全等三角形的存在性
一次函数综合—线段和差、存在性问题解析
一次函数的应用—线段和差、存在性问题一、一次函数线段和差最值问题【知识点】1. 最短路径原理【原理1】作法作图原理在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小。
连AB，与l 交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为AB．【原理2】作法作图原理在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小．作 B 关于l 的对称点B＇连A B＇，与l 交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为A B＇．【原理3】作法作图原理在直线l 上求一点P，使作直线AB，与直线l的交点即为P．三角形任意两边之差小于第三边．≤AB .PBPA－（1）求线段和最小时动点坐标或直线解析式； （2）求三角形周长最小值；（3）求线段差最大时点的坐标或直线解析式。
3. 口诀：“和小异，差大同”（一）一次函数线段和最小值问题【例题讲解】★★☆例题1．在平面直角坐标系xOy 中，y 轴上有一点P ，它到点(4,3)A ，(3,1)B 的距离之和最小，则点P 的坐标是( ) A ．(0,0)B ．4(0,)7C ．5(0,)7D ．4(0,)5【答案】C的值最大 .【原理 4】作法作图原理在直线 l 上求一点 P ，使的值最大 .作 B 关于 l 的对称点 B ＇作直线 A B ＇，与 l 交点即为 P ．三角形任意两边之差小于第三边．≤A B ＇ .PB PA －PB PA －PB PA －【解析】解：作A 关于y 轴的对称点C ，连接BC 交y 轴于P ，则此时AP PB +最小，即此时点P 到点A 和点B 的距离之和最小，(4,3)A ，(4,3)C ∴-，设直线CB 的解析式是y kx b =+，把C 、B 的坐标代入得：3413k bk b =-+⎧⎨-=+⎩，解得：47k =-，57b =，4577y x ∴=-+，把0x =代入得：57y =， 即P 的坐标是5(0,)7，故选：C ．【备注】本题考查了轴对称-最短路线问题，一次函数的解析式，坐标与图形性质等知识点，关键是能画出P 的位置，题目比较典型，是一道比较好的题目．★★☆练习1．如图，在平面直角坐标系中，已知点(2,3)A ，点(2,1)B -，在x 轴上存在点P 到A ，B 两点的距离之和最小，则P 点的坐标是 ．【答案】(1,0)-【解析】解：作A 关于x 轴的对称点C ，连接BC 交x 轴于P ，则此时AP BP +最小，A 点的坐标为(2,3)，B 点的坐标为(2,1)-，(2,3)C ∴-，设直线BC 的解析式是：y kx b =+，把B 、C 的坐标代入得：2123k b k b -+=⎧⎨+=-⎩解得11k b =-⎧⎨=-⎩．即直线BC 的解析式是1y x =--，当0y =时，10x --=，解得：1x =-，P ∴点的坐标是(1,0)-．故答案为：(1,0)-．【备注】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，轴对称-最短路线问题的应用，关键是能找出P 点，题目具有一定的代表性，难度适中．★★☆练习2．如图，直线34120x y +-=与x 轴、y 轴分别交于点B 、A 两点，以线段AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ．若点P 为x 轴上的一个动点，求当PC PD +的长最小时点P 的坐标．【答案】详见解析【解析】解：直线34120x y +-=与x 轴、y 轴分别交于点B 、A 两点，则点A 、B 的坐标分别为：(0,3)，(4,0)，如图所示，过点C 作CH x ⊥轴交于点H ，90ABO BAO ∠+∠=︒，90ABO CBH ∠+∠=︒，CBH BAO ∴∠=∠，又90AOB CHB ∠=∠=︒，AB BC =，()AOB BHC AAS ∴∆≅∆，4CH OB ∴==，3HB OA ==，故点(7,4)C ，同理可得点(3,7)D ，确定点C 关于x 轴的对称点(7,4)C '-，连接C D '交x 轴于点P ，则此时PC PD +的长最小，将点C '、D 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线CD 的表达式为：116144y x =-+， 当0y =时，6111x =，故点61P，0)．(11【备注】本题考查的是一次函数上坐标点的特征，涉及到点的对称性、正方形性质等，本题的难点在于：通过证明三角形全等，确定点C、D的坐标．★★☆例题2．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，3OB=，D为边OB的中点，若E为x轴上的一个动点，当CDE∆的周长最小时，求点E OA=，4的坐标()A．(3,0)-B．(1,0)C．(0,0)D．(3,0)【答案】B【解析】解：如图，作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'与x轴交于点E，连接DE．若在边OA上任取点E'与点E不重合，连接CE'、DE'、D E''由DE CE D E CE CD D E CE DE CE'+'=''+'>'='+=+，可知CDE∆的周长最小．OB=，D为边OB的中点，42∴=，OD∴，(0,2)D在矩形OACB 中，3OA =，4OB =，D 为OB 的中点，3BC ∴=，2D O DO '==，6D B '=，//OE BC ，Rt ∴△D OE Rt '∽△D BC '，∴OE D OBC D B '=' 即236OE = 1OE =，∴点E 的坐标为(1,0)故选：B ．【备注】此题主要考查轴对称--最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．★★☆练习1．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为(1,4)和(3,0)，点C 是y 轴上的一个动点，连接AC 、BC ，当ABC ∆的周长最小值时，ABC ∆的面积为 ．【答案】3【解析】解：如图，作点A 关于y 轴的对称点A '，连接A B '交y 轴于点C '，此时ABC ∆'的周长最小，设直线A B ' 的解析式为y kx b =+，(1,4)A '-，(3,0)B ，∴430k b k b -+=⎧⎨+=⎩，1k ∴=-，3b =，∴直线A B ' 的解析式为3y x =-+，当0x =时，3y =，(0,3)C ∴'，ABC AA BAA C S SS∆'''∴=-11242122=⨯⨯-⨯⨯ 413=-=．