第七章应力应变分析强度理论分析
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材料力学第七章应力状态和强度理论
2
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y
x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2
x
y
2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c
x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )
C
C
C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y
x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2
x
y
2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c
x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )
C
C
C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
7应力分析 强度理论
由此得到计算剪应力最大最小值所在平面的公式
y x y x cos 2 xy sin 2 2 2 y x sin 2 xy cos 2 2
(a) (b)
x y tan 21 2 xy 2 x y max 2 xy 此式确定两个平面： 1 和 1 。 2 2 min 3.这两个平面相互垂直，其中一个是 max 所在平面；另一个 是 min所在平面。
2 xy
此式确定两个平面： 0 和 0
x y
。
2 1.这两个平面相互垂直，其中一个是 max所在平面；另一个 是 min所在平面。
比较 (b) 和 (a)发现：在 0和 0
2.这两个平面是主平面，那么 max和 min就是主应力；也可 以说主应力就是最大最小正应力。
x y 2 2 x y 2 2 ( ) ( ) xy 2 2
应力状态/应力圆
x y 2 2 x y 2 2 ( ) ( ) xy 2 2
x y 2 2 ( ) xy 2
R C
对于铸铁材料，抗压强度远大 于抗剪强度。故沿45°面破坏， 是一种剪切破坏。
例7-5：用解析法求图示单元体的 (1)指定斜截面上的正应力和切应力; (2)主应力值及主方向，并画在单元体上； (3)最大切应力值。
解： y
x
80 MPa,
y
40 MPa
xy
60 MPa, = 30 °
0
y
yx
xy
x
OC CD cos 2 0 cos 2 CD sin 2 0 sin 2 cos 2 sin 2
y x y x cos 2 xy sin 2 2 2 y x sin 2 xy cos 2 2
(a) (b)
x y tan 21 2 xy 2 x y max 2 xy 此式确定两个平面： 1 和 1 。 2 2 min 3.这两个平面相互垂直，其中一个是 max 所在平面；另一个 是 min所在平面。
2 xy
此式确定两个平面： 0 和 0
x y
。
2 1.这两个平面相互垂直，其中一个是 max所在平面；另一个 是 min所在平面。
比较 (b) 和 (a)发现：在 0和 0
2.这两个平面是主平面，那么 max和 min就是主应力；也可 以说主应力就是最大最小正应力。
x y 2 2 x y 2 2 ( ) ( ) xy 2 2
应力状态/应力圆
x y 2 2 x y 2 2 ( ) ( ) xy 2 2
x y 2 2 ( ) xy 2
R C
对于铸铁材料，抗压强度远大 于抗剪强度。故沿45°面破坏， 是一种剪切破坏。
例7-5：用解析法求图示单元体的 (1)指定斜截面上的正应力和切应力; (2)主应力值及主方向，并画在单元体上； (3)最大切应力值。
解： y
x
80 MPa,
y
40 MPa
xy
60 MPa, = 30 °
0
y
yx
xy
x
OC CD cos 2 0 cos 2 CD sin 2 0 sin 2 cos 2 sin 2
工程力学c材料力学部分第七章 应力状态和强度理论
无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值， 无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值，为了找 到构件内最大应力的位置和方向 需要对各点的应力情况做出分析。 最大应力的位置和方向， 到构件内最大应力的位置和方向，需要对各点的应力情况做出分析。
受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 研究一点的应力状态时， 应力状态 。研究一点的应力状态时，往往围绕该点取一个无限小 的正六面体—单元体来研究。 单元体来研究 的正六面体 单元体来研究。
σ2
σ2
σ1
σ1
σ
σ
σ3
三向应力状态
双向应力状态
单向应力状态 简单应力状态
复杂应力状态 主应力符号按代数值的大小规定： 主应力符号按代数值的大小规定：
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
平面应力状态的应力分析—解析法 §7−2 平面应力状态的应力分析 解析法
图(a)所示平面应力单元体常用平面图形(b)来表示。现欲求 )所示平面应力单元体常用平面图形( )来表示。现欲求 垂直于平面xy的任意斜截面 上的应力 垂直于平面 的任意斜截面ef上的应力。 的任意斜截面 上的应力。
二、最大正应力和最大剪应力
σα =
σ x +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
τα =
令
σ x −σ y
2
sin 2α + τ x cos 2α
dσ α =0 dα
σ x −σ y
2
sin 2α +τ x cos2α = 0
可见在 τ α
=0
材料力学应力和应变分析强度理论
§7–5 广义虎克定律
y
一、单拉下旳应力--应变关系
x
x
E
y
E
x
ij 0 (i,j x,y,z)
二、纯剪旳应力--应变关系
z
E
x
z
y
xy
xy
G
i 0 (i x,y,z)
z
yz zx 0
x
x
xy
x
三、复杂状态下旳应力 --- 应变关系
y
y
x
y x
z
xy
z
x
依叠加原理,得:
x
1
(MPa)
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
45 25 3
95
60°
i j
x
2
y
（
x
2
y
）2
2 xy
y
1
25 3 y 45MPa
° 5
0
Ox
6095MPa 6025 3MPa
yx 25 3MPa xy
x ?
