2020华杯赛决赛小学高年级组试题A参考答案详解
20届华杯赛试题及答案
20届华杯赛试题及答案华杯赛，全称“华罗庚数学竞赛”，是中国的一项全国性数学竞赛，旨在激发青少年对数学的兴趣，培养他们的数学思维和解决问题的能力。
20届华杯赛的试题和答案如下：# 20届华杯赛试题一、选择题（每题5分，共20分）1. 若a、b、c为正整数，且满足\( a^2 + b^2 = c^2 \)，求证a、b、c中至少有一个是偶数。
2. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。
二、填空题（每题5分，共30分）1. 一个圆的半径为5，求其面积。
2. 若\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)，求x的值。
三、解答题（每题25分，共50分）1. 证明：对于任意正整数n，\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2+ ... + n)^2 \)。
2. 一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，求证其对角线的长度为\( \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \)。
# 20届华杯赛答案一、选择题答案1. 正确。
根据奇偶性的性质，偶数的平方是偶数，奇数的平方是奇数。
若a、b、c都是奇数，则\( a^2 + b^2 \)为偶数，与\( c^2 \)为奇数矛盾。
2. 斜边长度为5，根据勾股定理\( 3^2 + 4^2 = 5^2 \)。
二、填空题答案1. 圆的面积为\( 25\pi \)。
2. \( x = 2 \) 或 \( x = 3 \)，根据因式分解\( (x - 2)(x - 3) = 0 \)。
三、解答题答案1. 证明：- 左边：\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)(1^2 + 2^2 + ... + n^2) - (1 + 2 + ... + n) \)。
- 右边：\( (1 + 2 + ... + n)^2 \)。
- 根据等差数列求和公式，\( 1 + 2 + ... + n = \frac{n(n + 1)}{2} \)。
华杯赛小学高年级试卷合集(18-21)A3
初赛试卷 A（小学高年级组）试题 一、选择题
第十九届华罗庚杯少儿数学邀请赛
初赛试卷 A（小学高年级组）试题
1、平面上的四条直线将平面分割成八个部分,则这四条直线中至多有（ A.0 B.2 C.3 D.4
5、右图 ABCD 是平行四边形,M 是 DC 的中点,E 和 F 分别位于 AB 和 AD 上,且 EF 平行于 BD,若三角形 MDF 的面积等于 5 平方厘米,则三角形 CEB 的面积等于 （ ）平方厘米。 A.5 B.10 C.15 D.20
6、如图所示，AF=7cm,DH=4cm,BG=5cm,AE=1cm。若正方形 ABCD 内的四边形 EFGH 的面积为 78cm²,则正方形 的边长为（ A.10 二、填空题 7、五名选手 A、B、C、D、E 参加“好声音”比赛,五个人站成一排集体亮相。他们胸 前有每人的选手编号牌,5 个编号之和等于 35。已知站在 E 右边的选手的编号和为 13;站在 D 右边的选 ）cm。 B.11 C.12 D.13
10、 圣诞老人有 36 个同样的礼物,分别装在 8 个袋子中。 已知 8 个袋子中的礼物的个数 至少为 1 且各不相同。现要从中选出一些袋子,将选出的袋子中的所有礼物平均分给 8 个小朋友,恰好分完(每个小朋友至少分得一个礼物),那么,共 种不同的选择。
第二十一届华罗庚杯少儿数学邀请赛 第二十届华罗庚杯少儿数学邀请赛 一、选择题 1、现在从甲、乙、丙、丁四个人中选出两个人参加一项活动。规定：如果甲去，那么乙也去；如果丙不去， 那么乙也不去；如果丙去，那么丁不去。最后去参加活动的两个人是（ A.甲、乙 B.乙、丙 C.甲、丙 ） A. 2017 B. 2016 C. 2015 D. 2014 初赛试卷 A（小学高年级组）试题 一、选择题 1. 算式 的计算结果中含有（
第20届华杯赛小高组答案详解
3
二、填空题 (每小题 10 分，共 40 分)
1 1 1 29 41 55 7. 计算: 481 + 265 + 904 − 184 − 160 − 703 =________． 6 12 20 30 42 56
【答案】 600
3 8
【题型】凑整、分数裂项 【解析】
1 1 1 1 1 1 + + − (1 − ) − (1 − ) − (1 − ) 6 12 20 30 42 56 1 1 1 1 1 1 + + + ) = (481 + 265 + 904 − 184 − 160 − 703 − 1 − 1 − 1) + ( + + 6 12 20 30 42 56 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 600 + ( − ) + ( − ) + ( − ) + ( − ) + ( − ) + ( − ) 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 1 1 = 600 + − 2 8 3 = 600 8 = 481 + 265 + 904 − 184 − 160 − 703 +
4.
