建立数学模型
数学建立模型知识点总结
数学建立模型知识点总结一、数学建立模型的基本概念1. 模型的定义模型是对于特定对象或系统的数学表达式或描述。
它是一个用来代表真实事物、预测未来情况或解决实际问题的简化抽象。
模型可以是数学方程、图表、图形或者计算机程序等形式。
2. 模型的分类根据模型的形式和特点，可以将模型分为不同的类别，主要包括数学模型、物理模型、统计模型、仿真模型等。
3. 建立模型的目的建立模型的目的是为了更好地理解现实世界中的复杂问题，预测未来的发展趋势，进行决策分析和问题求解等。
二、数学建立模型的方法1. 建立模型的一般步骤通常建立模型的一般步骤包括问题分析、模型建立、模型求解、模型验证和结果分析等。
2. 建立模型的数学方法建立数学模型的数学方法主要包括差分方程模型、微分方程模型、优化模型、概率模型和统计模型等。
三、数学模型的应用1. 数学模型在自然科学领域的应用数学模型在物理学、化学、生物学等领域都有着广泛的应用，例如在物理学中用来研究物体的运动规律、在生物学中用来研究生物体的生长和繁殖规律等。
2. 数学模型在社会科学领域的应用数学模型在经济学、管理学、社会学等领域也有很多应用，例如在经济学中用来研究市场供求关系、在管理学中用来研究企业运营规律等。
3. 数学模型在工程技术领域的应用数学模型在工程技术领域中常常用来研究工程结构、流体力学、材料科学等诸多问题，例如在建筑工程中用来研究房屋结构的稳定性、在交通工程中用来研究交通流量规律等。
四、数学建立模型的典型案例1. 鱼群扩散模型鱼群扩散模型是用来研究在外界环境条件下鱼群扩散的问题，通常采用微分方程模型进行描述。
2. 物体自由落体模型物体自由落体模型是用来研究物体在重力作用下的运动规律，通常采用差分方程模型进行描述。
3. 经济增长模型经济增长模型常用来研究经济系统的增长规律，通常采用优化模型进行描述。
五、数学建立模型的发展趋势1. 多学科交叉融合数学建立模型的发展趋势是多学科交叉融合，即将数学模型与物理、化学、生物、经济、管理等学科相结合，以更好地解决现实世界中的复杂问题。
建立数学模型的方法步骤
建立数学模型的方法步骤1.确定问题：明确问题的目标和约束条件。
了解问题的背景、需求，明确所要解决的问题是什么，以及有哪些限制条件。
2.收集数据：收集与问题相关的数据，可能包括实测数据、统计数据、文献资料等。
对数据进行整理和清洗，确保数据的准确性和完整性。
3.建立假设：在数学建模中，常常需要对问题进行简化和假设。
根据实际情况，设定适当的假设，并明确假设的范围和限制。
4.选择模型类型：根据问题的性质和特点，选择适合的数学模型类型。
常用的模型类型有优化模型、统计模型、微分方程模型、随机模型等。
不同的模型类型适用于不同的问题。
5.建立数学关系：确定问题中的关键变量和参数，并建立它们之间的数学关系。
这通常通过利用已知的理论知识和数学工具，如方程、不等式、差分方程、微分方程、概率分布等来表达。
6.模型求解：对建立的数学模型进行求解，即找到使得模型满足约束条件并达到最优目标的解。
常用的求解方法包括数值计算、优化算法、统计推断等。
选择合适的求解方法，进行计算和分析。
7.模型验证：对建立的数学模型进行验证，检验模型在实际情况下的适用性和准确性。
可以利用实验数据和实际观测来验证模型的预测结果和假设的有效性。
8.模型应用：根据模型的求解结果和验证结果，进行模型的应用和分析。
可以对问题进行预测、优化、决策等，为实际问题的解决提供有效的参考和指导。
需要注意的是，建立数学模型是一个循环迭代的过程。
在实际建模中，可能需要多次进行步骤的调整和重复，以不断优化模型的表达和求解效果。
在建立数学模型的过程中，还需要具备一定的数学知识和问题分析能力。
掌握数学方法和工具，了解问题背后的本质和规律，以及具备逻辑分析和抽象思维能力，能够将实际问题转化为数学形式并进行求解分析。
此外，还需要广泛阅读和学习数学建模的相关经验和方法，以丰富自己的建模思路和工具箱，提高建立数学模型的能力。
数学模型建立步骤
