火线100天(四川专版)中考数学总复习 第4讲 二次根式
二次根式复习专题讲义(补课用)
二次根式复习专题讲义一、二次根式的概念：1.二次根式：形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
①.式子中，被开方数(式)必须大于等于零。
②.a （a ≥0）是一个非负数。
③. （a ）2＝a （a ≥0）；2a =a （a ≥0）2.二次根式的乘： ①.一般的，有a·b＝a b．（a ≥0，b ≥0）②. 反过来，有ab ＝a ×b( a ≥ 0 ，b ≥ 0 )3.二次根式的除：①. 一般地，对二次根式的除法规定：ab=a b（a ≥0，b>0）， ②. 反过来，a b=a b（a ≥0，b>0）4. 二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
典型例题分析：例1. 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x、x （x>0）、0、42、-2、1x y+、x y +（x ≥0，y •≥0）．分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0。
解：二次根式有：2、x （x>0）、0、-2、x y +（x≥0，y ≥0）；不是二次根式的有：33、1x、42、1x y+。
例2.当x 是多少时，23x ++11x +在实数范围内有意义？ 分析：要使23x ++11x +在实数范围内有意义，必须同时满足23x +中的≥0和11x +中的x+1≠0．解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩由①得：x ≥-32由②得：x ≠-1当x ≥-32且x ≠-1时，23x ++11x +在实数范围内有意义。
变式题1：当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•31x -才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x ≥13当x ≥13时，31x -在实数范围内有意义．变式题2：①.当x 是多少时，23x x++x 2在实数范围内有意义？解：依题意得：2300x x +≥⎧⎨≠⎩，320x x ⎧≥-⎪⎨⎪≠⎩∴当x>-32且x≠0时，23xx+＋x2在实数范围内没有意义。
中考数学复习二次根式4[人教版]
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2.利用平方差公式的计算.
1. 5 3 2 5 3 2
2. 5 2 7 3 5 2 7 3
3. 5 2 7 2004 5 2 7 2004
4.
5 2 2003 2
2004
二次根式
复习之二
教育目标:
1.掌握二次根式的乘法,除法法则及运 算的互逆关系.
ab a ba 0,b 0
a b aba 0,b 0
a a a o,b 0
bb
a a a 0,b o
bb
2.双重二次根式中的被开方数往往隐含完 全平方数的形式.如:
4 2 3 3 1 2 3 1
1
2000 1999
6.利用分母有理化的计算来比较大小:
1) 1 ; 3 5
1 5 7
2) 6 5; 5 4
7.关于整数部分、小数部分的计算题:
已知 11 的整数部分是a,小数部分是b,则
a1 b
2 1
设 2 1 的的整数部分是a,小数部
分是b,则 a 3 b
8.解方程组:
3 2x 3y 2 6 6x 3y 6 2
5
3.因式分解后进行计算:
1.1 3 5 15 5 1
2. 1 2 3 5 5 2 7 3 1 3 3 5 ( 5 7) 7 3
4.先化简再计算:
已知a=1995，b=1997，求
1
2b a
b
a
b
1 2
ab
的值
5.分母有理化后进行计算:
1 1 1 2 1 3 2 4 3
5 2 6 2 3 2 2 3
检测练习:
1.形如(多项式×多项式)的计算.
3 2 2 3
中考数学总复习第一章数与式第4课时二次根式课件
第一章
第四课时 二次根式
第4课时金二次牌根式中考总复习
第4课时 二次根式
1 …考……点…考…查..… 2 …课……前…小…练..… 3 …考……点…梳…理..… 4 …重…难……点…突.…破…… 5 …广…东……真…题..…
第4课时 二次根式
考点考查
考题年 份
考点与考查内容
考题呈现 题型
第4课时 二次根式
举一反三
重难点突破
12 a－b
第4课时 二次根式
举一反三
重难点突破
B
A
第4课时 二次根式
广东真题
1.(2016·广东) 9的算术平方根为___3_______.
2.(2012·广东) 若x，y为实数，且满足
＝0，
的值是___1_______.
3.(2012·广东) 计算：
感谢聆听
重难点突破
举一反三 5.比较大小：
___＞_______
6.设n为正整数，且n＜ A．5 B．6
＜n＋1，则n的值为( D )
C．7 D．8
第4课时 二次根式
计算：
重难点突破
方法点拨 二次根式的混合运算，正确观察式子的特点是关键.
第4课时 二次根式
重难点突破
方法点拨 根据数轴化简二次根式，关键是根据数轴上点的位 置确定数的正负和大小，然后根据 ＝ 化简.
