第9章应力应变分析及应力应变关系分析
材料力学第九章动荷载和交变应力
kd 1 a g 1 2.5 9.8 1.26
st FNst / A W2 / A 127.3MPa d kd st 160.4MPa 1.05[ ]
∴ 钢索满足强度要求。
2.5m
FNd W2
W2 g
a
2.5m a
W2
2.梁的强度校核
W1
kd 1 a g 1 2.5 9.8 1.26
求σdmax、△Dd。不计梁的自重。 A
解：1.计算静态的△Cst、Mmax和
σstmax
W
h
D
2l / 3 l
C
B
l/3
由 w Fb(l 2 b2 ) x Fb x3
6EIl
6EIl
得
Δ Cst
W
l [l 2 ( l )2]
3
3
6EIl
2l 3
Wl 3
6EIl
( 2l )3 3
4Wl 3 0.19mm 243EI
结论：梁满足强度要求。
三、提高构件抗冲击能力的措施
d kdst Fd kdW d kd st
kd 1
1 2h — —竖向冲击动荷因数
st
kd
v2 水平冲击动荷因数
gst
在静应力不变的情况下，减小动荷系数可以减小冲击应力。
即加大冲击点沿冲击方向的静位移： 被冲击物采用弹性模量低、变形大的材料制作； 或在被冲击物上垫上容易变形的缓冲附件。
W
h C
z Iz = 1130cm4 Wz =141cm3
A
B
1.梁本身的变形
1.5m
1.5m
k
ΔCst1
Wl 3 48EI
0.474mm
2.支座缩短量
第九章应力状态(3,4,5)分解
2 2
2 t x
解：
s 2 50MPa s 1 s 2 50MPa
s 3 50MPa
t max s1 s 3
2 50MPa
[例9-14]求图示应力状态的主应力和最大 剪应力（应力单位为MPa）。
s max
解：
s min
s x s y
§9-3 空间应力状态的概念
当一点处的三个主应力都不等于零时，称该点 处的应力状态为空间应力状态(三向应力状态)；钢 轨在轮轨触点处就处于空间应力状态(图a)。
空间应力状态最一 般的表现形式如图所 示；正应力sx、sy、sz 的下角标表示其作用 面，切应力txy、txz、tyx、 tyz、tzx、tzy的第一个下角标表示其作用面，第二个 下角标表示切应力的方向。
现在来导出一般空 间应力状态(图a)下的广 义胡克定律。因为在线 弹性,小变形条件下可以 应用叠加原理，故知x方 向的线应变与正应力之 间的关系为
s y sz 1 ex s x s y s z E E E E 同理有 1 1 e y s y s x s z ，e z s z s x s y E E sx
图中所示的正应力和切应力均为正的，即正应力以拉应 力为正。如果某作用面的外法线是沿着坐标轴的正向，则该 面上的切应力分量就以沿坐标轴正向时为正，相反，如果某 截面上的外法线是沿着坐标轴的负向，则该面上的切应力分 量就以沿坐标轴负向时为正。这样剪应力互等定理的表达式 就可不加负号了。
最一般表现形式的空间应力状态中有9个应力 分量，但根据切应力互等定理有txy＝tyx，tyz＝tzy ， txz＝tzx，因而独立的应力分量为6个，即sx、sy、sz、 tyx、tzy、tzx。
第9章---弹性力学变分原理
§9-2 应变能与余应变能 热力学定律——导出应变能的表达式
物体在外荷载作用下的功能转换：
弹性力学的 变分原理
可逆过程——外荷载对物体所做的功全部转化为物体的
动能和物体因变形引起的应变能(内能)。
不可逆过程——外荷载对物体所做的功, 一部分转化为
物体的动能和应变能,另一部分转化为热能、声能等被耗散。
y y ( x) y( x) x [a, b]
(9-4)
§9-1 变分法的预备知识 二、函数的变分
弹性力学的 变分原理
通常函数要满足一定的边界条件, 函数的变分应满足齐 次边界条件
y(a) ya , y(b) yb
y(a) 0, y(b) 0
导数的变分
( y) y ( x) y( x) (y ) y ( x) y( x) ( y) (y)
应变能密度是应力分量的函数，而应力分量又是位 置 x、y、z的函数，因此，应变能密度是一个泛函。
泛函的一般形式
I [ y( x)] f ( x, y, y)dx
a
b
§9-1 变分法的预备Hale Waihona Puke 识 二、函数的变分函数的微分
弹性力学的 变分原理
