应力应变状态分析
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第6章应力应变状态分析
300MPa
60
0
x y
2 200 200 sin 1200 300 cos 1200 323.2MPa 2
sin 2 xy cos 2
§ 6-2
平面应力状态分析
200MPa
2.求主应力和主方向
x 200MPa , y 200MPa , xy 300MPa
z , zx , zy
§ 6-1
基本概念
y
x
P
A
P
A
z
A
A
3
§ 6-1
基本概念
y
m
x
A
m
z
A
A
A
4
§ 6-1
基本概念
A l/2
F
y
C l
5 4 3 2 1
x
B
x
FS M
z
5
4 3 2
C左截面
1
5
2
1
1
2
2
x
2
3
x n D( , C O 2 O x
应力圆的半径
A(x ,xy)
两面夹角 且转向一致。
两半径夹角2 ；
B(y ,yx)
§ 6-2
平面应力状态分析
例题6-2-1：图示单元体，求：（1）指定斜截面上的应力； （2）主应力大小，并将主平面标在单元体图上。 解： 1.求斜截面的应力
7
§6-2 平面应力状态分析
y 一、解析法 1、斜截面上的应力 yz 已知 x , y , xy , ,求 和 yx xz y zx yx n zy xy x xy
工程力学-材料力学之应力应变状态分析
σ1
μσ2
σ3
0
2
1 E
σ2
σ1
σ3
0
z
y
y
z
x
x
12
(Analysis of stress-state and strain-state)
解得
σ1
σ2
(1 1 2
)
σ
3
铜块的主应力为
0.34(1 0.34) 1 - 0.342
二、各向同性材料的体积应变（The volumetric strain for isotropic materials)
构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变用θ表示.
各向同性材料在三向应力状态下的体应变
如图所示的单元体，三个边长为 a1 , a2 , a3 变形后的边长分别为
a1(1+，a2(1+2 ，a3(1+3
对于平面应力状态（In plane stress-state）
(假设 z = 0，xz= 0，yz= 0 )
y
1 εx E (σx μσ y )
εy
1 E
(σ y
μσx )
εz
μ E
(σ
y
σx)
z
xy
xy
G
y
yx xy
x
x
y yx xy x
6
(Analysis of stress-state and strain-state)
(Analysis of stress-state and strain-state)
工程力学7第七章应力状态和应变状态分析
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
0
x y
2
(
x y
2
)
2
2
2 x
y
y
y
2
090
0
x y
2
(
x y
2
2、为什么要研究一点的应力状态 单向应力状态和纯剪切应力状态的强度计算
σmax≤ [σ] τ
max≤[τ
]
梁截面上的任意点的强度如何计算？
分析材料破坏机理
F F F F T
T
3、怎么研究一点的应力状态
单元体
•各面上的应力均匀分布
• 相互平行的一对面上 应力大小相等、符号相同
满足：力的平衡条件 切应力互等定理
§7-2 平面应力状态分析
一、解析法:
1.任意斜面上的应力 y
y
y
y
y
n
y
x
a
x
e
d
x
x
x
bz
x
x
x
e
x
x
y
f
yy
x
x
b
c
y
y
y
f t
应力的符号规定同前 α角以从x轴正向逆时针 转到斜面的法线为正
(设ef的面积为dA)
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
第七章应力状态及应变状态分析
第七章 应力状态及应变状态分析第一节 概 述在第一章中将应力定义为内力的集度或单位面积的内力值。
应力又分正应力σ和剪应力τ两种。
前面各章的知识表明，受力杆件中任一点的应力是随截面位置及点的位置的不同而不同，如7-1（a ）中a 、b 两点分别在两个截面上，其应力是不同的。
同一截面上的各点，如图7-1（b ）中b 、c 两点的应力一般情况下也是不同的。
同一点不同方向的应力也是不同的。
过一点各个方向上的应力情况称为该点的应力状态．．．．，应力状态分析就是要研究杆件中某一点（特别是危险点）各个方向上的应力之间的关系，确定该点处的最大正应力和最大剪应力，为强度计算提供重要依据。
研究应力状态的方法是过杆件中的任一点取出一个微小的六面体——单元．．体．。
如图7-1（a ）中过a 点取出的单元体放大如图7-2所示。
