高数竞赛试题集
高等数学竞赛一、 填空题⒈ 若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a = ，b = ．⒉ 设2(1)()lim 1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = ．⒊ 曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为．⒋ 已知xx xe e f -=')(，且f (1) = 0, 则f (x ) = ．⒌ 设函数()y x 由参数方程333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值 范围为 ． ⒍ 设1ln arctan 22+-=xxxe e e y ，则==1x dx dy．⒎若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= .⒏ 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则=-⎰221)1(dx x f ．⒐ 由定积分的定义知，和式极限=+∑=∞→nk n kn n122lim ． ⒑1+∞=⎰ ． 二、 单项选择题11．把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===032sin ,tan ,cos 2γβα，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 【 】(A)γβα,,. (B)βγα,,. (C) γαβ,,. (D) αγβ,,.12．设函数f(x)连续，且,0)0(>'f 则存在0>δ，使得 【 】 (A) f(x)在（0，)δ内单调增加. （B ）f(x)在)0,(δ-内单调减少.（C ）对任意的),0(δ∈x 有f(x)>f(0) . (D) 对任意的)0,(δ-∈x 有f(x)>f(0) .13 . 设()(1)f x x x =-, 则 【 】（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点.（D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.14 .lim (1)n n→∞+等于 【 】（A ）221ln xdx ⎰. （B ）212ln xdx ⎰. （C ）212ln(1)x dx +⎰. （D ）221ln (1)x dx +⎰15 . 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. 【】(A) (-1 , 0). (B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3).16 . 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x xf xg ，则 【 】(A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.(C) x = 0必是g (x )的连续点. (D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. 17 . 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是【 】(A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ).(B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.18 . 设⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ，⎰=x dt t f x F 0)()(，则【 】(A) F (x )在x = 0点不连续.(B) F (x )在(-∞ , +∞)内连续，但在x = 0点不可导.(C) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，且满足)()(x f x F ='.(D) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，但不一定满足)()(x f x F ='.三、解答题19．求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.20．设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式;(Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导.21．设 f （x ），g （x ）均在［a , b ］上连续，证明柯西不等式⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰ba b a b a dx x g dx x f dxx g x f )()()()(22222．设2e b a e <<<, 证明)(4ln ln 222a b ea b ->-.23曲线2x xe e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求()()S t V t 的值;(Ⅱ) ()lim ()t S t F t →+∞.24．设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足⎰⎰≥x axadt t g dt t f )()(，x ∈ [a , b )，⎰⎰=bab adt t g dt t f )()(.证明：⎰⎰≤ba b a dx x xg dx x xf )()(.25． 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为).100.66⨯=k 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注kg 表示千克，km/h表示千米/小时.高等数学竞赛试卷一、单项选择题1、若2lim()01x x ax b x →∞--=+，则 （A ） 1,1a b == （B ）1,1a b =-= （C ） 1,1a b ==- （D ）1,1a b =-=-2、设(),0()(0),0f x x F x x f x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ ，其中()f x 在0x =处可导且'(0)0f ≠，(0)0f =，则0x =是()F x 的（A ） 连续点 （B ） 第一类间断点 （C ） 第二类间断点 （D ）以上都不是 3、设常数0k >，函数()ln xf x x k e =-+在(0,)+∞内零点的个数为 （A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 34、若在[0,1]上有(0)(0)0,(1)(1)0f g f g a ====>，且''()0f x >，''()0g x <，则110()I f x dx=⎰，120()I g x dx =⎰，130I ax dx =⎰的大小关系为（A ） 123I I I ≥≥ （B ） 231I I I ≥≥ （C ） 321I I I ≥≥ （D ） 213I I I ≥≥5、由平面图形0,0()a x b y f x ≤≤≤≤≤绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为（A ）2()b aV xf x dx π=⎰ （B ） 2()b aV f x dx π=⎰（C ） 2()b aV f x dx π=⎰ （D ） ()baV f x dx π=⎰6、(1,3,4)P -关于平面320x y z +-=的对称点是 （A ）(5,1,0)- （B ）(5,1,0) （C ）(5,1,0)-- （D ）(5,1,0)- 7、设D 为222x y R +≤，1D 是D 位于第一象限的部分，()f x 连续，则22()Df x y d σ+⎰⎰=（A ）128()D f x d σ⎰⎰ （B ）0 （C ）22()R R RRdx f x y dy --+⎰⎰（D ）1224()D f x y d σ+⎰⎰8、a为常数，则级数21sin()n na n ∞=⎡⎢⎣∑ （A ） 绝对收敛（B ）发散C ） 条件收敛（D ） 收敛性与a 的取值有关二、填空题1、340tan 2lim (1)1x x x xx e →-=- 。
2、具有n 个不相等实根的n 次多项式，其一阶导数的不相等实根至少有 个。
3、对数螺线eθρ=在点2(,)(,)2e ππρθ=处的切线的直角坐标方程为 。
4、设()f x 是x 的二次多项式，且(1)'()2()0x f x f x -+=，(0)1f =，则()f x = 。
5、设2sin y x =，则dy = 3()d x 。
6、7432222842311x x x x x dx x -+++-+=+⎰ 。
7、若级数1(1)n n an +∞=-+∑收敛，则常数a = 。
8、三重积分2222222221ln(1)1x y z z x y z dxdydz x y z ++≤+++=+++⎰⎰⎰ 。
8*、已知曲线323y x a x b =-+与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为2b = 。
9、设∑为上半椭球面2221,(0)94x y z z ++=≥，已知∑的面积为S ，则曲面积分222(4936)x y z dS ∑++=⎰⎰ 。
9*、级数2113n nn x ++∞=∑的收敛区间为 。
10、三元函数2zu z e xy =-+在点(1,1,1)处沿该点的向径方向的方向导数为 。
10*、设1()1xf x x=+，且()f x 可微，则'()f x = 。
11、设sin x y t dt =⎰(0)x π≤≤，则曲线()y y x =的长度为。
11*、若()x f x dx xe C =+⎰，则()f x = 。
12、设,,a b c 都是单位向量，且满足0a b c ++=，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅= 。
12*、函数3y x =的拐点为 。
三、按要求做下列各题。
