第七章应力状态分析-r。
工程力学7第七章应力状态和应变状态分析
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
0
x y
2
(
x y
2
)
2
2
2 x
y
y
y
2
090
0
x y
2
(
x y
2
2、为什么要研究一点的应力状态 单向应力状态和纯剪切应力状态的强度计算
σmax≤ [σ] τ
max≤[τ
]
梁截面上的任意点的强度如何计算？
分析材料破坏机理
F F F F T
T
3、怎么研究一点的应力状态
单元体
•各面上的应力均匀分布
• 相互平行的一对面上 应力大小相等、符号相同
满足：力的平衡条件 切应力互等定理
§7-2 平面应力状态分析
一、解析法:
1.任意斜面上的应力 y
y
y
y
y
n
y
x
a
x
e
d
x
x
x
bz
x
x
x
e
x
x
y
f
yy
x
x
b
c
y
y
y
f t
应力的符号规定同前 α角以从x轴正向逆时针 转到斜面的法线为正
(设ef的面积为dA)
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
第七章应力状态及应变状态分析
第七章 应力状态及应变状态分析第一节 概 述在第一章中将应力定义为内力的集度或单位面积的内力值。
应力又分正应力σ和剪应力τ两种。
前面各章的知识表明，受力杆件中任一点的应力是随截面位置及点的位置的不同而不同，如7-1（a ）中a 、b 两点分别在两个截面上，其应力是不同的。
同一截面上的各点，如图7-1（b ）中b 、c 两点的应力一般情况下也是不同的。
同一点不同方向的应力也是不同的。
过一点各个方向上的应力情况称为该点的应力状态．．．．，应力状态分析就是要研究杆件中某一点（特别是危险点）各个方向上的应力之间的关系，确定该点处的最大正应力和最大剪应力，为强度计算提供重要依据。
研究应力状态的方法是过杆件中的任一点取出一个微小的六面体——单元．．体．。
如图7-1（a ）中过a 点取出的单元体放大如图7-2所示。
单元体三个方向的边长很小且趋于零，则该单元体代表一点，即a 点，互相平行的平面上的正应力相等，剪应力也相等。
杆件在任意荷载作用下，从中所取出的单元体表面上一般既有正应为又有剪应力，如图7-2所示。
当图7-2所示的单元体各面上的,0,0,0,0,0,0======zy zx yx yz xz xy ττττττ 即六个面上均没有剪应力作用时，这种面叫做特殊平面，并定义为主平面．．．。
该主(a)(b)图7-1各点的应力情况平面上作用的正应力称为主应力．．．，用,,,321σσσ表示（,321σσσ≥≥），如图7-3所示。
各面均为主平面的单元体，称为主单元体．．．．。
三个主应力中若有两个等于零一个不等于零，该单元体称为单向应力状态．．．．．．，如图7-4（a ）；三个主应力中有一个等于零，两个不等于零，该单元体称为二向应．．．力状态．．．，如图7-4（b ）；三个主应力均不等于零，该单元体称为三向应力状态．．．．．．，如7-3。
单向应力状态和二向应力状态属平面应力状态，三向应力状态属空间应力状．．．．．态．。
第7章应力状态分析
40
30MPa
68.3MPa
x y x y 2 2 ( ) xy 2 2
60MPa
48.3MPa
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
例题
主平面的方位：
40
30MPa
tg 2q p
2 xy
x y
解析法
x y
即单元体两个相互 垂直面上的正应力 之和是一个常数!
x
切应力的互等定理!
yx
xy
y
τxy中第一个角标表示切应力作用平面的法线方向； 第二个表示切应力的方向!
