第三章 应力和应变
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目录
CONTENTS
• 应力概述 • 应变概述 • 应力与应变的关系 • 应力与应变的应用 • 实验与演示 • 总结与展望
01 应力概述
CHAPTER
定义与概念
定义
应力定义为物体内部单位面积上 所承受的力，用于描述物体受力 状态。
概念
应力是物体受力时内部各部分之 间的相互作用，是物体抵抗变形 和破坏的内在能力。
压缩实验
总结词
通过观察物体在压缩过程中的形变，了解应 力和应变的基本性质。
详细描述
压缩实验是应力与应变研究中另一种重要的 实验方法。在实验中，我们将物体的一端固 定，另一端施加逐渐增大的压力，使物体发 生压缩形变。通过测量压缩量，我们可以计 算出物体的应力和应变。通过观察和记录实 验数据，学生可以了解应力和应变的基本性
应力分类
按作用方式
可分为正应力和剪应力。正应力表示 垂直于受力面的力，剪应力表示与受 力面平行且垂直于切线方向的力。
按作用效果
可分为拉应力和压应力。拉应力表示 使物体拉伸的力，压应力表示使物体 压缩的力。
应力单位与表示方法
单位
应力的单位是帕斯卡（Pa），国际单位制中的基本单位。
表示方法
应力的表示方法通常采用符号“σ”或“σxx”（xx表示方向），例如正应力的 表示符号为σ或σxx，剪应力的表示符号为τ或τxy（xy表示剪切方向）。
进步。
谢谢
THANKS
压缩试验
测定材料的抗压强度、弹性模量等指 标，了解材料在受压状态下的性能表 现。
有限元分析
模型建立
根据实际结构或系统建立有限元 模型，将复杂结构离散化为有限
个单元。
加载与约束
目录
CONTENTS
• 应力概述 • 应变概述 • 应力与应变的关系 • 应力与应变的应用 • 实验与演示 • 总结与展望
01 应力概述
CHAPTER
定义与概念
定义
应力定义为物体内部单位面积上 所承受的力，用于描述物体受力 状态。
概念
应力是物体受力时内部各部分之 间的相互作用，是物体抵抗变形 和破坏的内在能力。
压缩实验
总结词
通过观察物体在压缩过程中的形变，了解应 力和应变的基本性质。
详细描述
压缩实验是应力与应变研究中另一种重要的 实验方法。在实验中，我们将物体的一端固 定，另一端施加逐渐增大的压力，使物体发 生压缩形变。通过测量压缩量，我们可以计 算出物体的应力和应变。通过观察和记录实 验数据，学生可以了解应力和应变的基本性
应力分类
按作用方式
可分为正应力和剪应力。正应力表示 垂直于受力面的力，剪应力表示与受 力面平行且垂直于切线方向的力。
按作用效果
可分为拉应力和压应力。拉应力表示 使物体拉伸的力，压应力表示使物体 压缩的力。
应力单位与表示方法
单位
应力的单位是帕斯卡（Pa），国际单位制中的基本单位。
表示方法
应力的表示方法通常采用符号“σ”或“σxx”（xx表示方向），例如正应力的 表示符号为σ或σxx，剪应力的表示符号为τ或τxy（xy表示剪切方向）。
进步。
谢谢
THANKS
压缩试验
测定材料的抗压强度、弹性模量等指 标，了解材料在受压状态下的性能表 现。
有限元分析
模型建立
根据实际结构或系统建立有限元 模型，将复杂结构离散化为有限
个单元。
加载与约束
河海大学 材料力学 第三章 杆件横截面上的应力、应变分析第一节
点K处的应力(stress) DF p=lim pm= lim —— DA→0 DA→0 DA
p 正应力s :沿截面法向 n 切应力t :沿截面切向 s p 2= s 2 + t 2
应力单位：Pa(帕斯卡、帕) MPa(兆帕)
1 Pa = 1 N/m2 1MPa =106 Pa
注意：
t
K
s