所以ABC ∆'的面积为3．故答案为：3．【备注】本题考查了轴对称、最短路线问题、坐标与图形性质、三角形的面积，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．★★☆练习2．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以AB 为边 在第二象限内作正方形ABCD ．（1）求点A 、B 的坐标，并求边AB 的长；（2）求点C 和点D 的坐标；（3）在x 轴上找一点M ，使MDB ∆的周长最小，请求出M 点的坐标，并直接写出MDB ∆的周长最小值．【答案】详见解析【解析】解： （1）对于直线122y x =+， 令0x =，得到2y =；令0y =，得到4x =-，(4,0)A ∴-，(0,2)B ，即4OA =，2OB =， 则224225AB =+=；（2）过D 作DE x ⊥轴，过C 作CF y ⊥轴，四边形ABCD 为正方形，AB BC AD ∴==，90ABC BAD BFC DEA AOB ∠=∠=∠=∠=∠=︒，90FBC ABO ∠+∠=︒，90ABO BAO ∠+∠=︒，90DAE BAO ∠+∠=︒，FBC OAB EDA ∴∠=∠=∠，()DEA AOB BFC AAS ∴∆≅∆≅∆，2AE OB CF ∴===，4DE OA FB ===，即426OE OA AE =+=+=，246OF OB BF =+=+=，则(6,4)D -，(2,6)C -；（3）如图所示，连接BD ，找出B 关于y 轴的对称点B '，连接DB '，交x 轴于点M ，此时BM MD DM MB DB +=+'='最小，即BDM ∆周长最小，(0,2)B ，(0,2)B ∴'-，设直线DB '解析式为y kx b =+，把(6,4)D -，(0,2)B '-代入得：642k b b -+=⎧⎨=-⎩，解得：1k =-，2b =-，∴直线DB '解析式为2y x =--，令0y =，得到2x =-，则M 坐标为(2,0)-， 此时MDB ∆的周长为21062+．【备注】本题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，勾 股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，对称性质，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握 性质及定理是解本题的关键（二）一次函数线段差最大值问题【例题讲解】★★☆例题1．已知，如图点(1,1)A ，(2,3)B -，点P 为x 轴上一点，当||PA PB -最大时，点P的坐标为( )A ．1(,0)2B ．5(,0)4C ．1(,0)2-D ．(1,0)【答案】A【解析】解：作A 关于x 轴对称点C ，连接BC 并延长交x 轴于点P ， (1,1)A ，C ∴的坐标为(1,1)-，连接BC ，设直线BC 的解析式为：y kx b =+，∴123k b k b +=-⎧⎨+=-⎩， 解得：21k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为：21y x =-+， 当0y =时，12x =， ∴点P 的坐标为：1(2，0)，当B ，C ，P 不共线时，根据三角形三边的关系可得：||||PA PB PC PB BC -=-<，∴此时||||PA PB PC PB BC -=-=取得最大值．故选：A ．【备注】此题考查了轴对称、待定系数法求一次函数的解析式以及点与一次函数的关系．此题难度较大，解题的关键是找到P 点，注意数形结合思想与方程思想的应用．★★☆练习1．平面直角坐标系中，已知(4,3)A 、(2,1)B ，x 轴上有一点P ，要使PA PB -最大，则P 点坐 标为【答案】(1,0)【解析】解：(4,3)A 、(2,1)B ，x 轴上有一点P ，||PA PB AB ∴-，∴当A ，B ，P 三点共线时，PA PB -最大值等于AB 长，此时，设直线AB 的解析式为y kx b =+，把(4,3)A 、(2,1)B 代入，可得3412k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得11k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线AB 的解析式为1y x =-，令0y =，则1x =，P ∴点坐标为(1,0)，故答案为：(1,0)． 【备注】本题主要考查了坐标与图形性质，利用待定系数法求得直线AB 的解析式是解决问题的关键． ★★☆练习2．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(6,0)，点P 在一次函数1322y x =+的图象上运动，则PB PA -的最大值为( )A ．2B ．233C ．4D ．143【答案】C【解析】解：如图，作点A 关于直线1322y x =+的对称点K ，连接AK 交直线于H ，连接PK ．AK PH ⊥，(0,4)A ，∴直线AK 的解析式为24y x =-+，由132224y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩， (1H ∴，20，AH KH =，(2,0)K ∴．PB PA PB PK KB ∴-=-，∴当点P 在BK 的延长线上时，P B P K BK '-'=的值最大，最大值为624-=，故选：C ．【备注】本题考查一次函数图象上的点的特征、轴对称等知识，解题的关键是学会利用对称解决最值问题 属于中考常考题型．【题型知识点总结】一次函数最短路径问题注意事项：1. 根据“和小异，差大同”判断是否需要作对称；2. 作对称时注意要选取动点运动的直线为对称轴作某一定点的对称点。
全等三角形的性质全等三角形特征全等图形的定义和性质
全等图形：
能够完全重合的图形叫做全等图形；
全等三角形：
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
对应顶点、对应边、对应角：两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
1、定义：全等图形：能够完全重合的图形叫做全等图形；
全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
对应顶点、对应边、对应角：两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
2、全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。