1、求极限32lim (221)x x x x x →+∞+-++。
2、已知函数()y f x =对一切x满足2''()3['()]1x xf x x f x e -+=-且在点00x ≠处取得极值，问0()f x 是极大值还是极小值，并证明你的结论。
数学竞赛高数试题及答案
数学竞赛高数试题及答案试题一：极限的计算问题：计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
解答：根据洛必达法则，我们可以将原式转换为 \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1}\)，由于 \(\cos 0 = 1\)，所以极限的值为 1。
试题二：导数的应用问题：若函数 \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，求其在 \( x = 1 \) 处的导数值。
解答：首先求导数 \( f'(x) = 6x - 2 \)，然后将 \( x = 1 \) 代入得到 \( f'(1) = 6 \times 1 - 2 = 4 \)。
试题三：不定积分的求解问题：求不定积分 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx\)。
解答：这是一个基本的积分形式，可以直接应用反正切函数的积分公式，得到 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \arctan(x) + C\)，其中\( C \) 是积分常数。
试题四：级数的收敛性判断问题：判断级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) 是否收敛。
解答：根据比值测试，我们有 \(\lim_{n \to \infty}\frac{1}{(n+1)^2} / \frac{1}{n^2} = \lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{(n+1)^2} = 1\)，由于极限值为 1，小于 1，所以级数收敛。
试题五：多元函数的偏导数问题：设函数 \( z = f(x, y) = x^2y + y^3 \)，求 \( f \) 关于\( x \) 和 \( y \) 的偏导数。
解答：对 \( x \) 求偏导，保持 \( y \) 为常数，得到 \( f_x =2xy \)。
对 \( y \) 求偏导，保持 \( x \) 为常数，得到 \( f_y = x^2 + 3y^2 \)。
2023高中数学竞赛决赛试题
2023高中数学竞赛决赛试题2023高中数学竞赛决赛试题一、选择题设集合A = {x | x = 3k + 1, k Z}∈，B = {x | x = 3k + 2, k Z}∈，则集合A 和B 的关系是：A. A B ⊆B. B A ⊆C. A = B D. A ∩ B = ∅已知 x > 1，则函数 y = x + (1/x) 的最小值为：A. 2√2B. √2C. 4D. 不存在若函数 f(x) = (x - a)/(x^2 + 1) 在区间 (-2,2) 上是奇函数，则 a 的取值范围是：A. a = ±√2B. a = -√2C. a = ±1D. a = -1下列各组中的两个函数是同一函数的是：A. f(x) = x^2 和 g(x) = (√x)^2B. f(x) = x 和 g(x) = √x^2C. f(x) = |x| 和 g(x) = (√(x^2))D. f(x) = x 和 g(x) = (√(x))^2在等差数列 {an} 中，a3 + a8 > 0，则有：A. a1 + a10 > 0B. a2 + a9 > 0C. a4 + a7 > 0D. a5 + a6 > 0若实数 x, y 满足 x^2 + y^2 = 1，则 (x + 2)^2 + (y + 2)^2 的最小值为：A. 4√5/5B. √5 - 1C. √5 + 1D. 5/4下列各式中正确的是：A. lim(x→∞) (sin x/x) = 0B .lim(x→∞) (x·sin x/x) = 1C .lim(x→∞) (sin x/x^2) = 0D .lim(x→∞) ((sin x)/x)^x = e^(-1)下列说法中正确的是：A. “直线 l 在平面 α 内”等价于“直线 l 与平面 α 有公共点”B. “直线 l 与直线 l' 在平面 α 内相交”等价于“直线 l 与直线 l' 有公共点”C. “直线 l 与平面 α 的平行”等价于“直线 l 与平面 α 没有公共点”D. “直线 l 与直线 l' 在平面 α 内平行”等价于“直线 l 与直线 l' 没有公共点”一个袋子中有大小形状相同的红、黄、蓝三种颜色的球各一个，现有放回地依次取出三个球，则取到红、黄、蓝三种颜色的球各一个的概率为：A. 1/8B. 1/6C. 1/4D. 1/3在等比数列 {an} 中，a7 · a11 = 6，a3 + a13 = 5，则 a23 + a27 的值为：A. -5/6 B. -1 C. -6 D. -5/4二、填空题11. 若 f(n) = (n - a)/(n + a)，则 f(4) + f(9) + ... + f(99) + f(104) 的值为 _______。
高等数学竞赛试题含答案
I 4zx dydz 2z dzdx (1 z 2) dxdy
S
[解 1]S 的方程为 z e x2 y2 (1 x 2 y 2 4)
补两平面 S1 : z e(x2 y 2 1, 下侧) S2 : z e2 (x2 y 2 4, 上侧)
2
e2
zdV 2 zdz
3. 设 为 f (x) arctan x 在 [ 0, b] 上应用 拉格朗日 中值定理的 “中值”，则
lim
b0
2 b2
…………
（C ）
(A) 1； (B) 1 ； (C) 1 ； (D) 1 .
2
3
4
4.
设
f
(x)
,
g(x)
连续，当
x
0 时，
f
(x)
与
g(x)
为等价无穷小，令
F(x)
x 0
0
2a
（2） F (x) 1 [G '(x a) G '(x a)] 1 [ f (x a) f (x a)]
2a
2a
（3） lim F(x) lim G(x a) G(x a) lim [G(x a) G(x)] [G(x) G(x a)]
a0
a0
2a
a0
2a
1 [G '(x) G '(x)] G '(x) f (x) 2
解
lim
f
(0,
y
1 n
)
n
lim 1
f (0, y 1) n
f
(0,
y
)
n
f (0, y 1) f (0, y)
lim
n
n 1 f (0, y)
高数竞赛试题集
高等数学竞赛一、 填空题⒈ 若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a = ，b = ．⒉ 设2(1)()lim 1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = ．⒊ 曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为．⒋ 已知xx xe e f -=')(，且f (1) = 0, 则f (x ) = ．⒌ 设函数()y x 由参数方程333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值 范围为 ． ⒍ 设1ln arctan 22+-=xxxe e e y ，则==1x dx dy．⒎若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= .⒏ 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则=-⎰221)1(dx x f ． ⒐ 由定积分的定义知，和式极限=+∑=∞→nk n k n n122lim ． ⒑1+∞=⎰ ． 二、 单项选择题11．把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===0302sin ,tan ,cos 2γβα，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 【 】(A)γβα,,. (B)βγα,,. (C) γαβ,,. (D) αγβ,,.12．设函数f(x)连续，且,0)0(>'f 则存在0>δ，使得 【 】 (A) f(x)在（0，)δ内单调增加. （B ）f(x)在)0,(δ-内单调减少.（C ）对任意的),0(δ∈x 有f(x)>f(0) . (D) 对任意的)0,(δ-∈x 有f(x)>f(0) .13 . 设()(1)f x x x =-, 则 【 】（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点.（D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.14 .22lim ln (1)n nn→∞+于 【 】（A ）221ln xdx ⎰. （B ）212ln xdx ⎰. （C ）212ln(1)x dx +⎰. （D ）221ln (1)x dx +⎰15 . 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. 【 】(A) (-1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3).16 . 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x xf xg ，则 【 】(A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.(C) x = 0必是g (x )的连续点. (D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. 17 . 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是【 】(A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ).(B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.18 . 设⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ，⎰=x dt t f x F 0)()(，则【 】(A) F (x )在x = 0点不连续.