数学模型建立步骤数学模型是用数学语言描述现实问题的工具，建立数学模型的过程通常包括以下步骤：1. 问题定义：清晰地定义问题，明确需要解决的具体问题是什么。
将实际问题转化为数学问题的第一步是准确地理解和描述问题。
2. 建立变量：确定与问题相关的各种变量，并对它们进行定义。
这些变量可以是时间、空间、数量等与问题相关的量。
3. 制定假设：为了简化问题或使问题更容易处理，可能需要引入一些假设。
这些假设可能涉及到变量之间的关系、影响因素等。
4. 建立数学关系：将问题中的变量之间的关系用数学公式或方程表示。
这可能包括线性关系、非线性关系、微分方程、差分方程等，取决于问题的性质。
5. 解析求解或数值求解：对于一些简单的模型，可以尝试找到解析解，即用代数方法求解方程。
对于较为复杂的模型，可能需要使用数值方法，如数值模拟、计算机模拟等。
6. 模型验证：验证模型的准确性和可靠性。
通过实验数据或实际观测数据来检验模型的有效性，对模型的输出结果进行比较和分析。
7. 模型分析：分析模型的性质，如稳定性、收敛性、敏感性等。
理解模型的特点有助于更好地解释模型的行为和结果。
8. 模型优化：在验证和分析的基础上，对模型进行优化。
优化可能涉及调整参数、修正假设、改进数学形式等。
9. 模型应用：使用建立好的模型解决实际问题。
模型应用可能包括对未来情景的预测、对政策决策的支持、对系统行为的理解等。
10. 结果解释：将模型的输出结果转化为对实际问题的解释和建议。
这需要将数学语言翻译为实际问题的语言，并确保结果对决策者或问题的相关方具有实际意义。
建立数学模型是一个迭代的过程，可能需要多次调整和修改，以适应实际问题的复杂性和变化。
这一过程需要数学建模者有深厚的领域知识、数学技能以及对实际问题的深刻理解。
数学模型的建立方法
数学模型的建立方法数学模型是将现实问题抽象化、定量化和数学化的过程，它可以帮助我们理解问题的本质、预测未知情况、优化决策等。
下面是一个数学模型的建立方法的详细介绍：1.明确问题：首先需要明确问题的背景、目标和约束条件。
例如，我们可能需要建立一个模型来优化供应链管理问题，那么我们需要明确我们的目标是什么，有哪些约束条件。
2.收集数据：为了建立数学模型，我们需要收集相关的数据。
这包括实地调研、文献研究、统计数据等。
数据的质量和数量对模型的建立和准确性非常重要。
3.建立假设：建立数学模型需要做出适当的假设，以简化问题的复杂性。
假设应该基于对问题的理解和实际情况。
例如，在优化调度模型中，常见的假设包括可行解、稳定环境、线性关系等。
4.确定变量和关系：接下来，我们需要确定模型中的变量和它们之间的关系。
变量是描述问题状态和属性的因素。
关系是变量之间的数学表达式或约束条件。
我们可以使用数学公式、方程、不等式等来描述变量和关系。
5.建立数学模型：根据前面的步骤，我们可以构建数学模型。
数学模型可以分为多种类型，包括代数模型、几何模型、概率模型等。
根据问题的性质和需求选择合适的数学模型。
6.求解和优化：建立数学模型后，我们需要求解模型以获得有关问题的信息。
这可以通过数学分析、符号计算和算法求解等方法来实现。
通过求解模型，我们可以获得问题的最优解、稳定解、灵敏度分析等。
7.模型验证和修正：验证模型的准确性和适用性非常重要。
我们可以使用现有的数据进行模拟和实验，将模型的结果与实际情况进行对比和验证。
如果模型结果不符合预期，我们需要对模型进行修正和改进。
8.模型应用：最后，根据模型的结果，我们可以进行相应的决策和行动。
数学模型提供了对问题的深入理解和预测能力，可以指导实际环境中的决策和行动，从而达到优化和改善问题的目的。
总结起来，数学模型的建立需要明确问题、收集数据、做出假设、确定变量和关系、建立模型、求解和优化、模型验证和修正以及模型应用。
建立数学模型的一般方法
建立数学模型的一般方法数学建模的一般方法如下：1.确定问题：首先，我们需要清楚地描述问题，并确保对问题有全面的理解。
我们需要收集相关数据、了解约束条件，并明确预期结果。
2.邀约模型：在确定问题之后，我们需要确定所要建立的模型类型。