足球友谊比赛的票价是 50 元，赛前一小时还有余票，于是决定降价．结果售出的票 增加了三分之一，而票房收入增加了四分之一，那么每张票售价降了（ ）元． 25 50 （A）10 （B） （C） （D）25 2 3
【答案】B 【题型】方程 【解析】设共有 x 张票，赛前一小时的余票降价 y 元. 1 25 1 由题意得： × ( x × 50) = × [ x × (50 − y)], y = 3 2 4
2020年第十八届华杯赛决赛小高年级(B)卷-试题及解析word版
总分 第十八届华罗庚金杯 少年邀请赛 决赛试题B （小学高年级组） （时间2013年4月20日10：00～11：30）一、填空题（每小题 10分, 共80分）1．计算: 19×0.125+281×81+12.5=________. 解析：原式=（19+281+100）×0.125=400×0.125=502．农谚‘逢冬数九’讲的是, 从冬至之日起, 每九天分为一段, 依次称之为一九, 二九, ……, 九九, 冬至那天是一九的第一天. 2012年12月21日是冬至, 那么2013年的2月10日是________九的第________天.解析：31-21+1+31+10=52,52÷9=5…7，2013年的元旦是六九的第7天.3．某些整数分别被131********，，，除后, 所得的商化作带分数时, 分数部分分别是112927252，，，, 则满足条件且大于1的最小整数是________.解析：设整数为A, 分别被131********，，，除后, 所得的商分别为A A A A 11139117957，，，; )1(111311211113)1(911921911)1(7972179)1(5752157-++=-++=-++=-++=A A A A A A A A ，，，显然，当A-1是[5，7，9，3]的时候满足题意。
所以A-1=3465，A=3466。
4．如图所示, P, Q 分别是正方形ABCD 的边AD 和对角线 AC 上的点, 且PD:AP =4:1, QC:AQ =2:3, 如果正方形ABCD 的面积为25, 那么三角形PBQ 的面积是 .解析：连接QD,做QE ⊥BC 于E, QF ⊥AD 于F, QG ⊥CD 于G, 正方形ABCD 的面积为25,所以AD=EF=5， QC: AQ =2:3,根据正方形对称性，所以QE=QG=2，QF=3, PD:AP =4:1, AP=1，PD=4。
第十五届华杯赛决赛试题A(小学组)、答案及详细分析解答
第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A（小学组）一、填空题（每小题10分，共80分）1．在10个盒子中放乒乓球，每个盒子中的球的个数不能少于11，不能是13，也不能是5的倍数，且彼此不同，那么至少需要个乒乓球。
2．有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品以及五种价格分别为1元、3元、5元、7元、9元的包装盒。
一个礼品配一个包装盒，共有种不同价格。
3．汽车A从甲站出发开往乙站，同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站，途中A与B相遇20分钟后再与C相遇。
已知A、B、C的速度分别是每小时90km, 80km, 60km，那么甲乙两站的路程是km。
4．将和这6个分数的平均值从小到大排列，则这个平均值排在第位。
5．将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作，经连续若干次这样的操作后可以变为6的数称为“好数”，那么不超过2012的“好数”的个数为，这些“好数”的最大公约数是。
6．右图所示的立体图形由9个棱长为1的立方块搭成，这个立体图形的表面积为。
7．数字卡片“3”、“4”、“5”各10张，任意选出8张使它们的数字和是33，则最多有张是卡片“3”。
8．若将算式的值化为小数，则小数点后第1个数字是。