3、特征：全等图形的形状相同、大小相等。
注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。
全等三角形特征：
全等图形的形状相同、大小相等。
注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
三角形的全等性质总结
三角形的全等性质总结三角形是几何学中的基本图形之一，而其中的全等性质是研究三角形特征的重要内容之一。
全等性质指的是两个三角形在各个对应的角度和边长相等。
在几何学中，全等性质不仅仅是一种理论，更是解决实际问题和推导其他定理的基础。
一、全等三角形的定义全等三角形是指两个三角形的对应的边长和角度均相等的情况。
记作ΔABC≌ΔDEF，其中Δ表示三角形，ABC和DEF分别表示两个三角形的顶点。
二、不同类型的全等性质1. SSA全等性质SSA全等性质是指两个三角形的两个边和一个非夹角的角度相等时，可以确定这两个三角形全等。
这里的SSA分别代表两个边和一个角。
2. SAS全等性质SAS全等性质是指两个三角形的一个边和两个夹角相等时，可以确定这两个三角形全等。
SAS分别代表一个边和两个角。
3. SSS全等性质SSS全等性质是指两个三角形的三个边相等时，可以确定这两个三角形全等。
SSS分别代表三个边。
4. ASA全等性质ASA全等性质是指两个三角形的两个夹角和一个边相等时，可以确定这两个三角形全等。
ASA分别代表两个角和一个边。
5. AAS全等性质AAS全等性质是指两个三角形的两个角和一个非夹角的边相等时，可以确定这两个三角形全等。
AAS分别代表两个角和一个边。
三、全等性质的应用全等性质在几何学和实际问题中有着广泛的应用，下面介绍其中几个重要的应用。
1. 证明两个三角形全等在解决几何题目时，通过使用全等性质可以证明两个三角形全等。
根据已知条件，确定两个三角形的对应边长和角度相等，从而得出这两个三角形全等。
2. 推导其他定理全等性质在几何学的研究中经常用于推导其他更复杂的定理。
利用已知的全等性质和其他已知条件，可以逐步推导出更多的几何定理，进一步拓展我们对于三角形性质的认识。
3. 解决实际问题全等性质不仅在几何学中有应用，它也可以帮助我们解决实际生活中的问题。
例如，在测量三角形的边长和角度时，我们可以利用全等性质来推导出未知的边长和角度，从而解决实际问题。
二次函数与相似三角形、全等三角形及等角的存在性问题
二次函数与相似三角形、全等三角形及等角的存在性问题（一）、相似三角形的存在性问题：1、如图,直线y=−x+3与x 轴、y 轴分别相交于点B. C,经过B. C 两点的抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ，且对称轴为直线x=2. (1)、求该抛物线的解析式； (2)、连接PB 、PC ，求△PBC 的面积；(3)、连接AC ，在x 轴上是否存在一点Q ，使得以点P ，B ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。
2、如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝kx ﹣4k +4与抛物线y ＝x 2﹣x 交于A 、B 两点． （1）、直线总经过定点，请直接写出该定点的坐标； （2）、点P 在抛物线上，当k ＝﹣时，解决下列问题：①、在直线AB 下方的抛物线上求点P ，使得△PAB 的面积等于20；②、连接OA ，OB ，OP ，作PC ⊥x 轴于点C ，若△POC 和△ABO 相似，请直接写出点P 的坐标．3、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x－3与抛物线y＝x2＋mx＋n相交于两个不同的点A、B，其中点A在x轴上．(1)、则A点坐标为▲；(2)、若点B为该抛物线的顶点，求m、n的值；(3)、在(2)条件下，设该抛物线与x轴的另一个交点为C，请你探索在平面内是否存在点D，使得△DAC与△DCO相似？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．4、已知某二次函数的图象与x轴分别相交于点A(−3,0)和点B(1,0),与y轴相交于C(0,−3m)(m>0)，顶点为点D.(1)、求该二次函数的解析式(系数用含m的代数式表示)；(2)、如图①，当m=2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；(3)、如图②，当m取何值时，以A. D. C三点为顶点的三角形与△OBC相似?5、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）、求抛物线的表达式；（2）、D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）、抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．6、如图，直线y ＝﹣x +3与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线y ＝ax 2+x +c 经过B 、C 两点． （1）、求抛物线的解析式；（2）、点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，交x 轴于点F ，设E 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示线段EM 的长；（3）、在（2）的条件下，若B ，E ，M 为顶点的三角形与△BOC 相似，请直接写出m 的值．7、如图所示抛物线2y x bx c =++经过A 、B 两点，A 、B 两点的坐标分别为（-1,0）、（0，-3）（1）、求抛物线的解析式；（2）、点E 为抛物线的顶点，点C 为抛物线与x 轴的另一个交点，点D 为y 轴上一点，且DC=DE ，求出点D 的坐标；（3）、在（2）的条件下，在直线DE 上存在点P ，使得以C 、D 、P 为顶点的三角形与△DOC 相似，请直接写出．．．．所有满足条件的点P 的坐标。
全等三角形的概念和性质(基础)知识讲解