数学模型可以分为确定性模型和随机模型。
确定性模型基于确定的数据和规则进行分析，而随机模型考虑到不确定性因素。
另外，模型可以是静态的（只考虑时刻的瞬时状态）或动态的（时间的连续变化）。
3.收集数据：进行建模所需的数据是非常重要的。
根据问题的类型，我们可以使用实验数据、统计数据或其他相关数据集。
数据的有效性和可靠性对模型的精确性和可靠性至关重要。
4.假设条件：在建立数学模型时，我们需要定义适当的假设条件。
这些假设可以简化问题，提高模型的可解性。
假设条件应该基于先前的经验和合理的逻辑。
5.建立数学表达式：根据问题的特点，我们可以选择适当的数学工具和技术来建立数学表达式。
这可能包括代数方程、微分方程、概率分布、优化函数等。
我们需要理解问题的关键因素，构建变量、参数和约束条件，并将其转化为数学方程或方程组。
6.解决数学模型：一旦数学模型建立完毕，我们可以使用数学方法来解决模型。
这可能包括分析性解、数值解或仿真方法。
根据问题的复杂性，我们可以使用数学软件或计算机编程来进行计算和分析。
7.验证和修正模型：建立模型后，需要验证模型的准确性和可靠性。
我们可以使用实验数据或其他观测数据来验证模型的预测结果。
如果发现模型在一些方面存在问题，我们需要进行修正或调整以提高模型的准确性。
8.预测和解释结果：通过使用已建立并验证的数学模型，我们可以预测未来情况并解释模型的结果。
这有助于理解问题的根本原因、寻找解决方案并做出决策。
9.敏感性分析和优化：在建立数学模型的过程中，我们还可以进行敏感性分析和优化。
敏感性分析用于评估模型输出对输入参数的敏感性，有助于了解问题的关键驱动因素。
优化技术可以帮助我们在给定的约束条件下找到最佳解决方案。
建立数学模型的方法
建立数学模型的方法数学模型是指用数学语言和符号描述现实世界中某个问题的方法。
它是一种把复杂的现实问题转化为数学问题来进行研究和解决的手段。
建立数学模型的过程不仅需要数学知识，还需要对实际问题的深刻理解和把握。
本文将从以下几个方面介绍建立数学模型的方法。
一、分析问题建立数学模型的第一步是分析问题，要明确问题的性质、特点、目的和限制条件。
在分析问题的过程中，需要了解问题的背景和相关知识，明确问题的主要矛盾和关键因素，确定问题的量化指标和评价标准，以及考虑问题的可行性和实际性。
例如，对于一个生产企业来说，它需要分析如何提高生产效率，减少成本，同时保证产品质量和员工安全。
这就需要考虑生产设备的利用率、员工的工作效率、原材料的采购成本、产品的质量检测等因素，以及企业的资源和技术条件。
二、建立数学模型在分析问题的基础上，可以建立数学模型。
数学模型是用数学语言和符号来描述现实问题的形式化表达。
数学模型可以是代数方程、微分方程、差分方程、概率统计模型、图论模型、优化模型等等。
例如，对于上述生产企业的问题，可以建立一个生产效率的数学模型。
设生产效率为E，设生产设备的利用率为x1，员工的工作效率为x2，原材料的采购成本为x3，产品的质量检测为x4，则可以建立以下数学模型：E=f(x1,x2,x3,x4)其中，f为生产效率的函数。
可以根据实际情况选择不同的函数形式，例如线性函数、指数函数、对数函数、多项式函数等等。
三、模型求解建立数学模型后，需要进行模型求解。
模型求解是指利用数学方法和计算机技术来求解数学模型，得到问题的解答或决策。
例如，对于上述生产效率的数学模型，可以利用优化方法来求解。
假设企业的目标是最大化生产效率，同时满足设备利用率≥80%、员工工作效率≥90%、采购成本≤100万元、产品合格率≥95%等限制条件。
则可以建立以下优化模型：Max E=f(x1,x2,x3,x4)s.t. x1≥0.8, x2≥0.9, x3≤100, x4≥0.95其中，s.t.表示限制条件。
数学模型的建立
数学模型的建立引言数学模型是将现实世界中的实际问题转化为数学形式的表示。
通过建立数学模型，我们可以更好地理解和分析问题，并提供解决方案。
本文将讨论数学模型的基本概念、建立过程以及一些常用的建模方法。