(B) F (x )在(-∞ , +∞)内连续，但在x = 0点不可导.(C) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，且满足)()(x f x F ='.(D) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，但不一定满足)()(x f x F ='.三、解答题19．求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.20．设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式;(Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导.21．设 f （x ），g （x ）均在［a , b ］上连续，证明柯西不等式⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰ba b a b a dx x g dx x f dxx g x f )()()()(22222．设2e b a e <<<, 证明)(4ln ln 222a b ea b ->-.23曲线2x xe e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求()()S t V t 的值;(Ⅱ) ()lim ()t S t F t →+∞.24．设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足⎰⎰≥x axadt t g dt t f )()(，x ∈ [a , b )，⎰⎰=bab adt t g dt t f )()(.证明：⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(.25． 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为).100.66⨯=k 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注kg 表示千克，km/h表示千米/小时.高等数学竞赛试卷一、单项选择题1、若2lim()01x x ax b x →∞--=+，则（A ）1,1a b == （B ）1,1a b =-= （C ） 1,1a b ==- （D ）1,1a b =-=-2、设(),0()(0),0f x x F x x f x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ ，其中()f x 在0x =处可导且'(0)0f ≠，(0)0f =，则0x =是()F x 的（A ） 连续点 （B ） 第一类间断点 （C ） 第二类间断点 （D ）以上都不是 3、设常数0k >，函数()ln xf x x k e =-+在(0,)+∞内零点的个数为 （A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 34、若在[0,1]上有(0)(0)0,(1)(1)0f g f g a ====>，且''()0f x >，''()0g x <，则110()I f x dx=⎰，120()I g x dx =⎰，130I ax dx =⎰的大小关系为（A ） 123I I I ≥≥ （B ） 231I I I ≥≥ （C ） 321I I I ≥≥ （D ） 213I I I ≥≥5、由平面图形0,0()a x b y f x ≤≤≤≤≤绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为（A ）2()b aV xf x dx π=⎰ （B ） 2()b aV f x dx π=⎰（C ） 2()b aV f x dx π=⎰ （D ） ()baV f x dx π=⎰6、(1,3,4)P -关于平面320x y z +-=的对称点是 （A ） (5,1,0)- （B ）(5,1,0) （C ）(5,1,0)-- （D ）(5,1,0)-7、设D 为222x y R +≤，1D 是D 位于第一象限的部分，()f x 连续，则22()Df x y d σ+⎰⎰=（A ）128()D f x d σ⎰⎰ （B ）0 （C ）22()R R RRdx f x y dy --+⎰⎰（D ）1224()D f x y d σ+⎰⎰8、a为常数，则级数21sin()n na n ∞=⎡⎢⎣∑ （A ） 绝对收敛（B ）发散C ） 条件收敛（D ） 收敛性与a 的取值有关二、填空题1、340tan 2lim(1)1x x x xx e →-=- 。
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【最新整理，下载后即可编辑】第二十届高等数学竞赛试卷一、填空题（每小题5分，本题共50分）： 1. 若0→x 时，1)1(412--ax与x x sin 是等价无穷小，则=a .2.=+→)1ln(12)(cos lim x x x .3. 设函数2301sin d ,0,(),0,x t t x f x xa x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在0x =处连续，则a =.4. =∂∂+∂∂=yz y x z x x y xy z 则设,sin.5.的解为：满足微分方程91)1(ln 2-==+'y x x y y x ._______)()( ,,)()(,.=-=⎩⎨⎧≤≤==>⎰⎰Ddxdy x y g x f I D x a x g x f a 则表示全平面，而其他若设010067..d tan )cos (22222005=+⎰-x x x x ππ8. .sin 2sin sin 1lim=⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→n n n n n n πππ9..,1222=≤++Ω⎰⎰⎰Ωdv e z y x z计算所界定由设空间区域10. 设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内，函数(,)f x y 具有连续偏导数，且对任意的0t >都有2(,)(,)f tx ty t f x y -=. 对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，则..),(),(=-⎰dy y x f x x d y x f y L二、计算题（每小题6分，本题共42分）：.,)()(cos .的解，并求满足化简微分方程：用变量代换21010102='==+'-''-<<===x x y yy y x y x t t x π解题过程是：2. 设∑是锥面1)z z =≤≤的下侧，计算曲面积分d d 2d d 3(1)d d x y z y z x z x y ∑++-⎰⎰..解题过程是：.,),(.的值和数图形有拐点，试确定常处函数的，且在点处有极小值在设函数c b a x cx bx ax y 20012323=+++=解题过程是：.)(d d )()()(),()(.x f t y x y x f y x t f t x f t y x 求函数满足下式：上连续，且对任意的在设函数4222222224+++=∞-∞⎰⎰≤+解题过程是：..之间的最短距离．与平面求旋转抛物面22522=-++=z y x y x z解题过程是：要多少时间？厘米的雪堆全部融化需问高为）系数侧面积成正比，（比例已知体积减少的速率与，小时设长度为厘米，时间为其侧面满足方程的雪堆在融化过程中，为时间设有一高为130,9.0)()()(2)())((.622t h y x t h z t t h +-=解题过程是：.86,)1,1,1(632.722222处的梯度的方向导数和在点处沿方向在点计算函数处指向外侧的法向量在点是曲面设P n P zy x u P z y x n+==++解题过程是：三、证明题（本题8分）：.)()(022)(0)(22)()(4242的表达式求函数；，有简单闭曲线内的任意分段光滑证明：对右半平面的值恒为同一常数，曲线积分上，单闭曲线原点的任意分段光滑简有连续的导数，在围绕设函数y II yx xydydx y C x I yx xydydx y L y C L ϕϕϕϕ=++>++⎰⎰第二十届高等数学竞赛试卷参考答案一、填空题（每小题5分，本题共50分）：1. 若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则=a ..解当0→x 时，241241~1)1(ax ax ---，2~sin x x x . 于是，根据题设有14141lim sin )1(lim 2204120=-=-=-→→a xax x x ax x x ，故a=-4.2.=+→)1ln(12)(cos lim x x x .解)1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而212cos sin lim cos ln lim )1ln(cos ln lim 02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ，故 原式=.121e e=-3. 设函数2301sin d ,0(),0x t t x f x xa x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在0x =处连续，则a =.解 由题设知，函数()f x 在 0x =处连续，则lim ()(0)x f x f a→==，又因为 2203200sin d sin 1lim ()limlim 33x x x x t t x f x x x →→→===⎰.所以13a =.4.='+'⎪⎭⎫⎝⎛=y x z y z x u f x y xyf z 则可导函数设,)(,..20sin 202,1,:22z x y xy x y xyf z y z x x y f y x y xf x x y f xy x y xf y z x y f x y x y yf x y x y f xy x y yf x z y x =+=+⎪⎭⎫⎝⎛='+'∴⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂⎪⎭⎫⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂解5.