全的人，主要是担心漏掉重要内容,影响以后的复习与思考.，这样不仅失去了做笔记的意义，也将课堂“听”与“记”的关系本末倒置了﹙太忙于记录， 便无暇紧跟老师的思路﹚。 如果只是零星记下一些突出的短语或使你感兴趣的内容，那你的笔记就可能显得有些凌乱。 做提纲式笔记因不是自始至终全都埋头做笔记，故可在听课时把时间更多地用于理解所听到的内容.事实上，理解正是做好提纲式笔记的关键。 课堂笔记要注意这五种方法：一是简明扼要，纲目清楚，首先要记下所讲章节的标题、副标题，按要点进行分段；二是要选择笔记语句，利用短语、数 字、图表、缩写或符号进行速记；三是英语、语文课的重点词汇、句型可直接记在书页边，这样便于复习时查找﹙当然也可以记在笔记本上，前提是你 能听懂﹚；四是数理化生等，主要记老师解题的新思路、补充的定义、定理、公式及例题；五是政治、历史等，着重记下老师对问题的综合阐述。
中考人教版数学考前热点冲刺指导课件：《第4讲 二次根式》 (共13张PPT)
[方法归纳] “分式的运算”是数与式的核心内容，全面考查了 有理数、整式、分式运算等多个知识点，要合理寻求简单运算的途 径．如涉及无理数的运算，要掌握分母有理化的方法．
第4讲┃ 二次根式
已知x－1＝ 3，求代数式(x＋1)2－4(x＋1)＋4的值． 解：原式＝(x＋1－2)2＝(x－1)2， 当x－1＝ 3时，原式＝( 3)2＝3
C．x≥3且x≠4
D．x＞3
6．已知a为实数，那么 －a2等于( D )
A．a
B．－a
C．－1
D．0
[解析] 根据非负数的性质知a2≥0，根据二次根式的意义， －a2≥0，故只有a＝0时， －a2有意义，所以 －a2＝0.故选D.
7．在 16x3、－ 32、－ 0.5、
的个数是( A )
A．1
B．2
D．2
4．已知一个正数的两个平方根分别是3x－2和5x＋6，则这 个数是__4_49_____．
第4讲┃ 二次根式
考点2 二次根式的有关概念及性质
二次根式 的概念
二次根式 的性质
最简二 次根式
同类二 次根式 非负性 运算性质 (a≥0，
b>0)
①被开方数是_整__式___；②被开 方数中不含能__开__得__尽_方__的_因数或
二次根式 的乘法
a· b＝__a_b___(a≥0，b≥0)
二次根式 的除法
ba＝___ab___(a≥0，b＞0)
把分母的 通常是将分子、分母同时乘分母的
根号化去
有理__化__因__式__，化去分母的根号
二次根式的 运算顺序 与实数的混合运算顺序相同
混合运算 注意事项
正确把握运算法则
第4讲┃ 二次根式
【火线100天】2016中考数学复习集训-第4讲-分式
第4讲 分式分式的概念分式的基本性质分式的基 本性质A B ＝A ×M B ×M ，A B ＝A ÷M B ÷M (M 是不为零的整式) 约分把分式的分子和分母中的②______约去，叫做分式的约分. 通分根据分式的③________，把异分母的分式化为④________的分式，这一过程叫做分式的通分.分式的运算分式的乘除法a b ·c d ＝ac bd ，a b ÷c d ＝a b ·d c ＝ad bc 分式的乘方(a b )n ＝a n b n (n 为整数) 分式的加减法a c ±bc ＝a ±b c ，a b ±cd ＝ad ±bc bd 分式的混合运算 在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算．遇到有括号，先算括号里面的. 【易错提示】 分式运算的结果一定要化成最简分式．1．乘方时一定要先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负．2．在分式的加减运算中，如需要通分时，一定要先把分母可以分解因式的多项式分解因式后再找最简公分母，分式的乘除运算中，需要约分时，也要先把可以分解因式的多项式先分解因式再约分．分式 概念形如A B (A 、B 是整式，且B 中含有①____，且B ≠0)的式子叫做分式. 有意义的条件分母不为0. 值为零的条件分子为0，且分母不为0.(2014·温州)要使分式x ＋1x －2有意义，则x 的取值应满足( ) A ．x ≠2 B ．x ≠－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－1当分式的分母为0时，分式没有意义；当分式的分母不为0时，分式有意义；当分式的分子为0，而分式的分母不为0时，分式的值为0.1．(2015·金华)要使分式1x ＋2有意义，则x 的取值应满足( ) A ．x ＝－2 B ．x ≠2 C ．x ＞－2 D ．x ≠－22．(2015·衡阳)若分式x －2x ＋1的值为0，则x 的值为( ) A ．2或－1 B ．0 C ．2 D ．－13．若分式|x|－1x －1的值为0，则x 的值为( ) A ．1 B ．0 C ．±1 D ．－14．要使分式|x|－3x ＋3有意义，则x 的取值范围为________． 命题点2 分式的运算(2015·凉山)先化简：(x ＋1x －1＋1)÷x 2＋x x 2－2x ＋1＋2－2x x 2－1，然后从－2≤x ≤2的范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值．【思路点拨】 先把括号内的异分母通分变成同分母，进行同分母加减，再把除法变乘法，进行乘法运算，最后进行加法运算．最后从给定的范围中挑出满足条件的字母的值代入求出代数式的值．自选字母的值通常是一个“温柔陷阱”，同学们一定要注意分母不为0.【解答】分式的运算是中考常见题型，一般的解法有：①分子或分母能分解因式的可先分解因式，再按运算法则化简求值；②当括号外的因式与括号内的因式可约分时，可先去括号，再化简求值．1．(2015·济南)化简m 2m －3－9m －3的结果是( ) A ．m ＋3 B ．m －3 C.m －3m ＋3 D.m ＋3m －32．(2015·无锡)化简2x ＋6x 2－9得________． 3．