解析法
x y x y cos 2 xy sin 2 2 2 d 0 将正应力对α取导数，并令 d
第七章 应力状态
1、应力状态的概念及其描述 2、平面应力状态分析 3、三向应力状态 4、广义胡克定律 5、变形比能
应力状态的概念
平面
F F
1
1
1
F A
应力状态的概念
平面 F 1
n
F
1
90
同一点的应力状态可以有各种பைடு நூலகம்样的描述方式
应力状态的概念
轴向拉压
1 3
2
第七章 应力状态
1、应力状态的概念及其描述 2、平面应力状态分析
3、三向应力状态
4、广义胡克定律
5、变形比能
广义胡克定律
各向同性材料的广义胡克定律
1、横向变形与泊松比（各向同性材料）
材料力学 第07章 应力状态分析与强度理论
sin2a t xy cos2a
18/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.3 主平面的方位及极值正应力 s x s y s x s y sa cos2a t xy sin2a 2 2 s x s y ds a 上式对a 求导 2 sin2a t xy cos2a da 2 s x s y 若a a0时，导数为 0 sin2a 0 t xy cos2a 0 0 2 2t xy tan2a 0 s x s y
7.2.5 应力圆
t
sx
tyx
sy
sx txy sy
D(sx,txy) 1. 确定点 D (s ,t ) x xy
O
D'(sy,tyx)
C
s
2. 确定点D' (sy,tyx) tyx= －txy 3. 连接DD'与s 轴交于点C 4. 以 C 为圆心，CD（CD'） 为半径画圆。
26/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆
sx sy sz
sxs1 100 MPas 2
0 MPas 3 120 MPa
11/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态 三个主应力中仅有一个主应力不为零 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
12/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态
O
D'(sy,tyx)
C sx－ sx sy/2
s
27/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆 利用应力圆确定角a 斜截面上的正应力和切应力
第七章应力状态分析(一)
nP tαασατP α第七章应力和应变分析强度理论第一节应力状态的概述同一截面上不同点的应力各不相同。
任一点应力是该点坐标的函数。
前面已经学习。
2cos , sin 2σσσατα==轴向拉压时，斜截面上的应力cos 2, sin 2σσσσατα=+=轴向拉压除外。
,N A σ=p T I ρτ=,z MyI σ=同一点的不同方向面上应力各不相同。
任一截面上的应力是截面倾角的函数。
本章学习内容。
构件在复杂受力情况下，某截面上同时存在正应力和切应力时，危险截面如何确定？分析三种基本变形时，认为危险截面就是横截面，横截面上只存在正应力σ或者切应力τ的作用。
构件实际破坏并不一定发生在横截面上。
轴向拉压变形的杆：PPAσσAσσA扭转变形的轴：mmAτAττ'这些单元体都是特殊方位的单元体左右侧面都是横截面。
受扭转和拉伸共同作用的圆杆PPmm24dP A N πσ==316p T m w dτπ==στ该构件的危险截面是否还是横截面？强度条件是否还是：σ≤[σ]、τ≤[τ] ？六个侧面如何确定？重点：构件任意斜截面上的应力状态如何？怎样计算？哪一个截面是危险截面？倾斜角度是多少？最大应力是多少？一、单元体：研究某一点应力状态时，通常是围绕该点截取一个尺寸为无穷小的正六面体。
（围绕一点可以截取无数个）二、点的应力状态：研究通过某一点的各个不同方位截面上的应力变化情况。
（过一点可以切取无数个斜面）三、单元体的特点：•⑴、认为单元体的侧面上应力都是均布的，相互平行的侧面上正应力是相等的。
•⑵、围绕某点的单元体可以有无数个，由截面方位决定单元体方位，通常用特殊方位截取单元体。
•⑴、认为单元体的侧面上应力都是均布的，相互平行的侧面上正应力是相等的。
•⑵、围绕某点的单元体可以有无数个，由截面方位决定单元体方位，通常用特殊方位截取单元体。
方便计算。
•⑶、单元体相互垂直的两个侧面符合剪应力互等定理。
这是重点啊。
材料力学第七章 应力状态
主平面的方位：
tan
2a0
2 xy x
y
主应力与主平面的对应关系： max 与切应力的交点同象限
例题：一点处的平面应力状态如图所示。
已知 x 60MPa， xy 30MPa, y 40MPa, a 30。
试求（1）a 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
x y cos 2a
2
x sin 2a
x
a
x y sin 2a
2
x cos 2a
300
10 30 2
10 30 cos 60020sin 600
2
2.32 MPa
300
10 30 sin 600 2
20cos 600
1.33 MPa
a
20 MPa
c
30 MPa
b
n1
y xy
a x
解：（1）a 斜面上的应力
y xy
a
x
2
y
x
2
y
cos 2a
xy
sin 2a
60 40 60 40 cos(60 ) 30sin(60 )
2
2
a x 9.02MPa
a
x
y
2
sin
2a
xy
cos
2a
60 40 sin(60 ) 30cos(60 ) 2
58.3MPa
2
1.33 MPa
300 600 x y 40 MPa
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ 的和为
一常数。
证明： a
x y
7-第七章 应力状态分析 强度理论.