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9．右图中有5个由4个1×1的小正方格组成的不同形状的硬纸板。
问能用这5个硬纸板拼成右图中4×5的长方形吗？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由。
10．长度为L的一条木棍，分别用红、蓝、黑线将它等分为8，12和18段，在各划分线处将木棍锯开，问一共可以得到多少段？其中最短的一段的长是多少？11．足球队A，B，C，D，E进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜队得3分，负队得0分，平局两队各得1分。
若A，B，C，D队总分分别是1，4，7，8，请问：E队至多得几分？至少得几分？12．华罗庚爷爷出生于1910年11月12日。
(完整版)第二十二届华杯赛小高年级组决赛试题A解析
第二十二届华杯赛小高年级组决赛试题A 解析1. 用[x]表示不超过x 的最大整数，例如[3.14]=3，则：201732017420175201762017720178[][][][][][]111111111111⨯⨯⨯⨯⨯⨯+++++的值为 。
【考点】取整运算 【专题】计算 【难度】☆【解析】直接计算即可 比较麻烦的简算方法： 先看第一项20173(200215)361001454545[][][][691]691[]1111111111⨯+⨯⨯+===⨯+=⨯+ 第二项：20173(200215)481001606060[][][][891]891[]1111111111⨯+⨯⨯+===⨯+=⨯+ 所以原式=45607590105120691[]891[]1091[]1291[]1491[]1691[]111111111111⨯++⨯++⨯++⨯++⨯++⨯+=(6810121416)914568910+++++⨯++++++ =60482. 从4个整数中任意选出3个, 求出它们的平均值, 然后再求这个平均值和余下1个数的和, 这样可以得到4个数：8，12，2103和193, 则原来给定的4个整数的和为 。
【考点】平均数与求和 【专题】计算 【难度】☆【解析】假设这四个数为,,,a b c d每三个数的平均值为：()3,()3,()3,()3a b c a b d a c d b c d ++÷++÷++÷++÷ 分别与余下的数的和为：21()38,()312,()310,()3933a b c d a b d c a c d b b c d d ++÷+=++÷+=++÷+=++÷+=将这四个式子左右两边分别相加得到：21()3()3()3()381210933a b c d a b d c a c d b b c d d ++÷++++÷++++÷++++÷+=+++()340a b c a b d a c d b c d a b c d +++++++++++÷++++=3()3()40a b c d a b c d ⨯+++÷++++=2()40a b c d ⨯+++=20a b c d +++=3. 在3×3的网格中（每个格子是个1×1的正方形）放两枚相同的棋子,每个格子最多放一枚棋子, 共有 种不同的摆放方法.(如果两种放法能够由旋转而重合, 则把它们视为同一种摆放方法）.【考点】 【专题】杂题【难度】☆【解析】这种题目因为情况不多，所以一一列举就是一种很好的办法，但是要注意不能重复和遗漏。
2020年第22届华杯赛初赛试题
第二十二届华罗庚金杯少年邀请赛初赛试题(小学高年级组)（时间2016 年12 月10 日10: 00〜11: 00）一、选择遢(每題10分，满分60分，以下每團的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每題的圆括号内。
)1•两个有限小数的整数部分分別是7和10,那么这两个有限小数的积的整数部分有( )种可能的取值.(A) 16 (B) 17 (C) 18 (D) 19解析：设这两个有限小数为A、B,则7XlO二70<AB〈8Xll二88,很明显，积的整数部分可以是70-87 的整数，所以这两个有限小数的积的整数部分有87-70+1=18种。