数学模型的基本概念数学模型是一种以数学符号和方程组的形式来描述现实问题的工具。
它由变量、参数、约束条件和目标函数组成。
变量表示问题中的待求量，参数表示问题中的已知量，约束条件表示问题中的限制条件，目标函数表示问题中的目标。
数学模型的建立过程数学模型的建立通常包括以下几个步骤：1. 研究问题：首先，我们需要深入研究和了解问题的背景和相关知识，明确问题的目标和要求。
2. 定义变量和参数：根据问题的特点，我们需要定义适当的变量和参数来表示问题中的各个要素。
3. 建立方程或不等式：根据问题的描述和已知条件，我们可以建立方程或不等式来描述问题中的关系。
4. 添加约束条件：将问题中的限制条件加入到模型中，确保模型的可行性和准确性。
5. 确定目标函数：根据问题的目标，确定一个合适的目标函数，以便我们可以通过最大化或最小化目标函数来求解问题。
6. 解模型并验证：使用合适的数学工具和方法求解模型，并验证模型的解是否符合实际情况。
常用的建模方法建立数学模型的方法多种多样，常见的建模方法包括：- 数理统计方法：通过收集和分析数据，利用统计学方法建立数学模型。
- 最优化方法：使用最优化理论和方法，通过最大化或最小化目标函数来建立模型。
- 离散事件模拟方法：将连续事件转化为离散事件，使用模拟技术来解决问题。
- 动态系统建模方法：将问题描述为动态系统，通过建立微分方程和差分方程来建模。
- 概率模型方法：通过概率论的知识，建立和分析随机现象的数学模型。
结论数学模型的建立是解决实际问题的重要工具。
通过合理的建模方法和技巧，我们可以更好地理解问题，并提供有效的解决方案。
不同的问题需要选择适合的建模方法，根据实际情况进行灵活应用。
建立数学模型需要综合运用数学、统计学和实际领域的知识，从多个角度综合分析问题，得出准确的结果。
3建立数学模型方法和步骤
3建立数学模型方法和步骤建立数学模型是将实际问题转化为数学问题，以便进行定量分析和求解的过程。
建立数学模型能够帮助我们更好地理解问题背后的本质，为决策和预测提供依据。
下面将介绍建立数学模型的方法和步骤。
方法一：方程法方程法是一种常用的建立数学模型的方法，其基本步骤包括以下四个方面：1.确定问题的基本要素，包括变量、参数和指标。
变量是问题中可变的量，可以进行测量和观察，而参数是固定的量，通常是由以前的实验或者经验确定的。
指标是评价问题结果的标准。
2.建立数学方程或者不等式，用变量、参数和指标之间的关系来描述问题。
这些方程或者不等式可以是线性的，也可以是非线性的。
可以根据问题背景和要求，选择适当的数学模型，常见的数学模型包括数学规划模型、统计模型、差分方程模型等。
3.对建立的数学方程或者不等式进行求解，得到问题的解。
求解方法可以是数值求解，也可以是符号求解，具体方法取决于问题的特点和求解的难度。
4.对问题的解进行分析和解释，对模型的有效性进行验证。
通过对问题解的分析和解释，可以得出有关问题的结论，并对建立的模型的准确性和可靠性进行评估。
方法二：概率论和统计学方法概率论和统计学是建立数学模型的重要工具，其基本步骤如下：1.通过对问题的分析和理解，确定问题的基本要素，包括变量、参数和指标。
与方程法相似，变量是问题中可变的量，参数是固定的量，指标是评价问题结果的标准。
2.基于问题的特点和要求，选择适当的概率分布，建立数学模型。
常见的概率分布包括正态分布、泊松分布、指数分布等。
3.通过对问题相关数据的收集和分析，估计模型中的参数。
可以使用最大似然估计、矩估计等方法。
4.利用统计推断的方法对问题进行分析和预测。
可以通过置信区间、假设检验等方法对问题进行定量分析。
5.对模型的有效性和可靠性进行评估。
通过对实际数据和推断结果的比较，可以评估模型的准确性和可信度。
方法三：系统动力学模型系统动力学模型是一种常用的建立动态系统模型的方法，其基本步骤如下：1.确定问题的系统边界。