第七章应力状态分析强度理论7.1 应力状态概述一、工程实例1. 压缩破坏2. 弯曲拉伸破坏3. 弯曲剪切破坏4. 铸铁扭转破坏5. 低碳钢扭转破坏二、应力状态的概念1. 点的应力状态过一点所作各斜截面上的应力情况，即过一点所有方位面上的应力集合。
2. 一点应力状态的描述以该点为中心取无限小三对面互相垂直的六面体（单元体）为研究对象，单元体三对互相垂直的面上的应力可描述一点应力状态。
3. 求一点应力状态（1）单元体三对面的应力已知，单元体平衡（2）单元体任意部分平衡（3）截面法和平衡条件求得任意方位面上的应力，即点在任意方位的应力。
三、应力状态的分类1. 单元体：微小正六面体2. 主平面和主应力：主平面：无切应力的平面主应力：作用在主平面上的正应力。
3. 三种应力状态单项应力状态：三个主应力只有一个不等于零，如A 、E 点 二向应力状态：三个主应力中有两个不等于零，如B 、D 点 三向应力状态：三个主应力都不等于零四、应力状态分析的方法 1.解析法2. 图解法7.2应力状态分析的解析法一、解析法图示单元体，已知应力分量x σ、y σ、xyτ和yx τ。
xxx（一）任意截面上的正应力和切应力：利用截面法，考虑楔体bef 部分的平衡。
设ef 面的面积为dA ， ∑=0F n 0sin )Asin (cos )sin A (cos )cos A (sin )cos A (A =-+-+αασααταασαατσαd d d d d y yx x xy∑=0F tsin )Asin (cos )sin A (sin )cos A (cos )cos A (A =++--ααταασαασαατταd d d d d yx y x xy根据切应力互等定理： y x xy ττ=三角函数关系：22cos 1cos 2αα+=，22cos 1sin 2αα-=，∂=cos sin 22sin αα解得：ατασσσσσα2sin 2cos 22x x xy yy--++=（7-1）ατασστα2cos 2sin 2x xy y+-= （7-2）（二）主应力即主平面位置将式（8-1）对取一次导数，并令其等于零可确定正应力的极值和所在平面的位置。
材料力学-应力状态分析
+
σ x σ y
2
cos 2α τ x sin 2α
sin 2α + τ x cos 2α
注意： 的正负号， 注意：1）σx 、σy 、τx 和 α的正负号， 2） 公式中的切应力是τx ，而非τy， 而非 的正负号。 3） 计算出的σα和τα 的正负号。
τα τ α>0
τα τ α<0
图示圆轴中， 已知圆轴直径d=100mm， 轴向拉 例 ： 图示圆轴中 ， 已知圆轴直径 ， 力 F=500kN，外力矩Me=7kNm。求 C点α = 30°截 ， 外力矩 。 点 ° 面上的应力。 面上的应力。 y
σy
τ
D
x
τx τy
σx
o A2
C
A1
σ
D
y
σ1 =
σ x +σ y
2
σ x +σ y + 2
2 +τ x
2
2
σ2 =
σ x +σ y
2
σ x +σ y 2 +τ x 2
σy
τ
D
x
τx τy
σx
o A2
2α0
C
A1
σ
D
y
2τ x 2α 0 = arctan σ x σ y
σ x σ y R= 2
+τ x2
2
σ x +σ y σ α 2
σy
σ x σ y 2 2 + τα = +τ x 2 τ
2 2
D
x
τx τy
σx
o
C D
y
σ
50MPa
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一般应力状态
y y
yx
yz
xy
zy
x
z
zx
xz
x
z
§7-2 平面应力状态分析
一、解析法
1. 斜截面上的应力
y
y
y y
n
y
ae
xx
a
x x y
b
y x d
a
x x
xx x
fc
z
y
y
y
e
x
x a a
a
b
b
y
ft
y
(设ef的面积为dA)
对于与ef 垂直的截面上的应力，
y n
y y
a 900
x
y
2
x
y
2
cos 2a
x
sin 2a
a 900
x
y
2
sin 2a
x
cos 2a
a
x
e
da
x a
x
x x
b
fc
y
y
a a 90o x y 常 数
D1
60O
E1
例1：单元体σx=-30MPa， σy=60MPa， τx=-40MPa。
（a）试用解析法和图解法确定α1=30°和α2=-40°两截面 上的应力；
