应力和应变分析强度理论
13应力应变分析及强度理论
15 . 5 90 105 . 5 0
x y
15 . 5 主应力 1 方向： 0
主应力
3
105 .5 方向： 0
18
（3）主单元体：
y
xy
3
1
15.5
x
19
13-5空间应力状态
代表单元体任意斜截面上应力 的点，必定在三个应力圆 圆周上或圆内。
纯剪切应力状态下： u=τ 2/2G
复杂应力状态下：
u= σ1ε1/2+ σ2ε2/ 2 + σ3ε3/ 2
= [σ12+ σ22+ σ32-2μ（σ1σ2+σ2σ3 +σ3σ1）] /2E
三、体积改变比能和形状改变比能
单元体的变形表现为 体积的改变和形状的改变，其变形 能和比能也由以下这两部分组成：
σ
3
σ1
σ2
σ2
σ
σ1
3
8
13-2 平面应力状态分析-解析法
一个微分六面体可以简化为平面单元体
9
1.斜截面上的应力
y
x
yx
a
xy
x
α
a
n
dA
x
y
a
xy
yx
F 0
n
t
y
F 0
t
10
1 1 ( ) ( ) cos 2 sin 2 x y x y xy 2 2
33
（2）最大伸长线应变理论（第二强度理论）脆性断裂 最大伸长线应变是引起材料断裂破坏的主要因 观点： 素，即认为无论是单向或复杂应力状态， 1 是
材料力学应力和应变分析强度理论
§7–5 广义虎克定律
y
一、单拉下旳应力--应变关系
x
x
E
y
E
x
ij 0 (i,j x,y,z)
二、纯剪旳应力--应变关系
z
E
x
z
y
xy
xy
G
i 0 (i x,y,z)
z
yz zx 0
x
x
xy
x
三、复杂状态下旳应力 --- 应变关系
y
y
x
y x
z
xy
z
x
依叠加原理,得:
x
1
(MPa)
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
45 25 3
95
60°
i j
x
2
y
（
x
2
y
）2
2 xy
y
1
25 3 y 45MPa
° 5
0
Ox
6095MPa 6025 3MPa
yx 25 3MPa xy
x ?
x
y
2
sin 2
xy cos 2
25 3 x 45 sin 120o 25 3 cos120o
y
z
z
y
证明: 单元体平衡 M z 0
xy x
x
( xydydz)dx( yxdzdx)dy0
xy yx
五、取单元体： 例1 画出下图中旳A、B、C点旳已知单元体。
F
A
y
F x
x
A
B
C z
x B x
zx
xz
F
Mex
yx
C
xy
FP
9第九章 应力、应变分析、强度理论123
第九章 应力、应变分析、强度理论一、是非题9-1、单元体最大正应力面上的剪应力恒等于零。
（ ）9-2、单元体最大剪应力面上的正应力恒等于零。
（ ）9-3、依照剪应力互等定理，一单元体中两个平面上的剪应力数值相等，符号相反，则这两平面必定相互垂直。
（ ）9-4、 只要构件横截面上的轴力N=0，则该横截面正应力处处为零。
（ ）9-5、 梁受横力弯曲时，其横截面上各点处的主应力必定是σ1≥0，σ3≤0。
（ ）9-6、 等截面圆杆受纯扭转时，杆内任一点处只有剪应力，而无正应力。
（ ）9-7、若受力构件中一点处，某方向上的线应变为零，则该方向上的正应力必为零。
（ ）9-8、若受力钢质构件中的一点处，某相互垂直方向的剪应变为零，则该方向上的剪应力必为零。
（ ） 9-9、若各向同性材料单元体的三个正应力σx >σy >σz ，则对应的三个线应变也有εx >εy >εz 。
（ ） 9-10、 各向同性单元体的三个主应变为ε1≠0，ε2≠0，ε3=0，若（1）、当ε1>0，则必有σ1>0；（ ）（2）、当ε1>ε2，则必有σ1>σ2；（ ）（3）、当ε1>ε2>0，则()()21max 12εεμτ-+=E 。
（ ） 9-11、各向同性材料在三向均匀压缩或拉伸时，其形状改变比能恒等于零。
（ ）二、选择题9-12、单元体应力状态如图9-1所示，由x 轴至σ1方向的夹角为（ ）。
A 、＋13.5°；B 、－76.5°；C 、＋76.5°；D 、－13.5°。
9-13、 若已知σ1=5MP a ，则另一个主应力为（ ）。
A 、σ2=－85MP a ；B 、σ3=－85MP a ；C 、σ2=75MP a ；D 、σ3=－75MP a 。
9-14、 三种应力状态分别如图9-2a 、b 、c 所示，则三者间的关系为（ ）。