以上分析可见，应力是受力物体内某个截面上某 一点上内力分布集度。通常情况下，物体内各点 应力是不同的，对于同一点不同方位截面上应力 亦不同。这样，应力离开它的作用点是没有意义 的，同样，离开它的作用面亦是没有意义的。
(shearing strain) 单位: rad。
四、胡克定律
s
s
du e= — dx
u
u+du
如果仅在单方向正应力s 作用下，且正应力不超过某 一限值（比例极限），则正应力与正应变成正比，即
s = Ee ——胡克定律(Hooke's law)
E ——弹性模量。(elastic modulus)
如何描述一点处的应力？
二、一点的应力状态、单元体：
K K
围绕K点取一微小的六面体，称为单元体。
六个面都表示通过同一点K的面，只是方向不同而已。
如果所取的单元体在空间方位不同，则单元体上各面 的应力分量亦不相同。
sy
y
tyz
tyx txy txz sx
x
tzy
z
sz
tzx
若从一复杂受力构件内某点取一单元体，一般 情况下单元体各面上均有应力，且每一面上同时存 在三个应力分量：一个法向分量——正应力；两个 切向分量——切应力。这样,单元体上共有9个应力 分量。
第三章应力分析应变分析屈服准则复习讲诉
a 0 0
1 ij
0
b
0
0 0 0
ab
2
ab 2
0
2 ij
a
b 2
ab 2
0
0
0 0
一、应力张量不变量及其应用
例题解答
对于
1 ij
J1 a b0 a b
J2
a 0
0b
b0
00
00
0
a
ab
a00 J3 0 b 0 0
000
同理，对于
2 ij
J1
a
2
b
a
2
b
0
a
b
ab
J2
试问上述应变场在什么情况下成立？
例题解答
2 xy xy
1 2
2 x y 2
2 y x2
(1)
2 xy 2 (2bxy) 2b xy xy
1
2
2 x y 2
2 y x2
1
2
2
a x2 y2 y 2
2
axy
x2
a
a 2b 即当a 2b时，上述应变场存在。
应变分析问题小 结
max min
2
C
2.2 单向拉伸时的Tresca屈服准则
2.2 Tresca yield criterion in uniaxial stretch test
三、应变连续方程问题
知识要点回顾
小应变几何方程
2 x y2
2 y2
u x
2 xy
u
y
(1)
2 y x2
2 x2
v y
2 v xy x
(2)
2应力应变分析
JJ J
1 2
应该是单值的，不随坐标
3
而变，因此把
JJ J
1 2
3
分别称为应力张量的
第一、第二和第三不变量，存在不变量也是张
量的特性之一。
15
例题
• 设某点的应力状态如图所示，试求其主应力（应力 单位：牛顿/平方毫米）
16
• 解：
x
yx
zx
2; 3;
4;
ij
xy y
2
2
2
2
xy
yz
zx
x
yz
y
xz
z
xy
2
2
2
18
• 将应力张量不变量带入应力状态特征方程中得:
J 1 J 2 J 3 0
3 3 2
•
9;
1
15 60 54 0
2
9 6 6 0
2 2
3 3;
ζ
ζ η ζ
ζ 主剪切应力平面
21
• 一对相互垂直的主剪应力平面，它们分别与一个主平面 垂直并与另两个主平面成45度，而且每对正交主剪平面 上的主剪应力都相等。如下图所示：
22
三个主剪应力为： τ σ σ 2 23 2 3
τ 31 σ 3 σ1 2
τ12 σ1 σ 2 2
张量的特性：一个对称张量有三个相互垂直的方向， 叫做主方向，在主方向上，下标不同的分量均为零， 只剩下下标相同的分量，叫做主值。
在应力张量中，主值就是主方向上的三个正应力， 叫做主应力；与三个主方向垂直的微分面叫主平面， 主平面上没有剪应力。也就是说τ=0。
