数学：函数的单调性苏教版必修
苏教版 高中数学必修第一册 函数的单调性 课件1
设x1,x2为区间(0,+∞)上的任意两个值,且x1<x2,则f(x1)+f
x2 x1
=f(x2),即f(x2)-f(x1)=f
上是增函数.
反思与感悟 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单 调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区 间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在 单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有.
跟踪训练1 函数y＝|x2－2x－3|的图象如图所示， 试写出它的单调区间，并指出单调性.
判断函数单调性的常用方法
1.定义法.根据增函数、减函数的定义,按照“取值→作差→变形→判断符号→下结 论”进行判断. 单调性判断的等价结论:
当x∈D时, f(x)是增函数,∀x1,x2∈D且x1≠x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔ f (x1) f (x2)>0.
x1 x2
当x∈D时, f(x)是减函数,∀x1,x2∈D且x1≠x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔ f (x1) f (x2)<0.
例1 如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数
的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
解 y＝f(x)的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]，其中 y＝f(x)在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]
③若y=f(x)是定义在区间(a,b)或R上的连续函数,则函数y=f(x)的最大(小)值要
根据具体函数而定. (4)分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中的最大(小)的那个.
函数的单调性-高一数学课件(苏教版2019必修第一册)
(2)当 x≤0 时,如果取 x1<x2≤0, f(x1) 与 f(x2)哪个大? (2) 当x>0 呢?
(1) 当 x≤0 时, 图象左高右低.
自变量 x 增大时, 函数值 f(x) 减小.
x1<x2≤0 时, f(x1)>f(x2).
函数 f(x)=x2 在(-∞, 0]上是减函数.
(-,-1), (-1,0), (0,1), (1,+)
y
o
1
23Biblioteka 4x题型建构
例6. 设 f(x) 是定义在区间 [-6, 11] 上的函数, 如果 f(x) 在区间 [-6, 2] 上递减, 在区间 [-2, 11] 上递增, 画出 f(x) 的一个大致的图象, 从
图象上可以发现 f(-2) 是函数 f(x) 的一个 最小值 .
解: (1) 图象开口向上, 顶点 ( , - ).
函数在 (-∞, 0]上是增函数,
5
函数在 (-, ] 上是减函数,
2
5
在 [ 2 , + y ) 上是增函数.
2
4
在 [0, +∞)上是减函数.
y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
3
2
1
-1
o
-1
-5
4
1
2
3
4
x
·
·
-3 -2 -1 o
·x
1 2 3
提升建构
∴ f(x1) - f(x2)>0,
∴ f(x1) - f(x2)<0,
即f(x1) > f(x2),
函数的单调性课件1(苏教版必修1)
如果原函数在其定义域内单调递增 （或递减），则其反函数在对应的定 义域内单调递减（或递增）。
反函数的应用举例
利用反函数求值
通过反函数，可以将一个变量的值转换为另一个变量的值。例如，利用反三角函数可以求出角度的值。
利用反函数解决实际问题
在很多实际问题中，可以通过建立反函数来求解问题。例如，在物理学、工程学、经济学等领域中，常常需要利 用反函数来解决实际问题。
函数的单调性课件1(苏教版必修1)
contents
目录
• 函数单调性的定义 • 单调函数的性质 • 单调函数的应用 • 反函数与单调性 • 复合函数的单调性
01 函数单调性的定义
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增，则对于该区间内的任意 两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) < f(x_2)$；如果函数在某个区间内单调递减，则对 于该区间内的任意两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) > f(x_2)$。
复合函数法
利用复合函数的单调性法则来判断 原Байду номын сангаас数的单调性。
单调函数的反例
反例1
函数f(x)=x^2在区间(-∞,0)上是单 调减少的，但在区间(0,+∞)上是单 调增加的，因此f(x)=x^2在整个定 义域上不是单调函数。
反例2
函数f(x)={ x^2 x>0; -x^2 x<0; } 在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是单调 减少的，但在整个定义域上不是单 调函数。
x_2$），都有$f(x_1) > f(x_2)$，则函数在该区间内单调递减。
新教材苏教版高中数学必修第一册5.3函数的单调性 精品教学课件
f(x1)-f(x2)=
1 1 ( 1 1) 1 1 x1 x2 ,
x1
x2
x2 x1 x1x2
因为x1<x2<0,所以x1-x2<0,x1·x2>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 故函数f(x)=- 1-1在区间(-∞,0)上是增函数.
x
【拓展延伸】 1.性质法判断函数的单调性 (1)当f(x)>0时,函数y= 1 与y=f(x)的单调性相反,对于f(x)<0也成立.
f (x)
(2)在公共定义域内,两增函数的和仍为增函数,增函数减去一个减函数所得的 函数为增函数. (3)函数f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性. (4)当c>0时,函数f(x)与cf(x)具有相同的单调性; 当c<0时,函数f(x)与cf(x)具有相反的单调性.
