应力与应变分析强度理论

max
1
2
3
平面应力状态有几个应力圆？
y
1
2
x
3
2
z
最大切应力为：
max
1
2
3
1
例1 求图示单元体的主应力和最大切应力。（MPa） y
B AC
40 50 30
x z
解：由单元体图
知C为主平面
k 50MPa
30 40
i j
z
2
y
z
2
y
2
2 zy
i j
57.72MPa 27.72MPa
yz zx 0
x
x
xy
x
三、复杂状态下的应力 --- 应变关系
y
y
x
y x
z
xy
z
x
依叠加原理,得:
x
x
E
z
x
E
y
x
E
z
x
x
E
y
E
z
E
1 E
x
y
z
三、复杂状态下的应力 --- 应变关系
y
z
z
y
x
xy
x
x
1 E
x
y
z
y
1 E
y
z
x
z
1 E
z
x
y
xy
xy
第七章 应力状态分析 强度理论
§7–1 应力状态的概念 §7–2 平面应力状态分析——解析法 §7–3 平面应力状态分析——应力圆法 §7–4 空间应力状态简介 §7–5 广义虎克定律 §7–6 复杂应力状态下的变形比能 §7－7 强度理论及应用
§7–１ 应力状态的概念
一、引言
FS
M
横截面上正应力分析和切应力分析 的结果表明：同一面上不同点的应力各
n
y 1
Fx 0
0
1S cos0 x S coso
x O y
x
xy
xy S sin 0
tan0
x 1 xy
y
y
3
主 单元体
x
xy10
tan20
2 xy x
y
Ox
四、最大切应力
令 : d
0
d 1
tan21
x 2 xy
y
m ax m in
x
2
y
2
2 xy
y
3
主 单元体
x
25 3
y 45MPa
yx 25 3MPa xy
x ?
x
2
y
s in 2
xy
cos 2
25 3 x 45 sin120o 25 3 cos120o
2
x 95MPa
45 95
25 3
60°
2
150° 25 3
y Ox
0
1
95
25 3
y 45MPa
xy 25 3MPa
Ox
应力状态分析的任务：
1.任意斜截面上的应力。
2.主应力的大小及主平面的方位。
3.最大切应力。
y
一、任意斜截面上的应力
x 规定： 截面外法线同向为正；
y
xy
绕研究对象顺时针转为正； 逆时针为正。
Ox
图1
x
y
y
xy
Ox 图2
设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：
Fn 0
n S x S cos 2 xy S cos sin y S sin2 yxS sin cos 0
x 95MPa
i j
x
2
y
x
2
y
2
2 xy
i j
120MPa 20MPa
1 120MPa
2 20MPa
3 0
tan0
x 1 xy
0 30
例6 如图，已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），某截面上M、
FS>0，试确定此截面上各点主应力大小及主平面位置。
F1
F2
1
2 3 4
5
B
xy
T Wt
五、取单元体 例1 画出下列图中各点的单元体图。
5
5
4FP
S平面
4
3
3
2
l/2 2 l/2
1
1
5
S平面 5
4 FS
4
3
3
M
2
2
1
1
1
x1
2
2
x2
2
min
max
3
3 3
11
五、取单元体 例1 画出下列图中各点的单元体图。
y
B
C z
B
xz
F Mex
x
C
xy
x B x
zx
xz
yx C xy
y
考虑切应力互等和三角变换，得：
y O
x
y
x
xy
x
图1
y
xy
x
2
y
x
2
y
cos 2
xy
s in 2
同理： F 0
x
2
y
s in 2
xy
cos 2
n
Ox
图2
二、极值应力
令 : d d
0
x y
sin20 2 xy cos 20
0
tan20
2 xy x
y
y
由此得两个驻点：
0、 0
1
E
2
y x
xy G xy
五、体积应变与应力分量间的关系
V a1a2a3
V1 a1(1 1 )a2 (1 2 )a3 (1 3 )
体积应变：
V1 V V
1 2
3
体积应变与应力分量间的关系:
1 2
E
x y z
1 2
E
( 1
2
3)
1 2
2
和 两 个 极 值 ：
x
y
xy
i j
x
2
y
x
2
y
2
2 xy
Ox
0 0 极值正应力就是主应力！
三、主应力大小及方向
(1) i j 0
1 i ; 2 j ; 3 0
(2) 0 i j
1 0; 2 i ; 3 j
(3) i 0; j 0 1 i ; 2 0; 3 j