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第1章 建立数学模型1.1 在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？（稳定的椅子问题见姜启源《数学模型》第6页）1.2 在商人们安全过河问题中，若商人和随从各四人，怎样才能安全过河呢？一般地，有n 名商人带n 名随从过河，船每次能渡k 人过河，试讨论商人们能安全过河时，n 与k 应满足什么关系。
（商人们安全过河问题见姜启源《数学模型》第7页）1.3 人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。
问人、狗、鸡、米怎样过河？1.4 有3对夫妻过河，船至多载两人，条件是任一女子不能在其丈夫不在的情况下与其他的男子在一起。
问怎样过河？1.5 如果银行存款年利率为5.5%，问如果要求到2010年本利积累为100000元，那么在1990年应在银行存入多少元？而到2000年的本利积累为多少元？1.6 某城市的Logistic 模型为2610251251N N dt dN ⨯-=，如果不考虑该市的流动人口的影响以及非正常死亡。
设该市1990年人口总数为8000000人，试求该市在未来的人口总数。
当∞→t 时发生什么情况。
1.7 假设人口增长服从这样规律：时刻t 的人口为)(t x ，最大允许人口为m x ，t 到t t ∆+时间内人口数量与)(t x x m -成正比。
试建立模型并求解，作出解的图形并与指数增长模型和阻滞增长模型的结果进行比较。
1.8 一昼夜有多少时刻互换长短针后仍表示一个时间？如何求出这些时间？1.9 你在十层楼上欲乘电梯下楼，如果你想知道需要等待的时间，请问你需要有哪些信息？如果你不愿久等，则需要爬上或爬下几个楼层？1.10 居民的用水来自一个由远处水库供水的水塔，水库的水来自降雨和流入的河流。
水库的水可以通过河床的渗透和水面的蒸发流失。
如果要你建立一个数学模型来预测任何时刻水塔的水位，你需要哪些信息？第2章 初等模型2.1 学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。
学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者.（2）2.1节中的Q 值方法.（3）d ’Hondt 方法： 将各宿舍的人数用正整数,2,1 n,3相除，其商数如下表：将所得商数从大到小取前10个(10为席位数),在数字下标以横线，表中A ，B ，C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配席位.你能解释这种方法的道理吗。
如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额.将3种方法两次分配的结果列表比较.（4）你能提出其他的方法吗.用你的方法分配上面的名额. 2.2 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种想象了吗.比如洁银牙膏50克装的每支1.50元,120克装的每支3.00元,二者单位的重量的价格比是1.2:1,试用比例方法构造模型解释这个现象.（1）分析商品的价格C 与商品重量W 的关系.价格由生产成本、包装成本和其它成本等决定，这些成本中有的与重量W 成正比，有的与表面积成正比，还有与W 无关的因素。
(2)给出单位重量价格C 与W 的关系。
画出它的简图，说明W 越大C 越小，但是随着W 的增加C 减小的程度变小。
解释实际意义是什么。
2.3 一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用与测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。
假设鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到了8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：先用机理分析建立模型，再用数据确定参数。