(2014·襄阳)计算：a 2－1a 2＋2a ÷a －1a＝____. 4．(2015·德州)先化简，再求值：a 2－b 2a ÷(a －2ab －b 2a)，其中a ＝2＋3，b ＝2－ 3.1．下列各式：15(1－x)，4x π－3，x 2－y 22，1＋a b ，5x 2y，其中分式共有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个2．(2014·无锡)分式22－x可变形为( ) A.22＋x B ．－22＋x C.2x －2 D ．－2x －2 3．分式y 2x 7与15x4的最简公分母是( ) A ．10x 7 B ．7x 7 C ．10x 11 D ．7x 114．下列各分式中，最简分式是( )A.34（x －y ）85（x ＋y ）B.x ＋y x 2＋xyC.x 2＋y 2x 2y ＋xy 2D.x 2－y 2（x ＋y ）2 5．(2014·毕节)若分式x 2－1x －1的值为0，则x 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±16．(2015·临沂)计算：a a ＋2－4a 2＋2a＝________. 7．(2014·遵义)计算1a －1＋a 1－a的结果是_____． 8．(2014·广州)代数式1|x|－1有意义时，x 应满足的条件为________． 9．(2013·衢州)化简：x 2＋4x ＋4x 2－4－x x －2＝______.10．(2014·广安)化简(1－1x －1)÷x －2x 2－2x ＋1的结果是_____． 11．(2015·湖州)计算：a 2a －b －b 2a －b.12．(2015·呼和浩特)先化简，再求值：(2a 5a 2b ＋3b 10ab 2)÷72a 3b 2，其中a ＝52，b ＝－1213．(2015·巴中)化简：2a a ＋1－2a －4a 2－1÷a －2a 2－2a ＋1.14．(2015·南充)计算：(a ＋2－5a －2)·2a －43－a.15．(2015·威海)先化简，再求值：(1x ＋1－1x －1)÷4＋2x x 2－1，其中x ＝－2＋ 3.16．(2013·广东)从三个代数式：①a 2－2ab ＋b 2，②3a －3b ，③a 2－b 2中任意选择两个代数式构造成分式，然后进行化简，并求当a ＝6，b ＝3时该分式的值．17．(2014·十堰)已知a 2－3a ＋1＝0，则a ＋1a－2的值为( ) A.5－1 B ．1C ．－1D ．－518．(2015·烟台)先化简：x 2＋x x 2－2x ＋1÷(2x －1－1x)，再从－2＜x ＜3的范围内选取一个你喜欢的x 值代入求值．19．(2014·凉山)先化简，再求值：a －33a 2－6a ÷(a ＋2－5a －2)，其中a 2＋3a －1＝0.温馨提示：“整合集训”完成后，可酌情使用P16滚动小专题(一)类型3“分式的运算”进行强化训练！考点解读①字母 ②公因式 ③基本性质 ④同分母各个击破例1 A题组训练 1.D 2.C 3.D 4.x ≠－3例2 原式＝2x x －1·（x －1）2x （x ＋1）＋－2（x －1）（x ＋1）（x －1）＝2x －2x ＋1＋－2x ＋1＝2x －4x ＋1. 当x ＝2时，原式＝2×2－42＋1＝0.(当x ＝－2时，原式＝－2×2－2－2＋1＝6) 题组训练 1.A 2.2x －3 3.a ＋1a ＋24.原式＝a 2－b 2a ÷(a 2－2ab ＋b 2a) ＝（a ＋b ）（a －b ）a ·a （a －b ）2＝a ＋b a －b. ∵a ＝2＋3，b ＝2－3，∴a ＋b ＝4，a －b ＝2 3.原式＝423＝233. 整合集训1.A2.D3.A4.C5.C6.a －2a7.－18.x ≠±19.2x －210.x －1 11.原式＝a 2－b 2a －b ＝（a ＋b ）（a －b ）a －b＝a ＋b. 12.原式＝(410ab ＋310ab )×2a 3b 27＝710ab ×2a 3b 27＝a 2b 5. 当a ＝52，b ＝－12时，原式＝（52）2×（－12）5＝－18. 13.原式＝2a a ＋1－2（a －2）（a －1）（a ＋1）×（a －1）2a －2＝2a a ＋1－2（a －1）a ＋1＝2a ＋1. 14.原式＝a 2－4－5a －2·2a －43－a ＝（a ＋3）（a －3）a －2·2（a －2）3－a＝－2(a ＋3)＝－2a －6.当x ＝－2＋3时，原式＝－12＋（－2＋3）＝－13＝－33. 16.共有六种结果：(1)a 2－2ab ＋b 23a －3b ＝a －b 3，当a ＝6，b ＝3时，原式＝1； (2)交换(1)中分式的分子和分母的位置，结果也为1；(3)a 2－b 23a －3b ＝a ＋b 3，当a ＝6，b ＝3时，原式＝3； (4)交换(3)中分式的分子和分母的位置，结果为13； (5)a 2－2ab ＋b 2a 2－b 2＝a －b a ＋b ，当a ＝6，b ＝3时，原式＝13； (6)交换(5)中分式的分子和分母的位置，结果为3.17.B 提示：由a 2－3a ＋1＝0两边同除以a ，得a ＋1a ＝3.所以a ＋1a－2＝3－2＝1. 18.原式＝x （x ＋1）（x －1）2÷2x －（x －1）x （x －1）＝x （x ＋1）（x －1）2·x （x －1）x ＋1＝x 2x －1. 取x ＝2，当x ＝2时，原式＝x 2x －1＝222－1＝4.(答案不唯一．注：x ≠±1，0) 19.原式＝a －33a （a －2）÷[（a ＋2）（a －2）a －2－5a －2] ＝a －33a （a －2）÷a 2－4－5a －2＝a －33a （a －2）·a －2（a ＋3）（a －3）＝13a （a ＋3）＝13（a 2＋3a ）. ∵a 2＋3a －1＝0， ∴a 2＋3a ＝1.∴原式＝13.。
中考数学(四川专版) 中考总复习专项复习资料专题24 二