ql wB 2k
§7–3 平面应力状态分析——应力圆法
y
一、应力圆（ Stress Circle）
y
x
xy
x
2
y
x
2
y
cos 2
xy
sin2
x
2
y
sin2
xy
cos 2
对上述方程消去参数（2），得：
Ox
xy
x
y
y
yx
x
2
y
2
2
x
2
y
2
2 xy
n 此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆， 由德国工程师：Otto Mohr引入）
Ox
y
二、应力圆的画法
y
Ox
C O
B(y ,yx)
建立应力坐标系，如下图所示，
x
xy
（注意选好比例尺）
在坐标系内画出点A( x，xy) 和B(y，yx)
AB与 轴的交点C便是圆心。
以C为圆心，以AC为半径画
A(x ,xy)
圆——应力圆；
x
2
y
2
2
x
2
y
2
2 xy
y
B
n 三、单元体与应力圆的对应关系
解：由梁弯曲应力公式：
q
x
My Iz
xy
FS
S
z
b Iz
1 3
x
2
2 0
x
2
2
2 xy
x yx xy
1
3 3
2
0 1
3
33 –45°
13
4
0
1
5 1
A
B
3 C O
A
3
20
C O 1
A
B
3
CO
20= –90°
1
B
A
20
3
O C
1
B
B
A
O C 1
§7–4 空间应力状态简介
y
1
2
G
yz
yz
G
zx
zx
G
主应力 --- 主应变关系
1
1 E
1
2
3
2
1 E
2
3
1
3
1 E
3
2
1
四、平面状态下的应力---应变关系:
y
z yz zx 0
x
x
1 E
x
y
y
xy
y
1 E
y
z
xy
xy
G
Ox
x
E
1 2
x
y
y
y
xy 1
Ox
' max
' min
i
j
2
空间应力状态：
max min
1
3
2
max
1
3
2
0
1
4
极值切应力面与主平面成45角。
20
例2 分析受扭构件的破坏规律。
C
y Ox
Me
xy yx
解：确定危险点并画单元体
yx
C xy
x y 0
xy
T Wt
求主应力及最大切应力
i j
x
2
y
x
21
x
A(x
,xy)
i j
OC
R
OC
3 2
20 1
x y
2
B(y ,yx)
x
2
y
2
2 xy
m in
max min
R
1
3
2
例5 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)
解：主应力坐标系如图
在坐标系内画出点
A(95,25 3 )
25 3
2
45 B 95
A
150° 0 25 3
平面应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。
单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。
2 3
1
x B x
zx
xz
x
x
A
§7–2 平面应力状态分析——解析法
y
y
y
xy x
等价 y
x
xy
x z
1
B(45,25 3 )
AB的垂直平分线与
轴的交点C便是
圆心，以C为圆心， 以AC为半径画 圆——应力圆
(MPa)
B
3
O
2
A 20 C
20MPa
1
(MPa)
主应力及主平面
A(95,25 3 ) B(45,25 3 ) C(70,0)
25 3
2
CA
252 25
2
3 50 (MPa)
45 B 95
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六、主单元体、主平面、主应力
y
y
主单元体(Principal bidy)：
x
各侧面上切应力均为零的单元体。
z
z
2
3
主平面(Principal Plane)：
切应力为零的截面。 x
主应力(Principal Stress ）：
主平面上的正应力。
1
主应力排列规定：按代数值大小，
1 2 3
空间应力状态（ Space State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
三、应力状态的表示
单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小
y
z
z
的几何体，常用的是正六面体。
y
yx
xy x
x
单元体的性质 a、任意面上，应力均布； b、平行面上，应力相等。
四、切应力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress) 过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的切应力分
