高数习题册及答案

lim

2

高数下习题册及答案

第八章 多元函数的微分法及其应用

§1 多元函数概念

一、设 f ( x , y ) x 2 y 2 , (x , y ) x 2 y 2, 求: f [ ( x , y ), y 2 ] .

答案： f ( (x, y), y 2 ) ( x 2

y 2 )

2

y

4

x

4

2x 2 y 2 2 y 4

二、求下列函数的定义域：

x 2

(1 y)

2 2

1、 f ( x, y) 1 x 2 y 2

{( x, y) | y

x 1};

2、 z arcsin y

x

{( x, y) | y

x , x 0};

三、求下列极限： 1 、 lim

x 2

sin y 2 2

（ 0）

( x , y)

( 0,0 ) x 2 、 lim (1 y

y )3 x ( e 6

)

( x, y) ( , 2)

x

x 2

y

四、证明极限

( x , y ) (0,0 )

x

4

2

不存在.

y

证明：当沿着 x 轴趋于（ 0，0）时，极限为零，当沿着

二者不相等，所以极限不存在

y x 趋于（ 0，

0）时，极限为 1 ,

2

五、证明函数 f ( x, y)

xysin

1 ,

x

2

y

2

0,

( x, y) ( x, y)

(0,0)

(0,0)

在整个 xoy 面上连续。

证明：当 ( x, y)

(0,0) 时， f ( x, y)为初等函数，连续 。当( x, y) (0,0) 时，

l i m xy s i n

1 0 f (0,0) ，所以函数在（ 0，0）也连续。所以函数 ( x , y) ( 0,0 ) x

2 y

2

在整个 xoy 面上连续。

六、设 z x y 2 f ( x y ) 且当 y=0 时 z x 2

，求 f(x) 及 z 的表达式 .

解： f(x)= x

2

x

，z x 2

2 y 2 2xy y

§2

偏导数

1

2

2

1、设 z= xy

y xe x

y

,验证 y

x z y z

x y y

xy z y 证明： z x

y e x y e x , z x y x e x

， x

z y z x y xy xy xe x xy z

2、求空间曲线 z

x 2

:

y

y

2

1 在点（ 2

3 ,

1 2 2

,1

）处切线与 y 轴正向夹角 ( ) 4

3、设

f ( x,

y )

z

xy ( y 1) 2

arcsin x y

,

求

f x ( x ,1)

( 1)

4、设 u x y

, 求 u

， u

，

u x

y

z

解：

u x

z

z x

y

，

u y

y

z

z x y

y

2 ln x

z

u 1 x y

z y ln x

5、设 u

x

2

y

2

z 2

，证明 :

u

u x 2

y

2 2

u

2 z

2

u

6、判断下面的函数在 (0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由

f ( x, y)

1 2

x sin 2

2

, x x

y

0,

x

2

y 2

y

2

lim f ( x, y) 0

f ( 0,0)

连续；

f x (0,0) l i m s i n 1

不存在， f y ( 0,0)

lim

0 0

x

x 0 x 2

y

y 0 y

7、设函数 f(x,y) 在点（ a,b ）处的偏导数存在，求

lim f ( a x, b ) f (

a x,b) （2f x (a,b)）

1、单选题

x 0 x

§3

全微分

（1） ）二元函数 f(x,y) 在点 (x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的

(A) 必要条件而非充分条件 （B ）充分条件而非必要条件

（C ）充分必要条件 （ D ）既非充分又非必要条件 （2） 对于二元函数 f(x,y) ，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是 (A) 偏导数不连续，则全微分必不存在 （ B ）偏导数连续，则全微分必存在 （C ） 全微分存在，则偏导数必连续 （D ）全微分存在，而偏导数不一定存在

2、求下列函数的全微分：