考点二十四：二次根式聚焦考点☆温习理解1、二次根式式子)0(≥a a 叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a 必须是非负数。
2、最简二次根式若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
3、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
4、二次根式的性质 （1）)0()(2≥=a a a （2）==a a 2(0)(0)a a a a ≥≤⎧⎨⎩ （3）)0,0(≥≥∙=b a b a ab（4）)0,0(≥≥=b a bab a 5、二次根式混合运算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。
名师点睛☆典例分类考点典例一、二次根式概念与性质【例1】（2015·湖北鄂州，11题，3分）若使二次根式24x -有意义，则x 的取值范围是 ． 【答案】x ≥2．考点：二次根式有意义的条件．【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 【举一反三】(2015·湖北武汉，2题，3分）若代数式2-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范为是（ ） A ．x ≥－2B ．x ＞－2C ．x ≥2D ．x ≤2【答案】C 【解析】试题分析：二次根式的被开方数为非负数，则x －2≥0，解得：x ≥2. 考点：二次根式的性质. 考点典例二、二次根式的运算【例2】如果ab ＞0，a+b ＜0，那么下面各式：①a ab b =，②1a b b a =，③aab b b÷=-其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③【答案】B. 【解析】试题分析：由ab ＞0，a+b ＜0先求出a ＜0，b ＜0，再进行根号内的运算． 试题解析：∵ab ＞0，a+b ＜0， ∴a ＜0，b ＜0 ①a ab b=，被开方数应≥0a ，b 不能做被开方数，（故①错误）， ②1a bb a=（故②正确）， ③aab b b÷=-（故③正确）．故选：B ．答案：二次根式的乘除法． 【点睛】二次根式化简依据：)0,0(≥≥∙=b a b a ab ，)0,0(≥≥=b a ba b a ，本题是考查二次根式的乘除法，解答本题的关键是明确a ＜0，b ＜0． 【举一反三】1.计算：273-= 【答案】23.考点：二次根式的加减法．2.（山东淄博，第13题，4分）计算：= ．【答案】3. 【解析】试题分析：根据二次根式的乘法法则计算可得：：原式===3．考点：二次根式的乘除法. 考点典例三、二次根式混合运算【例3】（3分）（2015•聊城，第14题）计算：（+）2﹣= ．【答案】5 【解析】试题分析：在进行二次根式的混合运算时，掌握运算顺序，先利用完全平方公式计算，再把二次根式化为最简二次根式，合并同类项进行计算.如：原式=2+26+3﹣26=5． 考点：二次根式的混合运算【点睛】本题考查了二次根式的混合运算依次计算后，再把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式． 【举一反三】 计算：011244(12)38⨯-⨯⨯- 【答案】2.考点典例四、二次根式运算中的技巧 【例4】（2015攀枝花）若332y x x =-+-+，则y x = ．【答案】9． 【解析】 试题分析：332y x x =-+-+有意义，必须30x -≥，30x -≥，解得：x =3，代入得：y =0+0+2=2，∴yx =23=9．故答案为：9． 考点：二次根式有意义的条件．【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 【举一反三】若（m-1）2+2n +=0，则m+n 的值是（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2【答案】A ．考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．考点典例五、估算大小【例5】a，b是两个连续整数，若a＜7＜b，则a，b分别是（）A．2，3 B．3，2 C．3，4 D．6，8【答案】A．【解析】试题分析：根据4＜7＜9，可得答案．试题解析：根据题意，可知4＜7＜9，可得a=2，b=3．故选：A．考点：估算无理数的大小．【举一反三】若a＜13＜b，且a，b为连续正整数，则b2-a2=【答案】7.【解析】试题分析：因为32＜13＜42，所以3＜13＜4，求得a、b的数值，进一步求得问题的答案即可．试题解析：∵32＜13＜42，∴3＜13＜4，即a=3，b=4，考点：估算无理数的大小． 课时作业☆能力提升 一、选择题1.（2015甘孜州）使二次根式1x -的有意义的x 的取值范围是（ ） A ．0x > B ．1x > C ．1x ≥ D ．1x ≠ 【答案】C ． 【解析】试题分析：要使1x -有意义，必须10x -≥，解得：1x ≥．故选C ． 考点：二次根式有意义的条件．2. （2015凉山州）下列根式中，不能与3合并的是（ ）A ．13 B ．13C ．23 D ．12 【答案】C ． 【解析】 试题分析：A ．1333=，本选项不合题意； B ．1333=，本选项不合题意； C ．2633=，本选项合题意； D ．1223=，本选项不合题意； 故选C ．考点：同类二次根式．3.（2015绵阳）要使代数式23x -有意义，则x 的（ ） A ．最大值是23 B ．最小值是23 C ．最大值是32 D ．最小值是32【答案】A ．试题分析：∵代数式23x -有意义，∴230x -≥，解得23x ≤．故选A ． 考点：二次根式有意义的条件．