解析式为2x x e e y -+=的“双曲余弦函数”相关.下列选项为“双曲余弦函数”图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】分析函数2x xe e y -+=的奇偶性与最小值，由此可得出合适的选项.【详解】令()e e 2x x f x -+=，则该函数的定义域为R ，()()2x xe ef x f x -+-==，所以，函数()e e 2x xf x -+=为偶函数，排除B 选项.由基本不等式可得()112f x ≥⨯=，当且仅当0x =时，等号成立，所以，函数()f x 的最小值为()()min 01f x f ==，排除AD 选项. 故选：C.6．（2021·浙江高三月考）函数()3log 01a y x ax a =-<<的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】先求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，构造函数，求函数的导数，利用是的导数和极值符号进行判断即可. 【详解】根据题意，()3log a f x x ax =-，必有30x ax -≠，则0x ≠且x ≠即函数的定义域为{|0x x ≠且x ≠，()()()()33log log a a x a x x f f x ax x ---=--==，则函数3log a y x ax =-为偶函数，排除D ，设()3g x x ax =-，其导数()23g x x a '=-，由()0g x '=得x =±，当3x >时，()0g x '>，()g x 为增函数，而()f x 为减函数，排除C ，在区间,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上，()0g x '<，则()g x 在区间,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上为减函数，在区间3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上，()0g x '>，则()g x 在区间3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上为增函数，0g=，则()g x 存在极小值33339g a ⎛⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时()g x ()0,1，此时()0f x >，排除A ， 故选：B.7.（2019·北京高三高考模拟（文））当x∈[0，1]时，下列关于函数y=2(1)mx -的图象与y =的图象交点个数说法正确的是（ ） A ．当[]m 0,1∈时，有两个交点 B ．当(]m 1,2∈时，没有交点 C ．当(]m 2,3∈时，有且只有一个交点 D ．当()m 3,∞∈+时，有两个交点【答案】B 【解析】设f （x ）=2(1)mx -，g （x ） ，其中x∈[0，1]A ．若m=0，则()1f x =与()g x =[0，1]上只有一个交点(1,1)，故A 错误．B ．当m∈（1，2）时，111()(0)1,()(0)1()()2f x f g x g f x g x m<<∴≤=≥=>∴<即当m∈（1，2]时，函数y=2(1)mx -的图象与y =x∈[0，1]无交点，故B 正确，C ．当m∈（2，3]时，2111()(1)(1),()(1)32f x f mg x g m <<∴≤=-≤=2(1)m >-时()()f x g x <，此时无交点，即C 不一定正确．D ．当m∈（3，+∞）时，g （0）1，此时f （1）＞g （1），此时两个函数图象只有一个交点，故D 错误，故选：B．8.（2021·浙江高三专题练习）若关于x的不等式34log2xax-≤在10,2x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则实数a的取值范围是（）A．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．10,4⎛⎤⎥⎝⎦C．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．30,4⎛⎤⎥⎝⎦【答案】A 【解析】转化为当10,2x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，函数342xy=-的图象不在log ay x=的图象的上方，根据图象列式可解得结果.【详解】由题意知关于x的不等式34log2xax-≤在10,2x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，所以当10,2x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，函数342xy=-的图象不在log ay x=的图象的上方，由图可知0111log 22a a <<⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得114a ≤<. 故选：A9.对a 、b ∈R ，记{},max ,,a a b a b b a b⎧=⎨<⎩≥，函数{}2()max ||,24()f x x x x x =--+∈R ．（1）求(0)f ，(4)f -．（2）写出函数()f x 的解析式，并作出图像．（3）若关于x 的方程()f x m =有且仅有3个不等的解，求实数m 的取值范围．（只需写出结论） 【答案】见解析．【解析】解：（1）∵{},max ,,a a b a b b a b⎧=⎨<⎩≥，函数{}2()max ||,24f x x x x =--+，∴{}(0)max 0,44f ==，{}(4)max 4,44f -=-=．（2）（3）5m =或m 10．（2021·全国高一课时练习）函数()2xf x =和()()30g x xx =≥的图象，如图所示．设两函数的图象交于点()11A x y ，，()22B x y ，，且12x x <．（1）请指出示意图中曲线1C ，2C 分别对应哪一个函数；（2）结合函数图象，比较()8f ，()8g ，()2015f ，()2015g 的大小． 【答案】（1）1C 对应的函数为()()30g x xx =≥，2C 对应的函数为()2x f x =；（2）()()()()2015201588f g g f >>>．【解析】（1）根据图象可得结果；（2）通过计算可知1282015x x <<<，再结合题中的图象和()g x 在()0+∞，上的单调性，可比较()8f ，()8g ，()2015f ，()2015g 的大小.【详解】（1）由图可知，1C 的图象过原点，所以1C 对应的函数为()()30g x xx =≥，2C 对应的函数为()2x f x =．（2）因为11g =（），12f =（），28g =（），24f =（），()9729g =，()9512f =，()101000g =，()101024f =，所以11f g >（）（），22f g <（）（），()()99f g <，()()1010f g >．所以112x <<，2910x <<．所以1282015x x <<<．从题中图象上知，当12x x x <<时，()()f x g x <；当2x x >时，()()f x g x >，且()g x 在()0+∞，上是增函数，所以()()()()2015201588f g g f >>>．1. （2020·天津高考真题）函数241xy x =+的图象大致为（ ） 练真题A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误； 当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误. 故选：A.2.（2019年高考全国Ⅲ卷理）函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】设32()22x xx y f x -==+，则332()2()()2222x x x x x x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ； 36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ， 故选B ．3.（2020·天津高考真题）已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ） A ．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞【答案】D 【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根 即可， 令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点. 因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩， 当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意； 当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意； 当0k >时，如图3，当2y kx =-与2yx 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =，所以k >综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞.故选：D.4.（2019年高考全国Ⅱ卷理）设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】∵(1) 2 ()f x f x +=，()2(1)f x f x ∴=-． ∵(0,1]x ∈时，1()(1)[,0]4f x x x =-∈-；∴(1,2]x ∈时，1(0,1]x -∈，1()2(1)2(1)(2),02f x f x x x ⎡⎤=-=--∈-⎢⎥⎣⎦； ∴(2,3]x ∈时，1(1,2]x -∈，()2(1)4(2)(3)[1,0]f x f x x x =-=--∈-，如图：当(2,3]x ∈时，由84(2)(3)9x x --=-解得173x =，283x =，若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则73m ≤.则m 的取值范围是7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选B.5.（2017·天津高考真题（文））已知函数f(x)={|x|+2,x <1x +2x ,x ≥1．设a ∈R ，若关于x 的不等式f(x)≥|x 2+a|在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．[−2,2] B ．[−2√3,2] C ．[−2,2√3] D ．[−2√3,2√3] 【答案】A【解析】满足题意时f (x )的图象恒不在函数y =|x2+a|下方，当a =2√3时，函数图象如图所示，排除C,D 选项；当a =−2√3时，函数图象如图所示，排除B 选项，本题选择A 选项.6.（2018·全国高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【答案】D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .。
《函数的概念和图象》示范公开课教案【高中数学苏教版】