的解为：满足微分方程91)1(ln 2-==+'y x x y y x ...91ln 31091)1(191ln 31]ln [1]ln [ln 222222x x x y C y x C x x x C xdx x x C dx ex e y x y xy dxx dx x -==-=+-=+⋅=+⎰⋅⎰==+'⎰⎰-，故所求通解为：得，由，于是通解为：解：原方程等价为：._______)()( ,,)()(,.=-=⎩⎨⎧≤≤==>⎰⎰Ddxdy x y g x f I D x a x g x f a 则表示全平面，而其他若设01006解：本题积分区域为全平面，但只有当 10,10≤-≤≤≤x y x 时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可 .⎩⎨⎧+≤≤=-⇒⎩⎨⎧≤-≤=-,,0;1)(,,0;10)(其他若其他若x y x a x y g x y a x y g⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤≤≤=-其他,0,1,10)()(2x y x x a x y g x f.])1[(0)()(2121012221a dx x x a dydx a dxdy dxdy a dxdyx y g x f I x xD D D=-+==+=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+7..d tan )cos (22222005=+⎰-x x x x ππ.22212d sin 20d tan cos d d tan d tan )cos (2022222222200522222005πππππππππ=⋅⋅=+=+==+⎰⎰⎰⎰---x x xx x x x x x x x x x 解：8..sin 2sin sin 1lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→n n n n n n πππ⎰∑∑=∆=⋅=⎪⎭⎫⎝⎛-+++=→∞=→∞→∞1011d sin )(lim 1sin lim )1(sin 2sin sin 1limx x x f n n i n n n n n i ni i n ni n n πξππππ 解：ni n x n n n i n n n x x f i i ==∆<<<<<<=ξπ,1 ,210]10[, sin )(取等份，分点为分为，把区间看作 ().20cos cos 101cos d sin 1`0ππππππ=+-=-==∴⎰x x x 原式9..,1222=≤++Ω⎰⎰⎰Ωdv e z y x z计算所界定由设空间区域.2)1(22211210222ππ=-===-≤+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩdz e z dxdy dz e dv e dv ez y x D z z D z z zz z上法．，故采用＂先二后一＂为圆域的函数，截面被积函数仅为解：10. 设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内，函数(,)f x y 具有连续偏导数，且对任意的0t >都有2(,)(,)f tx ty t f x y -=. 对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，则..),(),(=-⎰dy y x f x x d y x f y L解 2(,)(,)f tx ty t f x y -=两边对t 求导得3(,)(,)2(,)x y xf tx ty yf tx ty t f x y -''+=-.令1t =，则(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=-,. 即11(,)(,)(,)22x y f x y xf x y yf x y ''=-- ①设(,)(,),(,)(,)P x y yf x y Q x y xf x y ==-，则(,)(,),(,)(,)x y Q Pf x y xf x y f x y yf x y x y ∂∂''=--=+∂∂.则由①可得11(,)(,)22y x Q Pyf x y xf x y x y∂∂⎛⎫''==- ⎪∂∂⎝⎭.故由曲线积分与路径无关的定理可知，对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有.0),(),(=-⎰dy y x xf x d y x yf L二、计算题（每小题6分，本题共42分）：.,)()(cos .的解，并求满足化简微分方程：用变量代换21010102='==+'-''-<<===x x y yy y x y x t t x π，解：dt dyt dx dt dt dy y sin 1-=⋅='，代入原方程得0),sin 1(]sin 1sin cos [22222=+-⋅-=⋅'=''y dty d t dt y d t dt dy t t dx dt dt y d y 。
2024年宁波市高中数学市竞赛试题及答案
2024年宁波市高中数学竞赛试题2024年12月8日 8:00-10:00注意：①本卷不得使用计算器；②报考A 组的考生作答A 卷（所有试题），报考B 组的考生作答B 卷（前16题）； ③请考生按规定用笔，将所有试题的答案涂、写在答题纸上．一．选择题Ⅰ（本题共4小题，每小题6分，共24分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．）1． 已知两圆12,C C ，则“12,C C 有且仅有三条公切线”是“12,C C 相切”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若1,1,22α⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，则函数2()ln(1)f x x x α=+的图象不可能是A B C D3．已知对任意平面向量(,)AB x y =，把AB 绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量AP =(cos sin ,sin cos )x y x y θθθθ-+，叫做把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转θ角得到点P ．若圆锥曲线2272724x xy y Γ++=：经过适当旋转后其方程可以变为标准方程，则曲线Γ的离心率为A ．12B ．C ．1 D4．已知△ABC 的内心为I ，垂心为H ，π4B ∠=，若IH BC ∥，则C ∠的大小落在区间 A ．π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．ππ,43⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭二．选择题Ⅱ（本题共3小题，每小题8分，共24分．每小题列出的四个选项中至少有一个是符合题目要求的，全部选对的得8分，选对但不全的得部分分，不选、有选错的均不得分．）5．设,,a b c 是互不相等的正数，若关于x 的不等式0x x x a b c -+>成立当且仅当(,1)x ∈-∞，则A ．2a c b +<B ．112a c b+> C ．e e 2e a c b +> D ．ln ln 2ln a c b +<6． 数列{}n a 是等差数列，周期数列{}n b 满足cos()n n b a =． 若集合*{|,N }n X x x b n ==∈中恰有三个元素，则数列{}n b 的周期T 的取值可能是 A ．4 B ．5C ．6D ．77．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，点M 是线段11A D 上的动点，点N 在侧面11BCC B (包含边界)上且满足110B N C N ⋅=，下列结论正确的是 A ．对任意的点M ，总存在点N 使得MN AC ⊥B ．三棱锥M BCN -外接球的球心可以是线段BM 的中点C ．三棱锥M BCN -外接球半径的最小值为8 D ．二面角M AC N --的正切的最大值为2三、填空题（本题共6小题，每小题8分，共48分．请把答案写在答题纸的相应位置上．）8．已知函数()f x 满足1()1f x f x x ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭，则(2)f = ▲ ．9．在斜三棱柱的9条棱中任取2条，则取出的两条棱所在直线异面的概率为 ▲ ． 10．在33⨯的方格表内填入1,2,,9，若任何有公共边的两格内填的数之差的绝对值都不小于c ，则c 的最大值为 ▲ ．11．已知9位学生在某次数学测试中的成绩的平均值为75，方差为80，则这9位学生成绩的中位数的最大值为 ▲ ．12．设00(,)P x y 为椭圆22224x y k k +--=与直线222x y k +=+的交点，则过00(,)P x y ，()2,1Q 分别作两坐标轴的垂线围成的矩形的面积的最大值为 ▲ ．四、解答题Ⅰ（本题共3小题，第14、15题每题17分，第16题20分，共54分．） 14. 在ABC △中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，且2222sin cos 2Ab bc c A +=． （1）判断ABC △的形状，并说明理由；（2）若ABC △为等腰三角形，D 为边AB 上一动点，作BE CD ⊥于E 点，求CDBE的 最小值．15． 已知函数()f x=． （1）求证：()(2)(1)2f x f x f x ++>+；（2）若关于x 的不等式1(1)1kx f x tx -≤+≤-的解集为[]0,3，求实数k 和t 的取值范围．16．已知双曲线22:2x y Γ-=的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线分别交双曲线Γ的两支于,A B 两点，直线22,F A F B 与直线1y =分别交于点,R S ．（1）若C 为线段AB 上一点，满足22F RC F SC S S ∆∆=，求点C 的轨迹方程； （2）若1,4RM RS =14AN AB =，求2F MN S ∆的取值范围．