4.按如图所示的程序计算，若开始输入的n 值为2，则最后输出的结果是（ ） A ．14 B ．16 C ．8+52 D ．14+2【答案】C.考点：实数的运算．5.(2015·湖北孝感）已知32-=x ，则代数式3)32()347(2++++x x 的值是( )A ．0B ．3C ．32+D ．32-【答案】C. 【解析】试题分析：()()()27432323(23)3+-++-+=()()74374313+-++=23+故选：C. 考点：二次根式.6.（2015.山东淄博，第4题，4分）已知x=，y=，则x 2+xy+y 2的值为（ ） A ．2 B ．4C ．5D ．7【答案】B.试题分析：先把x、y的值代入原式，再根据二次根式的性质把原式进行化简即可．即：原式=（x+y）2﹣xy=（+）2﹣×=（）2﹣=5﹣1=4．故答案选B. 考点：二次根式的化简求值．7.(2015.山东日照，第2题，3分)的算术平方根是（）A.2B. ±2C.D. ±【答案】C【解析】试题分析：解：∵=2，而2的算术平方根是，∴的算术平方根是，故选：C．考点：算术平方根．二、填空题x+有意义的x的取值范围是8.使二次根式3【答案】x≥-3【解析】试题分析：二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求解．试题解析：根据二次根式的意义，得x+3≥0，解得x≥-3．考点：二次根式有意义的条件．9.(2015·湖北衡阳，15题，3分)计算：82-=．【答案】2【解析】试题分析：计算822222-=-=.考点：二次根式的加减10. (2015.山东日照，第13题，4分)若=3﹣x，则x的取值范围是．【答案】x≤3试题分析：解：∵=3﹣x ，∴3﹣x≥0， 解得：x≤3， 故答案为：x≤3．考点：二次根式的性质与化简.11. （2015.山东滨州第13题，4分）计算(23)(23)+-的结果为 . 【答案】-1考点：平方差公式12.（2015眉山）计算：1822- = _________． 【答案】2-． 【解析】试题分析：1822-=2232-=2-．故答案为：2-． 考点：二次根式的加减法．。
【火线100天】(四川专版)中考数学总复习第1讲实数及其运算
第一单元 数与式第1讲 实数及其运算实数的概念及其分类整数和分数统称为有理数，有理数和①________统称为实数，实数有如下分类：实数⎩⎪⎨⎪⎧有理数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫整数⎩⎪⎨⎪⎧正整数②负整数分数⎩⎪⎨⎪⎧正分数③ 有限小数或④ 小数无理数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫正无理数负无理数无限不循环小数实数的有关概念(1)ab ＝1a 、b 互为倒数；(2)0没有倒数；(3)倒数等于本身的数是1或－1.科学记数法和近似数平方根、算术平方根、立方根实数的大小比较实数的运算1．用科学记数法表示较大的正数或较小的正数的方法：(1)将较大正数N(N ＞1)写成a×10n的形式，其中1≤a＜10，指数n 等于原数的整数位数减1；(2)将较小正数N(N ＜1)写成a×10n 的形式，其中1≤a＜10，指数n 等于原数中左起第一个非零数前零的个数(含小数点前面的零)的相反数．2．比较实数的大小可直接利用法则进行比较，还可以采用作差法、倒数法及估算法，也可借助数轴进行比较．命题点1 实数的概念及其分类(1)(2015·广元)一个数的相反数是3，这个数是( ) A.13B ．－13C ．3D ．－3(2)(2015·绥化)在实数0 、π、227、 2 、－9中，无理数的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个一个数的相反数在其前面加上负号即可；初中常见的无理数有三种情形：一是含有根号，但开方开不出来；二是含有π的数；三是人为构造且有一定规律的数，且后面要加上省略号，如0.123 456 789 101 112 13….1．(2015·广州)4个数－3.14，0，1，2中是负数的是() A ．－3.14B ．0C ．1D ．22．(2015·资阳)－6的绝对值是() A ．6B ．－6C.16D ．－163．(2015·绵阳)±2是4的() A ．平方根 B ．相反数 C ．绝对值D ．算术平方根4．(2015·长沙)下列实数中，为无理数的是()A ．0.2B.12C. 2 D ．－5命题点2 实数的大小比较(2015·成都)比较大小：5－12________58.(填“＞”“＜”或“＝”)两个实数的大小比较，通常按照“负数＜零＜正数”进行比较．若其中有无理数，则可借助数轴或估算的方法进行比较．1．(2015·呼和浩特)以下四个选项表示某天四个城市的平均气温，其中平均气温最低的是() A ．－3 ℃B ．15 ℃C ．－10 ℃D ．－1 ℃2．(2015·温州)给出四个数0，3，12，－1，其中最小的是()A ．0B. 3C.12D ．－13．(2015·苏州)若m ＝22×(－2)，则有() A ．0＜m ＜1B ．－1＜m ＜0C ．－2＜m ＜－1D ．－3＜m ＜－24．(2015·达州)在实数－2、0、－1、2、－2中，最小的是________． 命题点3 科学记数法(2015·绵阳)福布斯2015年全球富豪榜出炉，中国上榜人数仅次于美国，其中王健林以242亿美元的财富雄踞中国内地富豪榜榜首，这一数据用科学记数法可表示为() A ．0.242×1010美元 B ．0.242×1011美元 C ．2.42×1010美元D ．2.42×1011美元科学记数法的表示形式为a×10n.其中1≤||a ＜10，n 为整数．在确定n 的值时，看该数的绝对值是否大于等于1或小于1.当该数的绝对值大于或等于1时，n 为它的整数位数减1；当该数的绝对值小于1时，n 的绝对值为它第一个非零数字前0的个数(含小数点前的1个0)．