第5章函数概念与性质5.1 函数的概念和图象第2课时函数的概念和图象1. 了解构成函数的要素；2. 理解函数图象是点的集合，能熟练作出一些初等函数的图象；3.能求简单函数的定义域和值域．教学重点：熟练作出一些初等函数的图象．教学难点：求简单函数的定义域．课件．PPT一、新课导入问题1：1. 函数定义中的“三性”是指哪些？2．函数的三要素是指什么？师生活动：学生先回忆总结，老师补充．预设的答案：1.函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A 中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．2.定义域、值域与对应关系．【想一想】初中如何求一个函数中自变量的取值范围的？高中又如何求出函数的定义域？设计意图：承上启下，引入新课．引语：要解决这个问题，就需要进一步学习函数的概念和图象．（板书：5.1.1函数的概念和图象）【探究新知】问题2：画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题． (1)比较f (0)，f (1)，f (3)的大小； (2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小． 师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：抛物线f (x )＝－x 2＋2x ＋3的顶点为(1，4)和x 轴交点为(－1，0)，(3，0)，和y 轴交点为(0，3)得函数图象如图．(1)根据图象，容易发现f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0，所以f (3)<f (0)<f (1)． (2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f (x 1)<f (x 2)． 问题3：如何求函数23()112x f x x x =+-的定义域． 师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：由23()112x f x x x =++-可得：12010x x ->⎧⎨+≠⎩， 解得：12x <，且1x ≠- ， ∴函数23()112x f x x x =+-的定义域为：()1,11,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭，故答案为：()1,11,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭．追问：（1）已知()y f x =的定义域为[0,1]，求函数2(1)y f x =+的定义域；（2）已知(21)y f x =-的定义域为[0,1]，求()y f x =的定义域；预设的答案：（1）∵2(1)y f x =+中的21x +的范围与()y f x =中的x 的取值范围相同．∴2011x +≤≤，∴0x =，即2(1)y f x =+的定义域为{0}．（2）由题意知(21)y f x =-中的[0,1]x ∈，∴1211x --≤≤． 又(21)y f x =-中21x -的取值范围与()y f x =中的x 的取值范围相同， ∴()y f x =的定义域为[1,1]-． 问题4：求下列函数的值域： (1)y ＝x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)(观察法)因为x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．(2)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象，可得函数的值域为[2,6)．设计意图：培养学生分析和归纳的能力.【巩固练习】例1. 作出下列函数的图象．(1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)；(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)∵x∈Z且|x|≤2，∴x∈{－2，－1，0，1，2}．∴图象为一直线上的孤立点(如图(1))．(2)∵y＝2(x－1)2－5，∴当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3；当x＝1时，y＝－5．所画函数图象如图．∵x∈[0,3)，故图象是一段抛物线(如图(2))．反思与感悟：作函数y＝f(x)的图象分两种类型：(1)若y＝f(x)是已学过的基本初等函数，则通过描出y＝f(x)的图象上的一些关键点画出y＝f(x)的图象；(2)若y＝f(x)不是已学过的基本初等函数，则需要通过列表，描点、连线，这些基本步骤作出y＝f(x)的图象．设计意图：明确函数的图象的画法．例2. 求下列函数的定义域：(1)y＝2(1)11xxx+-+；(2)y5x-.师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足10,10,xx+≠⎧⎨-⎩≥解得x≤1且x≠－1，即函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足50,||30.xx-⎧⎨-≠⎩≥解得x≤5且x≠±3，即函数的定义域为{x|x≤5，且x≠±3}．设计意图：明确函数的定义域的求法．例3. 求下列函数的值域：(1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；(2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；(3)y＝213xx+-．师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)(观察法)因为x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．(2)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象[如图(1)]，可得函数的值域为[2,6)．(3)(分离常数法)y＝213xx+-＝2(3)73xx-+-＝2＋73x-，显然73x-≠0，所以y≠2．故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．设计意图：明确函数的值域的求法．【课堂小结】1．板书设计：5.1.1函数的概念和图象1. 函数的图象的画法例12. 求函数的定义域例23. 求函数的值域例32．总结概括：问题：1.求函数的定义域应关注哪些问题？2. 求函数值域的方法是什么？3.如何求复合函数定义域？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充． 预设的答案：1.求函数的定义域应关注四点：(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0．(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化．(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．2. 求函数值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法： (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法；(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．3.（1）已知()f x 的定义域为[,]a b ，求(())f g x 的定义域：解不等式()a g x b ≤≤即可得解；（2）已知(())f g x 的定义域为[,]a b ，求()f x 的定义域：求出()y g x =在[,]a b 上的值域即可得解；（3）已知(())f g x 的定义域为[,]a b ，求(())f h x 的定义域：先用类型二求出()f x 的定义域，再用类型一求出(())f h x 的定义域．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确函数的概念与图象的有关知识． 布置作业： 【目标检测】1. 函数()1x f x 的定义域为（ ）A ．()1,00,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,00,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭设计意图：巩固函数的定义域的求法。
高中数学第三章函数的概念与性质基础知识手册(带答案)
高中数学第三章函数的概念与性质基础知识手册单选题1、已知函数f(1x+1)=2x+3．则f(2)的值为（）A．6B．5C．4D．3答案：B分析：根据题意，令1x +1=2可得x的值，将x的值代入f(1x+1)=2x+3，即可得答案．解：根据题意，函数f(1x +1)=2x+3，若1x+1=2，解可得x=1，将x=1代入f(1x+1)=2x+3，可得f(2)=5，故选：B．2、函数的y=√−x2−6x−5值域为（）A．[0,+∞)B．[0,2]C．[2,+∞)D．(2,+∞)答案：B分析：令u=−x2−6x−5，则u≥0，再根据二次函数的性质求出u的最大值，进而可得u的范围，再计算y=√u的范围即可求解.令u=−x2−6x−5，则u≥0且y=√u又因为u=−x2−6x−5=−(x+3)2+4≤4，所以0≤u≤4，所以y=√u∈[0,2]，即函数的y=√−x2−6x−5值域为[0,2]，故选：B.3、某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位(x+600x−30)元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（）A ．60单位B ．70单位C ．80单位D ．90单位答案：D分析：设生产每单位试剂的成本为y ，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出y ，然后利用基本不等式求解最值即可．解：设每生产单位试剂的成本为y ，因为试剂总产量为x 单位，则由题意可知，原料总费用为50x 元，职工的工资总额为7500+20x 元，后续保养总费用为x (x +600x −30)元， 则y =50x+7500+20x+x 2−30x+600x=x +8100x +40≥2√x ⋅8100x +40=220， 当且仅当x =8100x ，即x =90时取等号，满足50≤x ≤200，所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．故选：D ．4、函数f (x )=x 2−1|x |的图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．答案：D 分析：求定义域，确定奇偶性后排除两个选项，再由单调性排除一个，得正确结论．f (x )=x 2−1|x |的定义域是{x |x ≠0}，关于原点对称，f(−x)=(−x)2−1|−x |=x 2−1|x |=f (x )，所以f (x )是偶函数，排除B ，C ；当x >0时，f(x)=x 2−1x =x −1x ，易知f (x )在(0,+∞)上是增函数，排除A ． 故选：D ． 5、已知幂函数f(x)=k ⋅x α的图象经过点(3,√3)，则k +α等于（ ）A ．32B ．12C ．2D ．3答案：A分析：由于函数为幂函数，所以k =1，再将点(3,√3)代入解析式中可求出α的值，从而可求出k +α 解：因为f(x)=k ⋅x α为幂函数，所以k =1，所以f(x)=x α，因为幂函数的图像过点(3,√3)，所以√3=3α，解得α=12，所以k +α=1+12=32， 故选：A6、下列图形是函数图像的是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：C 分析：根据函数的定义，对四个选项一一判断.按照函数的定义，一个自变量只能对应一个函数值.对于A ：当x =0时，y =±1，不符合函数的定义.故A 错误；对于B ：当x =0时，y =±1，不符合函数的定义.故B 错误；对于C ：每一个x 都对应唯一一个y 值，符合函数的定义.故C 正确；对于D：当x=1时，y可以取全体实数，不符合函数的定义.故D错误；故选:C7、下列各组函数表示同一函数的是（）3B．f(x)=1，g(x)=x0A．f(x)=x，g(x)=√x3D．f(x)=√x2，g(x)=(√x)2C．f(x)=x+1，g(x)=x2−1x−1答案：A分析：根据相同函数的定义，分别判断各个选项函数的定义域和对应关系是否都相同，即可得出答案. 解：对于A，两个函数的定义域都是R，3=x，对应关系完全一致，g(x)=√x3所以两函数是相同函数，故A符合题意；对于B，函数f(x)=1的定义域为R，函数g(x)=x0的定义域为{x|x≠0}，故两函数不是相同函数，故B不符题意；对于C，函数f(x)=x+1的定义域为R，的定义域为{x|x≠1}，函数g(x)=x2−1x−1故两函数不是相同函数，故C不符题意；对于D，函数f(x)=√x2的定义域为R，函数g(x)=(√x)2的定义域为[0,+∞)，故两函数不是相同函数，故D不符题意.故选：A.8、已知函数f(x+2)=x2+6x+8，则函数f(x)的解析式为（）A．f(x)=x2+2x B．f(x)=x2+6x+8C．f(x)=x2+4x D．f(x)=x2+8x+6答案：A分析：利用配凑法（换元法）计算可得.解：方法一（配凑法）∵f(x+2)=x2+6x+8=(x+2)2+2(x+2)，∴f(x)=x2+2x.方法二（换元法）令t=x+2，则x=t−2，∴f(t)=(t−2)2+6(t−2)+8=t2+2t，∴f(x)=x2+2x.故选：A多选题9、已知函数f(x)={x2,x≤0,−x2,x>0,则下列结论中正确的是（）A．f(√2)=2B．若f(m)=9，则m≠±3C．f(x)是奇函数D．在f(x)上R单调递减答案：CD分析：A.由分段函数求解判断；B.分m≤0，m>0，由f(m)=9求解判断；不成立；C.利用奇偶性的定义判断； D.画出函数f(x)的图象判断.因为f(x)={x2,x≤0,−x2,x>0,A. f(√2)=−(√2)2=−2，故错误；B. 当m≤0时，f(m)=m2=9，解得m=−3或m=3（舍去），当m>0时，f(m)=−m2=9，不成立；故错误；C. 当x<0时，f(x)=x2，则−x>0，f(−x)=−(−x)2=−x2，又f(0)=0，所以f(−x)=−f(x)；当x>0时，f(x)=−x2，则−x<0，f(−x)=(−x)2=x2，又f(0)=0，所以f(−x)=−f(x)，所以f(x)是奇函数，故正确；D.函数f(x)的图象如图所示：，由图象知f (x )在上R 单调递减，故正确.故选：CD10、下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）A ．f (x )=x 与g (x )=√x 33B ．f (x )=x +1与g (x )=x 2−1x−1 C ．f (x )=|x |x 与g (x )={1,x >0−1,x <0D ．f (t )=|t −1|与g (x )=|x −1| 答案：ACD分析：根据两个函数为同一函数的定义，对四个选项逐个分析可得答案.