x
y
2
sin 2
xy cos 2
25 3 x 45 sin 120o 25 3 cos120o
y
z
z
y
证明: 单元体平衡 M z 0
xy x
x
( xydydz)dx( yxdzdx)dy0
xy yx
五、取单元体： 例1 画出下图中旳A、B、C点旳已知单元体。
F
A
y
F x
x
A
B
C z
x B x
zx
xz
F
Mex
yx
C
xy
FP
第七章+应力应变分析+强度理论
Chapter7 Analysis of Stress and Strain Failure Criteria
(Analysis of stress-state and strain-state)
§7-1 应力状态概述 (Introduction of stress-state)
一、应力状态的概念 (Concepts of stresses-state)
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
(Analysis of stress-state and strain-state)
三、应力状态的分类 （The classification of stresses-state）
1.空间应力状态（Triaxial stress-state or three-dimensional stress-state ） 三个主应力σ1 ,σ2 ,σ3 均不等于零 2.平面应力状态（Biaxial stress-state or plane stress-state） 三个主应力σ1 ,σ2 ,σ3 中有两个不等于零 3.单向应力状态（Uniaxial stress-state or simple stress-state） 三个主应力 σ1 ,σ2 ,σ3 中只有一个不等于零
x
− 62.5
σ3
因为 σx < σy ，所以 α0= 27.5°与σmin对应
σx −σ y 2 ⎧σ max σ x + σ y ⎧ 26MPa 2 ) + τ xy = ⎨ = ± ( ⎨ 2 2 ⎩ − 96MPa ⎩σ min σ 1 = 26MPa , σ 2 = 0, σ 3 = −96MPa
1.求单元体上任一截面上的应力（Determine the stresses on any inclined plane by using stress-circle） 从应力圆的半径 CD 按方位角α的转向转动2α得到半径CE. 圆周上 E 点的坐标就依次为斜截面上的正应力σα 和切应力τα.
(Analysis of stress-state and strain-state)
§7-1 应力状态概述 (Introduction of stress-state)
一、应力状态的概念 (Concepts of stresses-state)
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
(Analysis of stress-state and strain-state)
三、应力状态的分类 （The classification of stresses-state）
1.空间应力状态（Triaxial stress-state or three-dimensional stress-state ） 三个主应力σ1 ,σ2 ,σ3 均不等于零 2.平面应力状态（Biaxial stress-state or plane stress-state） 三个主应力σ1 ,σ2 ,σ3 中有两个不等于零 3.单向应力状态（Uniaxial stress-state or simple stress-state） 三个主应力 σ1 ,σ2 ,σ3 中只有一个不等于零
x
− 62.5
σ3
因为 σx < σy ，所以 α0= 27.5°与σmin对应
σx −σ y 2 ⎧σ max σ x + σ y ⎧ 26MPa 2 ) + τ xy = ⎨ = ± ( ⎨ 2 2 ⎩ − 96MPa ⎩σ min σ 1 = 26MPa , σ 2 = 0, σ 3 = −96MPa
1.求单元体上任一截面上的应力（Determine the stresses on any inclined plane by using stress-circle） 从应力圆的半径 CD 按方位角α的转向转动2α得到半径CE. 圆周上 E 点的坐标就依次为斜截面上的正应力σα 和切应力τα.