如果数带有万、亿这样的数字单位，应先将其还原，再用科学记数法表示．1．(2015·成都)今年5月，在成都举行的世界机场城市大会上，成都新机场规划蓝图首次亮相．新机场建成后，成都将成为继北京、上海之后，国内第三个拥有双机场的城市，按照远期规划，新机场将新建的4个航站楼的总面积约为126万平方米，用科学计数法表示126万为()A ．126×104B ．1.26×105C ．1.26×106D ．1.26×1072．(2015·内江)用科学记数法表示0.000 006 1，结果是() A ．6.1×10－5B ．6.1×10－6C ．0.61×10－5D ．61×10－73．(2015·自贡)将2.05×10－3用小数表示为() A ．0.000 205 B ．0.020 5 C ．0.002 05D ．－0.002 054．用四舍五入法求近似数：(1)3 054 900(精确到万位)≈________； (2)0.006 52(精确到0.001)≈________． 命题点4 实数的运算(2015·德阳)计算：2－1＋tan45°－|2－327|＋18÷8. 【解答】解答本题的关键是掌握负整数指数幂a －n＝1a n (a≠0)、特殊角的三角函数值、立方根的意义以及二次根式除法的法则．1．(2015·南充)计算3＋(－3)的结果是() A ．6B ．－6C ．1D ．02．(2015·吉林)若等式0□1＝－1成立，则□内的运算符号为() A ．＋B ．－C ．×D ．÷3．(2015·攀枝花)计算：9＋|－4|＋(－1)0－(12)－1＝________．4．(2015·广安)计算：－14＋(2－22)0＋|－2 015|－4cos60°.1．(2015·黔西南)下列各数是无理数的是() A. 4B ．－13C ．πD ．－12．(2015·六盘水)下列说法正确的是() A.||－2＝－2B ．0的倒数是0C ．4的平方根是2D ．－3的相反数是33．(2015·威海)检验4个工件，其中超过标准质量的克数记作正数，不足标准质量的克数记作负数．从轻重的角度看，最接近标准的工件是() A ．－2B ．－3C ．3D ．54．(2015·东营)|－13|的相反数是()A.13B ．－13C ．3D ．－35．(2015·安徽)与1＋5最接近的整数是() A ．4B ．3C ．2D ．16．(2015·龙岩)数轴上到原点的距离等于1的点所表示的数是() A ．±1B ．0C ．1D ．－17．(2015·成都)实数a 、b 在数轴上对应的点的位置如图所示，计算||a －b 的结果为()A ．a ＋bB ．a －bC ．b －aD ．－a －b8．(2015·德阳)中国的领水面积约为370 000 km 2，将数370 000用科学记数法表示为() A ．37×104B ．3.7×104C ．0.37×104D ．3.7×1059．估计5＋12介于() A ．1.4与1.5之间 B ．1.5与1.6之间 C ．1.6与1.7之间 D ．1.7与1.8之间 10．(2015·乐山)12的倒数是________．11．(2015·巴中)从巴中市交通局获悉，我市2015年前4月在巴陕高速公路完成投资8 400万元，请你将8 400万元用科学记数记表示为________元． 12．(2015·宁波)实数8的立方根是________．13．(2015·南充)计算8－2sin45°的结果是________．14．(2015·厦门)已知(39＋813)×(40＋913)＝a ＋b ，若a 是整数，1＜b ＜2，则a ＝________．15．(2015·乐山)计算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋8－4cos45°＋(－1)2 015.16．(2015·广元)计算：(2 015－π)0＋(－13)－1＋|3－1|－3tan30°＋613.17．(2014·陇南)观察下列各式： 13＝12， 13＋23＝32， 13＋23＋33＝62， 13＋23＋33＋43＝102， …猜想13＋23＋33＋…＋103＝________． 18．(2015·莱芜)已知：C 23＝3×21×2＝3，C 35＝5×4×31×2×3＝10，C 46＝6×5×4×31×2×3×4＝15，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算C 610＝________．19．(2015·汕尾)若1（2n －1）（2n ＋1）＝a 2n －1＋b2n ＋1，对任意自然数n 都成立，则a ＝________，b＝________；计算：m ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋119×21＝________．参考答案 考点解读考点1 ①无理数 ②零 ③负分数 ④无限循环考点2 ⑤原点 ⑥正方向 ⑦单位长度 ⑧符号 ⑨两侧 ⑩距离 ○11乘积 ○121a 考点3 ○13a ×10n 考点4 ○14相反数 ○15负数 ○160 ○170 ○18正的 ○19负的 考点5 ○20大于 ○21小于 ○22小 ○23小于 考点6 ○241 ○251a p ○26乘除 ○27加减 ○28括号内 各个击破 例1 (1)D (2)B题组训练 1.A 2.A 3.A 4.C 例2 ＜题组训练 1.C 2.D 3.C 4.－2 例3 C题组训练 1.C 2.B 3.C 4.(1)305万 (2)0.007 例4 原式＝12＋1－||2－3＋94＝12＋1－1＋32＝2. 题组训练 1.D 2.B 3.6 4.原式＝－1＋1＋2 015－4×12＝2 013.整合集训1．C 2.D 3.A 4.B 5.B 6.A 7.C 8.D 9.C 10.2 11.8.4×10712.2 13. 2 14.1 611 15.原式＝12＋22－4×22－1＝－12.16．原式＝1－3＋3－1－3＋23＝23－3. 17.552210 12 －121021。