A 、完全等价；B 、完全不等价；C 、（b ）和（c ）等价；D 、（a ）和（c ）等价。
第七章 应力状态、应变分析和强度理论
§7-3 平面应力状态分析－－解析法
二、 正应力极值
1 1 ( x y ) ( x y ) cos 2 xy sin 2 2 2 d ( x y ) sin 2 2 xy cos 2 d
设α＝α0 时，上式值为零，即
2
1 0, 2 0, 3 0
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念
3、三向（空间）应力状态 三个主应力1 、2 、3 均不等于零
2 1
3 1
3 2
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念
仅在微体四侧面作用应力，且 应力作用线均平行于微体的不 受力表面－平面应力状态
1
1
1
1
3
3
1 0, 2 0, 3 0
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念 2、二向（平面）应力状态 三个主应力1 、2 、3 中有两个不等于零
3 2 3 2
3
2
1
3
1
1
1
1 0, 2 0, 3 0
Ft 0
dA ( x dAcos )cos ( x dAcos )sin ( y dAsin )sin ( y dAsin )cos 0
§7-3 平面应力状态分析－－解析法
一、任意斜截面上的应力公式 已知： x , y , x , y , dA 求： ，
sin 2 xy cos 2
2 xy 2 ( 50) tan 2 0 1 x y 40 60 2 0 45 135
y =60 MPa xy = -50MPa =-30°
应力应变分析与强度理论
ax in
m
ax
2
m in
极值切应力等于极值正应力差的一半。
材料力学电子教案 C 机械工业出版社
§7.2 平面应力状态分析的解析法
三、极值切应力和主平面夹角
注意到 则 所以
tan
2 0
2 xy x
y
tan
21
x 2 xy
y
tan
20
第7章 应力应变分析与强度理论
§7.1 应力状态的概念 §7.2 平面应力状态分析的解析法 §7.3 平面应力状态分析的图解法 §7.4 三向应力状态简介 §7.5 平面应力状态的应变分析 §7.6 广义胡克定律 §7.7 强度理论概述 §7.8 四个常用的强度理论 §7.9 莫尔强度理论
材料力学电子教案 C 机械工业出版社
7.2.3 极值切应力及其作用面 一、极值切应力方位角
d 0 d
( x y ) cos 2 2 xy sin 2 0
得
tan
21
x 2 xy
y
二、最大、最小切应力
m m
ax in
x
2
y
2
2 xy
m m
主应力通常用1、 2 和 3 表示，它们的顺序按代 数值大小排列，即 1 2 3 。
材料力学电子教案 C 机械工业出版社
§7.1 应力状态的概念
7.1.4 应力状态的分类 1. 单向应力状态 (简单应力状态 ) 三个主应力中，只有一个不等于零 2. 二向应力状态 (复杂应力状态 ) 有两个应力不等于零 3. 三向应力状态 (复杂应力状态 ) 三个主应力都不等于零
应力分析和强度理论
要点二
详细描述
在机械工程领域，应力分析用于研究 机械零件和结构在各种工况下的受力 情况，以及由此产生的内部应力分布 。强度理论则用于评估这些应力是否 在材料的承受范围内，以确定结构是 否安全可靠。
要点三
应用举例
在机械设计中，通过对发动机、传动 系统、轴承等关键部件进行应力分析 ，可以优化设计，提高其承载能力和 可靠性。
该理论认为最大拉应力是导致材料破坏的 主要因素，当最大拉应力达到材料的极限 抗拉强度时，材料发生断裂。
第二强度理论
总结词
最大剪应力理论
详细描述
该理论认为最大剪应力是导致材料破坏的主 要因素，当最大剪应力达到材料的极限抗剪 强度时，材料发生断裂。
第三强度理论
总结词
最大应变能密度理论
详细描述
该理论认为最大应变能密度是导致材料破坏 的主要因素，当最大应变能密度达到材料的
应力分析
目录
• 应力分析概述 • 应力分析方法 • 材料力学中的应力分析 • 强度理论 • 实际应用中的应力分析与强度理
论
01
应力分析概述
定义与目的
定义
应力分析是研究物体在受力状态下应 力分布、大小和方向的一种方法。
目的
评估物体的强度、刚度、稳定性以及 预测可能的破坏模式，为结构设计提 供依据。