全等三角形的概念和性质（基础）【学习目标】1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素. 2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.【要点梳理】【高清课堂：379108 全等三角形的概念和性质基本概念梳理回顾】要点一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.要点二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要点三、对应顶点，对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.2. 找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.要点四、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.【典型例题】类型一、全等形和全等三角形的概念1、下列每组中的两个图形，是全等图形的为（）A． B．C．D．【答案】A【解析】B，C，D选项中形状相同，但大小不等.【总结升华】是不是全等形，既要看形状是否相同，还要看大小是否相等.举一反三：【变式】（2014秋•岱岳区期末）下列各组图形中，一定全等的是（）A.各有一个角是45°的两个等腰三角形B.两个等边三角形C.各有一个角是40°，腰长3cm的两个等腰三角形D.腰和顶角对应相等的两个等腰三角形【答案】D；解析：A、两个等腰三角形的45°不一定同是底角或顶角，还缺少对应边相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；B、两个等边三角形的边长不一定相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；C、40°角不一定是两个三角形的顶角，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；D、腰和顶角对应相等的两个等腰三角形可以利用“边角边”证明全等，故本选项正确．类型二、全等三角形的对应边，对应角2、（2016•厦门）如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE=（）A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB【思路点拨】由全等三角形的性质：对应角相等即可得到问题的选项【答案与解析】∵△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，∴∠DCE=∠B，故选A．【总结升华】全等三角形对应角所对的边是对应边；全等三角形对应边所对的角是对应角.举一反三：【变式】如图，△ABD≌△ACE，AB＝AC，写出图中的对应边和对应角.【答案】AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠A和∠A是对应角，∠B和∠C，∠ADB和∠AEC是对应角.类型三、全等三角形性质【高清课堂：379108 全等三角形的概念和性质例13】3、已知：如图所示，Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°.以B为中心，将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，求∠ADB的度数.解：∵Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°，∴∠ECB＝________°.∵将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，∴△________≌△_________.∴∠ADB＝∠________＝________°.【思路点拨】由旋转的定义，△ABD≌△EBC，∠ADB与∠ECB是对应角，通过计算得出结论.【答案】55；ABD，EBC；ECB，55【解析】旋转得到的图形是全等形，全等三角形对应边相等，对应角相等.【总结升华】根据全等三角形的性质来解题.4、（2014秋•青山区期中）如图，△ABC≌△DEC，点E在AB上，∠DCA=40°，请写出AB的对应边并求∠BCE的度数．【思路点拨】根据全等三角形的性质得出即可，根据全等得出∠ACB=∠DCE，都减去∠ACE 即可．【答案与解析】解：AB的对应边为DE，∵△ABC ≌△DEC ，∴∠ACB=∠DCE ，∴∠ACB —∠ACE=∠DCE —∠ACE ，即∠BCE=∠DCA=40°．【总结升华】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．举一反三：【变式】如图，将△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转20°，B 点落在B '位置，A 点落在A '位置，若AC A B ''⊥，则BAC ∠的度数是____________.【答案】70°；提示：BAC ∠＝∠B A C ''＝90°－20°＝70°.。
全等三角形的定义和性质
两个三角形的三个内角分别对应相等 ，且三边对应成比例，则这两个三角 形相似。
性质
相似三角形的对应角相等，对应边成 比例，对应高、中线、角平分线也成 比例，周长之比等于相似比，面积之 比等于相似比的平方。
相似三角形与全等三角形联系与区别
联系
全等三角形是相似三角形的特例，当相似比为1时，相似三角 形即为全等三角形。因此，全等三角形具有相似三角形的所 有性质。
的两个基本条件。
在解决与角度有关的问题时， 可以利用全等三角形的对应角
相等这一性质来求解。
性质应用举例
1
利用全等三角形的性质可以证明线段相等、角相 等以及求解一些与三角形有关的问题。
2
例如，在证明两个三角形全等后，可以利用对应 边相等或对应角相等的性质来证明其他线段或角 的相等关系。
3
又如，在求解一些与三角形有关的问题时，可以 通过构造全等三角形来利用全等三角形的性质求 解。
根据题目给出的条件，我们可以 按照ASA判定方法来证明两个三 角形全等。首先，由已知条件可 得AB = DE，∠B = ∠E，BC = EF。因此，根据ASA判定方法， 我们可以得出△ABC ≌ △DEF。
03 2. 题目
已知△ABC中，∠C = 90°，AD平 分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于 点E。求证：△ACD ≌ △AED。
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解析
该命题不正确。根据相似三角形的判定定理，若两个三角形有两边对应成比例，且夹角相等， 则这两个三角形相似。但此命题中说的是“有一个角相等”，并未指明是夹角，因此不能判 定两个三角形相似。
06 总结回顾与课堂练习
关键知识点总结
• 全等三角形的定义：两个三角形如果三边及三角分别对应 相等，则称这两个三角形全等。
沪科版八年级上册数学课件(第14章 全等三角形)
所以△ADE≌△AFE，所以∠DAE＝∠FAE.
