平面向量共线的坐标表示 课件

uuur uuur 解:若点 A,B,C 能构成三角形,则这三点不共线,即 AB 与 AC 不共线.又
uuur
uuur
AB =(3,1),AC =(2-m,1-m),故知 3(1-m)≠2-m,
则 m≠ 1 .故 m 满足的条件为 m≠ 1 .
2
2
程组求解.
uuuur uuur 解:设点 M 的坐标为(x,y),由于|AM |=3|MB |,
uuuur uuur uuuur uuur 则 AM =3 MB 或 AM =-3 MB .
uuuur
uuur
由题意,得 AM =(x-3,y-5),MB =(6-x,9-y).
uuuur uuur 当 AM =3 MB 时,(x-3,y-5)=3(6-x,9-y),
由题意得 x
2
2 3
(-1
x), 解得 x
4 5
,
y
1
2 3
(3
y),
y
3 5
,
故点
P
的坐标为
4 5
,
3 5
.
uuur
uuur
uuur
5 已知向量 OA =(3,-4),OB =(6,-3),OC =(5-m,-3-m),若点 A,B,C 能构成三
角形,求实数 m 应满足的条件.
分析:转化为求 A,B,C 不共线时 m 满足的条件.
∴xy
3 5
3(6 3(9
x), y),
解得
x=
21 4
,y=8.
uuuur uuur
当 AM =-3 MB 时,(x-3,y-5)=-3(6-x,9-y),
∴xy
3 5
3(6 3(9
x), y),
解得
x=
15 2
,y=11.
∴点
M
的坐标是
21 4
,8
或
15 2
,11
.
反思:在求点或向量的坐标时,要充分利用两个向量共线的条件,要注意方程思
1.对向量共线条件的理解 剖析:(1)已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2),由 x1y2-x2y1=0 成立,可判断 a 与 b 共线;反之, 若 a 与 b 共线,则它们的坐标满足 x1y2-x2y1=0. (2)在讨论向量共线时,规定零向量可以与任一向量共线,故在 x2y2≠0 的条件
uuur P1P
uuur =λPP2
(λ≠-1),则
P
x1 λx2 1 λ
,
y1 λy2 1 λ
.
【做一做】 下列各组向量中,共线的是( ). A.a=(-2,3),b=(4,6) B.a=(2,3),b=(3,2) C.a=(1,-2),b=(7,14) D.a=(-3,2),b=(6,-4) 答案:D
分析:先由向量 a,b 求得向量 ka+b 与 a-3b,再根据向量平行的条件列方程组求
得 k 的值,进而判断两个向量的方向.
解:ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).
当 ka+b 与 a-3b 平行时,存在唯一实数 λ,
使 ka+b=λ(a-3b),即(k-3,2k+2)=λ(10,-4),
uuur uuur ②任取两点构成向量,计算出两个向量如 AB ,AC ,再通过两个向量共线的
条件进行判断.
3.两个向量共线条件的表示方法 剖析:已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2), (1)当 b≠0 时,a=λb.这是几何运算,体现了向量 a 与 b 的长度及方向之间的关 系. (2)x1y2-x2y1=0.这是代数运算,用它解决向量共线问题的优点在于不需要引 入参数“λ”,从而减少未知数个数,而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化 的特征.
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
平面向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b≠0,当且仅当 x1y2-x2y1=0 时,a∥b.
(1)线段中点坐标公式:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则线段 AB 中点的坐标是
M
x1
2
x2
,
y1
2
y2
.
(2)若
P1(x1,y1),P2(x2,y2),且
∴2kk32104λλ, ,
解得
k=λ=
-
1 3
.
∴当 k=- 1 时,ka+b 与 a-3b 平行,这时 ka+b=- 1 a+b=- 1 (a-3b).
3
3
3
∵λ=- 1 <0,∴ka+b 与 a-3b 反向. 3
反思:已知两个向量共线,求参数的问题,参数一般设置在两个位置,一是向量坐 标中,二是相关向量用已知两个向量的含参关系式表示(如本题),解题时需根据 题目特点选择向量共线的坐标表示的两种形式,建立方程求解.