第三章 应力-应变及其基本方程
2
一点的应力状态
z
xx
z
zx zy
xz yz
xy
yx
y y
ij yxx
xy y
xz yz
zx zy z
应力分量的值与坐标系的
选取有关. 3
在空间应力状态下，如适当的选择坐标轴， 使其在该坐标系内的剪应力为零而只剩正应力。 则这样三个相互垂直的坐标轴的方向就是应力 张量的主方向，与主方向垂直的面叫主平面， 该面上存在的正应力叫主应力。三个主应力的 大小与坐标轴的选择无关。
22
应力路径
➢几种加载方式的说明
单调加载和循环加载：
23
应变张量的分解
物体内部 任意一点 的变形状态可以由六 个应变分量来表示：
三个正应变: x , y , z 三个剪应变: xy , yz , zx
24
应变张量的分解
＝
＋
立方体变形
纯体积变形
m ( x y z ) / 3
纯畸变变形
应力张量分解及其不变量
体积变形
剪切变形
应力张量 ij 球应力张量 m 偏应力张量 Sij
ij Sij m ij
m 0 0
0
m
0
mij
0 0 m
m (1 2 3 ) / 3
Sij ij mij Syxx
xy Sy
xz yz
zx zy Sz
平面上法向应变：
3m
平面上剪应变：
2 2 2 J2
应变空间与应变平面
26
各种剪应变
➢ 八面体上正应变：
8
1 3
(1
x
ij
1 2
yx
1
2 xy
1 2
一点的应力状态
z
xx
z
zx zy
xz yz
xy
yx
y y
ij yxx
xy y
xz yz
zx zy z
应力分量的值与坐标系的
选取有关. 3
在空间应力状态下，如适当的选择坐标轴， 使其在该坐标系内的剪应力为零而只剩正应力。 则这样三个相互垂直的坐标轴的方向就是应力 张量的主方向，与主方向垂直的面叫主平面， 该面上存在的正应力叫主应力。三个主应力的 大小与坐标轴的选择无关。
22
应力路径
➢几种加载方式的说明
单调加载和循环加载：
23
应变张量的分解
物体内部 任意一点 的变形状态可以由六 个应变分量来表示：
三个正应变: x , y , z 三个剪应变: xy , yz , zx
24
应变张量的分解
＝
＋
立方体变形
纯体积变形
m ( x y z ) / 3
纯畸变变形
应力张量分解及其不变量
体积变形
剪切变形
应力张量 ij 球应力张量 m 偏应力张量 Sij
ij Sij m ij
m 0 0
0
m
0
mij
0 0 m
m (1 2 3 ) / 3
Sij ij mij Syxx
xy Sy
xz yz
zx zy Sz
平面上法向应变：
3m
平面上剪应变：
2 2 2 J2
应变空间与应变平面
26
各种剪应变
➢ 八面体上正应变：
8
1 3
(1
x
ij
1 2
yx
1
2 xy
1 2
连续介质力学第三章(分析“应力”文档)共110张PPT
一点的应变状态可用二阶张量的形式来表示，称为 应变张量，用表示，即：
x xy xz
ij
y
yz
=
(对称)
z
x
1 2
xy
y
(对称 )
u
x
1 2
u y
v x
1 2
u z
w x
=
v y
1 2
v z
w y
(对称)
w
z
1
2 1
2
xz yz
z
◆ 几何方程：
x
u x
；
y
v y
性体变，从而出现奇异屈服面。
⑩.平衡（或运动）微分方程
◆ 平衡微分方程：
x
x
yx
y
zx
z
F
x 0
2u t2
xy
x
y
y
zy
z
F
y
0
2v t2
xz
x
yz
y
z
z
F
z 0
2w t2
ij'j Fi 0
◆ 一个客观的弹性力学问题，在物体体内任意一点的 应力分量和体力分量必定满足这组方程。