因为∠BAF＝56°，∠BAD＝90°，所以
∠DAF＝90°－∠BAF＝90°－56°＝34°，
所以∠DAE＝ 1 ∠DAF＝ 1 ×34°＝17°.
2
2
总结
解决折叠问题的关键是弄清在折叠 过程中发生的是全等变换，即折叠前后 的两个图形(本例是三角形)全等，其折 叠前后的对应边相等，对应角相等．类 似地，还有平移和旋转问题．在此过程 中，往往产生了全等三角形，然后根据 全等三角形的性质解题．
第14章 全等三角形
14.2 三角形全等的判定
第1课时 两边及其夹角分别 相等的两个三角形
1 课堂讲解 判定两三角形全等的基本事实：边角边
全等三角形判定“边角边”的简单应用
2 课时流程
逐点 导讲练
知3－讲
解：∵Rt△ABC≌Rt△CDE， ∴∠BAC＝∠DCE. 又∵在Rt△ABC中，∠B＝90°， ∴∠ACB＋∠BAC＝90°. ∴∠ACB＋∠ECD＝90°. ∴∠ACE＝180°－(∠ACB＋∠ECD) ＝180°－90°＝90°.
总结
(1)利用全等三角形的性质求角的度数的方法： 利用全等三角形的性质先确定两个三角形中角 的对应关系，由这种关系实现已知角和未知角 之间的转换，从而求出所要求的角的度数．
总结
两种解法的入手点分别是“同底等高、等底 等高的三角形面积相等”，这一结论要结合具体 图形理解．如图，l1∥l2，点A，B，F在l1上， AB ＝BF，点C，D，E是l2上任取的点，则根据上述 结论，知S△ABC＝S△ABD＝S△BFE.
知3－讲
知3－练
1 若△ABC与△DEF全等，点A和点E，点B和点D
知1－讲
全等三角形的存在性
全等三角形的存在性（一）1.已知抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，直线与x轴交于点D．在第一象限内，若直线上存在点P，使得以P，B，D为顶点的三角形与△OBC全等，则点P的坐标为( )2.如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是直线上不与A，B重合的动点．过点C的另一直线CD与y轴相交于点D，若以B，C，D为顶点的三角形与△AOB 全等，则点C的坐标为( )3.如图所示，抛物线的顶点为A，直线与y轴的交点为B，其中．若Q为抛物线的对称轴直线上一个动点，在对称轴左侧的抛物线上存在点P，使以P，Q，A为顶点的三角形与△OAB全等，则点P的坐标为( )全等三角形的存在性（二）1.如图，已知抛物线与x轴的交点为A，D（A在D的右侧），与y 轴的交点为C，点B与点C关于对称轴对称．点M是抛物线上的一点，使得△CMD△△CMB，则点M的坐标为( )2.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D．M为抛物线上一点，E是x轴上的一点，使得△DMC△△DME，则点M的坐标为( )3.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．若点E 在x轴上，点P是抛物线在第一象限上的点，△APC△△APE，则点P的坐标为( )全等三角形的存在性（三）1.如图，抛物线与y轴交于点C，P是x轴上一个动点，Q是抛物线上异于点C的一个动点．若△OPC△△POQ，则点Q的坐标为( )2.如图，抛物线与y轴交于点A，对称轴与x轴交于点B．D是x轴上的一个动点，P是抛物线上的一个动点，使得△DPB△△ABP，求点P的坐标．（1）要求点P的坐标有如下考虑：分析可知，需要结合A，D和公共边BP的相对位置进行分类讨论．当A，D在BP的同侧时，以A，D，B，P组成的四边形为_________（填“平行四边形”或“等腰梯形”或“梯形”）；当A，D在BP的异侧时，此时以A，D，B，P组成的四边形为_________（填“平行四边形”或“等腰梯形”或“梯形”）．（2）当A，D在BP的异侧时，点P的坐标为( )3.如图，抛物线与x轴交于A(-2，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C(0，2)，P为抛物线x轴上方的一个动点，Q为y轴负半轴上的一个动点．若△ABP△△BAQ，则点P的坐标为( )4.5.全等三角形的存在性（四）1.如图，直角坐标系中，O是坐标原点，D是过三点的抛物线上的一点（不与点A重合）．若以D，O，C为顶点的三角形与△AOC全等，则点D的坐标为( )2.如图，已知直线与抛物线相交于A，B两点，且点为抛物线的顶点，点B在x轴上．若P是抛物线的第二象限的图象上的一点，使得△POB与△POC 全等，则点P的坐标为( )3.4.全等三角形的存在性（五）1.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．点P是x轴上一动点，点Q是x轴上方抛物线上的一个动点．若△AQC与△AQP全等，则点Q的坐标为( )2.2.如图，在平面直角坐标系中，直线经过A(4，0)，B(0，3)．M为x轴上的一点且，点P，Q在线段AB上．若以O，P，Q为顶点的三角形与△OMP全等，则点P的坐标为( )全等三角形的存在性（六）1.如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，D为AB的中点．点P在BC边上以3cm/s的速度由点B向点C运动；同时点Q在AC边上以相同的速度由点C向点A运动，其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动．当△BPD与△CQP全等时，点P运动的时间为( )3.如图，在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为30°，在射线OC上取一点A，过点A 作4.AH△x轴于点H．在抛物线上取点P，在y轴上取点Q，使得以P，O，Q 为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标为( )5.6.。
