应力与应变关系
应力与应变关系
一、应力与应变1、应力在连续介质力学里,应力定义为单位面积所承受的作用力。
通常的术语“应力”实际上是一个叫做“应力张量” （stress tensor)的二阶张量.概略地说，应力描述了连续介质内部之间通过力(而且是通过近距离接触作用力)进行相互作用的强度。
具体说，如果我们把连续介质用一张假想的光滑曲面把它一分为二，那么被分开的这两部分就会透过这张曲面相互施加作用力。
很显然，即使在保持连续介质的物理状态不变的前提下，这种作用力也会因为假想曲面的不同而不同,所以，必须用一个不依赖于假想曲面的物理量来描述连续介质内部的相互作用的状态.对于连续介质来说，担当此任的就是应力张量,简称为应力。
2、应变应变在力学中定义为一微小材料元素承受应力时所产生的单位长度变形量.因此是一个无量纲的物理量.在直杆模型中,除了长度方向由长度改变量除以原长而得“线形变"，另外，还定义了压缩时以截面边长(或直径)改变量除以原边长（或直径）而得的“横向应变”。
对大多数材料，横向应变的绝对值约为线应变的绝对值的三分之一至四分之一，二者之比的绝对值称作“泊松系数"。
3、本构关系应力与应变的关系我们叫本构关系(物理方程）。
E σε=（应力=弹性模量＊应变） 4、许用应力（allowable stress ）机械设计或工程结构设计中允许零件或构件承受的最大应力值。
要判定零件或构件受载后的工作应力过高或过低，需要预先确定一个衡量的标准，这个标准就是许用应力。
凡是零件或构件中的工作应力不超过许用应力时，这个零件或构件在运转中是安全的，否则就是不安全的。
许用应力等于考虑各种影响因素后经适当修正的材料的失效应力除以安全系数。
失效应力为:静强度设计中用屈服极限（yield limit ）或强度极限（strength limit ）；疲劳强度设计中用疲劳极限（fatigue limit ）。
5、许用应力、失效应力及安全系数之间关系塑性材料（大多数结构钢和铝合金）以屈服极限为基准，除以安全系数后得许用应力，即[]()/ 1.5~2.5s n n σσ==。
材料力学中的应力与应变关系
材料力学中的应力与应变关系材料力学是研究材料在受力作用下的力学行为和性能的学科，应力与应变关系是其中的核心内容之一。
本文将讨论材料力学中的应力与应变的概念及其数学表示，以及应力与应变之间的线性关系与非线性关系。
一、应力的概念及表示应力是指材料单位面积上的内部力，常用符号σ表示。
根据受力情况的不同，可以分为正应力、切应力和体积应力。
正应力是指与作用力方向垂直的内部力，常用符号σ表示；切应力是指与作用力方向平行的内部力，常用符号τ表示；体积应力是指作用在体积内的内部力，常用符号p表示。
正应力的数学表示为σ = F/A，其中F为作用力的大小，A为受力面积。
切应力的数学表示为τ = F/A，其中F为切力的大小，A为受力面积。
体积应力的数学表示为p = F/V，其中F为体积力的大小，V为受力体积。
二、应变的概念及表示应变是指材料在受力作用下产生的形变程度，常用符号ε表示。
根据变形方式的不同，可以分为线性应变和体积应变。
线性应变是指在受力作用下，材料产生的长度或角度发生变化，常用符号ε表示；体积应变是指在受力作用下，材料产生的体积发生变化，常用符号η表示。
线性应变的数学表示为ε = ΔL/L0，其中ΔL为长度变化量，L0为原始长度。
体积应变的数学表示为η = ΔV/V0，其中ΔV为体积变化量，V0为原始体积。
三、应力与应变的线性关系在一定范围内，应力与应变之间可以表现为线性关系。
根据胡克定律（Hooke's Law），线性弹性材料的应力与应变之间满足σ = Eε，其中E为弹性模量。
弹性模量是材料刚度的度量，表示材料单位应力产生的单位应变。
常见的弹性模量有杨氏模量、剪切模量和泊松比。
杨氏模量的数学表示为E = σ/ε，其中σ为应力，ε为线性应变。
剪切模量的数学表示为G = τ/γ，其中τ为切应力，γ为切应变。
泊松比的数学表示为ν = -εv/εh，其中εv为垂直方向的线性应变，εh为水平方向的线性应变。
弹性体力学中的应变与应力关系
弹性体力学中的应变与应力关系弹性体力学是研究物体在力的作用下变形和恢复原状的力学分支学科，研究的对象主要是固体物质。