xxyssii n n xyycco o s sq q00sci on s xy
(xyq0)ctg (xyq0) tg
yxtan
左边界：据圣文南原理和平衡的原理得：
Fx 0 , Fy 0 , M0 0 ,
h
hxdy 0
h
hxydy P0
h
h x ydy M 0
h xdy 0
理论上可证明：当一点的应力状态确定时，经推导 必可求出三个实根，即为主应力，且主应力彼此正交。
x xy xz
ij
y
yz
=
(对称)
z
x
1 2
xy
y
(对称 )
u
x
1 2
u y
v x
1 2
u z
w x
=
v y
1 2
v z
w y
(对称)
w
z
1
2 1
2
xz yz
z
◆ 几何方程：
x
u x
；
y
v y
性体变，从而出现奇异屈服面。
⑩.平衡（或运动）微分方程
◆ 平衡微分方程：
x
x
yx
y
zx
z
F
x 0
2u t2
xy
x
y
y
zy
z
F
y
0
2v t2
xz
x
yz
y
z
z
F
z 0
2w t2
ij'j Fi 0
◆ 一个客观的弹性力学问题，在物体体内任意一点的 应力分量和体力分量必定满足这组方程。
xxyssii n n xyycco o s sq q00sci on s xy
(xyq0)ctg (xyq0) tg
yxtan
左边界：据圣文南原理和平衡的原理得：
Fx 0 , Fy 0 , M0 0 ,
h
hxdy 0
h
hxydy P0
h
h x ydy M 0
h xdy 0
理论上可证明：当一点的应力状态确定时，经推导 必可求出三个实根，即为主应力，且主应力彼此正交。
河海大学 材料力学 第三章 杆件横截面上的应力、应变分析第三节
切应力互等定理：在两个相互垂直的平面上，垂 直于两平面交线的切应力必成对存在，其数值相等， 方向或同时指向交线，或同时背离交线（定理具有普 遍意义，不管该平面上是否同时存在正应力） 反之，一个面上没有垂直于两平面交线的切应力， 另一面上也没有相应的切应力。 纯剪切应力状态(纯切应力状态)／纯剪切 (shearing state of stresses) ——单元体四个侧面上均只有切应力而无正应力。 圆扭转时横截面上的应力状态均为纯剪切应力状态
a dy
t´ t
b
t
t´ d d z
dx
t
c
例1 圆轴，Mx=2.15kN•m, D=50mm，求(1)距轴心 r=10mm处t , (2) t max, (3) 若采用d/D1=0.5 , t max不 变 ， D =？ 4 3 pD pD Mx t max 解: Ip= —— Wp= —— 32 16 Mx O (2) t max = —— = 87.6MPa Wp (1) t r= t max×r /R = 87.60×10/25 = 35.04MPa
§3-3 圆轴扭转时横截面上的切应力
轴(shaft)
横截面上的应力的三个问题? (1)应力形式？ t (2)应力分布？ (3)应力大小？ 从几何(变形)、物理、静力学三个方面分析
一、试验现象与平面假设 1、试验现象
(1)纵向线仍为直线，且都 倾斜同一微小角度g 。圆 周表面所有矩形网格，变 形后错动为平行四边形网 格。 (2)圆周线形状不变，仅绕 轴线作相对转动，不同截 面转过不同角度；变形很 小时，圆周线大小、间距 均不改变。
2、圆轴扭转的平面假设：
平面假设：圆轴扭转变形前为平面的横截面，变形后仍 为大小相同的平面，其半径仍保持为直线；且相邻两 横截面之间的距离不变。 (1)各横截面如同刚性圆片，仅绕轴线作相对旋转。 (2)圆轴无轴向正应变和横向正应变，因而扭转圆轴横截 面上无正应力，只可能存在切应力。 (3)倾斜的角度g 就是圆轴表面处的切应变。