二次函数与几何综合专题 相似(全等)三角形存在性问题
策略：相似三角形 存在性问题解法的一般步骤，分三步走：
第一步：寻找分类标准（一般通过“角”）；
第二步：列方程（一般通过“对应边成比例”）；
第三步：解方程并验根（除重、查漏）．
母题】
1.如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C， ，顶点为D，对称轴交x轴于点E．
∴A（－3，0），B（1，0），C（0，－3），
∴AO＝OC＝3，OB＝1，
∵ ，
∴OD＝2，
∴点D的坐标为（0，2），
设直线AP的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线AP的解析式为 ，
联立 ，解得： 或 ，
∴点P的坐标为（ ， ）．
（4）解：∵抛物线的解析式为 ，
∴A（－3，0），B（1，0），C（0，－3），
过点Q作QD⊥OC于点D，则QD＝－x，
∴QC＝ ，
∵PQ∥y轴，
∴∠PQC＝∠OCA＝45°，
当△QCP △ACB时，
∴ ，即 ，
解得： （舍去）或： ，
此时点P的坐标为（ ， ）；
当△QPC △ACB时，
∴ ，即 ，
解得： （舍去）或： ，
此时点P的坐标为（ ， ）；
综上，点P的坐标为（ ， ）或（ ， ）．
（2）解：∵抛物线的解析式为 ，
∴A（－3，0），B（1，0），C（0，－3），
∴AO＝OC＝3，OB＝1，
∵△AOP≌△COB，
∴OD＝OB＝1，
∴点P的坐标为（0，1），
设直线AP的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线AP的解析式为 ，
联立 ，解得： 或 ，
专题七--二次函数全等三角形的存在性问题PPT课件
把A(2 3 ，0)，B(0，2)分别代入y＝－ 3 x2＋bx＋c中，得b＝ 3 ，c＝2，
∴抛物线的表达式为y＝－ 3
x2＋
3 3 x＋2；
3
(2)∵OA＝2 3 ，OB＝2，由勾股定理，得AB＝ OA2OB2 ＝4，
∴∠BAO＝30°.
运动t秒后，AQ＝t，BP＝2t.
由△APQ为等腰三角形，有QA＝QP，AP＝AQ，PA＝PQ三种情况，
例题图
解：如解图②，以AB为直径作⊙M，且由解图易知，存在两条过点E且与
⊙M相切的直线l1，l2，切点分别为P、Q，连接MP，MQ， ∵AB＝6，∴以AB为直径的⊙M的半径为3，即M(－1，0)，
设切点Q坐标为(m，n)，且m>0，∵MQ⊥EQ，ME＝5，MQ＝3，
由勾股定理得EQ＝ M E2M Q2 5232＝4，
2
4
∴P1′( ，5 7)，此时P2′与C点重合，∴P1′ (
24
， 5) ，7
24
P2′(2，0)．
综上所述，满足条件的P1，P2点的坐标分别为P1(－1，0)，
P2(1，－2)；P1′ (
，52
7
4)
，P2′(2，0)．
例题解图
针对演练 1. (2017包头)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝ 3 x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(2，0)两点，与
典例精讲 例 (2017铜仁25(1)(2))如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(0，
－2)，并与x轴交于点C，点M是抛物线对称轴l上任意一点(点M、B、C三
点不在同一直线上)． (1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
【思维教练】将点A、B分别代入抛物线的表达 式，通过解方程组，可得到b，c的值．
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第十七讲：全等三角形的存在性（讲义）一、知识点睛全等三角形存在性的处理思路1.分析特征：分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图形间的对应关系及不变特征考虑分类．2.画图求解：①目标三角形确定时，根据对应关系分类，借助边相等、角相等列方程求解；②目标三角形不确定时，先从对应关系入手，再结合背景中的不变特征分析，综合考虑边、角的对应相等和不变特征后列方程求解．3.结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果．二、精讲精练1.如图，抛物线C1经过A，B，C三点，顶点为D，且与x轴的另一个交点为E．（1）求抛物线C1的解析式．（2）设抛物线C1的对称轴与x轴交于点F，另一条抛物线C2经过点E（抛物线C2与抛物线C1不重合），且顶点为M(a，b)，对称轴与x轴交于点G，且以M，G，E为顶点的三角形与以D，E，F为顶点的三角形全等，求a，b的值．（只需写出结果，不必写出解答过程）2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =++与x 轴的一个交点为A (-2，0)，与y 轴的交点为C ，对称轴是直线x =3，对称轴与x 轴交于点B ． （1）求抛物线的函数表达式．