对于A ，f(x)=x ，g(x)=√x 33=x ，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故A 正确；对于B ，f(x)=x +1，g(x)=x +1(x ≠1)，两个函数的定义域不同，所以两个函数不为同一函数，故B 不正确；对于C ，f(x)={1,x >0−1,x <0，g (x )={1,x >0−1,x <0，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故C 正确；对于D ，f (t )=|t −1|与g (x )=|x −1|的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故D 正确. 故选：ACD11、有如下命题，其中真命题的标号为（ ）A ．若幂函数y =f (x )的图象过点(2,12)，则f (3)>12B ．函数f (x )=a x−1+1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点(1,2)C ．函数f (x )=x 2−1在(0,+∞)上单调递减D ．若函数f (x )=x 2−2x +4在区间[0,m ]上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是[1,2] 答案：BD分析：由f (x )所过点可求得幂函数f (x )解析式，由此得到f (3)<12，知A 错误；由f (1)=2恒成立可知f (x )过定点(1,2)，知B 正确；由二次函数的性质可知C 错误；由二次函数的最值可确定自变量的范围，即可确定m 的范围，知D 正确.对于A ，令f (x )=x α，则2α=12，解得：α=−1，∴f (x )=x −1，∴f (3)=13<12，A 错误； 对于B ，令x −1=0，即x =1时，f (1)=1+1=2，∴f (x )恒过定点(1,2)，B 正确；对于C ，∵f (x )为开口方向向上，对称轴为x =0的二次函数，∴f (x )在(0,+∞)上单调递增，C 错误； 对于D ，令f (x )=4，解得：x =0或x =2；又f (x )min =f (1)=3，∴实数m 的取值范围为[1,2]，D 正确. 故选：BD.12、已知函数f(x)={−x 2−2x,x ≤m x −4,x >m，如果函数f(x)恰有两个零点，那么实数m 的取值范围可以是（ ） A ．m <−2B ．−2≤m <0C ．0≤m <4D ．m ≥4.答案：BD解析：在同一平面直角坐标系中，作出函数y =−x 2−2x,y =x −4的图象，观察函数图象即可得出答案. 在同一平面直角坐标系中，作出函数y =−x 2−2x,y =x −4的图象，如图，由图象可知，当−2≤m <0时，函数f (x )有两个零点−2和4，当m ≥4时，函数f (x ）有两个零点−2和0.故选：BD13、函数f(x)的定义域为R，对任意的x1，x2∈R都满足x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，下列结论正确的是（）A．函数f(x)在R上是单调递减函数B．f(−2)<f(1)<f(2)C．f(x+1)<f(−x+2)的解为x<1D．f(0)=02答案：BC分析：由x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，可得(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，所以可判断出f(x)在R 上为增函数，然后逐个分析判断即可解：由x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，得(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，所以f(x)在R上单调递增，所以A错，因为f(x)为R上的递增函数，所以f(−2)<f(1)<f(2)，所以B对，，所以C对因为f(x)在R上为增函数，f(x+1)<f(−x+2)⇔x+1<−x+2⇒x<12函数R上为增函数时，不一定有f(0)=0，如f(x)=2x在R上为增函数，但f(0)=1，所以D不一定成立，故D 错．故选：BC填空题14、已知幂函数f(x)=x p2−2p−3 (p∈N∗)的图像关于y轴对称，且在(0，+∞)上是减函数，实数a满足(a2−1)p3<(3a+3)p3，则a的取值范围是_____．答案：−1<a<4分析：根据幂函数的性质求出p的值，根据幂函数的单调性得到关于a的不等式解出即可.∵幂函数f(x)=x p2−2p−3(p∈N∗)在(0，+∞)上是减函数，∴p2−2p−3<0，解得−1<p<3，∵p∈N∗，∴p=1或2．当p=1时，f(x)=x−4为偶函数满足条件，当p=2时，f(x)=x−3为奇函数不满足条件，则不等式等价为(a2−1)p3<(3a+3)p3，即(a2−1)13<(3a+3)13，∵f(x)=x13在R上为增函数，∴a2−1<3a+3，解得：−1<a<4.所以答案是：−1<a<4.15、已知a∈R，函数f(x)={x2−4,x>2|x−3|+a,x≤2,若f[f(√6)]=3，则a=___________.答案：2分析：由题意结合函数的解析式得到关于a的方程，解方程可得a的值.f[f(√6)]=f(6−4)=f(2)=|2−3|+a=3，故a=2，所以答案是：2.16、已知f(x)=k⋅2x+2−x为奇函数，则k=______．答案：−1分析：根据奇函数的定义可得f(−x)=−f(x)，即(k+1)⋅(2−x+2x)=0，由此可求得答案.由题意f(x)=k⋅2x+2−x是奇函数，则f(−x)=−f(x)，即k⋅2−x+2x=−k⋅2x−2−x，故(k+1)⋅(2−x+2x)=0，由于2−x+2x≠0，故k=−1，所以答案是：−1解答题17、已知幂函数f(x)=(2m2−5m+3)x m的定义域为全体实数R.(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)>3x+k−1在[−1,1]上恒成立，求实数k的取值范围.答案：(1)f(x)=x2(2)(−∞,−1)分析：（1）根据幂函数的定义可得2m2−5m+3=1，结合幂函数的定义域可确定m的值，即得函数解析式; （2）将f(x)>3x+k−1在[−1,1]上恒成立转化为函数g(x)=x2−3x+1−k在[−1,1]上的最小值大于0，结合二次函数的性质可得不等式，解得答案．（1）∵f(x)是幂函数，∴2m2−5m+3=1，∴m=12或2.当m=12时，f(x)=x12，此时不满足f(x)的定义域为全体实数R，∴m＝2,∴f(x)=x2.（2）f(x)>3x+k−1即x2−3x+1−k>0，要使此不等式在[−1,1]上恒成立，令g(x)=x2−3x+1−k,只需使函数g(x)=x2−3x+1−k在[−1,1]上的最小值大于0. ∵g(x)=x2−3x+1−k图象的对称轴为x=32，故g(x)在[−1,1]上单调递减，∴g(x)min=g(1)=−k−1，由−k−1>0，得k<−1，∴实数k的取值范围是(−∞,−1).18、已知函数f(x)=kx2+(2k+1)x+2．(1)当k=−1时，写出函数y=|f(x)|的单调递增区间（写出即可，不要过程）；(2)当k<12时，解不等式f(x)>0．答案：(1)函数y=|f(x)|的单调递增区间有[−2,−12]和[1,+∞)；(2)当k<0时，f(x)>0的解集为(−2,−1k )；当k=0时，f(x)>0的解集为(−2,+∞)；当0<k<12时，f(x)>0的解集为(−∞,−1k)∪(−2,+∞)分析：（1）化简函数y=|f(x)|解析式，作出函数图象，利用图象求函数的单调递增区间；（2）分别在k=0，k<0，0<k<12时解不等式f(x)>0即可.（1）因为f(x)=kx2+(2k+1)x+2，所以当k=−1时，y=|f(x)|=|−x2−x+2|=|x2+x−2|所以当x<−2或x>1时，|f(x)|=x2+x−2，当−2≤x≤1时，|f(x)|=−x2−x+2，作出函数y=|f(x)|的图象如下：所以函数y=|f(x)|的单调递增区间有[−2,−12]和[1,+∞)；（2）因为f(x)=kx2+(2k+1)x+2，所以f(x)=(kx+1)(x+2)，当k=0时，不等式f(x)>0，可化为x+2>0，解得x>−2，故解集为(−2,+∞)当k≠0时，方程f(x)=0的解为x1=−2，x2=−1k当k<0时，x1=−2<0<x2=−1k ，不等式f(x)>0的解集为(−2,−1k)，当0<k<12时，x2=−1k<x1=−2，不等式f(x)>0的解集为(−∞,−1k)∪(−2,+∞)；综上，当k<0时，f(x)>0的解集为(−2,−1k)；当k=0时，f(x)>0的解集为(−2,+∞)；当0<k<12时，f(x)>0的解集为(−∞,−1k)∪(−2,+∞).。
高一必修一函数概念试题与答案精解
答案与评分标准一、选择题（共18小题）1、下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（）A、B、C、D、考点：函数的概念。
分析：根据函数是一一对应的关系，给自变量一个值，有且只有一个函数值与其对应，就是函数，如果不是，则不是函数．解答：解：A、是一次函数，正确；B、是二次函数，正确；C、很明显，给自变量一个值，不是有唯一的值对应，所以不是函数，错误；D、是二次函数，正确．故选C．点评：本题主要考查函数的自变量与函数值是一一对应的，即给自变量一个值，有唯一的一个值与它对应．2、下列解析式中，y不是x的函数是（）A、y+x=0B、|y|=2xC、y=|2x|D、y=2x2+4考点：函数的概念。
分析：本题需利用函数的定义解决问题．解答：解：因为在|y|=2x中，若x=2，y就有2个值与其对应，所以y不是x的函数．故选B．点评：因为函数中，对自变量x的每一个取值，y都有唯一的值与其相对应．3、下列函数中，与y=|x|表示同一个函数的是（）A、y=B、y=C、y=D、y=考点：函数的概念。
分析：分别分析四个选项的自变量和函数的取值范围，与y=|x|相同者为正确答案．解答：解：A、x不能为0，故错误；B、y==|x|，故正确；C、x不能为负数，故错误；D、对应关系不同，故错误．故选B．点评：函数的定义：设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数．4、下列说法正确的是（）A、变量x、y满足y=x，则y是x的函数B、变量x、y满足x+3y=1，则y是x的函数C、代数式πr3是它所含字母r的函数D、在V=πr3中，是常量，r是自变量，V是r的函数考点：函数的概念。
分析：函数要满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应的关系．解答：解：A、y与x不是唯一的值对应，所以A错误；B、当x取一值时，y有唯一的值与之对应，所以B正确；C、不是等式，故错误；D、在V=πr3中，是常量，r是自变量，V是r的函数，故错误．故本题选B．点评：主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．5、函数是研究（）A、常量之间的对应关系的B、常量与变量之间的对应关系的C、变量与常量之间对应关系的D、变量之间的对应关系的考点：函数的概念。
高中数学必修一第三章函数的概念与性质必须掌握的典型题(带答案)
高中数学必修一第三章函数的概念与性质必须掌握的典型题单选题1、若函数f (x )=x α的图象经过点(9,13)，则f (19)=（ ） A ．13B ．3C ．9D ．8答案：B分析：将(9,13)代入函数解析式，即可求出α，即可得解函数解析式，再代入求值即可.解：由题意知f (9)=13，所以9α=13，即32α=3−1，所以α=−12，所以f (x )=x −12，所以f (19)=(19)−12=3.故选：B2、已知函数f (x )的定义域为(3,5)，则函数f (2x +1)的定义域为（ ） A ．(1,2)B ．(7,11)C ．(4,16)D ．(3,5) 答案：A分析：根据3<2x +1<5求解即可∵f (x )的定义域为(3,5)，∴3<x <5，由3<2x +1<5，得1<x <2，则函数f (2x +1)的定义域为(1,2) 故选：A.3、函数f (x )=x 2−1的单调递增区间是（ ） A ．(−∞,−3)B ．[0,+∞) C ．(−3,3)D ．(−3,+∞) 答案：B分析：直接由二次函数的单调性求解即可.由f (x )=x 2−1知，函数为开口向上，对称轴为x =0的二次函数，则单调递增区间是[0,+∞). 故选：B.4、已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x )在[0,+∞)上单调递减，且f (3)=0，则不等式(2x −5)f (x −1)<0的解集为（ ）A ．(−2,52)∪(4,+∞)B ．(4,+∞)C ．(−∞,−2)∪[52,4]D ．(−∞,−2) 答案：A分析：根据偶函数的性质及区间单调性可得(−∞,0)上f(x)单调递增且f(−3)=f(3)=0，进而确定f(x)的区间符号，讨论{2x −5>0f(x −1)<0 、{2x −5<0f(x −1)>0求解集即可.由题设，(−∞,0)上f(x)单调递增且f(−3)=f(3)=0， 所以(−∞,−3)、(3,+∞)上f(x)<0，(−3,3)上f(x)>0， 对于(2x −5)f(x −1)<0，当{2x −5>0f(x −1)<0 ，即{x >52x −1<−3 或{x >52x −1>3 ，可得x >4； 当{2x −5<0f(x −1)>0 ，即{x <52−3<x −1<3，可得−2<x <52； 综上，解集为(−2,52)∪(4,+∞). 