第三章 应力分析、应变分析和屈服条件-第二部分
1、如果假定在简单拉伸时两种屈服条件相 重合， 六边形将内接于Mises圆。 重合，则Tresca六边形将内接于 六边形将内接于 圆 Mises: J ′ = 1 σ 2 ,或τ = σ 2 s 3 S Tresca: τ m = σS / 2 ax 纯剪切时， 六边形同Mises圆之间的 纯剪切时，Tresca六边形同 六边形同 圆之间的 相对偏差最大 最大， 相对偏差最大，为 2
1 2 ′ J2 = σ S = C 在单向拉伸时， 在单向拉伸时， 3
2 在纯剪切时， 在纯剪切时， J2 =τ S = C ′
比较这二者可知，采用 比较这二者可知，采用Mises条件就意味着 条件就意味着
σs = 3τ s
屈服条件
π平面上 平面上Mises圆同 圆同Tresca六边形的几何关系 平面上 圆同 六边形的几何关系
两点假设
1、材料是初始各向同性的，即屈服条件与坐标的取向无关。 材料是初始各向同性的，即屈服条件与坐标的取向无关。 材料是初始各向同性的 可表示为三个主应力的函数： 可表示为三个主应力的函数： 或应力不变量来表示： 或应力不变量来表示： 2、静水应力不影响材料的塑性性质。 静水应力不影响材料的塑性性质。 静水应力不影响材料的塑性性质 这时，屈服条件只与应力偏量有关： 这时，屈服条件只与应力偏量有关： f (s1, s2 , s3 ) = 0,
F(J1, J2 , J3 ) = 0
′ ′ 也可由应力偏张量的不变量表示： 也可由应力偏张量的不变量表示： f (J2 , J3 ) = 0
屈服条件
二、屈服曲线
主应力空间中任一点P代表一个应力状态， 主应力空间中任一点 代表一个应力状态， 代表一个应力状态 直线和π平面分解 平面分解： 向量 OP可参照L直线和 平面分解：
1 2 ′ J2 = σ S = C 在单向拉伸时， 在单向拉伸时， 3
2 在纯剪切时， 在纯剪切时， J2 =τ S = C ′
比较这二者可知，采用 比较这二者可知，采用Mises条件就意味着 条件就意味着
σs = 3τ s
屈服条件
π平面上 平面上Mises圆同 圆同Tresca六边形的几何关系 平面上 圆同 六边形的几何关系
两点假设
1、材料是初始各向同性的，即屈服条件与坐标的取向无关。 材料是初始各向同性的，即屈服条件与坐标的取向无关。 材料是初始各向同性的 可表示为三个主应力的函数： 可表示为三个主应力的函数： 或应力不变量来表示： 或应力不变量来表示： 2、静水应力不影响材料的塑性性质。 静水应力不影响材料的塑性性质。 静水应力不影响材料的塑性性质 这时，屈服条件只与应力偏量有关： 这时，屈服条件只与应力偏量有关： f (s1, s2 , s3 ) = 0,
F(J1, J2 , J3 ) = 0
′ ′ 也可由应力偏张量的不变量表示： 也可由应力偏张量的不变量表示： f (J2 , J3 ) = 0
屈服条件
二、屈服曲线
主应力空间中任一点P代表一个应力状态， 主应力空间中任一点 代表一个应力状态， 代表一个应力状态 直线和π平面分解 平面分解： 向量 OP可参照L直线和 平面分解：
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(3 14) (3 15) (3 16)
其中应力偏张量的第二不变量 J 2 今后用得最多。 再介绍它的其他几个表达式：
2 2 2 2 2 2 1 J2 ( s s s 2 s 2 s 2 s ) 11 22 33 12 23 31 2
1 s s 2 ij ij ,
(3 - 3)
( 3 - 7)
2 2 l12 + l 2 + l3 = 1,即l i l i = 1.
