我所认识的应力应变关系讲解

我所认识的应力应变关系

应力应变都是物体受到外界载荷产生的响应。物体由于受到外界载荷后，在 物体内部各部分之间要产生互相之间的力的作用，由于受到力的作用就会产生相 应的变形；或者由于变形引起相应的力的作用。则一定材料的物体其产生的应力 和应变也必然存在一定的关系。

一应力-应变关系

影响本构关系的因素有很多，例如材料、环境、加载类型（载荷、温度） 、 加载速度（动载荷、静载荷）等，当然，本构关系有很多类型，包括弹性、塑性、 粘弹性、粘塑性、各向同性、各向异性本构关系，那么首先来叙述一下简单情况

图中0A 为线弹性阶段，AB 为非线弹性阶段，故0B 为初始弹性阶段，C 点位 初始屈服点， J •为初始屈服应力，CBA 为弹性阶段卸载，这一阶段中二=E ；, 初始弹性阶段结束之后，应力继续增大，进入塑性阶段，

CDE 为强化阶段，应变

强化硬化，EF 为颈缩阶段，应变弱化软化。如果在进入塑性阶段卸载后再加载，

本构关系，所谓简单情况就是六个应力分量 J 、y 、z 、•邓* zx 只有一个不为零,

六个应变分量

1-

例如在D点卸载至零，应力应变关系自D点沿DO'到达O'点，且DO' II OA其中

00'为塑性应变；p，DG为弹性应变；e，总应变为它们之和。此后再继续加载，应力应变关系沿ODEF变化，D点为后继屈服点，0D为后继弹性阶段，Cs'.为后继屈服应力，值得一提的是初始屈服点只有一个，而后继屈服点有无数个（由加载历史决定）。若在卸除全部载荷后反向加载，弹性阶段COC'，、二s . - ；「s_，而在强化阶段DOD'，匚_，称为Bauschinger效应。

从上述分析得出材料弹塑性行为有一定的特殊性，主要表现在：弹性应力应变关系是线性，且是单值对应关系，而塑性应力应变关系是非线性的非单值对应。

因为通常情况下物体不仅仅处于简单应力状态，那么复杂应力状态下应力应变关系又如何呢？如果我们将材料性质理想化即假设材料是连续的、均匀的、各向同性的，忽略T、t的影响，忽略净水压力对塑性变形的影响，可以将应力应变关系归结为不同的类型，包括理想线弹性模型、理想刚塑性模型、线性强化刚塑性模型、理想弹塑性模型、线性强化弹塑性模型、幕强化模型、等向强化模型、随动强化模型。各种材料的应力应变关系图如下图所示：

线性强化刚塑性模型 理想弹塑性模型

线性强化弹塑性模型 幕强化模型

一. 线性弹性体

1. 线性弹性体本构方程的一般形式

在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系很简单，即 二X =E ；x ，即胡克定律。如果在三维应力状态下，应力应变之间仍然满足类似的 一一对应的关系，则称这类弹性体为线弹性体。对线弹性体，把单向应力状态下 得胡克定律推广到三维应力状态下。其一般形式为：

■C14 xy

- C 15 yz - C 16 zx

G ；

x ' C 32 ；y

C 33 ；

C 34 xy - C 35 yz - C 36 zx

c

y

=C

21 x C

22 "y

C

23 '

C 24 xy - C 25 yz - C 26 zx xy

=

C 41 "x C 42 "y C 43 -

'C44 xy ' C45 yz ' C46 zx

~ C

11 "x

C

12 "y

C

13

式(2-1)可简写为

由于应力张量和应变张量的对称性，弹性张量具有对称性： C ijkl =C ijlk C jki =C jiki ，从弹性应变能密度函数的概念出发，可以证明上述 36个常数中, 实际

上独立的弹性常数只有21个，即C jki =C k H

j 。

满足广义胡克定律的线弹性体称为各向异性弹性体， 各向异性弹性体是

线弹性体的最一般情况。 2. 各向同性弹性体的本构方程

各向同性弹性体在弹性状态下，主应力方向与主应变方向重合容易证明。 在 主应变空间里，由于应变主轴与应力主轴重合，各向同性弹性体体内任意一点的 应力和应变之间满足:

-C 31 'x C 32 'y

C

33 'z

；x

对匚x 的影响与；y 对；「y 以及；z 对匚z 的影响是相同的，即有Cn=C 22=C 33 ； ； y

和；Z 对J 的影响相同，即C l2=C l3，同理有C 21=C 23和C 31 =C 32等，则可统一写为:

Cn=C 22=C 33 =a

C

12

=

C

21

=

C

13

=

C

31

=

C

23

=

C

32

所以在主应变空间里，各向同性弹性体独立的弹性常数只有 2个。在任意的 坐标系中，同样可以证明弹性体独立的弹性参数只有 2个。 3. 弹性应变能密度函数

弹性体受外力作用后，不可避免地要产生变形，同时外力的势能也要产生变 化。根据热力学的观点，外力所做的功，一部分将转化为弹性体的动能，一部分 将转化为内能；同时，在物体变形过程中，它的温度也将发生变化，或者从外界 吸收热量，或者向外界发散热量。分析弹性体内任一有限部分刀的外力功和内能 的变化关系，设弹性体内取出部分 工的闭合表面为S,它所包围的体积为V 。以

(2-2)

(2-3)

(2-4)

SW表示外力由于微小位移增量在取出部分工上所作的功，SU表示在该微小变形过程中取出部分工的内能增量，SK表示动能增量，SQ表示热量的变化（表示为功的单位），根据热力学第一定律，则有

S W K + S U — S Q （2-5）假设弹性体的变形过程是绝热的，即假设在变形过程中系统没有热量的得失。再假设弹性体在外力作用下的变形过程是一个缓慢的过程，在这个过程中，荷载施加得足够慢，弹性体随时处于平衡状态，而且动能变化可以忽略不计（这样的加载过程称为准静态加载过程），则根据上式表示的热力学第一定律，外力在变形过程中所做的功将全部转化为内能储存在弹性体内部。这种贮存在弹性体

内部的能量是因变形而获得的，称之为弹性变形能或弹性应变能。由于弹性变形是一个没有能量耗散的可逆过程，所以，卸载后，弹性应变能将全部释放出来。

以X，丫，Z表示单位体积的外力，X，Y，Z表示作用在弹性体内取出部分工表面上单位面积的内力。对上述的准静态加载过程，认为弹性体在外力作用下始终处于平衡状态。外力所做的功 W包含两个部分：一部分是体力 X，丫，Z 所做的功W ;另一部分是面力X，Y，Z所做的功W2，它们分别为

W, =X j U j dV 二(Xu Yv Zw)dV (2-6)

V V

W2 =「XudS ^「(Xu Yv Zw)dS (2-7)

S "S

则:

W W2 = (Xu Yv Zw)dV [(Xu Yv Zw)dS (2-8)

V S

外力由于微小位移增量在取出部分工上所做的功「.W表示为:

W =、W、W2：III qdV [ Xn u i dS

V S(2-9)