故选：A5、已知幂函数f(x)=k ⋅x α的图象经过点(3,√3)，则k +α等于（ ） A ．32B ．12C ．2D ．3答案：A分析：由于函数为幂函数，所以k =1，再将点(3,√3)代入解析式中可求出α的值，从而可求出k +α 解：因为f(x)=k ⋅x α为幂函数，所以k =1，所以f(x)=x α， 因为幂函数的图像过点(3,√3)， 所以√3=3α，解得α=12，所以k +α=1+12=32，故选：A6、已知幂函数y =x a 与y =x b 的部分图像如图所示，直线x =m 2，x =m (0<m <1)与y =x a ，y =x b 的图像分别交于A ，B ，C ，D 四点，且|AB |=|CD |，则m a +m b =（ ）A．1B．1C．√2D．22答案：B分析：表示出|AB|,|CD|，由幂函数的图象可得b>1>a>0，从而得(m2)a>(m2)b，m a>m b，再由|AB|=|CD|，代入化简计算，即可求解出答案.由题意，|AB|=(m2)a−(m2)b，|CD|=m a−m b，根据图象可知b>1>a>0，当0<m<1时，(m2)a> (m2)b，m a>m b，因为|AB|=|CD|，所以m2a−m2b=(m a+m b)(m a−m b)=m a−m b，因为m a−m b>0，可得m a+m b=1.故选：B,则f(x)（）7、设函数f(x)=x3−1x3A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减答案：A分析：根据函数的解析式可知函数的定义域为{x|x≠0}，利用定义可得出函数f(x)为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．因为函数f(x)=x3−1定义域为{x|x≠0}，其关于原点对称，而f(−x)=−f(x)，x3所以函数f(x)为奇函数．又因为函数y=x3在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递增，而y =1x 3=x −3在(0,+∞)上单调递减，在(−∞,0)上单调递减，所以函数f(x)=x 3−1x 3在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递增． 故选：A ．小提示：本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题． 8、下列函数为奇函数的是（ ） A ．y =x 2B ．y =x 3C ．y =|x|D ．y =√x 答案：B分析：根据奇偶函数的定义判断即可；解：对于A ：y =f (x )=x 2定义域为R ，且f (−x )=(−x )2=x 2=f (x )， 所以y =x 2为偶函数，故A 错误；对于B ：y =g (x )=x 3定义域为R ，且g (−x )=(−x )3=−x 3=−g (x )， 所以y =x 3为奇函数，故B 正确；对于C ：y =ℎ(x )=|x |定义域为R ，且ℎ(−x )=|−x |=|x |=ℎ(x )， 所以y =|x |为偶函数，故C 错误；对于D ：y =√x 定义域为[0,+∞)，定义域不关于原点对称， 故y =√x 为非奇非偶函数，故D 错误； 故选：B 多选题9、下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ） A ．f (x )=x 与g (x )=√x 33B ．f (x )=x +1与g (x )=x 2−1x−1C ．f (x )=|x |x 与g (x )={1,x >0−1,x <0D ．f (t )=|t −1|与g (x )=|x −1| 答案：ACD分析：根据两个函数为同一函数的定义，对四个选项逐个分析可得答案.对于A ，f(x)=x ，g(x)=√x 33=x ，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故A 正确；对于B，f(x)=x+1，g(x)=x+1(x≠1)，两个函数的定义域不同，所以两个函数不为同一函数，故B不正确；对于C，f(x)={1,x>0−1,x<0，g(x)={1,x>0−1,x<0，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故C正确；对于D，f(t)=|t−1|与g(x)=|x−1|的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故D正确. 故选：ACD10、已知函数f(x)={x+2,x≤−1x2,−1<x<2，关于函数f(x)的结论正确的是（）A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为(−∞,4)C．f(1)=3D．若f(x)=3，则x的值是√3E．f(x)<1的解集为(−1,1)答案：BD解析：根据解析式判断定义域，结合单调性求出值域，分段代值即可求解方程，分段解不等式，得出不等式解集.由题意知函数f(x)的定义域为(−∞,2)，故A错误；当x≤−1时，f(x)的取值范围是(−∞,1]，当−1<x<2时，f(x)的取值范围是[0,4)，因此f(x)的值域为(−∞,4)，故B正确；当x=1时，f(1)=12=1，故C错误；当x≤−1时，x+2=3，解得x=1（舍去），当−1<x<2时，x2=3，解得x=√3或x=−√3（舍去），故D正确；当x≤−1时，x+2<1，解得x<−1，当−1<x<2时，x2<1，解得−1<x<1，因此f(x)<1的解集为(−∞,−1)∪(−1,1)；故E错误.故选：BD.小提示：此题考查分段函数，涉及定义域，值域，根据函数值求自变量取值，解不等式，关键在于分段依次求解.11、已知幂函数f(x)图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（）A ．函数为增函数B ．函数为偶函数C ．若x ≥9，则f (x )≥3D ．若x 2>x 1>0，则f (x 1)+f (x 2)2>f (x 1+x 22)答案：AC解析：先代点求出幂函数的解析式f(x)=x 12，根据幂函数的性质直接可得单调性和奇偶性，由x ≥9时，可得√x ≥3可判断C ，利用(f (x 1)+f (x 2)2)2−f 2(x 1+x 22)=(√x 1+√x 22)2−(√x 1+x 22)2展开和0比即可判断D.设幂函数f(x)=x α将点(4,2)代入函数f(x)=x α得：2=4α，则α=12.所以f(x)=x 12，显然f(x)在定义域[0,+∞)上为增函数，所以A 正确.f(x)的定义域为[0,+∞)，所以f(x)不具有奇偶性，所以B 不正确. 当x ≥9时，√x ≥3，即f(x)≥3，所以C 正确. 当若0<x 1<x 2时， (f (x 1)+f (x 2)2)2−f 2(x 1+x 22)=(√x 1+√x 22)2−(√x 1+x 22)2=x 1+x 2+2√x 1x 24−x 1+x 22=2√x 1x 2−x 1−x 24=−(√x 1−√x 2)24<0.即f (x 1)+f (x 2)2<f (x 1+x 22)成立，所以D 不正确.故选：AC小提示：关键点睛：本题主要考查了幂函数的性质，解答本题的关键是由(f (x 1)+f (x 2)2)2−f 2(x 1+x 22)=(√x 1+√x 22)2−(√x 1+x 22)2，化简得到−(√x 1−√x 2)24，从而判断出选项D 的正误，属于中档题.填空题12、已知函数f(x),g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，f(x)+g(x)=2⋅3x ，则函数f(x)=_____． 答案：3x +3−x分析：由已知可得f(−x)+g(−x)=2⋅3−x ，结合两函数的奇偶性可得f (x )−g (x )=2⋅3−x ，利用方程组的思想即可求出f (x ).解：因为f(x)+g(x)=2⋅3x ，所以f(−x)+g(−x)=2⋅3−x ，又f(x),g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以f (−x )=f (x ),g (−x )=−g (x )； 所以f(−x)+g(−x)=f (x )−g (x )=2⋅3−x，则{f (x )+g (x )=2⋅3x f (x )−g (x )=2⋅3−x，两式相加得，2f (x )=2⋅3x +2⋅3−x ，所以f (x )=3x +3−x . 故答案为:3x +3−x . 小提示：关键点睛:本题的关键是由函数的奇偶性得到f (x )−g (x )=2⋅3−x ，从而可求出函数的解析式. 13、函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)的值域是________. 答案：[−2,+∞)解析：先求出函数的定义域为(−1,4)，设f (x )=−x 2+3x +4=−(x −32)2+254，x ∈(−1,4)，根据二次函数的性质求出单调性和值域，结合对数函数的单调性，以及利用复合函数的单调性即可求出y =log 0.4(−x 2+3x +4)的单调性，从而可求出值域.解：由题可知，函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)， 则−x 2+3x +4>0，解得：−1<x <4， 所以函数的定义域为(−1,4)， 设f (x )=−x 2+3x +4=−(x −32)2+254，x ∈(−1,4)，则x ∈(−1,32)时，f (x )为增函数，x ∈(32,4)时，f (x )为减函数，可知当x =32时，f (x )有最大值为254，而f (−1)=f (4)=0，所以0<f (x )≤254，而对数函数y =log 0.4x 在定义域内为减函数， 由复合函数的单调性可知，函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)在区间(−1,32)上为减函数，在(32,4)上为增函数，∴y ≥log 0.4254=−2，∴函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)的值域为[−2,+∞). 所以答案是：[−2,+∞).小提示：关键点点睛：本题考查对数型复合函数的值域问题，考查对数函数的单调性和二次函数的单调性，利用“同增异减”求出复合函数的单调性是解题的关键，考查了数学运算能力.14、已知函数f (x )=x 2−4x +3，g (x )=mx +3−2m ，若对任意x 1∈[0,4]，总存在x 2∈[0,4]，使f (x 1)=g (x 2)成立，则实数m 的取值范围为______． 答案：(−∞,−2]∪[2,+∞)分析：求出函数f (x )在[0,4]上的值域A ，再分情况求出g (x )在[0,4]上的值域，利用它们值域的包含关系即可列式求解.“对任意x 1∈[0,4]，总存在x 2∈[0,4]，使f (x 1)=g (x 2)成立”等价于“函数f (x )在[0,4]上 的值域包含于g (x )在[0,4]上的值域”，函数f (x )=(x −2)2−1，当x ∈[0,4]时，f(x)min =f(2)=−1，f(x)max =f(0)=f(4) =3，即f (x )在[0,4]的值域A =[−1,3]，当m =0时，g(x)=3，不符合题意，当m >0时，g (x )在[0,4]上单调递增，其值域B 1=[3−2m,3+2m]，于是有A ⊆B 1，即有{3−2m ≤−13+2m ≥3，解得m ≥2，则m ≥2，当m <0时，g (x )在[0,4]上单调递减，其值域B 2=[3+2m,3−2m]，于是有A ⊆B 2，即有{3+2m ≤−13−2m ≥3，解得m ≤−2，则m ≤−2， 综上得：m ≤−2或m ≥2，所以实数m 的取值范围为(−∞,−2]∪[2,+∞). 所以答案是：(−∞,−2]∪[2,+∞) 解答题15、已知二次函数f (x )=ax 2−2x (a >0) （1）若f (x )在[0,2]的最大值为4，求a 的值；（2）若对任意实数t，总存在x1,x2∈[t,t+1]，使得|f(x1)−f(x2)|≥2．求a的取值范围．答案：（1）2；（2）[8,+∞).分析：由解析式可知f(x)为开口方向向上，对称轴为x=1a的二次函数；（1）分别在1a ≥2和0<1a<2两种情况下，根据函数单调性可确定最大值点，由最大值构造方程求得结果；（2）将问题转化为f(x)max−f(x)min≥2对x∈[t,t+1]恒成立，分别在1a ≤t、1a≥t+1、t<1a≤t+12和t+12<1a<t+1，根据f(x)单调性可得f(x)max−f(x)min，将f(x)max−f(x)min看做关于t的函数，利用恒成立的思想可求得结果.由f(x)解析式知：f(x)为开口方向向上，对称轴为x=1a的二次函数，（1）当1a ≥2，即0<a≤12时，f(x)在[0,2]上单调递减，∴f(x)max=f(0)=0，不合题意；当0<1a <2，即a>12时，f(x)在[0,1a]上单调递减，在[1a,2]上单调递增，∴f(x)max=max{f(0),f(2)}，又f(0)=0，f(2)=4a−4，f(x)在[0,2]的最大值为4，∴f(x)max=f(2)=4a−4=4，解得：a=2；综上所述：a=2.（2）若对任意实数t，总存在x1,x2∈[t,t+1]，使得|f(x1)−f(x2)|≥2，则f(x)max−f(x)min≥2对x∈[t,t+1]恒成立，①当1a≤t时，f(x)在[t,t+1]上单调递增，∴f(x)max−f(x)min=f(t+1)−f(t)=2at+a−2≥2，当t≥1a时，y=2at+a−2单调递增，∴(2at+a−2)min=2a⋅1a+a−2=a，∴a≥2；②当1a ≥t+1，即t≤1a−1时，f(x)在[t,t+1]上单调递减，∴f(x)max−f(x)min=f(t)−f(t+1)=−2at−a+2≥2，当t≤1a−1时，y=−2at−a+2单调递减，∴(−2at−a+2)min=−2a(1a−1)−a+2=a，∴a≥2；③当t<1a ≤t+12，即1a−12≤t<1a时，f(x)在[t,1a]上单调递减，在[1a,t+1]上单调递增，∴f(x)max−f(x)min=f(t+1)−f(1a )=a(t+1)2−2(t+1)+1a≥2，当1a −12≤t<1a时，又a>0，12<1a+12≤t+1<1a+1，令m=t+1，则y=am2−2m+1a 在[1a+12,1a+1)上单调递增，∴a(1a +12)2−2(1a+12)+1a≥2，解得：a≥8；④当t+12<1a<t+1，即1a−1<t<1a−12时，f(x)在[t,1a]上单调递减，在[1a,t+1]上单调递增，∴f(x)max−f(x)min=f(t)−f(1a )=at2−2t+1a≥2，当1a −1<t<1a−12时，y=at2−2t+1a在(1a−1,1a−12)上单调递减，∴a(1a −12)2−2(1a−12)+1a≥2，解得：a≥8；综上所述：a的取值范围为[8,+∞).小提示：关键点点睛：本题考查根据二次函数最值求解参数值、恒成立问题的求解，本题解题关键是能够将问题转化为f(x)max−f(x)min≥2对x∈[t,t+1]恒成立，从而通过对于函数单调性的讨论得到最值.。