例3 用解析法求斜截面上的应力。
解：
x 20MPa y 30MPa xy 0 120o
300
20MPa
30MPa
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy sin2
17.5MPa
x
y
2
sin2
xy cos 2
21.65MPa
23
例4 用解析法确定图示应力状态的主应力大小、主平面方位、最大切应力。
解：
20MPa
1 44.14MPa 2 15.86MPa 3 0
40MPa
1
arctan
x 1 xy
10MPa
arctan 40 44.14 22.5o 10
x 40MPa y 20MPa xy 10MPa
max
1
3
2
22.07MPa
1
i, j
x
y
2
x
2
y
2
3
z
x
3
2
1
y
1
3
z
2
x
12
1
2
2
1
3
2
12
2
1
y
1
3
z
2
x
23
2
2
3
3
2
23
2
1
3
y
1
2
13
1
2
3
3
x
z
1
13
3
2
1
3
y
1
max
最大正
应力
2
3
z
x
3
2
图a 最小正
应力
1
图b
弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应
力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。
整个单元体内的最大切应力为：
2
y
2
2 xy
2 xy
1 ; 2 0; 3
tan0
x 1 xy
10
45
max
1 3
2
tan21
x y 2 xy
01
0
3
破坏分析
主
单元体 xy
yx 10
低 碳 钢: s 240MPa ; s 200MPa
低碳钢
灰 口 铸 铁: tb 98 ~ 280MPa cb 640 ~ 960MPa; b 198 ~ 300MPa
D
A x
面上的应力( ， )
xy
应力圆上一点( ， )
y
面的法线n 应力圆的半径CD
Ox
n D( ,
2
C O
B(y ,yx)
两面夹角 两半径夹角2 ；
x
且转向一致。
A(x ,xy)
x
y
2
x
y
2
cos 2 xy sin2
x
2
y
sin2
xy
cos 2
四、主应力及最大切应力
max
max
1
2
3
1 57.72MPa 2 50MPa 3 27.72MPa
max 42.72MPa
§7–5 广义虎克定律
y
一、单拉下的应力--应变关系
x
x
E
y
E
x
ij 0 (i,j x,y,z )
二、纯剪的应力--应变关系
z
E
x
z
y
xy
xy
G
i 0 (i x,y,z)
z
A
150° 0 25 3
1
1 70 50 120MPa
B
2 70 50 20MPa
3 0
tan
2 0
25 3 25
3
3O
2
0 30
A 20 C
20MPa
1
(MPa)
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
45 25 3
95
60°
i j
x
2
y
x
2
y
2
2 xy
y
150°
Ox
60 95MPa 60 25 3MPa
量,则两个面上的切应力一定等值、方向相对或相离。
y
z
z
y
证明: 单元体平衡 Mz 0
xy x
x
( xydydz)dx ( yxdzdx)dy 0
xy yx
五、取单元体 例1 画出下列图中各点的单元体图。
F A
F
x
x
A
x
F A
五、取单元体 例1 画出下列图中各点的单元体图。
T
T
B
yx CB xy
不相同，此即应力的点的概念。 3
y'
yx
x'
xy
xy
yx
切中有拉
4
重要结论
不仅横截面上存在应力，斜截 面上也存在应力；不仅要研究横 截面上的应力，而且也要研究斜 截面上的应力。
微元平衡分析结果表明：即使同 一点不同方向面上的应力也是各不相
同的，此即应力的面的概念。
5
二、一点的应力状态（State of Stress at a Given Point） 过一点各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态。
2 xy
22.5o x
30 10
2
44.14MPa 15.86MPa
2
24
6.1 解：
F
(a) wA wB 0
wA_ wA A_ A
(b) wA wB 0
wA_ wA
wB_ wB
A_ A
B_ B
6.1 解：
(c) w A 0
wB
qll1 2EA
(d) wA 0