2.4用已知尺寸的矩形板材加工一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方法使加工出尽可能多的圆盘。
2.5雨滴匀速下降，空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比，试确定雨速与雨滴质量的关系。
2.6生物学家认为，对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，建立一个动物体重与心率之间关系的模型，并用下面的数据加以检验。
2.7 举重比赛按照运动员的体重分组,你能在一些合理、简化的假设下建立比赛成绩与体重之间的关系吗。
下面是一界奥运会竞赛的成绩，可供检验你的模型。
2.8 速度为v 的风吹在迎风面积s 为的风车上，空气密度是ρ。
用量纲分析方法确定风车获得的功率P 与v ，s ，ρ的关系。
2.9 雨速的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数。
用量纲分析方法给出速度v 的表达式。
2.10 原子弹爆炸时巨大的能量从爆炸点以冲击波形式向四周传播。
据分析在时刻t 冲击波达到的半径r 与释放能量e ，大气密度ρ，大气压强p 有关（设0=t 时0=r ）。
用量纲分析方法证明，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3265512ρϕρe t p et r ，ϕ是未定函数。
2.11 用量纲分析方法研究人体浸在匀速流动的水里时损失的热量。
记水的流速v ，密度ρ，比热c ，粘性系数μ，热传导系数k ，人体尺寸d 。
证明人体与水的热交换系数h 与上述各物理量的关系可表为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=k c d v d k h μμρϕ,，ϕ是未定函数，h 定义为单位时间内人体的单位面积在人体与水的温差为C1时的热量交换。
2.12 在小说《格里佛游记》中,小说国中的人们决定给格里佛相当与一个小人食量1728倍的食物.他们是这样推理的,因格里佛身高是小人的12倍.他的体格是小人的172812=3倍.所以他需要的食物是一个小人的食量的1728倍.为什么他们的推理是错误的?正确的答案是什么?2.13 战后Olympic 运动会女子铅球记录如下:你是否可以从这些数据中预测2000年的奥运会女子铅球的最佳成绩.第3章 简单的优化模型3.1 在存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用。
重新确定最优订货周期和订货批量。
证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样。
而在允许缺货模型中最优订货周期和定货批量都比原来结果减少。
3.2 建立不允许缺货的生产销售存贮模型。
设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，r k >在每个生产周期T 内，开始的一段时间)0(0T t <<一边生产一边销售，后来的一段时间(t T <0T <)只销售不生产，画出贮存量)(t q 的图形。
设每次生产准备费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，以总费用最小为目标确定最优生产周期。
讨论r k >>和r k ≈的情况。
3.3 在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度λ与开始救火时的火势b 有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型。
3.4 在雨中从一处沿直线跑道另一处，若雨速为常数且方向不变。
试建立数学模型讨论是否跑的越快，淋雨量越少。