1.函数的概念讲义答案版
1.函数1.1函数的定义例1．下列图形中不是函数图象的是（）A．B．C．D．【解答】解：由函数的概念，A中有的x，存在两个y与x对应，不符合函数的定义，而CBD均符合．故选：A．变式1．设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，给出下列四个图形（如图所示），其中能表示从集合M到集合N的函数关系的图象是（）A．①②B．③④C．②③D．①④【解答】解：由题意知：M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，对于图①中，在集合M中区间（1，2]内的元素没有象，比如f（）的值就不存在，所以图①不符合题意；对于图②中，对于M中任意一个元素，N中有唯一元素与之对应，符合函数的对应法则，故②正确；对于图③中，对于M中任意一个元素，N中有唯一元素与之对应，且这种对应是一一对应，故③正确；对于图④中，集合M的一个元素对应N中的两个元素．比如当x＝1时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义，故④不正确故选：C．例2．设函数y＝f（x）满足f（x+1）＝f（x）+1，则函数y＝f（x）与y＝x图象交点的个数可能是（）A．0B．1C．0或无数个D．无数个【解答】解：∵f（x+1）＝f（x）+1，∴f（x+1）﹣f（x）]＝（x+1）﹣x，∴＝1，即该函数的斜率为1，而y＝x的斜率也为1，∴两直线平行或重合，∴函数y＝f（x）与y＝x图象交点的个数可能没有交点或有无数个，故选：C．变式1．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，在同一坐标系下，函数y＝f（x）的图象与直线x＝1的交点个数为（）A．0个B．1个C．2个D．0个或者2个【解答】解：∵1∈[﹣2，2]，∴由函数的定义可得：函数f（x）在定义域[﹣2，2]上，任一x均有唯一的函数值与之对应，则在同一坐标系中，y＝f（x）的图象与直线x＝1的交点的个数为1个．故选：B．1.2 同一函数的判断例3．下列各组函数中f（x）和g（x）表示相同的函数的是（）A．f（x）＝lgx2，g（x）＝2lgxB．f（x）＝x，g（x）＝C．f（x）＝1（x∈R且x≠0），g（x）＝D．f（x）＝x，g（x）＝【解答】解：A．f（x）＝lgx2的定义域为{x|x≠0}，g（x）＝2lgx的定义域为{x|x＞0}，定义域不同，不是相同函数；B.，解析式不同，不是相同函数；C．f（x）＝1（x∈R，且x≠0），，解析式不同，不是相同函数；D．f（x）＝x的定义域为R，的定义域为R，解析式和定义域都相同，是相同函数．故选：D．变式1．下列各组函数表示相同函数的是（）A．f（x）＝，g（x）＝（）2B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．f（x）＝，g（x）＝D．f（x）＝x+1，g（x）＝【解答】解：对于A，函数f（x）＝＝|x|（x∈R）与g（x）＝＝x（x≥0）的定义域不同，对应关系也不同，所以不是相同函数；对于B，函数f（x）＝1|（x∈R）与g（x）＝x0＝1（x≠0）的定义域不同，所以不是相同函数；对于C，函数f（x）＝与g（x）＝＝|x|＝的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同函数；对于D，函数f（x）＝x+1（x∈R）与g（x）＝＝x+1（x≠1）的定义域不同，所以不是相同函数．故选：C．变式2．下列各组函数中，f（x）与g（x）是相同函数的是（e为自然对数的底数）（）A．f（x）＝，g（x）＝（）2B．f（x）＝，g（x）＝xC．f（x）＝lnx2，g（x）＝2lnxD．f（x）＝e x﹣1•e x+1，g（x）＝e2x【解答】解：A.的定义域为R，的定义域为{x|x≥0}，∴f（x）与g（x）不相同，即该选项错误；B.的定义域为{x|x≠0}，g（x）＝x的定义域为R，∴f（x）与g（x）不相同，即该选项错误；C．f（x）＝lnx2的定义域为{x|x≠0}，g（x）＝2lnx的定义域为{x|x＞0}，∴该选项错误；D．f（x）＝e x﹣1•e x+1＝e2x，g（x）＝e2x，f（x）与g（x）的定义域都是R，且解析式相同，∴f（x）与g（x）相同，∴该选项正确．故选：D．变式3．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）＝g（x）＝B．f（x）＝g（x）＝C．f（x）＝x2﹣2x﹣1 g（t）＝t2﹣2t﹣1D．f（x）＝g（x）＝x【解答】解：f（x）＝的定义域是R，g（x）＝的定义域是R，两个函数的对应法则不相同，所以不是相同函数，所以A不正确．f（x）＝的定义域是x≥0，g（x）＝的定义域是x≤﹣1或x≥0，两个函数的定义域不相同，所以不是相同函数，所以B不正确．f（x）＝x2﹣2x﹣1的定义域是R，g（t）＝t2﹣2t﹣1的定义域是R，两个函数的对应法则相同，所以是相同函数，所以C正确．f（x）＝的定义域是R，g（x）＝x的定义域是R，两个函数的对应法则不相同，所以不是相同函数，所以A不正确．故选：C．1.3 同族函数的判断例4．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y＝x2，值域为{1，4}的“同族函数”共有（）A．7个B．8个C．9个D．10个【解答】解：由题意知同族函数是只有定义域不同的函数，函数解析式为y＝x2，值域为{1，4}时，它的定义域可以是{1，2}{1，﹣2}{﹣1，2}{﹣1，﹣2}{1，﹣1，2}{1，﹣1，﹣2}{1，2，﹣2}{﹣1，2，﹣2}{1，﹣1，2，﹣2}共有9种不同的情况，故选：C．变式1．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y＝﹣x2，值域为{﹣1，﹣9}的“同族函数”共有（）A．7个B．8个C．9个D．10个【解答】解：定义域是集合的子集，且子集中至少应该含有﹣1、1中的一个和﹣3、3中的一个，满足条件的定义有：{﹣1，﹣3}、{﹣1，3}、{1，﹣3}、{1，3}、{﹣1，1，﹣3}、{﹣1，1，3}、{﹣1，﹣3，3}、{1，﹣3，3}、{﹣1，1，﹣3，3}，共9个．故选：C．变式2．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①f（x）＝sin x cos x；②f（x）＝sin2x+1；③f（x）＝2sin（x+）；④f（x）＝sin x+cos x．其中“同簇函数”的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④【解答】解：由于①f（x）＝sin x cos x＝sin2x与②f（x）＝sin2x+1的图象仅经过平移没法重合，还必须经过纵坐标的伸缩变换，故不是“同簇函数”．由于①f（x）＝sin x cos x＝sin2x与④f（x）＝sin x+cos x＝2sin（x+）的图象仅经过平移没法重合，还必须经过横坐标的伸缩变换，故不是“同簇函数”．②f（x）＝sin2x+1与③f（x）＝2sin（x+）的图象仅经过平移没法重合，还必须经过横坐标的伸缩变换，故不是“同簇函数”．由于④f（x）＝sin x+cos x＝2（sin x+cos x）＝2sin（x+），故把③f（x）＝2sin（x+）的图象向左平移，可得f（x）＝2sin（x+）的图象，故③和④是“同簇函数”，故选：D．变式3．函数f：{1，}→{1，}满足f[f（x）]＞1的这样的函数个数有个．【解答】解：若函数f（x）满足，f（1）＝1，则当x＝1时，f[f（1）]＝f（1）＝1，所以此时不满足条件．若函数f（x）满足f（1）＝，，则当x＝1时，f[f（1）]＝＞1；当x＝时，f[f（）]＝＞1；所以此时满足条件．若函数f（x）满足，f（1）＝1，，则当x＝1时，f[f（1）]＝f（1）＝1，所以此时不满足条件．若函数f（x）满足，f（1）＝，＝1，则当x＝1时，f[f（1）]＝＝1，所以此时不满足条件．所以满足条件的函数只有一个．故答案为：1变式4．已知函数f（x）的定义域为A＝{1，2，3，4，5，6}，值域为B＝{7，8，9}，且对任意的x＜y，恒有f（x）≤f（y），则满足条件的不同函数共有个．【解答】解：如下图，可知满足条件的函数共10个，故答案为：10．变式5．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数y＝x2，x∈[1，2]与函数y＝x2，x∈[﹣2，﹣1]即为“同族函数”．下面函数解析式中也能够被用来构造“同族函数”的是（）A．y＝x B．C．y＝2x﹣2﹣x D．y＝log0.5x【解答】解：对于B，函数与函数满足解析式和值域相同，定义域不同，是同族函数；对于ACD，它们在定义域上具有严格的单调性，当定义域不同时，其值域一定不同，故不是同族函数；故选：B．1.4 函数的定义域例5．函数f（x）＝+lg的定义域为（）A．（2，3）B．（2，4]C．（2，3）∪（3，4]D．（﹣1，3）∪（3，6]【解答】解：要使函数有意义，则，即，＞0等价为①即，即x＞3，②，即，此时2＜x＜3，即2＜x＜3或x＞3，∵﹣4≤x≤4，∴解得3＜x≤4且2＜x＜3，即函数的定义域为（2，3）∪（3，4]，故选：C．变式1．函数f（x）＝log a（x2+2x﹣3）的定义域是（）A．[﹣3，1]B．（﹣3，1）C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3[∪[1，+∞）【解答】解：函数，则x2+2x﹣3＞0，即（x+3）（x﹣1）＞0，解得x＜﹣3或x＞1，所以f（x）的定义域是（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．故选：C．变式2．若，则函数f（x）的定义域为（）A．B．（0，+∞）C．D．【解答】解：的定义域为：{x|}，即{x|}，解得{x|﹣＜x＜0}．故选：C．变式3．函数y＝log2x﹣1的定义域是（，1）∪（1，+∞）．【解答】解：由题意得：，解得：x＞且x≠1，故答案为：（，1）∪（1，+∞）．例6．已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（）A．（0，B．（﹣∞，C．，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：∵f（x）的定义域为R，∴x2+x+a≥0的解集为R，∴△＝1﹣4a≤0，解得，∴实数a的取值范围是．故选：C．变式1．若函数f（x）＝的定义域为R，则实数a的取值范围是（）A．（0，4）B．[0，2）C．[0，4）D．（2，4]【解答】解：∵f（x）的定义域为R；∴ax2+ax+1＞0的解集为R；①a＝0时，1＞0恒成立，ax2+ax+1＞0的解集为R；②a≠0时，则；解得0＜a＜4；∴综上得，实数a的取值范围是[0，4）．故选：C．变式2．已知f（x）＝log a（ax2﹣ax﹣1）．（1）函数的定义域为R，求a的取值范围，（2）函数值域为R，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）＝log a（ax2﹣ax﹣1）．∴a∈（0，1）∪（1，+∞）．ax2﹣ax﹣1＞0，△＝a2+4a，∵定义域为R．∴△＜0，解得﹣4＜a＜0．综上a∈∅（2）∵函数f（x）＝log a（ax2﹣ax﹣1），且f（x）的值域为R，根据对数的性质，可知当ax2﹣ax﹣1取遍所有大于0的值时，f（x）的值域为R，∵a＞0，则y＝ax2﹣ax﹣1的图象开口向上，∴△＝a2+4a≥0，即a≤﹣4或a≥0，又a＞0，∴a∈（0，1）∪（1，+∞）．故a的取值范围为：（0，1）∪（1，+∞）．变式3．已知f（x）＝lg（ax2﹣2x+1）．（1）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围；（2）如f（x）的值域为R，求a的取值范围；（3）若f（x）在x∈[2，3]时有意义，且f（x）的最大值与最小值的差等于1，求a的值．