材料力学-应力分析、强度理论
点的研究常采用分析单元体的方法
Down Up
σy y
空间一般应力状态
y
σy
A
σx x
τxy
平面一般应力状态
τyz
τxz
σx
τxy
x
z σz
7
Down Up
主平面：若单元体上某个平面上的切应力为零，
则该平面称为主平面。
而主平面上的正应力称为主应力。
主单元体：所有面均为主平面的单元体。
σ3 σ2
σ1 σ2
例如：拉(压)杆横截面上各点的应力状态
P
P
k
σ
k
P
FN =σA
σ= FN/A
10
分析薄壁圆筒受内压时的应力状态
σ’’ m n
n
σ’
k σ’ p
Dp
p
σ’’ l
πD
2
m
(D
)
n
4
pD
4
n
2
plD (2l
)
dq
Oq
p
D
t
pD
2
直径平面
pD
2
1
3 p 0 11
例7.2 圆球形薄壁容器，壁厚为δ，内径为D，
切应力2个下标的意义：
第1个下标表示切应力所 τyx
< 0 σy
在的面；
σx
第2个下标表示切应力实际 沿那个坐标轴的方向。
x
τxy > 0
18
7.3 二向应力状态分析----解析法
若图示单元体上的应力
y
σx、 σy 、τxy
ττyxxy
均为已知，
则由平衡方程可求得 σx 斜角为α的斜截面上
第七章 应力状态、应变分析和强度理论
§7-3 平面应力状态分析－－解析法
二、 正应力极值
1 1 ( x y ) ( x y ) cos 2 xy sin 2 2 2 d ( x y ) sin 2 2 xy cos 2 d
设α＝α0 时，上式值为零，即
2
1 0, 2 0, 3 0
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念
3、三向（空间）应力状态 三个主应力1 、2 、3 均不等于零
2 1
3 1
3 2
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念
仅在微体四侧面作用应力，且 应力作用线均平行于微体的不 受力表面－平面应力状态
1
1
1
1
3
3
1 0, 2 0, 3 0
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念 2、二向（平面）应力状态 三个主应力1 、2 、3 中有两个不等于零
3 2 3 2
3
2
1
3
1
1
1
1 0, 2 0, 3 0
Ft 0
dA ( x dAcos )cos ( x dAcos )sin ( y dAsin )sin ( y dAsin )cos 0
§7-3 平面应力状态分析－－解析法
一、任意斜截面上的应力公式 已知： x , y , x , y , dA 求： ，
sin 2 xy cos 2
2 xy 2 ( 50) tan 2 0 1 x y 40 60 2 0 45 135
y =60 MPa xy = -50MPa =-30°
应力应变分析与强度理论
ax in
m
ax
2
m in
极值切应力等于极值正应力差的一半。
材料力学电子教案 C 机械工业出版社
§7.2 平面应力状态分析的解析法
三、极值切应力和主平面夹角
注意到 则 所以
tan
2 0
2 xy x
y
tan
21
x 2 xy
y
tan
20
第7章 应力应变分析与强度理论
§7.1 应力状态的概念 §7.2 平面应力状态分析的解析法 §7.3 平面应力状态分析的图解法 §7.4 三向应力状态简介 §7.5 平面应力状态的应变分析 §7.6 广义胡克定律 §7.7 强度理论概述 §7.8 四个常用的强度理论 §7.9 莫尔强度理论
材料力学电子教案 C 机械工业出版社
7.2.3 极值切应力及其作用面 一、极值切应力方位角
d 0 d
( x y ) cos 2 2 xy sin 2 0
得
tan
21
x 2 xy
y
二、最大、最小切应力
m m
ax in
x
2
y
2
2 xy
m m
主应力通常用1、 2 和 3 表示，它们的顺序按代 数值大小排列，即 1 2 3 。
材料力学电子教案 C 机械工业出版社
§7.1 应力状态的概念
7.1.4 应力状态的分类 1. 单向应力状态 (简单应力状态 ) 三个主应力中，只有一个不等于零 2. 二向应力状态 (复杂应力状态 ) 有两个应力不等于零 3. 三向应力状态 (复杂应力状态 ) 三个主应力都不等于零
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二、一点的应力状态
过一点不同方向面 上应力的集合，称 之为这一点的应力 状态。
就是研究一点处沿各个不同方位的截 面上的应力及其变化规律。
三、应力状态的研究方法-单元体
dx dy dz 0
dz
dy
dx
单元体：单元体——围绕被研究点截取一尺寸为无限小
的正六面体。
单元体的性质——a、各表面上应力均匀分布；
Iz
t
Fs
S
* z
IZb
s y σy
t
sx
sy
sy
sz
t
sx
四、主单元体、主应力和主平面
主单元体：各平面上切应力均为零的单元体。
z
sz
t zx t zy
s3
s2
t xz t yz
xsx
t
t
xy
yx
sy y
s1
单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力
称为主应力，分别用 s1,s 2 ,s 3 表示，并且 s 1 s 2 s 3
F
F
s
s max
F A
s
t
s s cos2
同一点在斜截面上时：
t
s sin 2
2
表明：同一点在不同方位截面上，它的应
力是各不相同的，此即应力的面的概念。
Mz Fs
横截面上正应力分析和切应力分析 的结果表明：同一面上不同点的应力各
不相同，此即应力的点的概念。
应力
指明
哪一个面上
哪一点？