答案选C。
2.小明家距学校，乘地铁需要30分钟，乘公交车需要50分钟.某天小明因故先乘地铁，再换乘公交车，用了40分钟到达学校，其中换乘过程用了6分钟，那么这天小明乘坐公交车用了( )分钟.(A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12解析：方法一：单位“1”和假设法，设小明家距学校的路程为“1"，乘地铁的速度为丄，乘公30交车速度为丄，40-6=34分钟,假设全程都做地铁,能走丄X 34=卩，所以坐公交车用T(—-1)50 30 15 15÷ (―-—)二10 分钟。
30 50方法二：设数法和假设法，设小明家距学校的路程为［30, 50］二150m,乘地铁的速度为150÷50=3m∕min,乘公交车速度为150÷30=5m/Inin, 40-6=34分钟，假设全程都做地铁，能走5丄X30 34二17Onb 所以坐公交车用了(170-150) ÷ (5-3)二10 分钟。
方法三：时间比和比例。
同一段路程，乘地铁和乘公交车时间比为3:5,全程乘地铁需要30分钟，有一段乘公交车则用40-6=34分钟，所以乘公交车的那段路比乘地铁多用34-30二4分钟，所以坐公交车用了4三(5-3) ×5=10分钟。
2020年第22届华杯赛初赛试题
第二十二届华罗庚金杯少年邀请赛初赛试题(小学高年级组)（时间2016 年12 月10 日10: 00〜11: 00）一、选择遢(每題10分，满分60分，以下每團的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每題的圆括号内。
)1•两个有限小数的整数部分分別是7和10,那么这两个有限小数的积的整数部分有( )种可能的取值.(A) 16 (B) 17 (C) 18 (D) 19解析：设这两个有限小数为A、B,则7XlO二70<AB〈8Xll二88,很明显，积的整数部分可以是70-87 的整数，所以这两个有限小数的积的整数部分有87-70+1=18种。
答案选C。
2.小明家距学校，乘地铁需要30分钟，乘公交车需要50分钟.某天小明因故先乘地铁，再换乘公交车，用了40分钟到达学校，其中换乘过程用了6分钟，那么这天小明乘坐公交车用了( )分钟.(A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12解析：方法一：单位“1”和假设法，设小明家距学校的路程为“1"，乘地铁的速度为丄，乘公30交车速度为丄，40-6=34分钟,假设全程都做地铁,能走丄X 34=卩，所以坐公交车用T(—-1)50 30 15 15÷ (―-—)二10 分钟。
30 50方法二：设数法和假设法，设小明家距学校的路程为［30, 50］二150m,乘地铁的速度为150÷50=3m∕min,乘公交车速度为150÷30=5m/Inin, 40-6=34分钟，假设全程都做地铁，能走5丄X30 34二17Onb 所以坐公交车用了(170-150) ÷ (5-3)二10 分钟。
方法三：时间比和比例。
同一段路程，乘地铁和乘公交车时间比为3:5,全程乘地铁需要30分钟，有一段乘公交车则用40-6=34分钟，所以乘公交车的那段路比乘地铁多用34-30二4分钟，所以坐公交车用了4三(5-3) ×5=10分钟。
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处的木桩上.
【考点】圆与扇形
【答案】B 【解析】拴在B处活动区域最大，为 3 圆。
4
2. 在所有是20的倍数的正整数中, 不超过2014并且是14的倍数的数之和是
.
【考点】最小公倍数，等差数列
【答案】14700
【解析】 20,14
140
，
2014 140
14
，140
1
2
3
14
14700
.
3. 从1～8这八个自然数中任取三个数, 其中没有连续自然数的取法有
则 a+b+c+d=5+3+10=18 或 a+b+c+d=5+3+11=19 （2）当 c=4 时，b+d 不进位，只能取 b+d=1，0+1=1 符合要求
此时 a+b+c+d=5+4+1+0=10.