五、解答题Ⅱ（A 卷试题，B 卷考生不答．本题共2小题，每小题25分，共50分．） 17．已知p 为素数，定义()p f n 表示正整数n 的不被p 整除的最大因子，记11()n p n pi a fi -==∑．求证：（1）1{}n n a a +-为等比数列；（2）2122(1)iini p a p p =<-∑．18．设集合12{,,,}n A x x x =，Z,1,2,,i x i n ∈=．将A 的每个子集的元素相加，得到2n 个数（空集的元素和记为0），将这些数按照不减的顺序排列，得到一组数122,,,n b b b ．（1）若1{1,2,4,,2}n A -=，求证：若i j ≠，则i j b b ≠；（2）若122,,,n b b b 为连续的2n 个整数，求符合要求的集合A 的个数．2024年宁波市高中数学竞赛试题2024年12月8日 8:00-10:00注意：①本卷不得使用计算器；②报考A 组的考生作答A 卷（所有试题），报考B 组的考生作答B 卷（前16题）； ③请考生按规定用笔，将所有试题的答案涂、写在答题纸上．一．选择题Ⅰ（本题共4小题，每小题6分，共24分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．）1． 已知两圆12,C C ，则“12,C C 有且仅有三条公切线”是“12,C C 相切”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A ．2．若1,1,22α⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，则函数2()ln(1)f x x x α=+的图象不可能是A B C D答案：C ．3．已知对任意平面向量(,)AB x y =，把AB 绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量AP =(cos sin ,sin cos )x y x y θθθθ-+，叫做把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转θ角得到点P ．已知圆锥曲线2272724x xy y Γ++=：经过旋转后其方程可以变为标准方程，则此曲线的离心率为A ．12 B ． C ．1 D 答案：A ．解析：已知坐标原点O ，设曲线Γ上任意一点为00(,)P x y ，点P 绕点O 沿逆时针方向旋转4π得到的点为(),Q x y ，则0000,2222x x y y y =-=+，可得))00,22x x y y y x =+=-，所以))))2272724x y x y y x y x ⎤⎤+++-+-=⎥⎥⎣⎦⎣⎦，化简即得22143x y +=，此时离心率为12，故选A ．4．已知△ABC 的内心为I ，垂心为H ，π4B ∠=，若IH BC ∥，则C ∠的大小落在区间（ ） A ．π0,6⎛⎫⎪⎝⎭B ．ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．ππ,43⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭答案：D ．法1：作I E B C ⊥于E ，连AH 并延长交BC 于D ． 由IH BC ∥，得H D I E r ==(r 为△ABC 内切圆半径)．又11,,,22IBE B ICE C BHD C CHD B ∠=∠∠=∠∠=∠∠=∠，得 ,tan tan tan tan 22r r r rBC BE CE B C IBE ICE =+=+=+∠∠tan tan tan tan BC BD CD r BHD r CHD r C r B =+=⋅∠+⋅∠=⋅+⋅，从而tan tan tan tan 22r r r C r B B C +=⋅+⋅，得22tan112tan tan tan tan tan 1tan 222CC B B B C C +=+=+-．又1cos tan 1,tan 12sin B B B B -===，得tan 2C21211x x x+=+-的正根，32310x +-=．令32()31f x x =+-，有0,(1)20f f =<=>⎝⎭，故存在0x ⎫∈⎪⎪⎝⎭，使得0()0f x =，又当0x <<22()(1)(31)0f x x x =-+-<；当1x >时，22()(1)(31)0f x x x =-+->， 从而对于满足条件的C ∠，有tan 2C ⎫∈⎪⎪⎝⎭，对应的ππ,264C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得ππ,32C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选D ． 法2：考虑特殊位置，当π4C ∠=时，垂心H 在内心I 的上方（如图1）； 当π2C ∠=时，垂心H 在内心I 的下方（如图2）；可知存在ππ,42C ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，使得IH BC ∥．图1 图2 图3进而考虑当π3C ∠=时，垂心H 在内心I 的上方（如图3）；故选D ．二．选择题Ⅱ（本题共3小题，每小题8分，共24分．每小题列出的四个选项中至少有一个是符合题目要求的，全部选对的得8分，选对但不全的得部分分，不选、有选错的均不得分．）5．设,,a b c 是互不相等的正数，若关于x 的不等式0x x x a b c -+>成立当且仅当(,1)x ∈-∞，则（ ） A ．2a c b +<B ．112a c b+> C ．e e 2e a c b +> D ．ln ln 2ln a c b +<BB(H )BB答案：ABD ．解：由题意，1xxa cb b ⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立当且仅当(,1)x ∈-∞，故1a c b b +=，即a c b +=．对于A ，2a c b b +=<，成立；对于B ，1111()42b a c a c a c ⎛⎫⎛⎫+⋅=+⋅+≥> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得112a c b +>，成立；对于C ，取1,2a c b ===，得112e e 2e 2e +=<，不成立；对于D ，22()b a c ac =+>，得22ln ln ln ln ln b b ac a c =>=+，成立； 故选ABD ．6． 数列{}n a 是等差数列，周期数列{}n b 满足cos()n n b a =． 若集合*{|,N }n X x x b n ==∈中恰有三个元素，则数列{}n b 的周期T 的取值可能是 A ．4B ．5C ．6D ．7答案：ABC ． 解：对于A ，取π2n a n =⋅，符合题意； 对于B ，取2π5n a n =⋅，符合题意； 对于C ，取ππ36n a n =⋅+，符合题意； 对于D ，当7T ≥时，可知127,,,a a a ⋅⋅⋅对应的角的终边各不相同，由抽屉原理可知，至少存在4个角的终边，它们落在x 轴的同侧（含x 轴），从而集合*{|,N }n X x x b n ==∈中至少有4个元素，不符； 故选ABC ．7．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，点M 是线段11A D 上的动点，点N 在侧面11BCC B (包含边界)上且满足110B N C N ⋅=，下列结论正确的是A ．对任意的点M ，总存在点N 使得MN AC ⊥B ．三棱锥M BCN -外接球的球心可以是线段BM 的中点C ．三棱锥M BCN -D ．二面角M AC N -- 答案：BCD ．解：对A ，当点M 位于点1A 时，点M 在底面的射影落在点A 处，点N 在底面的射影点N '落在线段BC 上，若MN AC ⊥，则AN AC '⊥，如图（1）显然不符，故A 错误；对B ，当,M N 分别位于11,D B 处，三棱锥M BCN -的外接球即正方体的外接球，此时球心为线段1BD 的中点，即线段BM 的中点，故B 正确；对C ，三棱锥M BCN -外接球半径大于等于△MBC 的外接圆1O 的半径，易得M 位于11A D 中点时BMC ∠最大，此时三角形的外接圆半径最小，2sin BC R BMC ==∠R =．如图（2）取,B C 中点E ，则1O 必在线段ME 上，过O 作OH 垂直平面1BC 交于点H，易得78OE OH ===，所以N 在以H为半径的圆上，显然与曲线Γ有交点，当N 位于交点处时，三棱锥M BCN -的，故C 正确；（2） （3）对D ，记二面角M AC N --，二面角M AC D --，二面角N AC B --的大小分别为,,αβγ，显然有παβγ++=，要使得α最大，只要,βγ最小即可．记线段AC 的中点为O ，易得点M 在点1D 时，1D OD β=∠最小，且tan β=．要使得γ最小，则平面NAC 与曲线Γ必相切，则平面NAC 与平面1BC 的交线CN 与曲线Γ相切，如图（3），记CN 与1BB 交于点F ，易得此时3,2BF =可得tan tan FOB γ=∠=．此时()tan tan αβγ=-+==，故D 正确．故选BCD ．三、填空题（本题共6小题，每小题8分，共48分．请把答案写在答题纸的相应位置上．）8．已知函数()f x ，满足1()1f x f x x ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭，则(2)f = ．答案：74． 9．在斜三棱柱的9条棱中任取2条，则取出的两条棱所在直线异面的概率为 ▲ ．答案：13．10．在33⨯的方格表内填入1,2,,9，若任何有公共边的两格内填的数之差的绝对值都不小于c ，则c 的最大值为 ． 答案：3．解析：若4c ≥，与5差值的绝对值为4的数只有1，9，故5只能放在角落里，如图，则表格中间无数可填，矛盾．的情形，见下表．75，方差为80，则这9位学生成绩的中位数的最大值为 ． 答案：83．解：设9位学生的成绩分别为129,,,x x x ⋅⋅⋅，且129x x x ≤≤⋅⋅⋅≤．记1234,,,x x x x 的平均数为x ，方差为S ；56789,,,,x x x x x 的平均数为y ，方差为T ． 由平均值为75，有45759x y +=，得97554yx ⨯-=．由分层抽样的方差公式，可知22224[(75)]5[(75)]4(75)5(75)8099S x T y x y +-++--+-=≥，得2297557204(75)5(75)4yy ⨯-≥-+-，化简得2(75)64y -≤，解得83y ≤，进而有583x y ≤≤． 