2.函数y=x+ a (a≠0)的单调性
2
2
≥3m,解 2得m≤0或m≥4,
2
即m的取值范围为m≤0或m≥4.
答案:m≤0或m≥4
备选类型 抽象函数的单调性(数学抽象、逻辑推理) 【典例】(2020·抚顺高一检测)函数f(x)对任意的m,n∈R,都有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且x>0时,恒有f(x)>1. (1)求证:f(x)是增函数. (2)若f(3)=4,解不等式f(a2+a-5)<2. 【思路导引】(1)按照单调性的定义,构造f(x2)-f(x1),再判断符号. (2)将2化为f(x0)的形式,再利用单调性解不等式.
3
1 2
a
a
1
a
苏教版高中数学必修第一册5.3 第1课时 函数的单调性【授课课件】
第1课时 函数的单调性
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
应用图象确定单调性的关键 应掌握各种基本函数的图象的形状，并能通过图象的“上升” 或“下降”趋势来找到函数的增区间或减区间．但应注意端点是否 在定义域内．当函数的单调区间不唯一时，中间用“，”隔开或用 “和”连接，但不能用“或”和“∪”连接．
第1课时 函数的单调性
1
2
3
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
∵0<x1<x2<1， ∴x1－x2<0,0<x1x2<1，则－1＋x1x2<0， ∴x1－x2x－1x21＋x1x2>0，即 f(x1)>f(x2)， ∴f(x)＝x＋1x在(0,1)上是减函数．
[证明] 设 x1，x2 是区间(－1，＋∞)上任意两个实数，且 x1＜x2， 则 f(x1)－f(x2)＝xx11＋＋21－xx22＋＋21＝x1＋x12－xx21＋1．
∵－1＜x1＜x2，∴x2－x1＞0，x1＋1＞0，x2＋1＞0， ∴x1＋x12－xx21＋1＞0，即 f(x1)＞f(x2)， ∴f(x)＝xx＋ ＋21在(－1，＋∞)上是减函数．
1
2
3
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
0，32 [∵f(x)是定义在[－2,2]上的增函数，且 f(x－2)<f(1－x)， ∴x－2<1－x， ∴x<32． 又 f(x)的定义域为[－2,2]， ∴－ －22≤ ≤x1－－2x≤≤22，，
苏教版必修第一册531函数的单调性课件_4
问题2 如何理解函数图象是上升的？
提示 从左向右的方向看函数的图象，当图象上点的横坐标逐渐增大时， 点的纵坐标也逐渐变大，即函数的自变量逐渐增大时，对应的函数值逐 渐增大.
知识梳理
增函数与减函数的定义
前提条件
设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A
条件
如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1<x2时
2.若本例(2)中函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的取值范围.
2x－3>0，
由题意可知，5x－6>0， 2x－3<5x－6，
解得 x>32， ∴x 的取值范围为32，＋∞.
反思感悟
由函数单调性求参数范围的处理方法 (1)由函数解析式求参数 若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参 数满足的条件. 若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性. 若为函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)类——数形结合，探求参数满足的条件. (2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单 调性的定义和性质，将符号“f ”去掉，列出关于自变量的不等 式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域.
(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3 －x2＋2x＋3，x≥0，
＝－x2－2x＋3，x<0. 根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知， 函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1，0)，[0，1)， [1，＋∞). f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数.
f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3 ＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3. 因此函数的增区间为(－∞，－a－1]， 由f(x)在(－∞，3]上是增函数知3≤－a－1， 解得a≤－4， 即实数a的取值范围为(－∞，－4].
第5章-5.3-函数的单调性高中数学必修第一册苏教版
是(-1.5，-1.5),所以当 = 1.5时,函数 = 取得最大值,即 = 1.5;当 = −1.5时,
函数 = 取得最小值,即 = −1.5.根据函数单调性的几何意义,图象从左到右
上升的部分对应的区间是增区间,从左到右下降的部分对应的区间是减区间，因此,函
C.−1
2
D.1
+ − 1在[3, +∞)上单调递增，且 在[3, +∞)上的
最小值为1，所以 3 = 1，即 = −2.
+ 3, < 1,
5
（2）函数 = ቊ
的最大值为___.