单元体三个方向的边长很小且趋于零，则该单元体代表一点，即a 点，互相平行的平面上的正应力相等，剪应力也相等。
杆件在任意荷载作用下，从中所取出的单元体表面上一般既有正应为又有剪应力，如图7-2所示。
当图7-2所示的单元体各面上的,0,0,0,0,0,0======zy zx yx yz xz xy ττττττ 即六个面上均没有剪应力作用时，这种面叫做特殊平面，并定义为主平面．．．。
该主(a)(b)图7-1各点的应力情况平面上作用的正应力称为主应力．．．，用,,,321σσσ表示（,321σσσ≥≥），如图7-3所示。
各面均为主平面的单元体，称为主单元体．．．．。
三个主应力中若有两个等于零一个不等于零，该单元体称为单向应力状态．．．．．．，如图7-4（a ）；三个主应力中有一个等于零，两个不等于零，该单元体称为二向应．．．力状态．．．，如图7-4（b ）；三个主应力均不等于零，该单元体称为三向应力状态．．．．．．，如7-3。
单向应力状态和二向应力状态属平面应力状态，三向应力状态属空间应力状．．．．．态．。
应力应变分析
§10 应力应变分析及应力应变关系
§10.1 应力的概念 一点处的应力状态
1.内力在变形体内某一截面上分布的描述
用截面法求某一截面上的内力，得出该截面上的
内力分量：FN , FS ,T , M ——截面分布内力系向截
y
FR FN
面形心简化后的等效力系 x
FS
T
为正确描述变形，应在 该截面上的每一点，描
Pi
2
注意
同理，某点的三个主应力中，任意二个主 应力都可找出一组切应力极值，分别为：
主切应力
P1
2
2
3
P2
1
3
2
P3
1
2
2
该点单元体的最大切应力应为三者当中的最大者，即
max
1
2
3
2
2
（10.5）
2
1
1
1
3 P3所在平面
3 P1 所在平面
3 P2 所在平面
而最大切应力所在平面的法向应为1，3两方向 的角平分线方向。
求
1，
2，
，
3
max
y
80
解： z 50MPa 为一个主应力
x
在 x，y 平面内
z
50
80 2
80 2 2
1 90MPa
2 10MPa
3 50MPa
302
40 50
9010MPa
50
Dy
10
C
max
1 3
2
70MPa
30
90
Dx
§11.6 应变分析
1. 某点处（单元体的）变形的描述——应变
x y
2
x
§10.1 应力的概念 一点处的应力状态
1.内力在变形体内某一截面上分布的描述
用截面法求某一截面上的内力，得出该截面上的
内力分量：FN , FS ,T , M ——截面分布内力系向截
y
FR FN
面形心简化后的等效力系 x
FS
T
为正确描述变形，应在 该截面上的每一点，描
Pi
2
注意
同理，某点的三个主应力中，任意二个主 应力都可找出一组切应力极值，分别为：
主切应力
P1
2
2
3
P2
1
3
2
P3
1
2
2
该点单元体的最大切应力应为三者当中的最大者，即
max
1
2
3
2
2
（10.5）
2
1
1
1
3 P3所在平面
3 P1 所在平面
3 P2 所在平面
而最大切应力所在平面的法向应为1，3两方向 的角平分线方向。
求
1，
2，
，
3
max
y
80
解： z 50MPa 为一个主应力
x
在 x，y 平面内
z
50
80 2
80 2 2
1 90MPa
2 10MPa
3 50MPa
302
40 50
9010MPa
50
Dy
10
C
max
1 3
2
70MPa
30
90
Dx
§11.6 应变分析
1. 某点处（单元体的）变形的描述——应变
x y
2
x
应力与应变状态分析
ma x
min
x y 2
(x 2y)2x2 y ——主应力的大小
1 ; 2 ; 3 ; m ;am x;i0 n
最大正应力（σmax）与X轴的夹角规定用“α0 ” 表示。 简易判断规律：由τ的方向判断。
α0 α0
2、 τ的极值及所在平面
x 2ysi2n xy co 2s
d 0 d
tg21
3、三向应力状态：三向主应力都不等于零的应力状态。
平面应力状态：单向应力状态和二向应力状态的总称。 空间应力状态：三向应力状态 简单应力状态：单向应力状态。 复杂应力状态：二向应力状态和三向应力状态的总称。 纯剪切应力状态：单元体上只存在剪应力无正应力。
§8－2 平面应力状态分析——解析法
一、任意斜面上的应力计算
主应力排列规定：按代数值由大到小。 1 2 3
10 σ1=50 MPa ；
50
30 σ2=10 MPa ； σ3=-30 MPa 。
单位：MPa
10 σ1=10 MPa ；
30 σ2=0 MPa ； σ3=-30 MPa 。
8、画原始单元体： 例 ：画出下列图中的 a、b、c 点的已知单元体。
二、σ、τ的极值及所在平面（主应力，主平面）