【解答】解：（1）∵函数的定义域为R，∴ax2﹣2x+1＞0恒成立．当a＝0时，显然不成立．当a≠0时，应有a＞0且△＝4﹣4a＜0，解得a＞1．故a的取值范围为：a＞1，（2）若函数的值域为R，则ax2﹣2x+1能取遍所有的正数，图象不能在x轴上方∴或a＝0解得：0≤a≤1，故a的取值范围为[0，1]；（3）在x∈[2，3]时，ax2﹣2x+1＞0成立，∴a＞﹣（﹣1）2+1成立，∴a＞，∵f（2）＝lg（4a﹣3），f（3）＝lg（9a﹣5），f（）＝lg（1﹣），f（x）的最大值与最小值的差等于1．∴|f（2）﹣f（3）|＝1或|f（2）﹣f（）|＝1或|f（3）﹣f（）|＝1，∴a＝．例7．函数y＝f（x）的定义域为[﹣1，2]，则函数y＝f（1+x）+f（1﹣x）的定义域为（）A．[﹣1，3]B．[0，2]C．[﹣1，1]D．[﹣2，2]【解答】解：∵函数y＝f（x）的定义域为[﹣1，2]，∴由，解得﹣1≤x≤1．∴函数y＝f（1+x）+f（1﹣x）的定义域为[﹣1，1]．故选：C．变式1．已知函数f（x）满足f（x+1）的定义域是[0，31），则f（2x）的定义域是（）A．[1，32）B．[﹣1，30）C．[0，5）D．（﹣∞，log230）【解答】解：∵f（x+1）的定义域是[0，31），即0≤x＜31，∴1≤x+1＜32，∴f（x）有意义须1≤x＜32，∴f（2x）有意义须20＝1≤2x＜32＝25，得0≤x＜5．即f（2x）的定义域是[0，5）．故选：C．变式2．设函数f（2x）的定义域是[2，4]，则函数的定义域为（）A．[1，2]B．C．[2，8]D．[8，32]【解答】解：∵函数f（2x）的定义域是[2，4]，∴4≤2x≤16，∴4≤≤16，则函数的定义域为[8，32]，故选：D．1.5 函数的值例6．如图，函数f（x）的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为（0，0），（1，2），（3，1），则f（）的值为（）A．1B．2C．0D．【解答】解：∵函数f（x）的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为（0，0），（1，2），（3，1），∴f（3）＝1，∴f（）＝f（1）＝2，故选：B．变式1．设f（x）＝g（x）＝则f[g（π）]的值为（）A．2B．0C．﹣1D．﹣2【解答】解：∵f（x）＝g（x）＝，∴g（π）＝﹣1，f[g（π）]＝f（﹣1）＝﹣2．故选：D．2.函数解析式求法2.1 待定系数法例1．已知f（x）是一次函数，且一次项系数为正数，若f[f（x）]＝4x+8，则f（x）＝（）A．B．﹣2x﹣8C．2x﹣8D．或﹣2x﹣8【解答】解：设f（x）＝ax+b，a＞0∴f（f（x））＝a（ax+b）+b＝a2x+ab+b＝4x+8，∴，∴，∴f（x）＝2x+．故选：A．变式1. 若一次函数f（x）满足f（x）+2f（1﹣x）＝x，则f（x）的解析式【解答】解：由题意设f（x）＝ax+b，（a≠0）．∵f（x）满足f（x）+2f（1﹣x）＝x，∴ax+b+2[a（1﹣x）+b]＝x，化为﹣ax+（2a+3b）＝x，∴﹣a＝1且2a+3b＝0，解得a＝﹣1，b＝，∴f（x）＝﹣x+．变式2．已知f（x）为二次函数且f（0）＝3，f（x+2）﹣f（x）＝4x+2．求f（x）的解析式．【解答】解：∵f（x）为二次函数，∴设f（x）＝ax2+bx+c，∵f（0）＝c，∴c＝3，则f（x）＝ax2+bx+3，又∵f（x+2）﹣f（x）＝4x+2，∴a（x+2）2+b（x+2）+3﹣ax2﹣bx﹣3＝4x+2，即4ax+4a+2b＝4x+2，则，即，即f（x）的解析式是f（x）＝x2﹣x+3．2.2 方程组法例2．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）＝x3﹣x2+1，则f（1）﹣g（1）＝（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【解答】解：由f（x）+g（x）＝x3﹣x2+1，将所有x替换成﹣x，得f（﹣x）+g（﹣x）＝﹣x3﹣x2+1，根据f（x）＝f（﹣x），g（﹣x）＝﹣g（x），得f（x）﹣g（x）＝﹣x3﹣x2+1，再令x＝1，计算得，f（1）﹣g（1）＝﹣1．故选：B．变式1．若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）﹣g（x）＝e x，试比较f（3），g（0），f（2）三数的大小：g（0）＜f（2）＜f（3）．【解答】解：由函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数得：f（﹣x）＝﹣f（x）；g（﹣x）＝g（x）∵f（x）﹣g（x）＝e x，①∴f（﹣x）﹣g（﹣x）＝e﹣x，②∴﹣f（x）﹣g（x）＝e﹣x③∴由①②③得：，，，g（0）＝﹣1，f（x）递增，f（2），f（3）＞0，e2＜e3，即有f（2）＜f（3），∴g（0）＜f（2）＜f（3）故答案为：g（0）＜f（2）＜f（3）变式2. 已知f（x）满足2f（x）+f（）＝3x．【解答】解：已知f（x）满足2f（x）+f（）＝3x…①，2f（）+f（x）＝…②，2×①﹣②可得：3f（x）＝6x﹣，解得f（x）＝2x﹣．变式3. 定义在（﹣1，1）内的函数f（x）满足2f（x）﹣f（﹣x）＝lg（x+1），求函数f（x）的解析式．【解答】解：当x∈（﹣1，1）时，2f（x）﹣f（﹣x）＝lg（x+1）①，以﹣x代x有：2f（﹣x）﹣f（x）＝lg（﹣x+1）②；由①、②联立，消去f（﹣x），得f（x）＝lg（x+1）+lg（1﹣x），x∈（﹣1，1）；∴f（x）的解析式是f（x）＝lg（x+1）+lg（1﹣x），x∈（﹣1，1）．2.3 坐标转移法例3．已知函数y＝e x的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线y＝x对称，则（）A．f（2x）＝e2x（x∈R）B．f（2x）＝ln2•lnx（x＞0）C．f（2x）＝2e x（x∈R）D．f（2x）＝lnx+ln2（x＞0）【解答】解：函数y＝e x的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线y＝x对称，所以f（x）是y＝e x的反函数，即f（x）＝lnx，∴f（2x）＝ln2x＝lnx+ln2（x＞0），选D．变式1．与函数y＝e2x﹣2e x+1（x≥0）的曲线关于直线y＝x对称的曲线的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意∵y＝e2x﹣2e x+1（x≥0）⇒（e x﹣1）2＝y∵x≥0，∴e x≥1，即e x＝1+∴x＝ln（1+），所以故选：A．2.4 换元法配凑法例4. 已知f（x+）＝x2+，求f（x）的解析式；【解答】解：∵f（x+）＝x2+＝﹣2，∴f（x）＝x2﹣2，且x≥2或x≤﹣2，∴f（x）的解析式是f（x）＝x2﹣2（其中x≥2或x≤﹣2）；变式1. 已知f（+1）＝lgx，求f（x）的解析式；【解答】解：设+1＝t，则x＝，代入函数解析式，得f（t）＝lg，又∵x＞0，所以t＞1；∴f（x）的解析式是f（x）＝lg（其中x＞1）；变式2. 已知f（+1）＝x+2，求f（x）．【解答】解：∵f（+1）＝x+2＝（+1）2﹣1∴f（x）＝x2﹣1，x≥1变式3. 已知x≠0时，函数f（x）满足f（）＝x2+；【解答】解：设，t≠1可得1﹣，即，可得x＝，f（t）＝，∴f（x）＝，x≠1．2.5 赋值法例5．设f（x）是R上的函数，且满足f（0）＝1，并且对任意实数x，y，有f（x﹣y）＝f （x）﹣y（2x﹣y+1），求f（x）的解析式．【解答】解：由题意，令x＝y得，f（0）＝f（x）﹣x（2x﹣x+1），则f（x）＝x（x+1）+1．3 常见的求值域的方法3.1 数形结合求值域例1．函数y＝的值域为[﹣4，+∞）．【解答】解：（1）x≤0时，y＝x2+4x＝（x+2）2﹣4；∴y≥﹣4；（2）x＞0时，y＝3x＞0；∴原函数的值域为[﹣4，+∞）．故答案为：[﹣4，+∞）．变式1．求函数y＝|x﹣1|+|x﹣3|的值域．【解答】解：由y＝|x﹣1|+|x﹣3|＝．作出y的图象：从图不难看出：函数y的值域为[2，+∞）．变式2．设函数，则下列结论错误的是（）A．D（x）的值域为{0，1}B．D（x）是偶函数C．D（x）不是周期函数D．D（x）不是单调函数【解答】解：A显然正确；∵＝D（x），∴D（x）是偶函数，B正确；∵D（x+1）＝＝D（x），∴T＝1为其一个周期，故C错误；∵D（）＝0，D（2）＝1，D（）＝0，显然函数D（x）不是单调函数，故D正确；故选：C．变式3．“[x]”表示不超过实数x的最大的整数，如[1.3]＝1，[2]＝2，[﹣2.3]＝﹣3，又记{x}＝x﹣[x]，已知函数f（x）＝[x]﹣{x}，x∈R，给出以下命题：①f（x）的值域为R；②f（x）在区间[k，k+1]，k∈Z上单调递减；③f（x）的图象关于点（1，0）中心对称；④函数|f（x）|为偶函数．其中所有正确命题的序号是①（将所有正确命题序号填上）【解答】解：由题意，f（x）＝[x]﹣{x}＝[x]﹣{x﹣[x]}＝2[x]﹣x．作出函数f（x）＝2[x]﹣x的图象如图，由图可知，f（x）的值域为R，故①正确；f（x）在区间[k，k+1），k∈Z上单调递减，故②错误；f（x）的图象不关于点（1，0）中心对称，故③错误；函数|f（x）|不是偶函数，故④错误．∴正确命题的序号为①．故答案为：①．变式4．给出定义：若m﹣＜x≤m+，（其中m为整数），则m叫作离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}＝m，在此基础上，给出下列关于函数f（x）＝|{x}﹣x|的命题：①函数f（x）的定义域是R，值域是[﹣，]；②函数y＝f（x）的图象关于y轴对称；③函数y＝f（x）的图象关于原点对称；④函数y＝f（x）在[﹣，]上是增函数；其中说法正确的是②．【解答】解：①∵，∴，∴．即0≤|{x}﹣x|；∴f（x）的值域是：，∴①错误；②当时，，∴{﹣x}＝﹣m；f（﹣x）＝|{﹣x}+x|＝|﹣m+x|＝|m﹣x|＝|{x}﹣x|＝f（x）；当x＝时，{﹣x}＝{﹣m﹣}＝﹣m﹣1，∴f（﹣x）＝|﹣m﹣1﹣（﹣m﹣）|＝＝＝f（x）；∴综上得f（﹣x）＝f（x），∴函数f（x）是偶函数，所以图象关于y轴对称，∴②正确；③由②知f（﹣x）＝f（x），∴点（﹣x，f（x）），与（x，f（x））不关于原点对称；所以f（x）图象不关于原点对称，∴③错误；④f（）＝f（），即，而，∴f（x）在上不是增函数，∴④错误；∴说法正确的是②．故答案为：②．变式5．已知a，b∈R，定义运算“⊗”：，设函数f（x）＝（2x⊗2）﹣（1⊗log2x），x∈（0，2），则f（1）＝1，f（x）的值域为[1，3）．【解答】解：由题意f（x）＝，，所以f（1）＝1，x∈（0，2），f （x）∈[1，3），故答案分别为：1，[1，3）变式6．函数的值域为R，则实数a的范围（）A．（﹣∞，﹣1）B．C．D．【解答】解：当x≥1时，y＝lnx≥0，当1﹣2a＝0，即a＝时，当x＜1时，f（x）＝，不满足f（x）的值域为R，当1﹣2a＜0，即a＞时，当x＜1时，f（x）＞1+a，不满足f（x）的值域为R，当1﹣2a＞0，即a＜时，当x＜1时，f（x）＜1+a，要使满足f（x）的值域为R，则1+a≥0，即a≥﹣1，综上﹣1≤a＜，故选：C．3.2 换元法求值域例2．已知函数f（x）＝2+x，其中1≤x≤9，求函数y＝[f（x）]2+f（x）的最大值和最小值，并求出相应x的值．【解答】解：∵f（x）＝2+x，且1≤x≤9，∴y＝[f（x）]2+f（x）＝（2+x）2+（2+x）＝x2+5x+6，（1≤x≤9），函数y＝x2+5x+6图象关于直线对称，即有函数y＝x2+5x+6在区间[1，9]上是单调递增函数，当x＝1时，函数y＝x2+5x+6取最小值，最小值为12；当x＝9时，函数y＝x2+5x+6取最大值，最小值为132．即有x＝1时，函数y＝[f（x）]2+f（x）取得最小值12；x＝9时，y＝[f（x）]2+f（x）取得最大值132．变式1．已知f（x）＝1+log2x（1≤x≤4），求函数g（x）＝f2（x）+f（x2）的最大值与最小值．【解答】解：∵f（x）＝1+log2x（1≤x≤4），∴，即1≤x≤2，∵f（x）＝1+log2x（1≤x≤4），g（x）＝f2（x）+f（x2）＝（1+log2x）2+1+2log2x，∴g（x）＝（log2x）2+4log2x+2，1≤x≤2设t＝log2x，则h（t）＝t2+4t+2，0≤t≤1，∵对称轴t＝﹣2，h（t）在[0，1]为增函数，则g（x）的最小值为h（0）＝2，最大值为h（1）＝7．变式2．求函数的值域.【解答】解：设（t≥0），x＝t2+1，则y＝t2+2t+3＝（t+1）2+2（t≥0），∵t≥0，∴t+1≥1，∴（t+1）2+2≥3，∴该函数的值域为[3，+∞）．变式3．若函数f（x）＝log2x+2，，则函数的值域（）A．[4，5]B．[4，]C．[，5]D．[1，3]【解答】解：∵x∈[，2]，∴﹣1≤log2x≤1，∴1≤f（x）≤3，∴g（x）＝f（x）+≥2＝4，当且仅当f（x）＝，即f（x）＝2，x＝1时，等号成立，又∵g（）＝5，g（2）＝，∴x＝1时，g（x）取最小值4；x＝时，g（x）取最大值5，∴函数g（x）的值域为[4，5]，故选：A．变式4．函数在[﹣1，+∞）上的值域为（）A．B．C．D．（﹣∞，3]【解答】解：∵，令，因为x∈[﹣1，+∞），所以t∈（0，3]，原函数的值域等价于函数的值域，所以．故选：C．