高数竞赛试题集

高等数学竞赛

一、 填空题

⒈ 若

5)(cos sin lim

0=--→b x a

e x

x x ，则a = ，b = ．

⒉ 设2(1)()lim 1

n n x

f x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = ．

⒊ 曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为

．

⒋ 已知x

x xe e f -=')(，且f (1) = 0, 则f (x ) = ．

⒌ 设函数

()y x 由参数方程

33

31

31

x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值 范围为 ． ⒍ 设

1

ln arctan 22+-=x

x

x

e e e y ，则==1

x dx dy

．

⒎若

0→x 时，1)1(4

1

2

--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= .

⒏ 设⎪⎩

⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2

x x xe x f x ，则=-⎰221)1(dx x f ．

⒐ 由定积分的定义知，和式极限=+∑=∞→n

k n k

n n

12

2

lim ． ⒑

1+∞=⎰ ． 二、 单项选择题

11．把+

→0

x 时的无穷小量dt t dt t dt t x

x x

⎰⎰⎰===0

3

2

sin ,tan ,cos 2

γβα，使排在后面的

是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 【 】

(A)

γ

βα,,. (B)

βγα,,. (C) γαβ,,. (D) αγβ,,.

12．设函数f(x)连续，且,0)0(>'f 则存在0>δ，使得 【 】 (A) f(x)在（0，)δ内单调增加. （B ）f(x)在)0,(δ-内单调减少.

（C ）对任意的),0(δ∈x 有f(x)>f(0) . (D) 对任意的)0,(δ-∈x 有f(x)>f(0) .

13 . 设()(1)f x x x =-, 则 【 】

（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点.

（D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.

14 .

lim (1)n n

→∞+等于 【 】

（A ）

2

21

ln xdx ⎰. （B ）21

2ln xdx ⎰. （C ）2

1

2ln(1)x dx +⎰. （D ）2

21

ln (1)x dx +⎰

15 . 函数

2

)2)(1()

2sin(||)(---=

x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. 【

】

(A) (-1 , 0). (B) (0 , 1).

(C) (1 , 2).

(D) (2 , 3).

16 . 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且

a x f x =∞

→)(lim ，

⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0

,00

,)1()(x x x

f x

g ，则 【 】

(A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.

(C) x = 0必是g (x )的连续点. (D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. 17 . 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是【 】

(A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ).

(B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .

(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得

)(0x f = 0.

18 . 设

⎪⎩

⎪

⎨⎧<-=>=0,10,00

,1)(x x x x f ，⎰=x dt t f x F 0

)()(，则

【 】

(A) F (x )在x = 0点不连续.

(B) F (x )在(-∞ , +∞)内连续，但在x = 0点不可导.

(C) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，且满足

)()(x f x F ='.

(D) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，但不一定满足)()(x f x F ='.

三、解答题

19．求极限3

01

2cos lim 13x x x x

→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦

.

20．设函数

()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足

()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式;(Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导.

21．设 f （x ），g （x ）均在［a , b ］上连续，证明柯西不等式

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰b

a b a b a dx x g dx x f dx

x g x f )()()()(222

22．设2e b a e <<<, 证明)(4ln ln 22

2a b e

a b ->-.

23曲线2

x x

e e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体, 其

体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求()()S t V t 的值;(Ⅱ) ()

lim ()

t S t F t →+∞.

24．设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足

⎰⎰≥x a

x

a

dt t g dt t f )()(，x ∈ [a , b )，⎰⎰=b

a

b a

dt t g dt t f )()(.

证明：

⎰⎰≤b

a b a dx x xg dx x xf )()(.

25． 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为).100.66⨯=k 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注

kg 表示千克，km/h

表示千米/小时.

高等数学竞赛试卷

一、单项选择题

1、若2

lim(

)01

x x ax b x →∞--=+，则 （A ） 1,1a b == （B ）1,1a b =-= （C ） 1,1a b ==- （D ）1,1a b =-=-