九年级数学 人教版 中考复习-代数篇(二次根式.勾股定理.一次函数复习)
中考复习——二次根式.勾股定理.一次函数复习放电影一次函数的解析式求法：平行四边形判定：矩形判定：菱形的判定：交点坐标求法：勾股定理：错题回顾如图，直线y=23x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为（）A．（﹣3，0） B．（﹣6，0） C．（﹣32，0） D．（﹣52，0）内容讲解-【二次根式】【有意义、取值范围】（12）12--x x （3）23+-a a （4）2323+-=+-a aa a【数的意义与化简】 （1）若2<a ，则()=--222a ；（2）若实数b a 、满足042=-++b a ，则=ba 2；（3）已知c b a 、、是ABC ∆的三边长，且满足关系式0222=-+--b a b a c ，则b a 、的形状为； （4）已知n -8是整数，则n 是自然数的值是； （5）下列根式中，与2可合并的二次根式是（ ）A.3B.5C.6D.8 （6）以下是最简二次根式的有哪些？2178316x 32-xa 22y x +（7）若5+7的整数部分是a ，则=a ； （8）2023；3213；（9）=+52；=-223；=⨯52；=52；=45； （10）=÷-32418；=-+x x x 12188；=-49xx ； （11）()()20123252+-()()()235752752--+-（综合提升） （1）知识要点:1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．2. 满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用的勾股数有3、4、5；6、8、10；5、12、13；8、15、17；7、24、25等.3. 应用勾股定理的逆定理时，先计算较小两边的平方和再把它和最大边的平方比较.4. 判定一个直角三角形，除了可根据定义去证明它有一个直角外，还可以采用勾股定理的逆定理，即去证明三角形两条较短边的平方和等于较长边的平方，这是代数方法在几何中的应用.【勾股定理】【勾股数组】（默写）经典例题例1.在△ABC 中，2:1:1:: c b a ，那么△ABC 是（ ）．A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形例 2.若一个三角形的周长123c m,一边长为33c m,其他两边之差为3c m,则这个三角形是______________________．例3.如图，已知四边形ABCD 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，CD =12，AD =13，求四边形ABCD 的面积.例4. 如图，E 、F 分别是正方形ABCD 中BC 和CD 边上的点，且AB =4，CE =41BC ，F 为CD 的中点，连接AF 、AE ，问△AEF 是什么三角形？请说明理由.经典练习1. 分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）8，15，17；（4）4，5，6.其中能构成直角三角形的有（ ） A .4组 B .3组 C .2组 D .1组F E A C B D2. 三角形的三边长分别为a 2＋b 2、2ab 、a 2－b 2（a 、b 都是正整数），则这个三角形是（ ）。
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第4讲 二次根式
二次根式的有关概念
二次根式 一般地，形如a(①________)的式子叫做二次根式.
最简二次根式
必须同时满足：(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；(2)被开方数的因数是整数，因式是整式(分母中不应含有根号).
二次根式的性质
两个重要的性质 (a)2
＝a(a ②________)．
a 2
＝|a|＝{③ （a≥0），④ （a ＜0）.
积的算术平方根 ab ＝a ·b (a≥0，b ≥0). 商的算术平方根
a b ＝a
b
(a≥0，b>0). 二次根式的运算
二次根式的加减 先将各根式化为⑤____________，然后合并被开方数⑥________的二次根式.
二次根式的乘法 a ·b ＝⑦________(a≥0，b ≥0) 二次根式的除法 a b
＝⑧________(a≥0，b ＞0)
二次根式的
混合运算
与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算⑨________，最后算加减，有括号的先算括号里面的(或先去括号).
绝对值：|a|；偶次幂：a 2n
；非负数的算术平方根：a (a≥0)是常见的三种非负数形式．非负数具有以下两条重要性质：(1)非负数形式有最小值为零；(2)几个非负数的和等于零，那么每个非负数都等于零．
命题点1 二次根式有意义的条件
(2015·绵阳)要使代数式2－3x 有意义，则x 的() A ．最大值是23 B ．最小值是2
3
C ．最大值是3
2
D ．最小值是3
2
此命题点的考查多是在求函数自变量的取值范围中一同考查，另外需注意的是：若是使复合型的式子有意义，必须得使每个式子有意义．
1．(2015·宜昌)下列式子没有意义的是()
A.－3
B.0
C. 2
D.（－1）2
2．(2014·株洲)x取下列各数中的哪个数时，二次根式x－3有意义()
A．－2 B．0 C．2 D．4
3．(2015·内江)函数y＝2－x＋
1
x－1
中自变量x的取值范围是()
A．x≤2 B．x≤2且x≠1
C．x＜2且x≠1 D．x≠1
4．(2015·乐山)函数y＝x－2的自变量x的取值范围是________．命题点2 二次根式的运算
(2014·广元)计算：27－
1
2－3
－12.
