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平行线中添辅助线的方法

平行线中常见的添辅助线的方法：

（ 1）在平行线内 (或外）一点作直线的平行线；

（ 2）加截线（连接两点、延长线段相交）

例：探究：

A

1 B

A

3

B

E

3

2

C

2

D

C

1

D

l

l

、

如 图

1

，

E

若

A B

AB l 1 // l 2 AB ∥ CD ， 1 50°， 2 110°， 3 AB // CD A 25

β

E

C 45

P

D

A

α B

C

C. 110

D. 80

60

B. 70

C γ

）

D

3、如图 3，已知 AB ∥CD ，则角α、β、γ之间的关系为（

A 、α+β+γ=1800

B 、α—β +γ=1800

C 、α +β—γ =1800

D 、α +β +γ =3600

o

）

5、如图，已知 AB ∥EF ，∠ C=90 ，则α、β和г的关系是（

A 、β =α +г

B 、α +β +г =180o

C 、α +β—г =180o

D 、β +г

—α =180o

三、解答题 1 如图所示， AB ∥ ED ，∠ B ＝ 48°,∠D ＝42° , 证明： BC ⊥CD 。

（选择一种辅助线）

2、如图，若 AB ∥ CD ，猜想∠ A 、∠ E 、∠ D 之间的关系，并证明之。

A B

E

D C

4、如图， AB∥CD，∠ BEF＝85°，求∠ ABE＋∠ EFC+∠ FCD的度数。

A B

E

F

D C

5.已知 AB

A B

D E

C

一副三角板的旋转与边的平行问题

1、如图 1 是一副三角尺拼成的图案：

（1）求∠ EBC的度数；

（2）将图 1 中的三角尺 ABC绕点 B 旋转α度（ 0°＜α＜ 90°）能否使∠ ABE=2

∠ DBC若能，求出∠ EBC的度数；若不能，说明理由．（图2、图 3 供参考）

2、如图 1，点 O 为直线 AB 上一点，过点 O 作射线 OC，使∠ AOC=60°．将一把

直角三角尺的直角顶点放在点O 处，一边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线

AB 的下方，其中∠ OMN=30°。

（1）将图 1 中的三角尺绕点 O 顺时针旋转至图 2，使一边 OM 在∠ BOC的内部，

且恰好平分∠ BOC，求∠ CON的度数；

（2）将图 1 中的三角尺绕点 O 按每秒 10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第秒时，边MN 恰好与射线OC平行；在第秒时，直线ON 恰好平分锐角∠ AOC。（直接写出结果）；

（3）将图 1 中的三角尺绕点 O 顺时针旋转至图 3，使 ON 在∠ AOC的内部，请

探究∠ AOM 与∠ NOC之间的数量关系，并说明理由．

3 、将一副三角尺中的两块直角三角尺的直角顶点C 按如图所示的方式叠放在一起 ( 其中，∠ A ＝ 6 0 °，∠ D ＝ 3 0 °，∠ E＝∠ B＝ 45 ° ) ．

(1 )①若∠ DCE＝ 4 5 °，求∠ ACB 的度数．②若∠ ACB＝ 140 °，求∠ DCE 的度数．

(2 )由 (1 ) 猜想∠ ACB 与∠ DCE 的数量关系，并说明理由．

(3 )当∠ ACE＜ 180 °且点 E 在直线 AC 的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行若存在，请写出∠ ACE 的所有可能的值；若不存在，请说明理由．

（1）已知∠ AOC=60°，

所以∠ BOC=120°，

又 OM 平分∠ BOC，∠ COM=∠ BOC=60°

所以∠ CON=∠ COM+90° =150°

（2）当直线 ON 与 OA 重合时， MN 恰好与射线 OC平行，

∴∠ AOM=90°，

由题意得， 10t=90°

∴t=9

∵∠ ONM=60°

∴当∠ COM=30°时， MN 恰好与射线 OC平行

∴∠ NOM=270°

由题意得， 10t=270°

∴t=27

延长 NO，

∵∠ BOC=120°

∴∠ AOC=60°，

当直线 ON 恰好平分锐角∠ AOC，

∴∠ AOD=∠COD=30°，

即顺时针旋转 300°时 NO 延长线平分∠ AOC，

由题意得， 10t=300°

∴t=30，

当NO 平分∠ AOC，

∴∠ NOR=30°，

即顺时针旋转 120°时 NO 平分∠ AOC，

∴ 10t=120°，

∴ t=12，

∴ t=12 或 30；

（ 3）因为∠ MON=90°，∠

AOC=60°，所以∠ AOM=90°－∠ AON

∠NOC=60°－∠ AON

所以∠ AOM－∠ NOC=（90°－∠ AON）－（ 60°－∠ AON） =30°，所以∠ AOM 与∠ NOC之间的数量关系为：∠ AOM－∠ NOC=30°