1、 σ的极值及所在平面（主应力，主平面）
x 2 y x 2 yc2 o s xs y 2 i n d d 0 x 2 ys2 i n 0 xc y 2 o 0 s0 0 0
tg20
2xy x y
——主平面的位置
( 0;
0 0900 )
F
F a
x
a
x
x
F A
y b C
z
y b
C z
Ｍ F L
材料力学：第八章-应力应变状态分析
斜截面: // z 轴； 方位用 a 表示；应力为 sa , ta
正负符号规定:
切应力 t － 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
斜截面应力公式推导 设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相等，同时
sa+90 ,ta+90
E
sa+90 ,ta+90
结论: 所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用3
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
t
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
应力圆绘制 作D, E连线中垂线,与x轴相交即为应力圆圆心
tb sb
t
sa
O
C
ta
D
sa ,ta
t
s
E
sb ,tb
O
D
sa ,ta
C
s
E
sb ,tb
由|DC|=|CE|,可得sC值:
sC
s
2 β
+
t
2 β
s
2 α
+
t
2 α
2 sα sβ
点、面对应关系
转向相同, 转角加倍 互垂截面, 对应同一直径两端
应变状态
构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合, 称为该点处的 应变状态
研究方法
环绕研究点切取微体, 因微体边长趋于零, 微体趋于所研究 的点, 故通常通过微体, 研究一点处的应力与应变状态
正负符号规定:
切应力 t － 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
斜截面应力公式推导 设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相等，同时
sa+90 ,ta+90
E
sa+90 ,ta+90
结论: 所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用3
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
t
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
应力圆绘制 作D, E连线中垂线,与x轴相交即为应力圆圆心
tb sb
t
sa
O
C
ta
D
sa ,ta
t
s
E
sb ,tb
O
D
sa ,ta
C
s
E
sb ,tb
由|DC|=|CE|,可得sC值:
sC
s
2 β
+
t
2 β
s
2 α
+
t
2 α
2 sα sβ
点、面对应关系
转向相同, 转角加倍 互垂截面, 对应同一直径两端
应变状态
构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合, 称为该点处的 应变状态
研究方法
环绕研究点切取微体, 因微体边长趋于零, 微体趋于所研究 的点, 故通常通过微体, 研究一点处的应力与应变状态
第八章应力应变状态分析ppt课件
+tx
sin
2
+ + x + y 常量 2
2)t
-t
+
2
2.主应力
t
x x
+
2
-
2
y y
+
x
-
2
y
cos
2
-t
x
sin 2 +t x cos 2
sin
2
和t 都是的函数。利用上式便可确定正应力和
剪应力的极值
d d
-2
x
2
y
sin 2
+
t
x
cos 2
若
x - y
P
A B C D E
A
B
C
D
E
二.基本概念
主平面 剪应力为零的平面 主应力：主平面上的正应力 主方向： 主平面的法线方向
可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个 互相垂直的主平面。 三个主应力用σ1、 σ2 、 σ3 表示，按代数值大小 顺序排列，即 σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
应力状态的分类：
由
t
x x
+ y
2
- y
2
+
x
-
2
y
cos
2
-t
x
sin 2 +t x cos 2
sin
2
用完全相似的方法可确定剪应力的极值
dt d