− + 6, ≥ 1
【解析】当 < 1时，函数 = + 3单调递增，且有 < 4，无最大值;当 ≥ 1时，
（2）求证当 ∈ 时，恒有 > 0;
【解析】由题意知当 > 0时，0 < < 1.
当 = 0时， 0 = 1 > 0,
当 < 0时，− > 0,∴ 0 < − < 1.
∵ + −
∴ =
1
−
= − ,∴ − = 1.
2
1
2 + 1
2
+（大于0的途径→
3 2
配方） 1 ].（3.变形.）
4
∵ 1 < 2 ,∴ 2 − 1 > 0,而
若 2 +
2
1
2 1
2
1
2 + 1
2
+
3 2
4 1
≥ 0,
3
4
+ 12 = 0,
高中数学苏教版必修1课件2.2.1 函数的单调 课件 (18张)精选ppt课件
定 两个自变量的值x1,x2，
当x1<x2时，都有f(x1 ) f(x2 )，<
义 那么就说 f (x)在区间I上
是单调I 称增为函f数(x，)的单调
增区间.
类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.
y
y
f(x2)
f(x1)
f(x1)
f(x2)
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
图像在该区间内逐渐下降——当x的值增大时,函数值y反而减小。
y
f(x2) f(x1)
O
N
M
I x1 x2
图象在区间I逐渐上升
区间I内随着x的增大，y也增大
？
对区间I内 x1，x2 ， 当x1<x2时， 有f(x1)<f(x2)
x
y
f(x2) f(x1)
O
N
M
I x1 x2
图象在区间I逐渐上升
区间I内随着x的增大，y也增大
判断1：函数 f (x)= x2 在 ,是 单调增函数； ×
正确：函数 f (x)= x2 在
y
[0, ) 是单调增函数；
函数 f (x)= x2 在
(0, ) 是单调增函数； 也正确
y x2
o
x
例1.画出下列函数图像，并写出单调区间：
y
y 1 x
？ (1)y 1 (x 0);
yax2bx的c单(调a性0)
yax2bxc(a0)的对称轴为 x b
2a
yax2 bxc单调增区 单调减区
间
间
a>0
b 2a
,
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《函数的单调性》教学设计
一:教材依据
江苏省教育出版社高中数学必修１,34P ,第二章第三节
二:设计思路
课标要求：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性.
本节课立足于现实生活，从具体问题入手，以问题为背景，按照“问题情境——数学活动——意义建构——数学理论——数学应用——回顾反思”的顺序结构，引导学生通过实验、观察、归纳、抽象、概括，数学地提出、分析和解决问题. 通过生活实例感受函数单调性的意义，培养学生的识图能力与数形语言转换的能力．最后运用运动的观点，理解函数的单调性. 整个过程以学生为主体,引导学生进行探索.
函数的单调性是函数的一个重要性质，刻画了两变量之间的相互依存的变化关系，是研究函数时经常要注意的一个性质，并且在比较几个数的大小，对函数作定性分析，以及与其他知识的综合应用上都有着广泛的应用.对学生来说，函数的单调性早以有所知，然而没有严格的定义，只是从直观上接触过这一性质.学生对此有一定的感性认识，为学习新知识做好了准备。
首先通过实际问题让学生感受研究单调性的必要性，体会数学的实用价值；然后在已有知识基础之上，引导学生观察函数图象的变化，先用自然的语言表述图象的“上升”和“下降”，再逐步上升到形式化的概念，并能用符号语言表述。
在课堂上突出对概念的分析，不仅是为了理解函数单调性的意义，而且让学生学会如何分析、弄懂一个概念，体验直观的感受上升到理性的认识的过程.
函数概念的理解是一个难点，特别是对“任意”这个词的理解.所以，在教学中结合反比例函数x
y 1 的图象引导学生讨论，再采用列表由自变量x 的值写出对应的y 值，观察变量之间的变化关系，把握“任意”的含义.
利用函数单调性证明是本课的一个难点，可以采用讲授的方法给学生形成一定的证明规范，再让学生进行模仿，在模仿中帮助学生进一步理解函数单调性的概念。
教学时注意方法的引导，并及时小结证明的思路、步骤，让学生逐步掌握证明的每一步的意义、证明过程的准确性.
三:教学目标
１．知识与技能：理解函数单调性的概念；
２．过程与方法：（１）.能由函数图象判断某些函数的单调性；
（２）.通过模仿学会证明函数单调性的方法；
（３）.培养学生观察、比较、分析的能力；掌握数形结合的方法.