又当12345678965,83x x x x x x x x x =========时，5x 取到83， 因此，中位数5x 的最大值为83．12．设00(,)P x y 为椭圆22224x y k k +--=与直线222x y k +=+的交点，则过00(,)P x y ，()2,1Q 分别作两坐标轴的垂线围成的矩形的面积的最大值为 ．答案：252．解：由题220k k -->，解得2k >或1k <-．由柯西不等式可得()222(11)4(2)x y x y ++≥+，所以()222(222)k k k ≥+--，解得41k -≤≤-，所以41k -≤<-．2222000000439642222x k k y k k k x y x y ⎧+=++⎪⇒=⎨+--=+⎪⎩ 以00(,)P x y 与()2,1Q 对角顶点的矩形的面积()()20000002|36|25|21||22|42396(22)24k k S x y x y x y k k k ++++=--=--+==≤+-+，等号当且仅当解：由于上下平移不改变复数实部，所以原题可以转化为： 已知复数12,z z 满足1||z =，且2112z z=+， 且12|Re()||Re()|z z +的取值范围． 设12,z z 对应的点分别为12,Z Z ，由21112z z ==， 所以21||||z z =112π3Z O Z ∠=，如图． 设()12ππcos ,sin ,cos ,sin 33Z Z αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由对称性只需考虑ππ,22α⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭①当6π2απ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，12,Z Z 在y 轴的同侧（或y 轴上），取12,Z Z 的中点1M，则166M ππαα⎫⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以12|Re()||Re()|26M z z x πα⎛⎫+=+∈ ⎪⎝⎭⎣； ②当2π6απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，12,Z Z 在y 轴的两侧，取2Z关于1O 的对称点32π2πcos ,sin 33Z αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，取13,Z Z 的中点2M ，则233M ππαα⎫⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭212|Re()||Re()|23M z z x πα⎛⎫+==-∈ ⎪⎝⎭⎝；综上：12|Re()||Re()|z z +∈⎣．四、解答题Ⅰ（本题共3小题，第14、15题每题17分，第16题20分，共54分．） 14. 在ABC △中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，且2222sin cos 2A b bc c A +=． （1）判断ABC △的形状，并说明理由；（2）若ABC △为等腰三角形，D 为边AB 上一动点，作BE CD ⊥于E 点，求CDBE的最小值． 解析：（1）由题可得22(1cos )cos b bc A c A +-=，所以22cos b bA c bc cbc ++==，即cos b c A =⋅，由余弦定理得：2222b c a b c bc +-=，222c a b ∴=+，即ABC 为直角三角形．（2）设ACD α∠=．则CBE α∠=，34ADC πα∠=-，cos BE BC α=． 在ABC △中，由正弦定理得sin43sin sin sin 4CD ACCD AC A ADC ππα=⇒=∠⎛⎫- ⎪⎝⎭．因为ABC △为等腰三角形，所以sin42333sin cos sin sin 2444CDBEππππααα==≥=⎛⎫⎛⎫-⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当8πα=时，取到等号，所以CD BE的最小值为2． 15．已知函数()f x（1）求证：()(2)(1)2f x f x f x ++>+；（2）若关于x 的不等式1(1)1kx f x tx -≤+≤-的解集为[]0,3，求实数k 和t 的取值范围．答案：(1)略；(2) 11,26k t ≥=．解：（1）>，上式左边==，同理可得，上式右边=，显然有左边>右边，得证．（2）由不等式1(1)1kx f x tx -≤+≤-的解集为[0,3]，可知函数y =的图象与过定点(0,1)的两直线12:1,:1l y kx l y tx =-=-的位置关系如图所示．数形结合可得，3x =1tx =-的根，可得16t =； 又由图象可知，不等式1kx -≤对任意(0,3]x ∈恒成立，可得1kx ≥-==从而k ≥对任意(0,3]x ∈恒成立．又函数y =在(0,3]x ∈上单调递减，故1162y ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，所以12k ≥．因此，11,26k t ≥=．16．已知双曲线22:2x y Γ-=的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线分别交双曲线Γ的两支于,A B 两点，直线22,F A F B 与直线1y =分别交于点,R S ．（1）若C 为线段AB 上一点，满足22F RC F SC S S ∆∆=．求点C 的轨迹方程；（2）若1,4RM RS =1,4AN AB =求2F MN S ∆的取值范围．解：AB 的斜率存在且不为0，可设:2AB x my =-，1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 与双曲线Γ联立，2222x y x my ⎧-=⎨=-⎩可得()221420m y my --+=所以12122242,11m y y y y m m +==--，且||1m >． 又1212:2x F A x y y -=+，令1y =可得1122R x x y -=+，同理可得2222S x x y -=+． 因为22F RC F SC S S ∆∆=，所以22R F C S F C d d --=．设直线2CF 交直线RS 于点T ，则T 为线段RS 的中点，所以121212121222441122223222T x x my my y y y y x m m y y ----++⎛⎫=+=+=-+++=-+ ⎪⎝⎭所以2:32F T x my =-+与:2AB x my =-，联立可得1C x =-，()()11,00,1C y m=∈-，所以C 的轨迹为()()1,1,00,1x y =-∈-；（2）由1,4RM RS =1,4AN AB =可得1322,14R S M M x x x m y y +==--+=， 1212123(3)32,444N N x x m y y y y x y +++==-=．1212221(3)32,1,4,44m y y y y F M m F N y ⎛⎫++⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212121212113(3)3(3)121144244222F MN y y m y y y y m y y S m y y ∆⎛⎫++++⎛⎫⎛⎫=----=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2221212121122112(3)11151333222422428y y y y y y y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫++=--++=-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2222122212243338321444128881211m y y m m y y m m m ⎛⎫⎪+-⎝⎭=-+=-+=-+=+--- 因为||1m >，所以22111m +>-，所以232F MN S ∆⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，．五、解答题Ⅱ（A 卷试题，B 卷考生不答．本题共2小题，每小题25分，共50分．） 17．已知p 为素数，定义()p f n 表示正整数n 的不被p 整除的最大因子．记11()n p n p i a fi -==∑．求证：（1）1{}n n a a +-为等比数列；（2）2122(1)ii ni p a p p =<-∑． 证明：依题意，1(1)2p p a -=下，面考察n a 与1n a +的关系． 由于,11,2,n p -中除,,2,n p p p p -外其他数均不能被p 整除，显然()()p p f np f n =，所以1111111()()n n p p p p n k k f kp f k a -----====∑∑，则22111(1)[2()]221n n nnn n n p p p p p a p p a a ----+--+==+++++-+所以211(1)2n n n a p a p ---=-．所以211n n nn a a p a a -+=--，且10n n a a --≠， 所以1{}n n a a +-为等比数列．（2）有（1）可得5212113]2(1)1[2n n n p a pp p pa p p +--++-++=+=22(1)1n n n p a b p p+==- 1122222211111i ii i i i p p b p p p ++==---- 所以11122222222111211111()111111iii ii n innni i i p p b p p pp p p +++=====-=-<------∑∑∑即221212(1)1ii ni p p p a p=<+-∑． 所以2122(1)ii ni p a p p =<-∑．18．设集合12{,,,}n A x x x =，,1,2,,i x Z i n ∈=．将A 的每个子集的元素相加，得到2n 个数（空集的元素记为0），将这些数按照不减的顺序排列，得到一组数122,,,n b b b ．