(3)当 x2y2≠0 时, x1 = y1 ,即两个向量的相应坐标成比例.通过这种形式较 x2 y2
容易记忆向量共线的坐标表示,而且不易出现搭配错误.
题型一 已知向量共线,求参数的值
【例 1】 已知 a=(1,2),b=(-3,2),当 k 为何值时,ka+b 与 a-3b 平行?平行时它们是 同向还是反向?
正解:∵a∥b,∴3(-m)-(2-m)m=0,解得 m=0 或 m=5. 反思:设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a 与 b 共线的条件为 x1y2-x2y1=0.要注意与条件
x1 = y1 的区别,应用 x1 = y1 时,分母应不为零.
x2 y2
x2 y2
1 若 A(3,-6),B(-5,2),C(6,y)三点共线,则 y=( ).
A.13
B.-13
C.9Байду номын сангаас
uuur
uuur
uuur uuur
解析:AB =(-8,8),BC =(11,y-2),则 AB ∥ BC ,
所以-8(y-2)-8×11=0,解得 y=-9. 答案:D
D.-9
2 已知向量 a=(1,1),b=(2,x),若 a+b 与 4b-2a 平行,则实数 x 的值为( ).
想的应用,建立方程的条件有向量共线、向量相等等.
题型四 易错辨析
【例 4】 已知 a=(3,2-m)与 b=(m,-m)平行,求 m 的值.
错解:由题意,得 3 = 2 m ,解得 m=5. m m
错因分析:本题中,当 m=0 时,b=0,显然 a∥b 成立.错解原因在于利用坐标比例形 式判断向量共线的前提是 m·(-m)≠0,由于疏忽了这一前提,造成了转化不等价.
A.-2
B.0
C.1
D.2
解析:a+b=(3,1+x),4b-2a=(6,4x-2),
由 a+b 与 4b-2a 平行,
知 3(4x-2)-6(1+x)=0,解得 x=2.
答案:D
3 若向量 a=(x,1),b=(4,x),则当 x=
时,a 与 b 共线且方向相同.
解析:∵a=(x,1),b=(4,x),若 a∥b,则 x2-4=0,即 x2=4,∴x=±2.当 x=-2 时,a 和 b 方向相 反;当 x=2 时,a 与 b 方向相同. 答案:2
下,a 与 b 共线的条件可化为 x1 = y1 ,即两个向量共线的条件为相应坐标成比 x2 y2
例.
2.三点共线问题 剖析:(1)若 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则 A,B,C 三点共线的条件为 (x2- x1)(y3- y1)- (x3- x1)(y2- y1)= 0. (2)若已知三点的坐标,判断其是否共线可采用以下两种方法: ①直接利用上述条件,计算(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)是否为 0.
4
已知点
P1(2,-1),点
P2(-1,3),点
P
在线段
P1P2
uuur 上,且|P1P
|=
2 3
uuur |PP2
|.求点
P
的坐标.
解:设点 P 的坐标为(x,y),
由于点
P
在线段
P1P2 上,则有
uuur P1P
=
2 3
uuur PP2
.
uuur
uuur
又 P1P =(x-2,y+1),PP2 =(-1-x,3-y),
2 uuur uuur 则 AB 与 AC 共线且有一个公共点 A.
故 A,B,C 三点共线.
反思:证明三点共线的常见方法有:(1)证得两条较短的线段长度之和等于第三 条线段的长度;(2)利用斜率;(3)利用直线方程即由其中两点求出直线方程,再验 证第三点在这条直线上;(4)利用向量共线的条件,如本题.其中方法(4)是最优解 法.
题型二 三点共线问题
【例
2】
求证:A(1,5),B
1 2
,
4
,C(0,3)三点共线.
uuur uuur
分析:可转化为证明 AB ∥ AC .
证明:由
A(1,5),B
1 2
,
4
,C(0,3),
得
uuur AB
=
1 2
,-1
uuur ,AC
=(-1,-2).
又- 1 ×(-2)-(-1)×(-1)=0,
题型三 求点或向量的坐标
uuuur uuur 【例 3】 已知 A(3,5),B(6,9),且|AM |=3|MB |,M 是直线 AB 上一点,求点 M 的坐
标.
分析:设出点 M 的坐标,利用待定系数法求得.先利用 A,B,M 三点共线且