（2）若点D 在x 轴上，在抛物线上是否存在点P ，使得 △PBD ≌△PBC ？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点C (0，4)，对称轴直线2x =与x 轴交于点D ，顶点为M且DM =OC +OD ．（1）求该抛物线的解析式．（2）设点P (x ，y )是第一象限内该抛物线上的一动点，△PCD 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（3）设点Q 是y 轴右侧该抛物线上的一动点，若经过点Q 的直线QE 与y 轴交于点E ，是否存在以O ，Q ，E 为顶点的三角形与△OQD 全等？若存在，求出直线QE 的解析式；请说明理由．4. 如图，在平面直角坐标系中，直线1l 过点A (1，0)且与y 轴平行，直线2l 过点B (0，2)且与x 轴平行，直线1l 与2l 相交于点P ．点E 为直线2l 上一点，反比例函数k y x=（0k >）的图象过点E 且与直线1l 相交于点F ．（1）若点E 与点P 重合，求k 的值．（2）连接OE ，OF ，EF ．若2k >，且△OEF 的面积为△PEF 面积的2倍，求点E 的坐标．（3）是否存在点E 及y 轴上的点M ，使得以M ，E ，F 为顶点的三角形与△PEF 全等？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】 1. （1）223y x x =-++（2）a =7，b =2或a =7，b =-2或a =-1，b =2或a =-1，b =-2或a =1，b =-4或a =5，b =-4或a =5，b =42. （1）213442y x x =-++（2）(18(18--+---，，(4(4+， 3.（1）21242y x x =-++（2）214(022S x x x =-+<<+（3）122y x =+，y =6或724y x =- 4.（1）2 （2）（3，2）（3）3(2)8，，8(2)3，学生做题前请先回答以下问题问题1：全等三角形的判定有哪些？问题2：全等三角形存在性问题中如何确定分类标准，分类标准确定的依据是什么？问题3：全等三角形存在性问题的处理思路是什么？问题4：全等三角形存在性问题与相似三角形存在性问题处理时的异同有哪些？全等三角形的存在性（一）1.如图1，直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，点P(x，y)在直线y=-2x+4上，过点P作AB的垂线，与x轴、y轴分别交于点E，F．若△EOF与△AOB全等，则点P的坐标为( )A. B.C.D.2.如图2，已知点A，B 在抛物线上，且点A在第四象限，点B在第一象限，A，B 两点的横坐标满足方程．连接OB，OA，AB，将线段OB绕点O顺时针旋转90°得到线段OC．若D是坐标平面内一点，且△OAB和△OCD全等，则符合题意的点D的坐标为( )图1 图2A.B.C.D.3.如图3，抛物线经过三点，线段BC与抛物线的对称轴相交于点D．P为该抛物线的顶点，连接PA，AD，DP，线段AD与y轴相交于点E．若Q为平面直角坐标系中的一点，且以Q，C，D为顶点的三角形与△ADP全等，则图3 点Q的坐标为( )A. B.C.D.学生做题前请先回答以下问题问题1：全等三角形的判定有哪些？问题2：全等三角形存在性问题的处理思路是什么？全等三角形的存在性（二）1.如图1已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C，直线与x轴交于点D ．在第一象限内，若直线上存在点P，使得以P，B，D为顶点的三角形与△OBC全等，则点P的坐标为( )A.（4，1），（0，3）B.（4，1），（3，2）或（1，2）C.（4，1），（0，3）或（3，2）D.（4，1），（4，-1），（3，2）或（3，-2）2.如图2，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是直线上不与A，B重合的动点．过点C的另一直线CD与y轴相交于点D，若以B，C，D为顶点的三角形与△AOB全等，则点C的坐标为( )A. B.C.D.图1 图23.如图3所示，抛物线的顶点为A，直线与y轴的交点为B ，其中．若Q为抛物线的对称轴直线l上一个动点，在对称轴左侧的抛物线上存在点P，使以P，Q，A为顶点的三角形与△OAB全等，则点P的坐标为( )A.图3 B.C.D.学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：结合试题1分析，如何确定分类标准？问题2：画图求解时需要根据分析得到的不变特征，结合两个三角形全等的判定进行分析，试题1中利用的是哪一个全等三角形的判定？问题3：全等三角形存在性问题与相似三角形存在性问题处理时的异同有哪些？学生做题前请先回答以下问题问题1：在处理全等三角形的存在性问题时首先要分析不变特征，那么如何分析不变特征？问题2：在全等三角形存在性问题处理时，依据不变特征处理的核心依据是什么？问题3：课堂所讲解示范的，一般会用哪个判定？问题4：全等三角形存在性处理时都需要考虑哪些方面？问题5：已经学习了平行四边形，菱形，矩形，正方形，相似三角形以及全等三角形等各种存在性，存在性问题处理的框架是什么？全等三角形的存在性（三）1.如图1，已知抛物线与x轴的交点为A，D （A在D的右侧），与y轴的交点为C，点B与点C关于对称轴对称．