（1）若1{1,2,4,,2}n A -=，证明：若i j ≠，则i j b b ≠；（2）若122,,,n b b b 为连续的2n 个整数． 求符合要求的集合A 的个数有多少个？解析：（1）设i b 对应的子集为12{2,2,,2}k i iii A =，j b 对应的子集12{2,2,,2}m j j jj A =，其中12k i i i <<<，12m j j j <<<，因为i j A A ≠，则设t 为使得t t i j ≠的最大下标，不妨设t t i j >． 则11122(22++2)2(221)1t t t t t t i j ji i i j i j b b ---->-+>-+++=，所以i j b b >得证．（2）先证：若1||2(1)(0)i i x d i n d -=⋅≤≤>，则{}n b 是公差为d 的等差数列． 因为1b 为集合A 中所有的非正数的和，2n b 为集合A 中所有非负数的和， 所以11202(21)n ni n i b b d -=-==-∑．又因为当i j ≠时，设i b 对应的子集为12{,,,}k i i i i A x x x =，j b 对应的子集12{,,,}m j j j j A x x x =，其中12k i i i <<<，12m j j j <<<，因为i j A A ≠，则设t 为使得t t i j ≠的最大下标，不妨设t t i j >当0t i x >时，则12(2(221))0t t t i i i i j b b d d --->⋅-+++=>; 当0t i x <时，则122(221)0t t t i i i i j b b d d d ---<-⋅+⋅+++=-<，综上i j b b ≠． 所以122,,,n b b b 两两不相等，且每个数都是d 的倍数，而11202(21)n ni n i b b d -=-==-∑，所以{}n b 是公差为d 的等差数列，得证．再证：若{}n b 是公差为d 的等差数列，则1||2(1)i i x d i n -=⋅≤≤． 不妨设120||||||n x x x ≤≤≤≤，当1k =时，1||x d =显然成立． 设1k n =-时成立，则考虑n 时的情形． 设12{,,,}n A x x x =，122{,,,}n B b b b =，122n b b b <<<，不妨设10x >，（若10x <，只需将每个i x 用i x -代，条件和结论不变） 考虑{}m b 中最小项1b 为A 中所有非正数之和，则2111b b d b x =+=+，所以1x d =，而3b 对应的子集中不包含1x （否则31211b x b x b ->-=，即1231,,b b b x -为小于3b 的三项，矛盾），进而4331b b d b x =+=+，4b 对应的子集中包含1x ，依次类推，21i b -对应的集合不含1x ，2211i i b b x -=+．所以23{,,,}n x x x 的子集的和对应的和为1321,,,n b b b -也为等差数列，且公差为2d ．所以由归纳假设知，2||22(2)i i x d i -=⋅≥，所以1||2(1)i i x d i -=⋅≥，所以对n 的情形也成立．又因为122,,,n b b b 为连续的2n 个整数，所以1d =．所以1||2i i x -=，12i i x -=±，1,2,,i n =，所以满足条件的集合A 有2n 个．。
高中数学竞赛试题及答案
高中数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. 2B. πC. 0.5D. √4答案：B2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(2)的值。
A. 0B. 4C. -4D. 8答案：A3. 一个等差数列的前三项分别为1, 4, 7，求第四项的值。
A. 10B. 11C. 13D. 15答案：A4. 计算复数z = 1 + i的模。
A. √2B. 2C. 1D. √3答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知等比数列的公比为2，首项为1，求第5项的值。
答案：326. 已知向量a = (3, -4)，向量b = (-2, 3)，求向量a与向量b的点积。
答案：-67. 计算函数y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6在x = 2处的导数值。
答案：18. 已知圆的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9，求圆心坐标。
答案：(2, 3)三、解答题（每题10分，共60分）9. 求证：对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2总是能被3整除。
证明：设n = 3k, 3k + 1, 3k + 2，其中k为整数。
当n = 3k时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 9k + 2 = 3(3k^2 + 3k + 1)，能被3整除。
当n = 3k + 1时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 6k + 1 + 9k + 3 + 2 =3(3k^2 + 5k + 2)，能被3整除。
当n = 3k + 2时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 12k + 4 + 9k + 6 + 2 = 3(3k^2 + 7k + 4)，能被3整除。
因此，对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2总是能被3整除。
10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求f(x)的单调区间。
解：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。
高中数学竞赛试题及答案
高中数学竞赛试题及答案1. 已知函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \)，求 \( f(x) \) 在区间 \([0, 3]\) 上的最大值和最小值。
答案：首先求导数 \( f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \)，令 \( f'(x) = 0 \) 得 \( x = 1 \) 或 \( x = \frac{2}{3} \)。
计算 \( f(0) = 0 \)，\( f(1) = 0 \)，\( f(\frac{2}{3}) = \frac{2}{27} \)，\( f(3) = 6 \)。
因此，最大值为 6，最小值为 0。
2. 计算极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{x^2} \)。
答案：使用洛必达法则，首先求导得到 \( \frac{e^x + \sinx}{2x} \)，再次求导得到 \( \frac{e^x + \cos x}{2} \)。
当 \( x \to 0 \) 时，极限为 \( \frac{1}{2} \)。
3. 证明不等式 \( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots +\frac{1}{2n} \geq \frac{1}{2} \ln 2 \) 对所有正整数 \( n \) 成立。
答案：利用调和级数的性质，将不等式左边的和表示为\( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} \)。
通过放缩和积分估计，可以证明该不等式成立。
4. 已知三角形 \( ABC \) 的内角 \( A, B, C \) 满足 \( A + B +C = \pi \)，且 \( \sin A + \sin B + \sin C =\frac{3\sqrt{3}}{2} \)，求 \( \cos A + \cos B + \cos C \) 的值。
答案：利用三角恒等式 \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) 和\( \sin x \) 的和为 \( \frac{3\sqrt{3}}{2} \)，通过平方和展开，可以求得 \( \cos A + \cos B + \cos C = -\frac{3}{2} \)。
高中数学竞赛赛题精选(带答案)
高中数学竞赛赛题精选一、选择题（共12题）1．定义在R 上的函数()y f x =的值域为［m,n ］,则)1(-=x f y 的值域为（ ） A ．［m,n ］B ．［m-1,n-1］C ．［)1(),1(--n f m f ］D ．无法确定解：当函数的图像左右平移时，不改变函数的值域.故应选A.2．设等差数列{n a }满足13853a a =，且n S a ,01>为其前n 项之和，则)(*∈N n S n 中最大的是( ) A. 10S B. 11S C. 20S D. 21S 解：设等差数列的公差为d,由题意知3(1a +7d)=5(1a +12d),即d=-3921a , ∴n a = 1a +( n-1)d= 1a -3921a (n-1)= 1a (3941-392n),欲使)(*∈N n S n 最大，只须n a ≥0，即n ≤20.故应选C.3．方程log 2x=3cosx 共有（ ）组解．A ．1B ．2C ．3D ．4解：画出函数y=log 2x 和y=3cosx 的图像，研究其交点情况可知共有3组解．应选C ．4．已知关于x 的一元二次方程()02122=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（）Ａ．11<<-a Ｂ．1-<a 或1>aＣ．12<<-aＤ．2-<a 或1>a解：令f(x)= ()2122-+-+a x a x ，其图像开口向上，由题意知f(1)＜0，即 ()211122-+⨯-+a a ＜0，整理得022<-+a a ，解之得12<<-a ，应选C ．5．已知βα,为锐角，,cos ,sin y x ==βα53)cos(-=β+α，则y 与x 的函数关系为（ ） A ．1)x 53( x 54x 153y 2<<+--= B ．