( x - y ) cos2 - 2t x sin 2
若
1时，能使
dt d
0
( x - y ) cos21 - 2t x sin 21 0
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数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分 析。
三、研究应力状态的方法—单元体法
1.单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。
y z
Z z
应力与应变分析
tzy tzx
txy
tyx
tyz
txz
O
txy
x
tzy
tzx
x
txz tyz tyx
dz y
Y
dx
X O
y
x
dy z
2.单元体上的应力分量
- y )cos 2
+t x sin
2
+ + x + y 常量 2
2)t -t + 2
§8-3.主应力
和tt都是 xx -+22的函yy s+数in2。x-2利+ty用xcco上oss2式2便-t可x si确n 2定 正应力和
剪应力的极值
d d
-2 x
-
2
y
sin 2
+
t
x
cos
CL10TU8
二. 应力分析的解析法
（1）斜截面应力
y
y ty
n
tx
x
txx x
ty
y
n
x
tx
A
t Acos
ty
A sin
y
σ：拉应力为正
τ：顺时针转动为正
α：逆时针转动为正
2.斜面上的应力——微元体的平衡方程
平衡对象——用斜截
面截取的微元局部
参加平衡的量——应 力乘以其作用的面积
平衡方程
切向平衡
Ft 0
A
A cos
-t A + ( A cos) sin
At sin
x
+t ( A cos) cos
t
xy
-t ( A sin) sin
x
yx
t xy
- ( A sin) cos 0
t yx
t
( x
y
-
y )sin
cos
+t x (cos2
- sin
2)
y
注：三角公式
sin 2 2sin cos
x
-
y
2
2
+
t
2 x
1.莫尔(Mohr)圆
-
x
+ 2
y
2
+
t
2
x
- 2
y
2
+
t
2 x
t
圆心坐标为
x
+
2
y
，0
半径为
x
2
y
2
+t
2 x
2.应力圆的画法
y
t
t yx
D
t xy
2
若
x - y
2
0
时，能使
d d
0
sin 2 0 + t x cos2
0
0
该面上恰好切应力等于零t x 0
tan 2 0
-
2t x x -
y
0、0 + 900确定了两个正交平面，其中一个是最大
正应力作用面，另一个是最小正应力作用面。
max x + y
min
2
x
-
2
y
2
+t
②单元体各个面上的应力已知或可求；
③几种受力情况下截取单元体方法：
P
P
Me B
Me
A
A P/A
B tMe/Wn
a) 一对横截面，两对纵截面 P
Me
b) 横截面，周向面，直径面各一对
C Me
c) 同b)，但从 上表面截取
C
t
P A
B C
A
A
A
B
tB
tC
C
C
C
为什么要研究一点的应力状态？
t [t ]； [ ]？
Fn 0 ，
Ft 0
x
t
t xy A
t yx
y
法向的平衡
A
Fn 0
A cos
A sin
A
-
( A cos) cos
x
+t
x
xy(
A
cos) sin
+tyx ( A sin) cos
t xy
- ( A sin) sin 0
y
t n
t yx y
x cos2 + y sin 2 - 2t x sin cos
tan 2 1
x - 2t x
y
1、 1 + 90, 它们确定两个互相垂直的
平面，分别作用着最大和最小剪应力
t max
t min
x
-
2
y
2
+
t
2 x
由：
tan 2 0
- 2t x x -
y
tan 2 1
x - 2t x
y
tan 2 1
1 -
tan 2 0
-ctg 2 0
2 1 2 0 + 90 即 1 0 + 45
2 x
由于该面上午切应力，所以他们就是最大主应 力和最小主应力。
由
t
x x
+ y
2
- y
2
+
x
-
2
y
cos
2
-t
x
sin 2 +t x cos 2
sin
2
用完全相似的方法可确定剪应力的极值
dt d
( x
- y ) cos2 - 2t x sin 2
若
1时，能使
dt d
0
( x - y ) cos21 - 2t x sin 21 0
sin 2 1- cos 2
2
cos2 1+ cos 2
2
x
+ y
2
+x
- y
2
cos 2
-t x
sin 2
t
x
-
2
y
sin 2
+t x
cos 2
讨论：
1) + 2
1 2
( x
+
y)+
1 2
( x
- y )cos 2(