应有
ij ij 0,
11 12 13 21 22 23 0 31 32 33
(3 8)
或即
(3 8)
将这个行列式展开得到
N
O
SN
采用张量下标记号，可简写成
S Ni = ij l j
说明：
(3 - 3)
x1 i）重复出现的下标叫做求和下标，相当于
j 1
3
,这称为求和约定；
x2
ii）不重复出现的下标i叫做自由下标，可取i=1,2,3；
(4) 应力张量的分解
11 = 22 = 33 = 1.静水“压力”：
13 11 12 13 m 0 0 11 m 12 0 0 m 22 m 23 21 22 23 21 32 33 m 31 32 33 0 0 m 31
若八面体面上的应力向量用F8表示，则按（3-3）式有 1 2 2 2 2 2 2 2 F8 ( 1l1 ) ( 2l2 ) ( 3l3 ) ( 1 2 3 ) (3 21) 3
八面体面素上的正应力为
2 2 2 8 1l12 2l2 3 l3 1 ( 1 2 3 ) m (3 22) 3
(3 10) (3 11) (3 12)
应力偏张量Sij显然也是一种应力状态即J1=0的应力状态。 不难证明，它的主轴方向与应力主轴方向一致，而主值 （称为主偏应力）为：
s j j m , ( j 1,2,3)
应力偏张量也有三个不变量：
(3 13)
s1 s2 s3 1 2 3 3 M 0 J1 1 2 2 2 J 2 ( s1s2 s2 s3 s3 s1 ) ( s1 s2 s3 ) 2 s1s2 s3 J3
3 J12 J 2 J 3 0,
其中 J , 1 kk
(3 9)
(3 10) (3 11) (3 12)
1 J 2 ii kk ik ki , 2 J 3 ij .
2. 应力张量的不变量
当坐标轴方向改变时,应力张量的分量 ij均将改变,但主应力的 大小不应随坐标轴的选取而改变.因此,方程(3-9)的系数 J 1、J 2、J 3 的值与坐标轴的取向无关，称为应力张量的三个不变量。
在静水压力作用下，应力—应变间服从弹性规律，且不会屈 服、不会产生塑性变形。
不产生塑性变形的部分 应力 产生塑性变形的部分
反映静水“压力”：
2.平均正应力：
1 1 m = ( 11 + 22 + 33 ) = kk 3 3 (3 - 4)
3.应力张量的分解：
应力张量可作如下分解：
而没有剪应力的状态。
应力偏张量
m m ij 0 0
0
m
0
0 0 m
S ij ——应力偏张量 12 13 11 m S ij 21 22 m 23 32 33 m 31
用张量符号表示： 其中：
ij m ij sij ,
(3 5)
1 0 0 ij 0 1 0 0 0 1
1,当i j, ij 0,当i j,
(3 6)
或
应力球张量
——与单元体的体积变形有关
ij ——单位球张量 m ij ——应力球张量，它表示各方向承受相同拉（压）应力
2.Lode应力参数
[分析]
由图3-4可见，若在已知应力状态上 叠加一个静水压力，其效果仅使三 个 Mohr圆一起沿 轴平移一个距离 ，该距离等于所叠加的静水应力， 并不改变Mohr圆的大小。 [结论]
三点中的任意两点为直径端点， 可作出三个Mohr圆，如图3-3. 其半径为：
P 2 1P 2 1 3, 2 2 P2 P3 2 3 1, 2 2 P3 P 3 1 1 2. 2 2
O P3
M P2
P 1
3
2
1
图 3-3
1、 2、 3 ——称为主剪应力 max ——最大剪应力
标志着所考察的偏应力状态与材料未受力（或只受静水应 力）状态的距离或差别的大小。
联系到（3-17）式， J 2
1 s s 2 ij ij
不难看出 代表 S ij 空间的中的广义距离
4. 等效剪应力
1 0, 2 0, 3 0,
J2
2 J 联系到（3-19）式，可知 2 或
八面体面素上的剪应力为