【解答】
对于二次根式的混合运算，其运算顺序同实数的运算顺序，即是先乘方，再乘除，最后加减．在二次根式的乘法运算中，若能使用整式乘法公式则尽量使用公式可使计算简便．运算结果一定要是最简二次根式．
1．(2015·安徽)计算8×2的结果是()
A.10 B．4 C. 6 D．2
2．(2015·凉山)下列根式中，不能与3合并的是()
A.1
3
B.
1
3
C.
2
3
D.12
3．(2015·眉山)计算：22－18＝________．
4．(2015·滨州)计算(2＋3)(2－3)的结果为________．
命题点3 非负数的性质
(2015·资阳)已知：(a＋6)2＋b2－2b－3＝0，则2b2－4b－a的值为________．
【思路点拨】首先根据非负数的性质可求出a的值和b2－2b＝3，进而可求出2b2－4b－a的值．
本题主要考查非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式(算术平方根)．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0.
1．(2013·攀枝花)已知实数x，y，m满足x＋2＋|3x＋y＋m|＝0，且y为负数，则m的取值范围是() A．m＞6 B．m＜6 C．m＞－6 D．m＜－6
2．(2015·巴中)若a 、b 、c 为三角形的三边，且a 、b 满足a 2－9＋(b －2)2
＝0，则第三边c 的取值范围是________．
3．(2013·巴中)若直角三角形的两直角边长为a 、b ，且满足a 2
－6a ＋9＋|b －4|＝0，则该直角三角形的斜边长为________．
1．(2015·重庆A 卷)化简12的结果是()
A ．4 3
B ．2 3
C ．3 2
D ．2 6 2．(2015·重庆B 卷)计算32－2的值是() A ．2 B ．3 C. 2 D ．2 2
3．(2014·金华)在式子1x －2、1
x －3、x －2、x －3中，x 可以取2和3的是()
A.1
x －2
B.1
x －3
C.x －2
D.x －3
4．(2015·宁夏)下列计算正确的是() A.3＋2＝ 5
B.12÷3＝2
C ．(5)－1
＝ 5
D ．(3－1)2
＝2
5．(2014·济宁)如果ab ＞0，a ＋b ＜0，那么下面各式：①a b ＝a b
，②a
b
·b
a
＝1，③ab ÷a b
＝－b ，其中正确的是()
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．①②③
6．(2015·南京)计算
5×153
的结果是________．
7．(原创)若最简二次根式2a －b ＋4与
3a ＋2
4a ＋3b 是同类二次根式，则a ＝________，b ＝________．
8．(2015·临沂)计算：(3＋2－1)(3－2＋1)．
9．已知a 、b 、c 满足||a －18＋b －7＋(c －32)2
＝0.
(1)求a 、b 、c 的值；
(2)试问以a 、b 、c 为边能否构成三角形？如果能构成三角形，请求出三角形的周长；如果不能，请说明理由．
10．(2015·随州)若代数式1
x－1
＋x有意义，则实数x的取值范围是()
A．x≠1 B．x≥0
C．x≠0 D．x≥0且x≠1
11．(2015·孝感)已知x＝2－3，则代数式(7＋43)x2＋(2＋3)x＋3的值是() A．0 B. 3 C．2＋ 3 D．2－ 3
12．(原创)对于任意不相等的两个实数a、b，定义运算※如下：a※b＝a＋b
a－b
，如3※2＝
3＋2
3－2
＝ 5.
那么8※4＝________．13．观察下面的变形规律：
1
2＋1＝2－1，
1
3＋2
＝3－2，
1
4＋3
＝4－3，
1
5＋4
＝5－4，…
解答下面的问题：
(1)若n为正整数，请你猜想
1
n＋1＋n
＝________；
(2)计算(
1
2＋1
＋
1
3＋2
＋
1
4＋3
＋…
1
2 015＋ 2 014
)×( 2 016＋1)．
参考答案
考点解读
考点1 ①a≥0②≥0③a④－a
考点2 ⑤最简二次根式⑥相同⑦ab ⑧a
b
⑨乘除
各个击破
例1 A
题组训练 1.A 2.D 3.B 4.x≥2
例2 原式＝33－2＋3
（2－3）（2＋3）
－23＝33－(2＋3)－23＝33－2－3－23＝－2.
题组训练 1.B 2.C 3.－ 2 4.－1
例3 12
题组训练 1.A 2.1＜c＜5 3.5
整合集训
基础过关
1．B 2.D 3.C 4.B 5.B 6.5 7.0 1
8.原式＝[3＋(2－1)][3－(2－1)]
＝(3)2－(2－1)2
＝3－(2－22＋1)
＝2 2.
9.(1)由非负数的性质求得：a＝32，b＝7，c＝4 2.
(2)因为a＋c＝32＋42＝72，
所以a＋c>b，
因为c－a＝42－32＝ 2.
所以c－a<b.
所以以a、b、c为边能构成三角形．
三角形的周长为72＋7.
能力提升
10．D 11.C 12. 3
13.(1)n＋1－n
(2)原式＝[(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 016－ 2 015)]( 2 016＋1) ＝( 2 016－1)( 2 016＋1)
＝( 2 016)2－12
＝2 016－1
＝2 015.。