在弹性体力学中，应变与应力是两个重要的概念，它们描述了物体的变形和受力状态。
应变和应力之间的关系在弹性体力学中具有重要意义，它们可以通过材料力学模型来描述。
应变是物体在受力作用下发生形变的程度。
一般来说，我们可以将应变分为线性应变和非线性应变。
线性应变是指物体的形变与受力成正比。
例如，当我们拉伸一根弹簧时，弹簧的长度会发生变化，而这种形变与拉力之间是线性相关的。
用数学的语言来表达，线性应变可以用应变量ε表示，其与外力F之间存在着关系ε=ΔL/L，其中ΔL为物体长度的增量，L为物体的原始长度。
非线性应变则是指物体的形变与受力不成比例。
在高强度材料的情况下，非线性应变是不可忽视的。
非线性应变与材料的本构关系有关，常用的本构关系模型包括背应变率本构关系、黏弹性本构关系等。
这些模型可以更准确地描述材料的力学行为，使得我们能够更准确地计算应变。
与应变相对应的是应力。
应力可以看作是物体单位面积的受力情况。
一般来说，应力可以分为正应力和剪应力。
正应力是指垂直于物体内部某一面的力的作用情况。
例如，当我们用一把剪刀剪断一根木棍时，剪刀的受力情况可以被描述为正应力。
剪应力则是指平行于物体内部某一面的力的作用情况。
例如，当我们剪断一个绳索时，绳索的受力情况可以被描述为剪应力。
应变与应力之间的关系又可以通过应力-应变曲线来描述。
应力-应变曲线是弹性体力学研究中的一个重要工具，它可以体现材料的力学性质。
一般来说，应力-应变曲线可以分为弹性阶段、屈服阶段、塑性阶段和断裂阶段。
在弹性阶段，应力与应变成正比。
这个阶段的曲线是一个直线，斜率即为弹性模量，用来描述材料的刚度。
当应力超过一定值时，物体进入屈服阶段。
在屈服阶段，物体的应变不再与应力成正比，而是呈现出非线性关系。
此时物体会发生塑性变形，形成剩余应变。
当应力进一步增加时，物体可能发生断裂。
流体力学中应力应变关系
流体力学中应力应变关系
流体力学是研究流体运动和变形的学科，应力和应变是流体力学中关键的概念。
应力是流体内部各点受到的力，应变是流体形变程度的度量。
在流体力学中，应力和应变之间存在一定的关系，通常用应力张量和应变张量来描述。
应力张量包含了流体各点在各个方向上受到的应力大小和方向信息，应变张量则包含了流体在各个方向上的形变程度。
在牛顿流体中，应力张量和应变张量之间的关系是线性的，即应力与应变成比例关系，比例系数被称为粘度。
而在非牛顿流体中，应力与应变的关系则更加复杂。
流体力学中的应力应变关系是研究流体运动和变形的基础，对于工程应用和科学研究都具有重要意义。
在许多工程领域，如航空、水利、化工等，流体力学的应用广泛，深入研究应力应变关系可以为工程设计和实际应用提供更加准确和可靠的理论基础。
- 1 -。
第四章应力与应变关系
（4-3a）
广义虎克定律
在小变形条件下，应变分量都是微量，(a)式在应变 为零附近做Taylor展开后，忽略2阶以上的微量，例如
对 ， 可x 得：
x (f1)0(f1x)0x (f1y)0y (f1z)0z
( f1
yz
)0yz
(f1zx)0zx
(f1xy)0xy
广义虎克定律 展开系数表示函数在其对应变分量一阶导数在应变分 量等于零时的值，而 实( f 1 际) 0 上代表初应力，由于无初应 力假设 等于( f 1零) 0 。 其它分量类推，那么在小变形情况下应力与应变关系 式简化为：
3 t 2 3
和 称 为拉梅(Lame)弹性常数，简称拉梅常数
各向同性体的广义虎克定律
(三)最后通过坐标变换，进一步建立任意正交坐标系应 力与应变关系
在各向同性弹性体中，设 o为x y任z 意正交坐标系，它
的三个轴与坐标系 应O力12主3 轴的方向余弦分别为 、 (l1 ',m1和',n1 ') (l2，',m因2 ',n为2 ')1，(2l3，',m33 ',轴n3是') 主轴，主轴方向的 剪应变和剪应力等于零。 根据转轴时应力分量变换公式得
系O123各轴的方向余弦，知:
l1 n3 cos180 1 m2 cos0 1 l2 l3 m1 m3 n1 n2 cos90 0
各向同性体的广义虎克定律
因此新坐标轴也指向应变主轴方向，剪应变也应该等
于零，且因各向同性时，弹性系数C41，C42和C43应