点M是抛物线上的一点，使得△CMD≌△CMB，则点M的坐标为( )A. B. C. D.2.如图2，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D．M 为抛物线上一点，E是x轴上的一点，使得△DMC≌△DME，则点M 的坐标为( ) 图1图2A.B.C.D.3.如图3，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．若点E在x轴上，点P是抛物线在第一象限上的图3 点，△APC≌△APE，则点P的坐标为( )A. B. C. D.学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：结合第2题考虑全等三角形存在性问题的处理框架是什么？学生做题前请先回答以下问题问题1：全等三角形的判定有哪些？问题2：全等三角形存在性问题的处理思路是什么？问题3：试题1中如何分析不变特征？问题4：试题1中分析不变特征，确定△OPC≌△POQ利用的是全等三角形的哪一个判定？全等三角形的存在性（四）1.如图1，抛物线与y轴交于点C，P是x轴上一个动点，Q是抛物线上异于点C的一个动点．若△OPC≌△POQ，则点Q 的坐标为( )A. B.C.D.2.如图2，抛物线与y轴交于点A，对称轴与x轴交于点B．D是x轴上的一个动点，P是抛物线上的一个动点，使得△DPB≌△ABP，求点P的坐标．（1）要求点P的坐标有如下考虑：分析可知，需要结合A，D和图2 公共边BP的相对位置进行分类讨论．当A，D在BP的同侧时，以A，D，B，P组成的四边形为_________（填“平行四边形”或“等腰梯形”或“梯形”）；当A，D在BP的异侧时，此时以A，D，B，P组成的四边形为_________（填“平行四边形”或“等腰梯形”或“梯形”）．A.平行四边形，梯形B.梯形，平行四边形C.平行四边形，等腰梯形D.等腰梯形，平行四边形（2）（上接第2题）当A，D在BP的异侧时，点P的坐标为( )A.(6，4）B.C.D.4.如图4，抛物线与x轴交于A（-2，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，2），P为抛物线x轴上方的一个动点，Q为y轴负半轴上的一个动点．若△ABP≌△BAQ，则点P的坐标为( )A. B.（-1，2） C. D.条件不足，无法求解图4学生做题前请先回答以下问题问题1：全等三角形存在性问题的处理思路是什么？问题2：已经学习了平行四边形，菱形，矩形，正方形，相似三角形以及全等三角形等各种存在性，存在性问题处理的框架是什么？全等三角形的存在性（五）1.如图1，二次函数的顶点为A，与y轴的交点为B．若⊙M 的圆心为，半径为r，过点A向该圆作切线，切点为N，若△AMN与△ABO全等，则满足题意的m，r的值分别为( )A. B.C.D.2.如图2，已知直线与抛物线相交于A，B两点，且点为抛物线的顶点，点B在x轴上．若P是抛物线的第二象限的图象上的一点，使得△POB与△POC全等，则点P 的坐标为( )A. B.C.D.图1 图23.直角坐标系中，O是坐标原点，D 是过三点的抛物线上的一点（不与点A重合）．若以D，O，C为顶点的三角形与△AOC全等，则点D的坐标为( )A. B. C.D.4.如图4，在平面直角坐标系中，直线l 经过．M为x 轴上的一点且，点P，Q在线段AB上．若以O，P，图4 Q为顶点的三角形与△OMP全等，则点P的坐标为( )A. B. C. D.学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：结合第2题考虑不变特征是什么？分类标准是什么？问题2：结合第4题考虑不变特征是什么？如何确定分类标准？依据是什么？学生做题前请先回答以下问题问题1：动点问题的处理思路是什么？问题2：动点问题分析运动过程，需要关注四要素是什么？、问题3：全等三角形的判定有哪些？问题4：全等三角形存在性问题的处理思路是什么？全等三角形的存在性（六）1.如图1，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，D为AB的中点．点P在BC边上以3cm/s的速度由点B向点C运动；同时点Q在AC边上以相同的速度由点C向点A运动，其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动．当△BPD与△CQP全等时，点P运动的时间为( )图1 A. B. C. D.2.如图2，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．点P是x轴上一动点，点Q是x轴上方抛物线上的一个动点．若△AQC与△AQP全等，则点Q的坐标为( )A. B. C. D.3.如图3，在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为30°，在射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x轴于点H．在抛物线上取点P，在y轴上取点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标为( )图3 A. B.C.D.学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：结合试题1考虑，不变特征是什么？△BPD与△CQP利用的是三角形全等的哪一个判定？问题2：试题2中，如何确定分类标准？。