（b）求主应力，确定主平面的位置。
解：（b） α0 =69.2 o
D2
y
y
1
a0
x
3 x
B1
OC 2a 0
D1
B2
第七章 应力状态分析
低碳钢拉伸
铸铁扭转
§7-1 概述
应力状态的概念
物体上一点处所有截面上应力的集合
应力状态的研究方法 取单元体 物体上某点周围截取的足够小长方体。各截面上应力
均匀，对应截面上应力等值反向，相互垂直截面上切 应力互等。
平面应力状态
y y yx xy x
x
y y x
x
2
y
2
2 x
若以σ为横轴，τ为纵轴，则该圆的圆心在
( x y ,0 ) 处，半径为
2
(x
y
2
)2
2 x
。
这样的圆——应力圆（莫尔圆）。
a
x
2
y
2
2 a
x
2
y
2
2 x
y
应力圆的作法： 点
例1：单元体σx=-30MPa， σy=60MPa， τx=-40MPa。
（a）试用解析法和图解法确定α1=30°和α2=-40°两截面 上的应力；
（b）求主应力，确定主平面的位置。
解：（a） 图解法
D2
E2
B1
80O O C
B2
y
300 300
30°
x
x 40°
y
400 400
图示单元体上，σx=-6MPa， τx=-3MPa，求主应力大小
和主平面位置。
D2
1 67.5
x
x
B1
A2
D1
C O A1 2a 0
22.5
3
解：
σ1 σ3
x
2
(x
2
)2
2 x
-17..2244
MPa
tan2α0 = -2τx /σx = -1，
2
y
2
2 x
y
应力圆的作法： 点
面 y y
D1
2
A2 B2
2a
0
x
O
y
C
B1 A1
1
D2 y
2 x x
x
1
a0
x
例1：单元体σx=-30MPa， σy=60MPa， τx=-40MPa。
（a）试用解析法和图解法确定α1=30°和α2=-40°两截面 上的应力；
（b）求主应力，确定主平面的位置。
解：（a） 解析法
300
x
y
2
x
y
2
cos 600
x
sin 600
300 27.14MPa
y
300 300
30°
x
x 40°
y
400 400
300 58.97MPa
40 32.2MPa 40 37.3MPa
a a 90o
——过一点任意两个互相垂
y
y y
a a 900
a
a 900
x
a
x
x
直的截面上的正应力之和 为常数，
切应力服从切应力互等定理。
主平面方位：
a0
x
2
y
(xΒιβλιοθήκη 2y)2
2 x
a 0900
x
y
2
(
x
2
y
)2
2 x
a0 0
主单元体
主应力公式：
tan 2a0
x
2 x
y
y
y y
a a900
a2
a 900
x
a
xx
x
1
a0
σ1σ
2
x
2
y
(
x
2
y
)2
2 x
主方向 （主平面的法线方向）
二、图解法
a
x
2
y
x
2
y
Cos2a
Ft 0 : a d A ( x d Acosa)cosa ( x d Acosa)sina
( y d Asina)sina ( y d Asina)cosa 0
e
x
x a a
a
—— 平面应力状态下任意斜截面（其法线 在xy平面内）上的σα和τα计算公式。
x Sin2a
①
a
x
2
y
Sin2a
xCos2a
②
a
x
y
2
x
y
2
Cos2a
x Sin2a
a
x
2
y
2
2 a
x
2
y
2
2 x
a
x
2
y
2
2 a
面 y y
2
A2 O
y
y
E
2a B2
CF
D2
x
a
x x
D1
a
x
x
B1 A1
1
应力• 圆起上始点半径的；坐标 和斜•截转面向上一的致应； 力有
着 一 一对应的关系。
• 2倍角对应关系。
a
x
2
y
2
2 a
x
y
ft
y
(设ef的面积为dA)
e
x
x a a
a
—— 平面应力状态下任意斜截面（其法线 在xy平面内）上的σα和τα计算公式。
b
y
ft
y
(设ef的面积为dA)
列平衡方程：
Fn 0 : a d A ( x d Acosa)sina ( y d Asina)cosa
－( x d Acosa)cosa ( y d Asina)sina 0
tan 2a 0
2 x x y
80 90
2a0 41.630
138.370
例2：一纯切应力状态的单元体如图所示。求主应
力大小和方向。
铸铁扭转
解：
1
D2
3
1
A2
O
A1
3
D1
σ1 = OA 1 =τ， σ3 = OA2 = -τ
例3：