该不随方向面改变，故取 x, y分, z别为1′，2′和3′轴，同
上式作为虎克定律在复杂受力情况下的一个推广， 因此称为广义虎克定律。式中系数Cm n(m ,n1,是2, ,6) 物质弹性性质的表征，由均匀性假设可知这些弹性性 质与点的位置无关，称为弹性常数。上式也可以写成 矩阵形式
弹性力学中的应力与应变关系
弹性力学中的应力与应变关系弹性力学是力学的一个重要分支，研究物体在外力的作用下产生的形变与应力的关系。
在弹性力学理论中，应力与应变关系是最为核心的概念之一。
本文将探讨弹性力学中的应力与应变关系的基本原理，并从不同角度对其进行分析。
一、基本概念在弹性力学中，应力是描述物体内部单位面积受力情况的物理量。
它可以分为正应力和剪应力。
正应力表示物体在垂直于某一平面上的受力情况，剪应力表示物体在平行于某一平面上的受力情况。
应力的大小一般采用希腊字母σ表示。
应变是描述物体形变情况的物理量。
它可以分为线性应变和体积应变。
线性应变表示物体中某一方向上的长度相对变化，体积应变表示物体在各个方向上的体积变化。
应变的大小可以用希腊字母ε表示。
二、胡克定律胡克定律是描述弹性体材料中应力与应变关系最基本的定律。
其数学表达式为σ = Eε，即应力等于弹性模量与应变之积。
其中，弹性模量E是描述物体对应变的抵抗能力的物理量。
根据胡克定律，应力与应变之间的关系是线性的，即若应变增大，则应力也会相应增大。
胡克定律适用范围有限，对于非线性应力-应变关系的材料，需要采用其他力学模型进行描述。
例如，当外力作用超出一定范围时，弹性体会发生塑性变形，此时应力和应变之间的关系就无法再用胡克定律来描述。
三、材料力学模型由于胡克定律的局限性，研究者们提出了各种各样的材料力学模型来描述应力与应变之间的关系。
其中，最常用的有线性弹性模型、非线性弹性模型和本构模型。
线性弹性模型是胡克定律的拓展，它适用于应力与应变关系呈线性关系的情况。
在这种模型中，应力与应变之间的关系是单一的、唯一的。
当外力作用停止后，物体能够完全恢复到初始状态。
非线性弹性模型适用于应力与应变关系不再呈线性关系的情况。
它可以更好地描述材料的实际变形情况。
在这种模型中，应力与应变之间的关系可以是非线性的、曲线状的。
本构模型是一种综合考虑多种因素的力学模型，它可以更全面地描述材料的应力与应变关系。
流体力学中应力应变关系
流体力学中应力应变关系
流体力学中应力应变关系是指在流体中，应力和应变之间的关系。
应力是指流体中单位面积内受到的力，而应变则是指在受力下流体的形状和大小发生的变化。
在流体中，应力和应变之间的关系是非线性的，并且与流体的性质密切相关。
对于牛顿流体（即流体的粘度不随剪切速率变化的流体），应力
应变关系可以用简单的线性关系来描述。
这种情况下，应力是剪切应力，而应变则是剪切应变。
而对于非牛顿流体（即流体的粘度随剪切速率变化的流体），应力应变关系则更为复杂，需要使用更加复杂的
数学模型来描述。
在流体力学应用中，了解应力应变关系非常重要。
例如，工程师需要了解流体的应力应变关系，以便设计和优化流体系统。
此外，医生也需要了解流体的应力应变关系，以便更好地理解人体内的生理过程。
因此，流体力学中应力应变关系是一个非常重要的概念。
- 1 -。
应力应变之间关系
我所认识的应力与应变的关系弹性与塑性应变的关系：一维：胡克定律弹性变形三维：广义胡克定律屈服条件应力曾变与增量之间的关系—增量理论塑性变形比例变形时全量理论低碳钢拉伸应力应变曲线：σO O’ O’’εOB：弹性阶段 BH：屈服阶段 HC:强化阶段 CE：局部变形阶段应力和应变的关系是本构关系，是物质特性的反映。
在弹性变形阶段，应力与应变之间的关系满足胡克定律，即：σij =Cijklεkl。
应力与应变的关系可以近似看成线性的，其中C是材料弹性常数，与弹性体内各点的坐标有关，还与温度和方向有关。
因此，对于常温下均匀弹性体，材料弹性常数是材料的特性常数。
J.Baushinger效应：强化材料随着塑性变形的增加，屈服极限在一个方向提高而在相反方向降低的效应。
其中理想的J.Baushinger效应是：屈服极限在一个方向上提高的数值与在相反方向上降低的数值相等。
应变能函数是物体在外力作用下变形的过程，根本上是一个热力学过称。