聚智堂教研组王乃聪
9
当a=8＋25=33时，b=5，共2组整数解。
8. 平面上的五个点A, B, C, D , E 满足: AB = 8厘米, BC = 4厘米, AD = 5厘米, DE = 1厘米, AC = 12
厘米, AE = 6厘米. 如果三角形EAB的面积为24平方厘米, 则点 A 到 CD 的距离等于
厘
米
聚智堂教研组王乃聪
4
您身边的教学专家
0 51 4 63
2
7. 学校组织1511人去郊游, 租用42座大巴和25座中巴两种汽车. 如果要求恰好每人一座且每座一
人, 则有
种租车方案.
【考点】不定方程
【答案】2
【解析】设大巴a辆，中巴b辆
根据题意列不定方程42a＋25b=1511
1511÷25…11，则42a÷25…11，42a个位为6，经试验当a=8时，b=47
则大球“10份”体积对应盐水的10% 3 10 1 ， 3
聚智堂教研组王乃聪
6
因此最终溢出的盐水量为杯子容积的 1 ， 3
此时杯中盐水的浓度为16% 1- 1 1 10.7% . 3
您身边的教学专家
11. 清明节, 同学们乘车去烈士陵园扫墓. 如果汽车行驶1个小时后, 将车速提高五分之一, 就可 以比预定时间提前20分钟赶到; 如果该车先按原速行驶72千米, 再将速度提高三分之一, 就可以 比预定时间提前30 分钟赶到. 那么从学校到烈士陵园有多少千米？ 【考点】行程 【答案】216千米 【解析】比例法
2
E
D
F
A
B
C
（4）问题转化为求直角三角形ACD斜边CD上的高，即AF的长度
聚智堂教研组王乃聪
5
AB 2 AC 2 CD 2 ，得出CD=13
AC AD 1 CD AF 1 ，解得AF= 60 .
2
2
13
您身边的教学专家
二、解答下列各题（每题10 分, 共40 分, 要求写出简要过程）
网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成, 小线段
的端点在格子点上或在格线上）, 则这个剪影的面积为
平方
厘米.
【考点】格点与面积
【答案】56.5
【解析】如图（见下页），通过分割和格点面积公式可得小马总面积为
56.5个正方形，即面积为56.5平方厘米。
聚智堂教研组王乃聪
2
您身边的教学专家 0.5
（1）8+1：7种；（2）7+2：5种；（3）6+3：3种；（4） 5+4：1种； 当层数为3时：
（1）6+2+1：4种；（2）5+3+1：4种；（3）4+3+2：1种； 层数为4时无法满足， 因此共有7+5+3+1+4+4+1=25种不同的放置方法。
10. 有一杯子装满了浓度为16%的盐水. 有大、中、小铁球各一个, 它们的体积比为10:4:3. 首先将 小球沉入盐水杯中, 结果盐水溢出 10%, 取出小球; 其次把中球沉入盐水杯中, 又将它取出; 接 着将大球沉入盐水杯中后取出; 最后在杯中倒入纯水至杯满为止. 此时杯中盐水的浓度是多少？ （保留一位小数） 【考点】浓度，比例 【答案】10.7% 【解析】大、中、小球体积比为10:4:3，盐水的10%对应小球“3份”体积，
DP 【考点】几何
AF =2BF, CE =3AE.
【答案】3
【解析】连接EF，DF
聚智堂教研组王乃聪
7
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EP
S CEF
3 4
S
ACF
32 43
1 2
3
DP S CDF
1 2
S
BCF
11 1 23 6
三、解答下列各题（每小题 15 分，共30 分，要求写出详细过程）
13. 从连续自然数1, 2, 3, …, 2014中取出n个数, 使这n个数满足: 任意取其中两个数, 不会有一个 数是另一个数的5倍. 试求n的最大值, 并说明理由. 【考点】构造，最值 【答案】1679 【解析】尽可能多取数
（1）原速：后速=5:6 原时：后时=6:5 原时=6×20=120分=2小时，总时间为2+1=3小时；
（2）原速：后速=3:4 原时：后时=4:3 原时=4×30=120分=2小时，按原速行驶72千米所用时间为3—1=1小时； 从学校到烈士陵园有72÷1×3=216千米.