dy y( x)dx
是增量的一阶小量！
函数的变分
热力学定律——导出应变能的表达式
弹性力学的变分原理
(σ u) il,iul il il ( σ ) u σ : ε
代(11-12a)
V ( σ f ) udv σ : εdv
V V
σ : εdv
若以广义虎克定律代入，得应力分量的应变能密度
§9-1 变分法的预备知识 一、函数与泛函
应力应变关系
我所认识的应力应变关系一 在前面两章的分别学习了关于应力与应变的学习，第三章的本构关系讲述了应力与应变的关系从而构成了弹塑性力学的本构关系。
在单向应力状态下，理想的弹塑性材料的应力应变关系及其简单满足胡克定律即εσX XE =在三维应力状态下需要9个分量，即应力应变需要9个分量，于是可以把单向应力应变关系推广到三维应力状态，及推广到广义的胡克定律本式应该是91个应变分量 单由于切应力互等定理，此时后面的三个应力与式中的切应力想等即现在剩余36个应变分量。
(1)具有一个弹性对称面的线弹性体的应力应变公式如下(2)正交各向异性弹性体的弹塑性体公式如下(3)各向同性弹性体的本构方程各向同性弹性体在弹性状态下，主应力方向与主应变方向重合容易证明。
在主应变空间里，由于应变主轴与应力主轴重合，各向同性弹性体体内任意一点的应力和应变之间满足：111213x x y zC C C σεεε=++ 212223y x y z C C C σεεε=++313233z x y zC C C σεεε=++ （2-3）x ε对x σ的影响与y ε对y σ以及z ε对z σ的影响是相同的，即有112233==C C C ；y ε和z ε对x σ的影响相同，即1213=C C ，同理有2123=C C 和3132=C C 等 ，则可统一写为：112233==C C C a =122113312332=====C C C C C C b = （2-4）所以在主应变空间里，各向同性弹性体独立的弹性常数只有2个。
在任意的坐标系中，同样可以证明弹性体独立的弹性参数只有2个。
广义胡可定律如下式1[()]1[()]1[()]x x y z y y x z z z x y E E E εσνσσεσνσσεσνσσ⎧=-+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=-+⎪⎩ 222xy xy yz yz zx zx G G G τγτγτγ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩v 泊松比 2(1)EG ν=+剪切模量 E ：弹性模量/杨氏模量 虎克定律E G σετγ==对于应变能函数理解有点浅在此就不多做介绍了。
9第九章 应力、应变分析、强度理论123
第九章 应力、应变分析、强度理论一、是非题9-1、单元体最大正应力面上的剪应力恒等于零。
（ ）9-2、单元体最大剪应力面上的正应力恒等于零。
（ ）9-3、依照剪应力互等定理，一单元体中两个平面上的剪应力数值相等，符号相反，则这两平面必定相互垂直。
（ ）9-4、 只要构件横截面上的轴力N=0，则该横截面正应力处处为零。
（ ）9-5、 梁受横力弯曲时，其横截面上各点处的主应力必定是σ1≥0，σ3≤0。
（ ）9-6、 等截面圆杆受纯扭转时，杆内任一点处只有剪应力，而无正应力。
（ ）9-7、若受力构件中一点处，某方向上的线应变为零，则该方向上的正应力必为零。
（ ）9-8、若受力钢质构件中的一点处，某相互垂直方向的剪应变为零，则该方向上的剪应力必为零。
（ ） 9-9、若各向同性材料单元体的三个正应力σx >σy >σz ，则对应的三个线应变也有εx >εy >εz 。
（ ） 9-10、 各向同性单元体的三个主应变为ε1≠0，ε2≠0，ε3=0，若（1）、当ε1>0，则必有σ1>0；（ ）（2）、当ε1>ε2，则必有σ1>σ2；（ ）（3）、当ε1>ε2>0，则()()21max 12εεμτ-+=E 。
（ ） 9-11、各向同性材料在三向均匀压缩或拉伸时，其形状改变比能恒等于零。
（ ）二、选择题9-12、单元体应力状态如图9-1所示，由x 轴至σ1方向的夹角为（ ）。
A 、＋13.5°；B 、－76.5°；C 、＋76.5°；D 、－13.5°。
9-13、 若已知σ1=5MP a ，则另一个主应力为（ ）。