平衡方程
根据力的平衡原理，物体内部的应力分布满足平衡方程。
应变与应力的关系
通过材料的力学性能试验，可以得到应变与应力的关系，即应力-应变曲线。
弹性力学基本方程
根据弹性力学的基本原理，建立物体内部的应力、应变和位移之间的关系。
02
应力分析方法
有限元法
总结词
有限元法是一种广泛应用于解决复杂工程问题的数值分析方法。
应力和应变分析和强度
泊松比
总结词
泊松比是描述材料横向变形与纵向变形之间关系的物理量。
详细描述
当材料受到外力作用时，会发生形变。泊松比是表示材料在受到外力作用时，横向变形与纵向变形之间的比例关 系。其值通常在-0.5到0.5之间，但不同材料的泊松比可能会有所不同。
屈服强度
总结词
屈服强度是描述材料在受到外力作用时开始发生屈服现象的应力极限。
应力和应变分析和强度
目录
• 应力分析 • 应变分析 • 强度分析 • 材料性能 • 应力和应变的关系 • 工程应用
01
应力分析
定义与概念
01
02
03
应力
物体受到外力作用时，单 位面积上的内力。
应变
物体在外力作用下发生的 形状和尺寸的改变。
应力分析
通过数学模型和实验手段， 研究物体在受力状态下的 应力分布、大小和方向的 过程。
应力分类
正弯曲应力
由于弯曲产生的应力。
扭曲应力
由于扭曲产生的应力。
应力计算方法
解析法
通过数学公式和物理定律，计算应力 的方法。
有限元法
将物体离散化为有限个小的单元，通 过求解每个单元的应力，再组合得到 整体的应力分布。
实验法
通过实验手段测量物体的应力分布。
应变计算方法
有限元分析法
有限元分析是一种数值计算方法，通过将物体离散化为有限个小的单元，对每个 单元进行受力分析和形变计算，再通过单元的集合来模拟整个物体的形变。这种 方法可以处理复杂的几何形状和边界条件，广泛应用于工程领域。
实验测量法
通过在物体上粘贴应变片或使用激光干涉仪等设备来测量物体的形变，这种方法 可以直接获得物体的应变值，但需要专业的设备和操作技能。
工程力学四大强度理论的基本内容
工程力学中四大强度理论的基本内容一、四大强度理论基本内容介绍：1、最大拉应力理论（第一强度理论）：这一理论认为引起材料脆性断裂破坏的因素是最大拉应力，无论什么应力状态，只要构件内一点处的最大拉应力σ1达到单向应力状态下的极限应力σb，材料就要发生脆性断裂。
于是危险点处于复杂应力状态的构件发生脆性断裂破坏的条件是：σ1=σb。
σb/s=[σ] ，所以按第一强度理论建立的强度条件为：σ1≤[σ]。
2、最大伸长线应变理论（第二强度理论）：这一理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素，无论什么应力状态，只要最大伸长线应变ε1达到单向应力状态下的极限值εu，材料就要发生脆性断裂破坏。
εu=σb/E；ε1=σb/E。
由广义虎克定律得：ε1=[σ1-u(σ2+σ3)]/E 所以σ1-u(σ2+σ3)=σb。
按第二强度理论建立的强度条件为：σ1-u(σ2+σ3)≤[σ]。
3、最大切应力理论（第三强度理论）：这一理论认为最大切应力是引起屈服的主要因素，无论什么应力状态，只要最大切应力τmax达到单向应力状态下的极限切应力τ0，材料就要发生屈服破坏。
依轴向拉伸斜截面上的应力公式可知τ0=σs/2（σs——横截面上的正应力）由公式得：τmax=τ1s=（σ1-σ3）/2。
所以破坏条件改写为σ1-σ3=σs。
按第三强度理论的强度条件为：σ1-σ3≤[σ]。
4、形状改变比能理论（第四强度理论）：这一理论认为形状改变比能是引起材料屈服破坏的主要因素，无论什么应力状态，只要构件内一点处的形状改变比能达到单向应力状态下的极限值，材料就要发生屈服破坏。
二、四大强度理论适用的范围1、各种强度理论的适用范围及其应用（1）、第一理论的应用和局限应用：材料无裂纹脆性断裂失效形势（脆性材料二向或三向受拉状态；最大压应力值不超过最大拉应力值或超过不多）。
局限：没考虑σ2、σ3对材料的破坏影响，对无拉应力的应力状态无法应用。
（2）、第二理论的应用和局限应用：脆性材料的二向应力状态且压应力很大的情况。
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2. 圆球形容器的壁厚为δ，内径为D，内压为p， 求容器内任意一点的应力。
ｐ
注：薄壁圆球受力均匀，因此，任意点的 应力状态均相同。
材料力学
1.求水平方向上的正应力σx
ｐ