2 2 2 8 F8 82 1 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 3 3 1 . 3 2
8
说明：
2 3
. J2
(3 23)
八面体面上的应力向量可分解为两个分量：
i)垂直于八面体面的分量，即正应力 8 m ，它与应力球张 量有关，或者说与 J1 有关； ii)沿八面体面某一切向的分量，即剪应力 8 2 J 2 ，与应力 偏张量的第二不变量 J 2 有关。
(3 2)
(3) 斜截面上的应力与应力张量的关系
在xj坐标系中，考虑一个法线为N的斜平面。 N是单位向量，其方向作弦为 l1 , l 2 , l 3 ,
则这个面上的应力向量SN的三个分量与应力张量 ij 之间的关系 x3
s N 1 11 12 13 l1 S N 2 21 22 23 l 2 S l 3 32 33 N 3 31
8
(3 26)
说明：
这些量的引入，使我们有可能把复杂应力状态化作“等效”（ 在
J
' 意义下等效）的单向应力状态，从而有可能对不同应力 2
状态的“强度”作出定量的描述和比较。
五、三向Mohr圆和Lode应力参数 1.三向Mohr圆
在 平面上 P 1 ( 1 ,0), P 2 ( 2 ,0), P 3 ( 3 ,0)
(Байду номын сангаас 17)
1 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ], (3 18) J2 6 1 2 2 [ 12 2 J2 3 1 2 2 3 3 1 ] (3 19) 3
说明： 在第四章中将看到， 在屈服条件中起重要作用。至于 J 3 可以注 J2 意它有这样的特点：不管 sij 的分量多么大，只要有一个主偏应力 在屈服条件中不可能起决定作用。 为零，就有 J 3 0 。这暗示 J 3
写法： 采用张量下标记号的应力写法 把坐标轴x、y、z分别 用x1、x2、x3表示， 或简记为xj (j=1,2,3),
(3 1)
上式中左边是工程力学的习惯写法，右边是弹性力学的习惯写法
11 12 13 , 22 23 ij ji 21 31 32 33
2.等效应力 的特点
与空间坐标轴的选取无关；
J2
意义下衡量的
各正应力增加或减少同一数值（也就是叠加一个静水应力
状态）时 数值不变，即与应力球张量无关；
j ( j 1,2,3)全反号时 的数值不变。
3. S ij 空间
S ij 空间指的是以 S ij 的九个分量为坐标轴的九维偏应力空间；
3
四、等效应力 1.定义： 相等的两个应力状态的力学效应相同，那么 如果假定 J 2
对一般应力状态可以定义：
3J 2
1 2
1 2 2 2 3 2 3 1 2
(3 24)
—— 在塑性力学中称为应力强度或等效应力
注意：这里的“强度”或“等效”都是在
；
（2）应力主向
所在的平面 —— 称为主平面； 主应力 所在平面的法线方向 —— 称为应力主向；
主应力
根据主平面的定义，SN与N重合。若SN的大小为 ，则它在各 坐标轴上的投影为 S Ni = li 代入（3-3）式
S Ni = ij l j
( ij - ij )l j = 0.
三、等斜面上的应力
等斜面：通过某点做平面 ，该平面的法线与三个应力主轴
夹角相等 设在这一点取 x1 , x2 , x3 坐标轴与三个应力主轴一致， 3 则等斜面法线的三个方向余弦为
l1 l2 l3 1 / 3
八面体面：
(3 20)
2
1
满足（3-20）式的面共有八个，构成 一个八面体，如图所示。 等斜面常也被叫做八面体面。
说明： 材料进入塑性后，单元体的体积变形是弹性的，只与 应力球张量有关；而与形状改变有关的塑性变形则是 由应力偏张量引起的 。应力张量的这种分解在塑性力
学中有重要意义。
二、主应力和应力不变量
1. 一点的主应力与应力主向 （1）主应力
力 若某一斜面上
N 称为该点一个主应力
N 0 ，则该斜面上的正应