A 、σ2=－85MP a ；B 、σ3=－85MP a ；C 、σ2=75MP a ；D 、σ3=－75MP a 。
9-14、 三种应力状态分别如图9-2a 、b 、c 所示，则三者间的关系为（ ）。
A 、完全等价；B 、完全不等价；C 、（b ）和（c ）等价；D 、（a ）和（c ）等价。
第九章应力状态(3,4,5)
s
3
e3
1 E
s
3
s 1
s 2
例 9-17
边长a =0.1 m的铜质立方体，置于刚性很大的 钢块中的凹坑内(图a)，钢块与凹坑之间无间隙。 试求当铜块受均匀分布于顶面的竖向荷载F =300 kN时，铜块内的主应力，最大切应力，以及铜块 的体应变。已知铜的弹性模量E =100 GPa，泊松比
1 2
E
sx sy sz
思考: 各向同性材料制成的构件内一点处，
三个主应力为s1＝30 MPa，s2＝10 MPa，s3＝-40
MPa。现从该点处以平行于主应力的截面取出边 长均为a的单元体，试问：(1) 变形后该单元体的 体积有无变化？(2) 变形后该单元体的三个边长之 比有无变化？
弹性,小变形条件下可以
应用叠加原理，故知x方 向的线应变与正应力之
间的关系为
e x
sx
E
sy
E
sz
E
1 E
sx
sy
sz
同理有
e y
1 E
s
y
s x
s z ，e z
1 E
sz
sx
s
最一般表现形式的空间应力状态中有9个应力
分量，但根据切应力互等定理有txy＝tyx，tyz＝tzy ， txz＝tzx，因而独立的应力分量为6个，即sx、sy、sz、 tyx、tzy、tzx。
当空间应力状态的三个主应
力s1、s2、s3已知时(图a)，与
任何一个主平面垂直的那些斜截
面(即平行于该主平面上主应力
材料力学：第九章 应力状态分析
τx
C
F
Me
d
C
(a)
·
σx
(b)
C
T
F
解：C点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图 所示， 点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图b所示 点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图 所示， 其值为
FN 500 × 103 N σx = = = 63.7 × 106 Pa=63.7MPa π 2 A 0.1m ) ( 4
经整理后得到 ）、（2） ）、（ （1） 由（1）、（ ）式，可以求出单 ） 元体各个截面上的应力。（ 。（即 点 元体各个截面上的应力。（即a点 （2） 处各个方向上的应力） ） 处各个方向上的应力）
∑F = 0
t
τ =τ′
σ α = −τ sin 2α
τ α = τ cos 2α
定义：构件内一点处各个方向上的应力集合， 定义：构件内一点处各个方向上的应力集合，称为该点处的 应力状态。 应力状态。
F F
横截面上只有正应力，且 横截面上只有正应力， 均匀分布 计算公式： 计算公式：
m
σ
F
FN
FN σ= A
等直圆杆扭转时横截面上的应力： 等直圆杆扭转时横截面上的应力：
Me m Me
m
横截面上只有切应力，呈 横截面上只有切应力， 线性分布
T
o
τρ
τmax
T⋅ρ 计算公式： 计算公式： τρ = Ip
R
τ
T 16 M e τ= = WP πd3
为了研究a点处各个方向的应力，围绕a点取一个各边长均为无 为了研究 点处各个方向的应力，围绕 点取一个各边长均为无 点处各个方向的应力 限小的六面体（称为单元体）。 限小的六面体（称为单元体）。 径向截面
材料力学第9章应力分析强度理论
F
n
0
F 0
dA ( xydAcos ) sin ( x dAcos ) cos ( yxdAsin ) cos ( y dAsin ) sin 0
dA ( xydAcos ) cos ( x dAcos ) sin ( yxdAsin ) sin ( y dAsin ) cos 0
2
2 xy
xy
min
y
yx
23
⒉主方向
应力圆：D点顺时针转2α0到A1点
单元体：x轴顺时针转α0到主平面法线
证明：
xy 2 xy AD tg 2 0 CA x y x y 2
24
㈣利用应力圆求剪应力极值 应力圆上最高点、最低点的纵坐标值，为剪 应力的极大、极小值。 证明：
2
?