变式5．函数f（x）＝log2的最小值为（）A．B．﹣2C．D．0【解答】解：由题意知f（x）的定义域为（0，+∞）．所以f（x）＝（﹣2+log2x）（1+log2x）＝log2x﹣2＝．当x＝时，函数取得最小值．故选：A．3.3 判别式法求值域例3．求函数y＝的值域．【解答】解：y＝；；∴；∴2＜y≤6；∴原函数的值域为（2，6]．变式1．已知函数y＝的值域是[﹣1，4]，求实数a，b的值．【解答】解：由y＝得yx2﹣（y+a）x+y﹣b＝0，①当y＝0时，方程有解，适合题意思；②当y≠0时，△＝（y+a）2﹣4y（y﹣b）≥0，化简得，3y2﹣（2a+4b）y﹣a2≤0，∵函数的值域为[﹣1，4]，∴﹣1，4是方程3y2﹣（2a+4b）y﹣a2＝0的两根，∴解得或，综上得：或．变式2．已知函数y＝定义域为（﹣∞，+∞），值域为[1，9]，求m，n．【解答】解：将式子变形为（y﹣m）x2﹣8x+y﹣n＝0，当y﹣m≠0，△＝64﹣4（y﹣m）（y﹣n）≥0即（y﹣m）（y﹣n）≤16，∴1，9是方程（y﹣m）（y﹣n）＝16的两个根，带入得，解得m＝n＝5．当y﹣m＝0时，m＝n＝5，也适合题意．∴m＝n＝5．3.4 分离常数法求值域例4．求函数的值域：【解答】解：（1），∵，∴y≠2，∴该函数的值域为{y|y≠2}；变式1．函数f（x）＝（x＞0）的值域为．【解答】解：，∵x＞0，∴﹣x＜0，0＜2﹣x＜1，∴2＜2+2﹣x＜3，∴，即函数的值域为．故答案为：．变式2．函数的值域为（）A．{y|0＜y＜2}B．{y|y＞0且y≠2}C．{y|y≠2}D．{y|y＞2}【解答】解：因为＝＝2﹣≠2．故选：C．3.5 定义域与值域的关系例5．设函数的定义域为D，若满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[，]，则称f（x）为“倍缩函数“．若函数f（x）＝e x+为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1﹣ln2]B．（﹣∞，﹣1﹣1n2）C．[1+ln2，+∞）D．（1+ln2，+∞）【解答】解：因为函数f（x）＝e x+为“倍缩函数”，所以存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[，]，由于f（x）＝e x+单调递增，所以，即a，b为方程的两个实根，进一步转化为函数与有两个交点，不妨先求出与函数相切且斜率为的直线方程．对于数，求导得，令，解得，，所以斜率为的切线方程为，该直线在y轴上的截距为，要使函数与有两个交点，则，所以t＜﹣1﹣ln2，故选：B．变式1．函数y＝f（x）的定义域为D，若满足：①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D使得f（x）在[a，b]上的值域为[，]，则称函数f（x）为“成功函数”．若函数f（x）＝log c（c x+t）（c＞0，c≠1）是“成功函数”，则t的取值范围为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，）C．（，+∞）D．（0，）【解答】解：∵f（x）＝log c（c x+t）（c＞0，c≠1）是“成功函数”，∴f（x）在其定义域内为增函数，f（x）＝log c（c x+t）＝x，∴c x+t＝，c x﹣+t＝0，令a＝＞0，∴a2﹣a+t＝0有两个不同的正数根，∴，解得t∈（0，）．故选：D．。
高中数学第三章函数的概念与性质考点总结(带答案)
高中数学第三章函数的概念与性质考点总结单选题1、已知f (x −2)=x 2+1，则f (5)=（ ）A ．50B ．48C ．26D ．29答案：A分析：利用赋值法，令x =7即可求解.解：令x =7，则f (5)=f (7−2)=72+1=50．故选：A.2、下列图形中，不能表示以x 为自变量的函数图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：B分析：根据函数的定义判断即可.B 中，当x >0时，y 有两个值和x 对应，不满足函数y 的唯一性，A ，C ，D 满足函数的定义，故选：B3、设f (x )是定义域为R 的奇函数，且f (1+x )=f (−x ).若f (−13)=13，则f (53)=（）A ．−53B ．−13C ．13D ．53答案：C分析：由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得f (53)的值. 由题意可得：f (53)=f (1+23)=f (−23)=−f (23)， 而f (23)=f (1−13)=f (13)=−f (−13)=−13， 故f (53)=13.故选：C.小提示：关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.4、函数y =3√x 4−13的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：A 分析：利用x =2时y >0排除选项D ，利用x =−2时y <0排除选项C ，利用x =12时y <0排除选项B ，所以选项A 正确.函数y =3√x 4−13的定义域为{x |x ≠±1}当x =2时，y =3√24−13=√153>0，可知选项D 错误；当x =−2时，y =3()43=√153<0，可知选项C 错误； 当x =12时，y =(12)3√(2)4−13=−12√603<0，可知选项B 错误，选项A 正确. 故选：A 5、函数f (x )=x +4x+1在区间[−12,2]上的最大值为（ ） A ．103B ．152C ．3D ．4答案：B分析：利用换元法以及对勾函数的单调性求解即可．设t =x +1，则问题转化为求函数g (t )=t +4t −1在区间[12,3]上的最大值．根据对勾函数的性质，得函数g (t )在区间[12,2]上单调递减，在区间[2,3]上单调递增，所以g (t )max =max {g (12),g (3)}=max {152,103}=152． 故选：B6、函数f (x )在(−∞,+∞)上是减函数，且a 为实数，则有（ ）A ．f (a )<f (2a )B ．f (a 2)<f (a )C ．f (a 2+1)<f (a )D ．f (a 2−a )<f (a )答案：C分析：利用a =0可排除ABD ；根据函数单调性和a 2+1>a 恒成立可知C 正确.当a =0时，ABD 中不等式左右两侧均为f (0)，不等式不成立，ABD 错误；∵a 2+1−a >0对于a ∈R 恒成立，即a 2+1>a 恒成立，又f (x )为R 上的减函数，∴f (a 2+1)<f (a )，C 正确.故选：C.7、“n =1”是“幂函数f (x )=(n 2−3n +3)⋅x n 2−3n 在(0,+∞)上是减函数”的一个（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要答案：A分析：由幂函数f(x)=(n2−3n+3)⋅x n2−3n在(0,+∞)上是减函数，可得{n 2−3n+3=1n2−3n<0，由充分、必要条件的定义分析即得解由题意，当n=1时，f(x)=x−2在(0,+∞)上是减函数，故充分性成立；若幂函数f(x)=(n2−3n+3)⋅x n2−3n在(0,+∞)上是减函数，则{n 2−3n+3=1n2−3n<0，解得n=1或n=2故必要性不成立因此“n=1”是“幂函数f(x)=(n2−3n+3)⋅x n2−3n在(0,+∞)上是减函数”的一个充分不必要条件故选：A8、函数y=√2x+4x−1的定义域为（）A．[0,1)B．(1,+∞)C．(0,1)∪(1,+∞)D．[0,1)∪(1,+∞)答案：D分析：由题意列不等式组求解由题意得{2x≥0x−1≠0，解得x≥0且x≠1，故选：D多选题9、设函数f(x)={ax−1,x<ax2−2ax+1,x≥a，f(x)存在最小值时，实数a的值可能是（）A．2B．-1C．0D．1答案：BC分析：分a=0，a>0和a<0三种情况讨论，结合二次函数的性质，从而可得出答案. 解：当x≥a时，f(x)=x2−2ax+1=(x−a)2−a2+1，所以当x≥a时，f(x)min=f(a)=−a2+1，若a=0，则f(x)={−1,x<0x2+1,x≥0，所以此时f(x)min=−1，即f(x)存在最小值，若a>0，则当x<a时，f(x)=ax−1，无最小值，若a<0，则当x<a时，f(x)=ax−1为减函数，则要使f(x)存在最小值时，则{−a 2+1≤a2−1a<0，解得a≤−1，综上a=0或a≤−1.故选：BC.10、已知偶函数y=f(x)(x∈R)，有∀x1，x2∈(−∞,0]时，(x1−x2)⋅(f(x1)−f(x2))<0成立，则f(2ax)< f(2x2+1)对任意的x∈R恒成立的一个必要不充分条件是（）A．−√2≤a≤√2B．−1<a<1C．0<a<√2D．−2<a<2答案：AD分析：由题意可判断函数在(−∞,0]为单调递减函数，在(0,+∞)上单调递增函数，只需|2ax|<2x2+1恒成立,分离参数，利用基本不等式即可求出a的取值，再结合必要不充分条件的概念可解.当∀x1,x2∈(−∞,0]时，(x1−x2)(f(x1)−f(x2))<0成立，则函数在(−∞,0]为单调递减函数，又函数y=f(x),x∈R为偶函数，则函数y=f(x)在(0,+∞)上单调递增函数，f(2ax)<f(2x2+1)对任意的x∈R恒成立，所以|2ax|<2x2+1，当x=0时，不等式恒成立，当x≠0时，2|a|<2x2+1|x|=2|x|+1|x|，又2|x|+1|x|≥2√2|x|⋅1|x|=2√2，当且仅当2|x|=1|x|时取等号，则2|a|<2√2，即|a|<√2，解得−√2<a<√2，由必要不充分条件的概念可知选项A、D正确，选项B、C错误.故选：AD11、下列各组函数是同一组函数的是（）A．f(x)=2x与g(x)=√4x2B．f(x)=|x|x与g(x)={C．f(x)=2x2+1与g(t)=2t2+1D．f(x)=x与g(x)=√x33答案：BCD分析：由同一函数的定义域、对应法则都相同，即可判断选项中的函数是否为同一函数.A：g(x)=√4x2=2|x|，f(x)=2x，定义域相同，但对应法则不同，不同函数；B：f(x)=|x|x={，g(x)={，定义域和对应法则都相同，同一函数；C：f(x)=2x2+1与g(t)=2t2+1，定义域和对应法则都相同，同一函数；D：g(x)=√x33=x，f(x)=x，，定义域和对应法则都相同，同一函数；故选：BCD.12、幂函数f(x)=(m2−5m+7)x m2−6在(0,+∞)上是增函数，则以下说法正确的是（）A．m=3B．函数f(x)在(−∞,0)上单调递增C．函数f(x)是偶函数D．函数f(x)的图象关于原点对称答案：ABD分析：根据幂函数的定义与性质得到方程（不等式）组，解得m=3，即可得到f(x)，从而判断可得；解：因为幂函数f(x)=(m2−5m+7)x m2−6在(0,+∞)上是增函数，所以{m 2−5m+7=1m2−6>0，解得m=3，所以f(x)=x3，所以f(−x)=(−x)3=−x3=−f(x)，故f(x)=x3为奇函数，函数图象关于原点对称，所以f(x)在(−∞,0)上单调递增；故选：ABD13、[多选题]下列四个图形中，可能是函数y=f(x)的图象的是（）A．B．C．D．答案：AD分析：根据函数定义判断．在A，D中，对于定义域内每一个x都有唯一的y与之对应，满足函数关系；在B，C中，存在一个x有两个y与之对应的情况，不满足函数关系，故选：AD．填空题14、已知a∈{−4,−1,−12,13,12,1,2,3}，若函数f(x)=x a在(0,+∞)上单调递减，且为偶函数，则a=______．答案：−4分析：根据幂函数的单调性知a<0，即可确定a的可能值，讨论a并判断对应f(x)奇偶性，即可得结果. 由题知：a<0，所以a的值可能为−4，−1，−12．当a=−4时，f(x)=x−4=x14(x≠0)为偶函数，符合题意．当a=−1时，f(x)=x−1=1x(x≠0)为奇函数，不符合题意．当a=−12时，f(x)=x−12=√x，定义域为(0,+∞)，则f(x)为非奇非偶函数，不符合题意．综上，a=−4．所以答案是：−415、已知函数f(x)={−x +4,x ≤0x 2,x >0，若f(m)=4，则m =___________． 答案：0或2分析：对函数值进行分段考虑，代值计算即可求得结果.由题意可得{m ≤0−m +4=4 或{m ＞0m 2=4， ∴m ＝0或m ＝2,所以答案是：0或2.小提示：本题考查由分段函数的函数值求自变量，属简单题.16、已知函数f (x )={|x 2−2x |,x ≤36−x,x >3，若a 、b 、c 、d 、e (a <b <c <d <e )满足f (a )=f (b )=f (c )=f (d )=f (e )，则M =af (a )+bf (b )+cf (c )+df (d )+ef (e )的取值范围为______.答案：(0,9)解析：设f (a )=f (b )=f (c )=f (d )=f (e )=t ，作出函数f (x )的图象，可得0<t <1，利用对称性可得a +d =b +c =2，由f (e )∈(0,1)可求得5<e <6，进而可得出M =−e 2+2e +24，利用二次函数的基本性质可求得M 的取值范围.作出函数f (x )的图象如下图所示：设f (a )=f (b )=f (c )=f (d )=f (e )=t ，当0<x <2时，f (x )=2x −x 2=−(x −1)2+1≤1，由图象可知，当0<t <1时，直线y =t 与函数y =f (x )的图象有五个交点，且点(a,t )、(d,t )关于直线x =1对称，可得a +d =2，同理可得b +c =2，由f(e)=6−e=t∈(0,1)，可求得5<e<6，所以，M=af(a)+bf(b)+cf(c)+df(d)+ef(e)=(a+b+c+d+e)f(e)=(e+4)(6−e)=−e2+2e+24=−(e−1)2+25∈(0,9).