将人体简化成一个长方体，高m 5.1=a （颈部以下），宽m 5.0=b ，厚m 2.0=c ，设跑步距离m 1000=d ，跑步最大速度s /m 5=m v ，雨速s /m 4=u ，降雨量h /cm 2=w ，记跑步速度为v 。
按以下步骤进行讨论：（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步， 估计跑完全程的总淋雨量。
（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，如图1，建立总淋雨量与速度v 及参数a ，b ，c ，d ，u ，w ，θ之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少。
计算 0=θ，30=θ时的总淋雨量。
（3）雨从背后吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2。
建立总淋雨量与速度v 及参数a ，b ，c ，d ，u ，w ，α之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少。
计算30=α时总淋雨量。
（4）以总淋雨量为纵轴，速度v 为横轴，对(3)作图（考 虑α的影响），并解释结果的实际意义。
（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什 么变化。
图1图23.5 甲乙两公司通过广告来竞争销售商品的数量，广告费分别是x 和y 。
设甲乙公司商品的售量在两公司总售量中占的份额，是它们的广告费在总广告中所占份的函数)(y x x f +和)(yx yf +。
又设公司的收入与售量成正比，从收入中扣除广告费即为公司的利润。
试构造模型的图形，并讨论甲公司怎样确定广告费才能使利润最大。
（1）令yx xt +=，则1)1()(=-+t f t f 。
画出)(t f 的示意图。
（2）写出甲公司利润的表达式)(x p 。
对于一定的y ，使)(x p 最大的x 的最优值应满足什么关系。
用图解法确定这个最优值。
3.6 人行走时作的功是抬高人体重心所需势能与两腿运动所需动能之和。
试建立模型讨论在作功最小的准则下每秒走几步最合适（匀速行走）。
（1）设腿长l ，步长s ，证明人体重心在行走时升高)(82l s l s <≈δ（2）将腿看作均匀直杆，行走看作腿绕腰部的转动。
设腿的质量m ，行走速度v ，证明单位时间所需动能为s mv62。
（3）设人体质量M ，证明在速度v 一定时每秒行走 =nml Mg 43步作功最小。
实际上，m l mM1,4≈≈分析这个结果合理吗。
（4）将（2）的假设修改为：腿的质量集中在脚部，行走看作脚的直线运动。
证明结果应为mlMgn 4=步。
分析这个结果合理。
3.7 驶于河中的渡轮，它的行驶方向要受水流的影响。
船在河的位置不同，所受到水流的影响也不同。
试设计一条使渡轮到达对岸时间最短的航线。
3.8 发电站的设计者们在堰坝上安装水轮机，当潮水通过堰坝时，推动水轮机运转，从而带动发电机发电。
潮水通过水轮机3.9 别为p ，q 室（如图所示）少应宽多少？3.10 程中鱼类选择的消耗能量最小的运动方式。
（1）设鱼总是以常速v 运动，鱼在水中净重w ，向下滑行时的阻力是w 在运动方向的分力；向上游动时所需的力是w 在运动方向分力与游动所受阻力之和，而游动的阻力是滑行阻力的k 倍，水平方向游动时阻力也是滑行阻力的k 倍，写出这些力。
（2）证明当鱼要从A 点到达处于同一水平线上的B 点时（见下图），沿折线ACB 运动消耗的能量与沿水平线AB 运动消耗的能量之比为（向下滑行不消耗能量）)sin(sin sin βαβα++k k 。
（3）根据实际观察 2.0tan ≈α，试对不同的k 值（1.5，2，3）， 根据消耗能量最小的准则 估计最佳的β值。
B第4章 数学规划模型4.1 某饲养场用n 种原料配合成饲料喂鸡，为了让鸡生长得快，对m 种营养成分有一个最低标准。