min
tg 2 0
2 xy
max
yx
x
x y
xy
解出两各极值点α0,α0=90+α0 最大、最小应力即为主应力
max x y x y 2 2 ( ) xy min 2 2
y
σmax、σmin为三个主应力中的两个。
11
讨论： ⑴若代数值σx≥σy，则α0、α0中，绝对值较小者是
σx与σmax之间夹角，且小于45。 ⑵若代数值 σx≤σy ，则α0 、α0 中，绝对值较小者是 σx 与 σmin之间夹角，且小于45。
min
max
yx
x
xy
12
y
㈢τmax、τmin(与z轴平行的任意斜截面上的)
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变形固体静力学的力学模型，对变形固体作如下假设：
1. 连续性假设
组成固体的物质毫无空隙地充满整个固体的体积，即认为固体是连续介 质。 根据这一假设，可以用连续函数来描述构件内部的力和变形的有关规律。
2. 均匀性假设
固体内各点处的力学性质（机械性质）是相同的。 根据这一假设，可用试件的局部材料性质取代整个构件，也可以将整个 构件的材料性质代以微小的部分。
2
第9章 变形固体静力学概述及 一般杆件的内力分析
§9.1 变形固体静力学的任务
变形固体静力学和工程实际有着密切的联系，其理论广泛应用于各 种机械设备和工程建筑之中。
构件
机械或工程结构的各组成部分，统称为构件。 例如：轴、梁、柱、杆。
机床的轴、汽车的叠板弹簧、房屋的梁和柱、桁架结构中的杆等。
工程实际中，构件受到载荷作用，要保证构件能正常、安全地工作，必 须解决以下3个问题：
6
3. 各向同性假设
固体沿任何方向的力学性质都是相同的。 例如： 金属、玻璃、塑料等。 沿不同方向力学性质不同的材料称为各向异性材料。 例如： 竹子、木材、叠层板等。
4. 小变形假设
构件的变形极其微小。 变形的尺寸<<构件的最小原始尺寸，不考虑变形前后的几何尺寸变化。
7
§9.3 杆件变形的基本形式
9.3.1 构件的分类
工程中，构件的几何形状是多种多样的，可分为以下3种：
一维——杆； 二维——板壳； 三维——块体。
杆件
凡长度方向（纵向）尺寸远大于横向（垂直于长度方向）尺寸的构件， 称为杆件。
杆件的横截面、轴线是两个主要的几何特征。
横截面：垂直于杆件长度方向的截面称为横截面。 轴线： 各横截面形心的连线称为轴线。
1
第9章 变形固体静力学概述及 一般杆件的内力分析
力的变形效应（内效应）
刚体是理想化的模型，假设固体受力后不变形。 在外力作用下，固体发生或大或小的变形（包括尺寸和形状的变形）， 即所谓的力的变形效应（内效应）。
本章主要内容
(1) 变形固体静力学的任务、研究对象及其发展情况； (2) 变形固体的基本假设； (3) 杆件变形的4种基本形式； (4) 外力作用下，一般杆件的内力分析。
变形固体静力学的任务
研究构件的破坏准则与变形规律，了解材料的力学性能，从而建立构件 满足强度、刚度和稳定性要求所需要的条件，为既安全有经济地设计构 件（选用材料，确定截面形状、尺寸）提供必要的理论基础和计算方法。
5
§9.2 变形固体的基本假设
变形固体的性质很多，研究的角度不同，侧重面也不同。 从宏观角度研究问题
直杆： 轴线为直线的杆件称为直杆。
曲杆： 轴线为曲线的杆件称为曲杆。
等截面杆：横截面尺寸和形状不变的杆件称为等截面杆。
变截面杆：横截面沿杆长变化的杆件称为变截面杆。
8