因此，M的取值范围是(0,9).所以答案是：(0,9).小提示：方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.解答题17、已知幂函数f(x)=(m−1)2x m2−4m+2在(0,+∞)上单调递增，函数g(x)=2x−k．（1）求m的值；（2）当x∈[1,2)时，记f(x),g(x)的值域分别为集合A，B，设p:x∈A,q:x∈B，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．（3）设F(x)=f(x)−kx+1−k2，且|F(x)|在上单调递增，求实数k的取值范围．答案：（1）m=0；（2）0≤k≤1；（3）[−1,0]∪[2,+∞)分析：（1）由幂函数的定义(m−1)2=1，再结合单调性即得解.（2）求解f(x)，g(x)的值域，得到集合A，B，转化命题p是q成立的必要条件为B⊆A，列出不等关系，即得解.（3）由（1）可得F(x)=x2−kx+1−k2，根据二次函数的性质，分类讨论k2≤0和k2≥1两种情况，取并集即可得解.（1）由幂函数的定义得：(m−1)2=1，⇒m=0或m=2，当m=2时，f(x)=x−2在(0,+∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去；当m=0时，f(x)=x2在(0,+∞)上单调递增，符合题意；[0,1]综上可知：m =0.（2）由（1）得：f(x)=x 2，当x ∈[1,2)时，f(x)∈[1,4)，即A =[1,4)，当x ∈[1,2)时，g(x)∈[2−k,4−k )，即B =[2−k,4−k )，由命题p 是q 成立的必要条件，则B ⊆A ，显然B ≠∅，则{2−k ≥14−k ≤4，即{k ≤1k ≥0， 所以实数k 的取值范围为：0≤k ≤1.（3）由（1）可得F(x)=x 2−kx +1−k 2，二次函数的开口向上，对称轴为x =k 2， 要使|F(x)|在上单调递增，如图所示：或即{k 2≤0F(0)≥0或{k 2≥1F(0)≤0，解得：−1≤k ≤0或k ≥2. 所以实数k 的取值范围为：[−1,0]∪[2,+∞) 小提示：关键点点睛：本题考查幂函数的定义及性质，必要条件的应用，已知函数的单调性求参数，理解p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集是解题的关键，考查学生的分析试题能力与分类讨论思想，及数形结合思想，属于较难题.18、为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量f (t )(单位：mg/m 3)与时间t (单位：ℎ）的函数关系为f (t )={kt,0<t <121kt ,t ≥12，当消毒12(ℎ)后，测量得药物释放量等于1(mg/m 3)；而实验表明，当药物释放量小于34(mg/m 3)对人体无害．（1）求k 的值；（2）若使用该消毒剂对房间进行消毒，求对人体有害的时间有多长？ [0,1]答案：（1）k =2；（2）724ℎ． 分析：（1）把t =12代入即可求得k 的值；（2）根据f (t )≥34，通过分段讨论列出不等式组，从而求解. （1）由题意可知f (12)=112k=1，故k =2；（2）因为k =2，所以f (t )={2t,0<t <1212t ,t ≥12， 又因为f (t )≥34时，药物释放量对人体有害，所以{0<t <122t ≥34或{t ≥1212t ≥34，解得38≤t <12或12≤t ≤23，所以38≤t ≤23， 由23−38=724，故对人体有害的时间为724ℎ．。
函数的概念与图象(第一课时)高一数学同步精品课件(苏教版2019必修第一册)
C.x|12≤x<1或x>1 D.x|－1≤x≤12或x>1 (2)已知函数 f(x＋2)的定义域为(－2，0)，则函数 f(2x－2)的定义域为( )
A.(0，2)
B.－12，12
C.(1，2)
D.－12，0
解析 (1)要使函数有意义，自变量 x 的取值必须满足2x2x－－11≠≥00，，解得xx≥ ≠12±，1，即 x≥12且 x≠1，故选 C. (2)由题意知－2<x<0，∴0<x＋2<2，即f(x)的定义域为(0，2)，∴0<2x－2<2，解 得1<x<2.故f(2x－2)的定义域是(1，2). 答案 (1)C (2)C
【训练3】 求下列函数的值域： (1)f(x)＝x2＋2x＋3，x∈{－1，0，1，2}； (2)f(x)＝x2＋2x＋3. 解 (1)∵函数定义域为{－1，0，1，2}， f(x)＝(x＋1)2＋2. ∴f(－1)＝2，f(0)＝3，f(1)＝6，f(2)＝11， ∴函数f(x)的值域为{2，3，6，11}. (2)f(x)＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2， ∵(x＋1)2≥0，∴(x＋1)2＋2≥2，∴f(x)的值域为[2，＋∞).
题型一 函数关系的判断 角度1 由定义判断是否为函数 【例1－1】 判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数.
(1)A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|； (2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2； (3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝ x； (4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0.
二、课堂检测 1.下表表示函数y＝f(x)的x与y的所有对应值，则此函数的定义域为( )
X
－1
0
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第21课 对数（2）
１．D 2. 3 3.52 4.1222
m n -+ 5.(1) 1a - (2) 1(1)2
a b ++ 6. 313pq pq + 7. 32- 8. (1) 2
(2) 原式
266[log 2log 2=+⋅6(log 31)]+6(2log 2)÷
266[log 2log 2=+⋅6(2log 2)]-6(2log 2)÷
1=
9
．3-
第22课 对数（3）
1．A 2．C 3．1 4．a 5
．m =
6．原式=（log 25+log 255）5log 22log 33⋅=2log 525log 2
152⋅ =2log 5log 215252⋅=2log 5log 4552⋅=4
5．
7．原式7744log 8log 64log 6log 3616
4947=+=+3664100=+= 8．32a b a
+- 9．lg543lg3lg 2=+，lg 632lg3lg 7,=+
lg842lg 2lg3lg7=++
∴lg 23lg 32lg 3lg 72lg 2lg 3lg 7a b c +=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩
∴33lg 27a b c -+=
10．证明：∵346x y z t ===，
∴ 6
lg lg 4lg lg 3lg lg t z t y t x ===，，，
∴y
t t t t x z 21lg 24lg lg 2lg lg 3lg lg 6lg 11===-=-
第23课 对数函数（1）
1．D 2．C 3．B 4．A 5．C
6．]2,1( 7．(,2.5),(,5)-∞-∞
8．4
(0,)(1,)5+∞ 9．定义域(0,1)，值域：
当1a >时，为(,2log 2)a -∞-，当01a <<时，为(2log 2,)a -+∞
10．(2,2)-
第24课 对数函数（2）
1．A 2．B 3．155
或 4．（1,-+∞） 5．(1,2] 6．（1）定义域（-1，3）；值域[2,)-+∞
（
2 [3,1]--
7．略
8．1
24log 3 9．(1)x
x x f a -+=33log )(，-3<x<3 (2) f(x)是奇函数
(3) 当01a <<时，不等式的解集是
{x ∣231≤
≤x }．当1a >时，不等式的解集是 {x ∣332
x ≤<或01x <≤}．
第25课 对数函数（3）
1．A 2．B 3．155
或 4．（1,-+∞） 5．(1,2] 6．（1）定义域（-1，3）；值域[2,)-+∞
（
2 [3,1]--
7．略
8．1
24log 3
9．(1)x
x x f a -+=33log )(，-3<x<3 (2) f(x)是奇函数
(3) 当01a <<时，不等式的解集是
{x ∣231≤
≤x }．当1a >时，不等式的解集是 {x ∣332
x ≤<或01x <≤}．
第26课 对数函数（4）
1、C
2、C
3、C
4、B
5、A
6、 32
1 7、26 或36 8、B 9、分析：比较对数函数的函数值大小，主要用这些函数的单调性来判断，有绝对值的先
去掉绝对值，底数不确定时要分类讨论。
答案：|log a (1+x)|<|log a (1－x)|
点拨：比较大小问题时也可用作商（或作差）与1（或与0）比较得出结论。
第27课 幂函数（1）
1．C 2． D 3．A 4．C 5
6．（1）<；（2）>；（3）<；（4）<
7
．2;0--或 8．（1）函数2
3y x =
即y =R ，是偶函数，它在[0,)+∞上单调递增，在
(,0]-∞上单调递减； （2）函数3
2y x -=
即y =30x >得其定义域为(0,)+∞，它既不是奇函数，也不是偶函数，在(0,)+∞上单调递减．
9．（1）13α=，12
，1，3； （2）12
α=-； （3）2α=；
（4）2α=-；
（5）13
α=，1，3； （6）1α=-．
10．[1,)+∞
第28课 幂函数（2）
1．B 2． D 3．C 4．D 5．(0,1)
6．（1）>；（2）<； （3）>，<．
7．（1）<（2）> （3）<（4）>
8．23(,1)(,)32
-∞- 9． 因为幂函数f （x ）＝23221++-p p x
在(0,)+∞上是增函数， 所以－21p 2＋p ＋2
3＞0，解得－1＜p ＜3． 又∵幂函数在其定义域内是偶函数且p ∈Z ，所以p ＝2．相应的函数f （x
）＝23
x ．
1012m <<
第29课 指数函数、对数函数、幂函数
1、B
2、D
3、B
4、C
5、B
6、D
7、 奇函数
8、解：（1）由题意⎩⎨⎧-≠≠±=⇒⎩⎨⎧-≠≠=--⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠+=--1031100220
112222m m m m m m m m m m m 且且 所以31±=m 时，f(x)是正比例函数
(2) 由题意⎩⎨⎧-≠≠==⇒⎩⎨⎧-≠≠=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠+-=--102010020
112222m m m m m m m m m m m m 且或且 所以m=2时，f(x)是反比例函数。
9、解：由f(a)>f(c)即|lga|>|lgc| 得 |lga|2>|lgc|2
所以（lga －lgc ）(lga+lgc)>0,又0<a<c,且y=lgx 在（0，＋∞）上是增函数。
所以lga<lgc, lga －lgc<0,所以lga+lgc<0,即lg(ac)<0,所以0〈ac 〈1。
第30课 二次函数与一元二次方程
1．B 2．B 3．C 4．12m >
5．（1）令0y =得2153022
x x ---=，解得11x =-，25x =-，
∴函数图象与x 轴的交点坐标为(5,0)B -，(1,0)C -． ∵抛物线开口向下，∴当51x -<<-时，0y >．
（2）21(69)22y x x =-
+++21(3)22
x =-++ ∴抛物线的顶点坐标为(3,2)A -，∴1[1(5)]242
ABC S ∆=---⨯=． 6．D 7．A 8．16
9．（1）若2a =，
当1x =-时，min ()(1)2f x f =-=； 当2x =时，max ()(2)11f x f ==．
（2）函数()f x 的对称轴为2a x =-
， ①当22
a -≤-，即4a ≥时，min ()(2)72f x f a a =-=-≥， 得73
a ≤，无解； ②当222
a -<-<，即44a -<<时， 若()f x a ≥恒成立，则0∆≤，解得62a -≤≤
∴42a -<≤； ③当22
a -≥，即4a ≤-时， min ()(2)72f x f a a ==+≥，
得74a -≤≤-．
综合①②③可得72a -≤≤．
10． (1) 由已知2323(2)4220(6)36620f a a b a f a a b a ⎧-=-+-=⎨=++-=⎩
解得：23280a a +=，(0)a <，
∴4a =- 从而8b =-， ∴48164)(2++-=x x x f ． (2)2()(41648)4(1)2(61)4
k F x x x k x k =--+++++-242kx x =+- 欲使0)(<x F 恒成立，则 01680k k <⎧⎨∆=+<⎩
解得 2k <-．
∴满足条件的k 的取值范围是{|2}k k <-．
2．（1）2()2f x x x =-+；
（2）2m =-，0n =．。