+
2
)
-t
x
sin
2(
+)
2
+
2
1 2
(
x
+ y) -
1 2
(
x
第 八章 应力应变状态分析
§8-1 引言
一.研究应力状态的意义
（1）同一点各个方向的应力不同； (2)相同的受力方式不同的破坏形式，如铸铁与 低碳钢的压缩破坏。
P
P
应力与应变分析
二、一点的应力状态
1.一点的应力状态：通过受力构件一点处各个不同截面
上的应力情况。
2.研究应力状态的目的：找出该点的最大正应力和剪应力
即：最大和最小剪应力所在平面与 主平面的夹角为45
§8-4 应力分析的图解法—应力圆
-x
+ y
2
x
- y
2
cos2
- t x sin 2
(1)
t
x
- y
2
sin 2
+ t x cos2
(2)
(1)2 + (2)2 , 得 (x - x0 )2 + ( y - y0 )2 R2
-x
+
y
2
2
+
t
2
应力与应变分析
（1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二 角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。
（2）面的方位用其法线方向表示
t yz t zy，t zx t xz，t xy t yx
3.截取原始单元体的方法、原则
①用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状 而定)在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体
低碳钢、铸铁试件受扭时的破坏现象。
低碳钢
铸铁
m
t
m
t
CL10TU2
P
A B C D E
A
B
C
D
E
二.基本概念
主平面 剪应力为零的平面 主应力：主平面上的正应力 主方向： 主平面的法线方向
可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个 互相垂直的主平面。 三个主应力用σ1、 σ2 、 σ3 表示，按代数值大小 顺序排列，即 σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
应力状态的分类：
单向应力状态：三个主应力中只有一个不等于零； 二向应力状态（平面应力状态）：两个主应力不等于零；
三向应力状态（空间应力状态）：三个主应力皆不等于零
二向和三向应力状态统称为复杂应力状态
§8-2 平面应力状态下的应力分析
一.应力单元体
y y
t yx t xy x
x
y
y ty tx
x x
三、研究应力状态的方法—单元体法
1.单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。
y z
Z z
应力与应变分析
tzy tzx
txy
tyx
tyz
txz
O
txy
x
tzy
tzx
x
txz tyz tyx
dz y
Y
dx
X O
y
x
dy z
2.单元体上的应力分量
- y )cos 2
+t x sin
2
+ + x + y 常量 2
2)t -t + 2
§8-3.主应力
和tt都是 xx -+22的函yy s+数in2。x-2利+ty用xcco上oss2式2便-t可x si确n 2定 正应力和
剪应力的极值
d d
-2 x
-
2
y
sin 2
+
t
x
cos
CL10TU8
二. 应力分析的解析法
（1）斜截面应力
y
y ty
n
tx
x
txx x
ty
y
n
x
tx
A
t Acos
ty
A sin
y
σ：拉应力为正
τ：顺时针转动为正
α：逆时针转动为正
2.斜面上的应力——微元体的平衡方程
平衡对象——用斜截
面截取的微元局部
参加平衡的量——应 力乘以其作用的面积
平衡方程
切向平衡
Ft 0
A
A cos
-t A + ( A cos) sin
At sin
x
+t ( A cos) cos
t
xy
-t ( A sin) sin
x
yx
t xy
- ( A sin) cos 0
t yx
t
( x
y
-
y )sin
cos
+t x (cos2
- sin
2)
y
注：三角公式
sin 2 2sin cos
x
-
y
2
2
+
t
2 x
1.莫尔(Mohr)圆
-
x
+ 2
y
2
+
t
2
x
- 2
y
2
+
t
2 x
t
圆心坐标为
x
+
2
y
，0
半径为
x
2
y
2
+t
2 x
2.应力圆的画法
y
t
t yx
D
t xy
2
若
x - y
2
0
时，能使
d d
0
sin 2 0 + t x cos2
0
0
该面上恰好切应力等于零t x 0
tan 2 0
-
2t x x -
y
0、0 + 900确定了两个正交平面，其中一个是最大