工程实际中的许多构件都可以简化为杆件，如： 连杆、销钉、传动轴、梁、柱等。 还有些构件（如曲轴的轴颈）不是典型的杆件，但在近似计算或进行 定性分析时也常简化为杆。 杆件是工程中最常用的构件，变形固体静力学的研究对象就是杆件。
第9章 变形固体静力学概述及 一般杆件的内力分析 7学时
9.1 变形固体静力学的任务 9.2 变形固体的基本假设 9.3 杆件变形的基本形式
9.3.1 构件的分类 9.3.2 构件的计算简图 9.3.3 杆件变形的基本形式 9.4 变形固体静力学的发展 9.5 一般杆件的内力分析
9.5.1 一般杆件的内力及其分类 9.5.2 一般杆件的内力方程和内力图 补充13.2、 13.3 作业 9.3 9.4 9.5 13.2
3
变形固体静力学要解决3个方面的问题
1. 强度
指构件承受外力而不发生破坏的能力。 例如：房屋倒塌、飞机坠落、高压容器爆破等都是由于强度不够所导致。
2. 刚度
指构件抵抗变形的能力。 若变形过大，即使构件没有破坏，但也不能正常工作。 例如： 机床主轴变形过大，会影响加工精度。
3. 稳定性
指构件保持原有平衡形式的能力。 例如： 千斤顶的螺杆，应保持原有的直线平衡形式，若载荷过大，突然
注意：支座的约束力和约束力偶都属于作用于构件上的外力。
绘制简图的原则
有了上面的知识，便可对实际构件画出计算简图。绘制简图的原则为 (1) 忽略构件外形，以其轴线代替构件； (2) 将实际载荷简化为某种载荷（分布载荷、集中力、集中力偶），
动载荷：载荷随时间而变化，或物体在载荷作用下处于运动状态，其
内各点速度发生显著变化，这类问题称为动载荷问题。
（在本教材第22章中研究。）
10
(2) 根据载荷的作用方式分为
分布载荷：连续地作用于构件上的载荷称为分布载荷。 作用在杆件上的分布载荷用沿杆轴线的分布规律来表示， 如图所示
q( x)
q
q0
分布集度：作用于单位长度上的载荷称为分布集度，用q(x) 表示。 量纲 [力][长度]1 单位 N/m，N/mm 当q(x) = const 时，称为均布载荷。 例如横梁的自重，如图。 例如挡水堤坝所受到的水的压力沿水深方向为线性分布， 如图。
9
9.3.2 构件的计算简图
计算简图（力学模型）
研究某一构件的强度、刚度和稳定性时，首先要弄清楚构件所受的 载荷（外力） 约束 构件的形状和尺寸
用一个简化图形表示出来，以便进行分析和计算。 这种简化后的图形，称为计算简图（力学模型）。
载荷的分类及其简图
(1) 根据载荷随时间的变化情况分为
静载荷：载荷的大小由零开始缓慢地增加到某一数值后，保持不变， 则称为静载荷。 变形固体静力学研究的是静载荷的情况。
11
集中力：若载荷分布范围远小于杆件轴线的长度，则可看作是作用于 一点的集中力。 例如：火车轮对钢轨的压力；车刀对工件的切削力等。 集中载荷用 F 表示，量纲为[力]；单位：N，kN。
集中力偶：作用于构件上的载荷可简化为作用于某一位置的力偶，此 力偶称为集中力偶，用M 表示，量纲为[力][长度]，单位： N·m，kN·m。
变弯，为失稳，丧失承载能力。
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
安全与经济的矛盾
为使构件具有足够的强度、刚度和稳定性，可以加大构件的截面尺寸、 选用优质材料，可以提高承载能力，但材料质量增加，成本提高，浪费 材料。 安全与经济的矛盾。 构件的截面形状与承载能力也有关系。 设想若截面面积不变，将自行车大梁做成实心圆柱，其强度、刚度、稳 定性都会减小很多。