12. 如右图, 在三角形 ABC 中, D 为 BC 的中点, 连接CF交DE于P点, 求 EP 的值.
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第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题 A（小学高年级组）
一、填空题（每小题 10 分, 共80 分）
1. 如右图, 边长为12米的正方形池塘的周围是草地, 池塘边A, B, C, D处各有一
根木桩, 且AB=BC=CD=3米. 现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上
为了使羊在草地上活动区域的面积最大, 应将绳子拴在
种.
【考点】计数
【答案】20
【解析】解法一：枚举法
（1）三奇数：135、137、157、357，4个；
（2）三偶数：246、248、268、468，4个；
（3）两奇一偶：136、138、158、147、358、257，6个；
（4）两偶一奇：247、258、146、148、168、368，6个；
共4+4+6+6=20种.
聚智堂教研组王乃聪
1
解法二：排除法
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1~8中任取三个数，有 C83 56 种不同的取法
其中三个连续数有6种（123~678） 两个连续数有5+4+4+4+4+4+5=30种（如124、125、126、127、128等） 则满足题意的取法有56—6—30=20种.
4. 如右图所示, 网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米. 小明在
9. 把n 个相同的正方形纸片无重叠地放置在桌面上, 拼成至少两层的多层长方形（含正方形）组 成的图形, 并且每一个上层正方形纸片要有两个顶点各自在某个下层的正方形纸片一边的中点上. 下图给出了n =6时所有的不同放置方法, 那么n =9，计数 【答案】25 【解析】当层数为2时：
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6. 如右图, 三个圆交出七个部分. 将整数0～6分别填到七个部分中, 使得每个
圆内的四个数字的和都相等, 那么和的最大值是
.
【考点】数阵图，最值
【答案】15
【解析】要使圆内四个数字的和最大，则中间同时属于三个圆的区域填6，
同时属于两个圆的区域依次填入5、4、3
最后填入0、1、2即可，如下图。
14. 在右边的算式中, 字母a, b, c, d 和“□”代表十个数字0到9中的一个 其中a, b, c, d 四个字母代表不同的数字, 求a, b, c, d 代表的数字之和. 【考点】数字谜 【答案】10,18,19 【解析】如下图
聚智堂教研组王乃聪
8
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a=5 （1）当 c=3 时，b+d 进位，取 b+d=10 或 b+d=11
【解析】 7 4 ，通分，将分母统一为□×5， 35 4 □ ，□≥9
□5
□5 □5
○ 11
7 □
，通分能得到
○□ 11□
77 11□
，○×□＜77
乘积最大为76，要使和最大，应两数相差最多
76=1×76，当○=1，□=76时，两数之和最大，为1＋76=77.
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2.5
0.5
3 1.5
3
1 2
16
12
2 0.5
4 3
1
1.5
边上点数÷2＋内部点数—1 =4÷2+1—1=2
聚智堂教研组王乃聪
3
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黑线圈中部分的面积也可用长方形（蓝框）减去两个三角形
5. 如果
成立, 则“○”与“□”中可以填入的非零自然数之和最大为
.
【考点】最值，分数比较大小
【答案】77
【考点】勾股定理 【答案】 60
13 【解析】（1）由题意AB = 8厘米, BC = 4厘米,AC = 12厘米,可知点A、B、C在同一条直线上；
（2）AD = 5厘米, DE = 1厘米, AE = 6厘米，可知点A、D、E在同一条直线上； （3）三角形EAB的面积为24平方厘米， AB AE 1 24 ，可知AB与AE垂直。画出下图
（1）2014÷5=402……4，从2014取到403，有2014—402=1612个数； （2）402÷5=80……2，402到81不取； （3）80÷5=16，从80取到17，有80—16=64个数； （4）16÷5=3……1，16到4不取； （5）最后取3、2、1；