物体由一种变形状态到另一种变形状态，其中有外力对物体做功，物体与外界交换能量，物体的总能量发生变化。
热力学定律证明,理想弹性体存在应变能，即udu U ⎰=。
应变能函数是应变状态的单值函数，仅取决于应变的起始状态和最终状态，与变形过程无关，对于线弹性体，ij ij u εσ21=。
格林公式是弹性体的应力分量等于应变能对相应应变分量的偏导数，即ij ij ij u εεσ∂∂=)(，该公式适用于所有弹性体。
应力分析、应变分析的结果适合于连续介质力学的所有问题，与材料物质特性无关。
本构关系的影响因素有：材料、环境、加载类型、加载速度，用函数表达式表示为：),,(T t f εσ=单一曲线假设认为不管何种应力状态，加载时，应力强度和应变强度的关系是一种单一曲线关系，可由简单加载的应力应变获得。
等向强化模型是认为加载时，在各个方向强化的程度相同。
随动强化模型是认为一个方向强化的程度等于相反方向弱化的程度。
第一主应变和第一主应力的关系
第一主应变和第一主应力的关系在固体力学中，应变和应力是研究物体变形和受力的重要参数。
应变是描述物体在受力作用下产生的形变程度，而应力则是描述物体受到的力作用的强度。
在材料力学中，存在着一种重要的关系，即第一主应变和第一主应力之间的关系。
第一主应变是指材料中某一方向上的应变值，通常用ε表示。
而第一主应力是指材料中某一方向上的应力值，通常用σ表示。
那么第一主应变和第一主应力之间的关系是什么呢？根据材料力学的理论，第一主应变和第一主应力之间存在着线性关系，即ε=kσ。
其中，k是材料的弹性系数，也称为应力-应变系数或杨氏模量。
弹性系数是材料特性的一种度量，反映了材料对外力的响应能力。
弹性系数是一个常数，它代表了材料的刚度，越大则表示材料越难发生形变，越小则表示材料容易发生形变。
不同材料的弹性系数不同，因此不同材料的应变和应力之间的关系也不同。
对于线性弹性材料来说，弹性系数是一个恒定值。
这意味着在材料的弹性范围内，无论受到多大的应力，材料的应变与应力之间的比值始终保持不变。
这也是材料力学中的胡克定律。
根据胡克定律，我们可以得到应力-应变关系的另一种形式：σ=Eε。
其中，E是弹性模量，是弹性系数的另一种表示方式。
弹性模量是材料的一种基本力学性质，与材料的弹性系数有着密切的关系。
弹性模量是描述材料抵抗形变的能力的指标，也可以理解为材料的“硬度”。
不同材料的弹性模量不同，因此不同材料的应变和应力之间的关系也不同。
需要注意的是，上述的应力-应变关系只适用于线弹性材料，对于非线性材料来说，应力和应变之间的关系则更为复杂。
在非线性材料中，应力和应变之间的关系可能是非线性的，这需要通过试验或数值模拟方法来确定。
第一主应变和第一主应力之间存在着线性关系，即ε=kσ。
其中，k 是材料的弹性系数，也称为应力-应变系数或杨氏模量。
弹性系数是材料的一种基本力学性质，与材料的弹性模量有着密切的关系。
不同材料的弹性系数和弹性模量不同，因此不同材料的应变和应力之间的关系也不同。
弹性力学弹性体的应力与应变关系
弹性力学弹性体的应力与应变关系弹性力学是一门研究固体材料在外力作用下的变形和应力分布规律的学科。
其中，弹性体是一类能够在外力作用下发生形变，但恢复力可以将其恢复到原始状态的物质。
弹性体的应力与应变关系是弹性力学中的基本概念和重要理论。
一、什么是应力与应变在力学中，应力是物体受来自外界作用的力引起的单位面积内的力的大小。
它是描述物体受力情况的物理量。
应力可分为正应力和剪应力两种，正应力作用于物体的表面上的垂直方向，而剪应力则作用于物体的表面上的切向方向。
应变是描述材料形变程度的物理量，是物体在受力下发生变形时单位长度的变化。
应变也可分为正应变和剪应变两种，正应变是物体长度在受力作用下产生的相对变化量，而剪应变则是物体形状的变化量与原始尺寸之比。
二、背景知识弹性体的应力与应变关系可以通过背景知识来理解。
弹性体的主要特性是能够在外力的作用下发生形变，但当外力消失时，它能够恢复到原来的形状和尺寸。
这是因为弹性体的分子或原子之间存在着弹性力，当外力作用结束时，弹性力将趋于平衡，使得物体恢复到原来的状态。
三、胡克定律胡克定律是描述弹性体应力与应变关系的基本定律。