正应力作用面，另一个是最小正应力作用面。
max x + y
min
2
x
-
2
y
2
+t
②单元体各个面上的应力已知或可求；
③几种受力情况下截取单元体方法：
P
P
Me B
Me
A
A P/A
B tMe/Wn
a) 一对横截面，两对纵截面 P
Me
b) 横截面，周向面，直径面各一对
C Me
c) 同b)，但从 上表面截取
C
t
P A
B C
A
A
A
B
tB
tC
C
C
C
为什么要研究一点的应力状态？
t [t ]； [ ]？
Fn 0 ，
Ft 0
x
t
t xy A
t yx
y
法向的平衡
A
Fn 0
A cos
A sin
A
-
( A cos) cos
x
+t
x
xy(
A
cos) sin
+tyx ( A sin) cos
t xy
- ( A sin) sin 0
y
t n
t yx y
x cos2 + y sin 2 - 2t x sin cos
tan 2 1
x - 2t x
y
1、 1 + 90, 它们确定两个互相垂直的
平面，分别作用着最大和最小剪应力
t max
t min
x
-
2
y
2
+
t
2 x
由：
tan 2 0
- 2t x x -
y
tan 2 1
x - 2t x
y
tan 2 1
1 -
tan 2 0
-ctg 2 0
2 1 2 0 + 90 即 1 0 + 45
2 x
由于该面上午切应力，所以他们就是最大主应 力和最小主应力。
由
t
x x
+ y
2
- y
2
+
x
-
2
y
cos
2
-t
x
sin 2 +t x cos 2
sin
2
用完全相似的方法可确定剪应力的极值
dt d
( x
- y ) cos2 - 2t x sin 2
若
1时，能使
dt d
0
( x - y ) cos21 - 2t x sin 21 0
sin 2 1- cos 2
2
cos2 1+ cos 2
2
x
+ y
2
+x
- y
2
cos 2
-t x
sin 2
t
x
-
2
y
sin 2
+t x
cos 2
讨论：
1) + 2
1 2
( x
+
y)+
1 2
( x
- y )cos 2(
+
2
)
-t
x
sin
2(
+)
2
+
2
1 2
(
x
+ y) -
1 2
(
x
第 八章 应力应变状态分析
§8-1 引言
一.研究应力状态的意义
（1）同一点各个方向的应力不同； (2)相同的受力方式不同的破坏形式，如铸铁与 低碳钢的压缩破坏。
P
P
应力与应变分析
二、一点的应力状态
1.一点的应力状态：通过受力构件一点处各个不同截面
上的应力情况。
2.研究应力状态的目的：找出该点的最大正应力和剪应力
即：最大和最小剪应力所在平面与 主平面的夹角为45
§8-4 应力分析的图解法—应力圆
-x
+ y
2
x
- y
2
cos2
- t x sin 2
(1)
t
x
- y
2
sin 2
+ t x cos2
(2)
(1)2 + (2)2 , 得 (x - x0 )2 + ( y - y0 )2 R2
-x
+
y
2
2
+
t
2
应力与应变分析
（1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二 角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。
（2）面的方位用其法线方向表示
t yz t zy，t zx t xz，t xy t yx
3.截取原始单元体的方法、原则
①用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状 而定)在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体
低碳钢、铸铁试件受扭时的破坏现象。
低碳钢
铸铁
m
t
m
t
CL10TU2
P
A B C D E
A
B
C
D
E
二.基本概念
主平面 剪应力为零的平面 主应力：主平面上的正应力 主方向： 主平面的法线方向
可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个 互相垂直的主平面。 三个主应力用σ1、 σ2 、 σ3 表示，按代数值大小 顺序排列，即 σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
应力状态的分类：
单向应力状态：三个主应力中只有一个不等于零； 二向应力状态（平面应力状态）：两个主应力不等于零；
三向应力状态（空间应力状态）：三个主应力皆不等于零
二向和三向应力状态统称为复杂应力状态
§8-2 平面应力状态下的应力分析
一.应力单元体
y y
t yx t xy x
x
y
y ty tx
x x