哪一点 哪个方向面？
s z b、平行平面上应力相等。
t zx t zy
z 0 x
sy
y
t t t yx
t
t xy s x
xz
t xz t xy
t yz s x
zx
t zy
t yz
sy
yx
sz
应力状态的分类
轴向拉伸
σ
σ
σ
σ
s FN
A
扭转
τ τ
τ τ
t T
Ip
弯曲变形
τ
σ
τσ
σy τ y
σx
τx σx
σ
τσ
sx
s MZy
第七章 应力与应变分析 强度理论
§7–1 应力状态的概念 §7–2 平面应力状态分析——解析法、图解法 §7-8 复杂应力状态下的应力 -- 应变关系
——（广义胡克定律） §7-9 复杂应力状态下的应变能密度 §7-10 强度理论概述
§7-11 四种常用强度理论
一、引言
§7-1 应力状态的概述
1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样的？
P 铸铁拉伸
铸铁压缩
M
P
低碳钢 扭转
铸铁扭转 P
低碳钢拉伸试验
铸铁拉伸试验
低碳钢扭转试验
铸铁 扭 转 试 验
2、复杂应力状态怎样建立强度条件？
M
ss
s
Fs
t t
简单应力状态的强度条件：
s max [s ]; t max [t ]
s
t
强度条件如何建立？ P
M 弯扭组合变形 强度条件如何建立？
t
dA s
x
dA
cos
t
sin
t
sx
x dsAycossin
2
cos 2
t y dAsin sin
t x cos 2
s
y
dAsin
cos
0
符号规定：
α角
由x正向逆时针转到n正向
者为正；反之为负。
n x
正应力 sy
sx
sx
拉应力为正
压应力为负
t 切 应 力
t
tx
使单元体或其局部顺时 针方向转动为正；反之为
s 300 s 600 s x s y 40MPa
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。
分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明低碳钢 拉伸时发生屈服的主要原因。
低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。
450
s
sx s y
2
s x s y cos 2
2
t x sin 2
二. 主应力和主平面
确定正应力极值
s
1 2
(s
x
s y)
1 2
(s
x
s y ) cos 2
t xy
sin
2
求导
ds d
(s x s y ) sin 2 2t xy cos 2
设α＝α0
时，
ds d
0
，即
(s x s y ) sin 20 2t xy cos 20 0
2(σx
σy 2
30 2300
1012032030
1c0os3012c0os062000si2n0sin1260000
2
422..3322Ms x s y sin 2
2
t x cos 2
t 600 t30100213002si3n0s1in2060002200ccooss60102010.33M1.3P3aMPa
负。
ty
某单元体应力如图所示，其铅垂方向和水平方向各平面 上的应力已知，互相垂直的二斜面ab和bc的外法线分别与x 轴成300和－600角，试求此二斜面ab和bc上的应力。
a
3 20MPa
c
30MPa
n1
s
sx s y
2
s x s y cos 2
2
t x sin 2
s 600
10MPa
10
s
一、斜截面应力：
a
n Fn 0 Ft 0
a sx
sy
tx ty c
sx
tx
b
sy
s
t
c
ty t
cos2 1 cos 2
2
sin 2 1 cos 2
2
tx ty
s dAs x dAcsoscossx 2tsx dyAcossxs2insyctoysd2Asin tcxossin 2sy dAsin sin 0
) si
n
2
α0
τx
yc
os
2
α0
2τα0
0
即α＝α0 时，切应力为零，正应力为极值
(s x s y ) sin 20 2t xy cos 20 0
tan
2 0
s
2t xy x s
y
由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别 为最大正应力和最小正应力所在平面。
该单元体称为主单元体。
s3
s1
s2
三
平
向
面
应
应
力 状
特例
力 状
态
态
单向应力状态
σ
σ
纯剪应力状态
τ τ
§7–2 二向和三向应力状态实例
sA = sp Dt=P
s
=
pD 4t
s =?
2N=pDl
N = stl
s =
pD 2t
s
s
s 二向应力状态
s
三向压缩
§7-3 平面（二向）应力状态的应力分析 －解析法
sx
s
sx
2
sy
2
cos 2
t
s x s y sin 2
2
t x cos 2
t
sx
2
sin
2
s 450
sx
2
t 450
sx
2
t max
低碳钢试样拉伸至屈服时表面沿450出现 滑移线，是由最大切应力引起的。
分析圆轴扭转时最大切应力的作用面，说明铸铁圆试样 扭转破坏的主要原因。
s min
t
s
sx s y
2
s x s y cos 2
2
t x sin 2
s t sin 2
t s max
s x s y sin 2
2
t x cos 2
t t cos 2
450
s 450
s
max
t
s 450
s
max
t
t 450 0
铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着最大拉 应力作用面（即450螺旋面）断开的。因此， 可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起 的。