根据胡克定律，当外力作用于弹性体时，弹性体内部的应力与应变成正比。
具体数学描述如下：σ = Eε其中，σ代表应力，单位为帕斯卡（Pa），E代表弹性模量，单位为帕斯卡（Pa），ε代表应变，为无单位。
胡克定律适用于弹性体在线性弹性范围内，即应力与应变成正比，并且比例系数恒定。
此时的应力-应变关系为线性关系，称为胡克定律。
超出线性弹性范围后，材料会发生塑性变形。
四、弹性模量弹性模量是表征弹性体抵抗形变的能力大小的物理量。
它是胡克定律中比例系数的倒数，可以用来度量弹性体的刚度。
常见的弹性模量有：1. 杨氏模量（Young's Modulus）：用E表示，描述的是物体在拉伸或压缩时的应变与应力之间的关系。
2. 剪切模量（Shear Modulus）：用G表示，描述的是物体在受剪时的应变与应力之间的关系。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、应力与应变
1、应力
在连续介质力学里，应力定义为单位面积所承受的作用力。
通常的术语“应力”实际上是一个叫做“应力张量” (stress tensor)的二阶张量。
概略地说，应力描述了连续介质内部之间通过力（而且是通过近距离接触作用力）进行相互作用的强度。
具体说，如果我们把连续介质用一张假想的光滑曲面把它一分为二，那么被分开的这两部分就会透过这张曲面相互施加作用力。
很显然，即使在保持连续介质的物理状态不变的前提下，这种作用力也会因为假想曲面的不同而不同，所以，必须用一个不依赖于假想曲面的物理量来描述连续介质内部的相互作用的状态。
对于连续介质来说，担当此任的就是应力张量，简称为应力。
2、应变
应变在力学中定义为一微小材料元素承受应力时所产生的单位长度变形量。
因此是一个无量纲的物理量。
在直杆模型中，除了长度方向由长度改变量除以原长而得“线形变”，另外，还定义了压缩时以截面边长（或直径）改变量除以原边长（或直径）而得的“横向应变”。
对大多数材料，横向应变的绝对值约为线应变的绝对值的三分之一至四分之一，二者之比的绝对值称作“泊松系数”。
3、本构关系
应力与应变的关系我们叫本构关系（物理方程）。
E σε=（应力=弹性模量*应变） 4、许用应力（allowable stress ）
机械设计或工程结构设计中允许零件或构件承受的最大应力值。
要判定零件或构件受载后的工作应力过高或过低，需要预先确定一个衡量的标准，这个标准就是许用应力。
凡是零件或构件中的工作应力不超过许用应力时，这个零件或构件在运转中是安全的，否则就是不安全的。
许用应力等于考虑各种影响因素后经适当修正的材料的失效应力除以安全系数。
失效应力为：静强度设计中用屈服极限（yield limit ）或强度极限（strength limit ）；疲劳强度设计中用疲劳极限（fatigue limit ）。
5、许用应力、失效应力及安全系数之间关系
塑性材料（大多数结构钢和铝合金）以屈服极限为基准，除以安全系数后得许用应力，即[]()/ 1.5~2.5s n n σσ==。
（许用应力=屈服极限/安全系数）
脆性材料（铸铁和高强钢）以强度极限为基准，除以安全系数后得许用应力， 即[]()/2~5b n n σσ==。
（许用应力=强度极限/安全系数）
表3机床静力学分析结果总结
机床的位置 应力
应变
位移
油缸 27 9.79 0.47983 5号顶尖
10
3.91
0.29528
固定支撑钉 4.4 2.93 0.11073
在分析中发现油缸所受的应力最大，油缸使用的是35钢，5号顶尖使用的材料是45钢，固定支撑钉使用的是T8，查《机械设计》三者都小于其许用应力，故设计满足要求。
它们的主要力学性能参数如表5.3，查《机械设计师手册》。
表4主要力学性能参数
材料名称屈服强度() 抗拉强度
35钢315 600
45钢355 598
T8 900
采用安全系数法判断零件危险截面处的安全程度是疲劳强度计算中应用广泛的一种方法，其强度条件是：危险截面处的安全系数S应大于等于许用安全系数，即
查《机械设计》S，所以
油缸的安全系数：S
5号顶尖安全系数：S；
固定支撑钉的安全系数：S；
45钢的许用安全系数为1.2 1.5，T8的许用安全系数为，设计满足要求。