３．情感价值观：熟悉从感性认识到理性认识，从抽象到具体的研究问题的方法.
四：教学重点函数单调性的概念与判断
五：教学难点利用概念证明或判断函数的单调性
六：教学过程
（一）.问题情境：
１．日常生活中，我们有过这样的体验：爬山时，逐步上升，下山时，逐步下降.
２．观察下列图表，在哪些时段内气温是升高的？体会图形上升或下降的变化在实际生活中作用.
３．很多函数也具有类似性质.如：
（x>0）
y=３x+２y=1
x
老师:这就是我们要研究的函数的重要性质之一：函数的单调性（板书）
（二）.学生活动:
问题１：观察下列函数的图象，指出函数从左向右是怎样变化的？
y=x２y=x３
学生：某些函数在定义域内的某些区间上图象呈现上升趋势，在某些区间上呈现下降趋势.问题２：能用数学语言刻画“图象呈上升或下降的趋势”吗？
（板书：图形、符号）
（三）．建构数学：
问题３：如何用数学语言来准确地表述这种y 值随着x 的值增大而增大（减小）呢？进而抽象出单调性的定义.
一般地，设函数y=f （x ）的定义域为A ，区间I ⊆A
如果对于区间I 内的任意两个值x １,x ２，当x １<x ２时，都有f （x １ ）<f （x ２ ），那么就说y=f （x ）在区间I 上是增函数。
I 称为y=f （x ）的单调增区间。
如果对于区间I 内的任意两个值x １,x ２，当x １<x ２时，都有f （x １ ）>f （x ２ ），那么就说在这个区间I 上是减函数。
I 称为y=f （x ）的单调减区间。
老师：如果函数y=f （x ）在区间I 上是单调增函数或是单调减函数，那么就说函数y=f （x ）在区间I 上具有单调性.
问题４：由函数单调性定义，你发现哪些特点？
（1） 自变量x 属于定义域A
（2） 自变量x 的任意性
（师生互动）（３） x １、x ２的大小与f （x １ ）、f （x ２ ）的大小要对应.
深层
（４）等价形式：()()()())0(2121<>--或x f x f x x
()())0(02
121<>--或x x x f x f 问题５：
—５ —４ —３ —２ —１ 0 １ ２ ３ ４
５
老师：为什么？ （展开讨论）
（五）.数学应用：
例题１：求证：函数f （x ）=—
1x —１在区间（—∞,0）上是单调增函数. 例题２：判断： 函数x y =在区间（0,+∞）内的单调性.
总结:１．通过本例让学生在模仿证明中进一步理解函数单调性定义中“任意”的意义.２．与学生一起总结出证明函数单调性的解题步骤：
１取值
２作差变形 （学生自己完成）
３定号
４判断
（六）.基础练习：
１． 判断下列说法是否正确？
１ 定义在上的函数满足,则函数是上的增函数. （ ）
２ 定义在上的函数满足,则函数在上不是减函数. （ ）
２． 已知则上的最大值为 ，最小值为 .
３． 下列函数在区间（0,+∞）上不是增函数的是（ ）
Ａ．y=２x+１ Ｂ．y=x ２+１ C.y=x
3 Ｄ．y=x ２+２x+１ ４． 若y=kx+２在R 上为增函数，则k 的范围是
５． 若函数y=x ２—mx+５在（—∞，２）为减函数，在（２,+∞）上为增函数，则m=
变式: 若函数y=x ２—mx+５在（—∞，２）为减函数，则m 的范围是
6． 若函数()x f 在区间()b a ,上为增函数，在区间()c b ,上也为增函数，则函数()x f 在区间()c a ,内是 （ ）
Ａ．增函数 Ｂ． 减函数 Ｃ． 增函数或减函数 Ｄ． 无法确定单调性
7．函数()x f 的定义域为()b a ,,且对其内任意实数21,x x 均有
()()()()02121<--x f x f x x , 则()x f 在()b a ,内是 （ ）
Ａ．增函数 Ｂ． 减函数 Ｃ． 奇函数 Ｄ． 偶函数
注：本练习的设计思路 １考查任意性; ２,３４,５,6考查数与形的结合;
7考查定义
（七）.回顾小结：
１．函数的单调性的概念. 三个注意点,一个等价变形
（学生自己完成 ） ２．判断函数在某个区间上的单调性. 四个步骤
（八）.课堂作业：43P ,习题２．１（３）：１、４、7（３、４）
七:教学反思
函数单调性概念的理解是一个难点，特别是对“任意”这个词的理解,要在实践中加以理解.。