1)x (0 x 54x 153y 2<<+--=C ．)53x (0 x 54x 153y 2<<---= D ．1)x (0 x 54x 153y 2<<---= []xx y 54153sin )sin(cos )cos()(cos cos 2+-⋅-=⋅+++=-+==αβααβααβαβ解： 而)1,0(∈y 15415302<+-⋅-<∴x x ， 得)1,53(∈x .故应选A. 6．函数sin y x =的定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a-的最大值是（ ）A. πB. π2C.34πD. 35π解：如右图，要使函数sin y x =在定义域[],a b 上，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是74()663πππ--=.故应选C. 7．设锐角使关于x 的方程x 2+4x cos+cot =0有重根，则的弧度数为 ( )A ．6B ．12或512C ．6或512D ．12解：由方程有重根，故14=4cos 2－cot =0，∵ 0<<2，2sin2=1，=12或512．选B ． 8．已知M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．若对于所有的m ∈R ，均有M ∩N ，则b 的取值范围是 ( )A ．[－62，62] B ．(－62，62) C ．(－233，233] D ．[－233，233] 解：点(0，b )在椭圆内或椭圆上，2b 2≤3，b ∈[－62，62]．选A ．9．不等式log 2x －1+12log 12x 3+2>0的解集为A ．[2，3)B ．(2，3]C ．[2，4)D ．(2，4] 解：令log 2x=t ≥1时，t －1>32t －2．t ∈[1，2)，x ∈[2，4)，选C ．10．设点O 在ABC 的内部，且有+2+3=，则ABC 的面积与AOC 的面积的比为( )A ．2B ．32C ．3D ．53解：如图，设AOC=S ，则OC 1D=3S ，OB 1D=OB 1C 1=3S ，AOB=OBD=1.5S ．OBC=0.5S ，ABC=3S ．选C ．11．设三位数n=，若以a ，b ，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n 有( )A ．45个B ．81个C ．165个D ．216个 解：⑴等边三角形共9个；⑵ 等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为a ，b )，有36种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形，而以大数为底时，b <a <2b ．a=9或8时，b=4，3，2，1，(8种)；a=7，6时，b=3，2，1(6种)；a=5，4时，b=2，1(4种)；a=3，2时，b=1(2种)，共有20种不能取的值．共有236－20=52种方法，而每取一组数，可有3种方法构成三位数，故共有523=156个三位数即可取156+9=165种数．选C ．12．顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB ⊥OB ，垂足为B ，OH ⊥PB ，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长为 ( )A ．53 B ．253 C ．63 D ．263解：AB ⊥OB ，PB ⊥AB ，AB ⊥面POB ，面PAB ⊥面POB ．OH ⊥PB ，OH ⊥面PAB ，OH ⊥HC ，OH ⊥PC ，又，PC ⊥OC ，PC ⊥面OCH ．PC 是三棱锥P －OCH 的高．PC=OC=2．而OCH 的面积在OH=HC=2时取得最大值(斜边=2的直角三角形)．当OH=2时，由PO=22，知∠OPB=30，OB=PO tan30=263．又解：连线如图，由C 为PA 中点，故V O －PBC =12V B －AOP ，S B 11OABCABPO H C而V O －PHC ∶V O －PBC =PH PB =PO 2PB2(PO 2=PH ·PB )．记PO=OA=22=R ，∠AOB=，则V P —AOB =16R 3sin cos =112R 3sin2，V B －PCO =124R 3sin2． PO 2PB 2=R 2R 2+R 2cos 2=11+cos 2=23+cos2．V O －PHC =sin23+cos2112R 3． ∴ 令y=sin23+cos2，y=2cos2(3+cos2)－(－2sin2)sin2(3+cos2)2=0，得cos2=－13，cos =33， ∴ OB=263，选D ．二、填空题（共10题）13. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差为 解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .由题设得⎩⎨⎧-=+=+，，545101010511d a d a 即 ⎩⎨⎧-=+=+，，1922211d a d a 解之得1-=d .14. 设()log ()a f x x b =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(21)，，它的反函数的图象经过点(28)，，则b a +等于 4 .解：由题设知 log (2)1log (8)2a a b b +=⎧⎨+=⎩，， 化简得 2(2)(8).b a b a +=⎧⎨+=⎩，解之得 1131a b =⎧⎨=⎩，； 2224.a b =-⎧⎨=-⎩，（舍去）. 故a b +等于4.15．已知函数()y f x =的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的 x 的取值范围为 [21)x ∈-， ．解： 因为 ()()22lg 620lg (3)11lg111x x x -+=-+≥>，所以()2lg 6200x x -+<. 于是，由图象可知，2111x x +≤-，即 201x x +≤-，解得 21x -≤<. 故x 的取值范围为 [21)x ∈-，．16．圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是 2 ．解：原式变形为|3|)1()3(22+-=-++y x y x ，即=2|3|2+-y x ．所以动点),(y x 到定点(31)-，的距离与它到直线03=+-y x 的距离之比为2．故此动点轨迹为双曲线，离心率为2．17．在ABC ∆中，已知3tan =B ，322sin =C ，63=AC ，则ABC ∆的面积为ABC S ∆=解：在ABC ∆中，由3tan =B 得︒=60B ．由正弦定理得sin 8sin AC CAB B⋅==．因为︒>60322arcsin，所以角C 可取锐角或钝角，从而31cos ±=C ．sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=sin 2ABC AC ABS A ∆⋅== 18. 设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有 且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a . 解：由a a <2得10<<a ．由0142>++ax x 对于任何x ∈R 成立，得04162<-=∆a ，即2121<<-a ．因为命题P 、Q 有且仅有一个成立，故实数 a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a ．19.22cos 75cos 15cos75cos15++⋅的值是 ． 解：22cos 75cos 15cos75cos15++⋅ =cos²75°+sin²75°+sin15°·cos15° =1+°30sin 21=5420.定义在R 上的函数()f x 满足(1)2f =，且对任意的x R ∈，都有1()2f x '<，则不等式22log 3(log )2x f x +>的解集为 ． 解：令g ﹙x ﹚=2f ﹙x ﹚－x ，由f '(x ) <1/2得，2f '(x ) -1<0，即'g ﹙x ﹚<0，g(x)在R 上为减函数，且g(1)=2f(1)-1=3，不等式f(log2X)>2log 2X化为2f(log2X)—log2X≥3，即g(log2X)>g(1),由g(x)的单调性得：log2X<1,解得，0<x<2. 21.圆O 的方程为221x y +=，(1,0)A ，在圆O 上取一个动点B ，设点P 满足()AP OB R λλ=∈且1AP AB ⋅=．则P 点的轨迹方程为 ．解：设P(x,y), AB =λOB (λϵR)得B(k(x —1)，ky)，（λ=k1）。
高等数学竞赛选拔考核试卷
A.定积分的换元法可以简化被积函数
B.定积分的换元法需要引入雅可比行列式
C.定积分的换元法只能用于线性换元
D.定积分的换元法可以推广到多变量函数的积分
17.关于向量场的散度和旋度，以下说法正确的是（）
A.散度描述了向量场源和汇的性质
B.旋度描述了向量场的旋转性质
A. f(x)在[0,1]上的平均值
B. f(x)在[0,1]上的定积分
C. f(x)在[0,1]上的变上限积分
D. f(x)在[0,1]上的原函数
17.三阶行列式的值为0，则（）
A.行列式的三行（或三列）线性相关
B.行列式的三行（或三列）线性无关
C.行列式至少有一行（或一列）为零向量
D.行列式的元素至少有一个为零
A. 1/3
B. 1/6
C. 1/12
D. 1/24
5.设f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1，则f(x)的极大值为（）
A. 1
B. 3
C. 5
D. 7
6.矩阵A的行列式为0，则（）
A. A一定是奇异矩阵
B. A一定可逆
C. A的列向量线性无关
D. A的行向量线性相关
7.若f(x) = (sin x)/x，则f'(π/2)等于（）
A.必有极大值
B.必有极小值
C.必有拐点
D.以上都不一定
3.若级数∑(n=1 to ∞) a_n的收敛半径为R，则级数∑(n=1 to ∞) a_n^2的收敛半径是（）
A. R
B. R/2
C. 2R
D. √R
4.二重积分∬_D f(x,y) dσ中，区域D为y=x^2，x属于[0,1]，则该二重积分的值为（）