材料力学
x
F内 x (pD )
x
ｐ
pD F外 p 4
2
F
材料力学
x
0
pD x 4
一.符号规定
1.正应力正负号规定
x
x
x
材料力学
x
压为负
拉为正
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
2.切应力正负号规定
xy
yx
材料力学
使微元或其 局部顺时针方向
转动为正；反之
为负。
注意：切应力角标的含义及切应力互等定理
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
（1）斜面上的应力
40
30 MPa
x y x y cos 2 xy sin2 2 2
60 40 60 40 cos(60 ) 30 sin(60 ) 2 2
60 MPa
9.02MPa
x y
2 60 40 sin(60 ) 30 cos(60 ) 2 sin 2 xy cos 2
和主平面。（举例说明如下）
材料力学
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
二向应力状态下，单元体各面上应力分量 皆为已知，如下图所示：
y
e
yx
x
xy
x
y
f 求垂直于xy平面的任意斜截面ef上的应力 及主应力和主平面 材料力学
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
L
ｐ
注：薄壁圆筒受力均匀，因此，任意点的应力状 态均相同。
材料力学
1.求水平方向上的正应力σx
材料力学
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态实例
x
x (p D)
x
ｐ
ｐπD２ ４
F
x
0
pD x (pD ) p 4
2
x
材料力学
pD 4
2.求竖直方向上的正应力σy
2
x y
2
cos 2 xy sin 2
得：
max x y
min
2
x y 2 2 ( ) xy 2
注意：
如σx 的代数值大于等于σy，则绝对 值较小的αo确定σmax所在的平面。
材料力学
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
总结：
y
x
薄壁圆筒的三个主应力为：
pD pD 2 x 1 y 4 2
3 z 0
材料力学
薄壁圆筒为两向应力状态
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态实例
注意事项
1.注意单位配套使用； 2.轴向正应力是横向正应力的两倍； 3.按规定排列正应力。
材料力学
课本215页例7.1
四.求切应力的极值（要求低） 思路：
x y
2 sin 2 xy cos 2
d 0 d
1
1 0 p
4
min , max
结论：
最大和最小切应力所在平面与主平面夹角为45°。
材料力学
巩固练习
材料力学
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
巩固练习
材料力学
1.过受力构件内一点，取截面的不同方位，
这一点在各个面上的（）。
（A）正应力相同，切应力不同； （B）正应力不同，切应力相同； （C）正应力和切应力都相同；
（D）正应力和切应力都不同。
材料力学
2.关于单元体的描述，下列正确的是
（A）单元体的三维尺寸必须是微小的；
（B）单元体是平行六面体；
用单元体的应力状态代替一点的应力状态。
材料力学
应力和应变分析 强度理论/应力状态概述
★同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式：
y
y
yx
y''
xy
x
x
yp
x''
xp
x-y坐标系
xp-yp坐标系
对比后者应力状态与前者有何不同。
材料力学
应力和应变分析 强度理论/应力状态概述
主平面：
力和主平面，并绘出主应力单元体。 分析：
40
30 MPa 60 MPa
x 60MPa
y 40MPa
xy 30MPa
详解同上题，略
材料力学
练习三：试求图示单元体的主应力（分析思路）。
材料力学
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态实例
ｐ×Ｄ×ｌ
F
y
y
0
y (2 l ) p(D l )
y
ｐ
y (2 l )
pD y 2
材料力学
3.求垂直于纸面方向上的正应力σz
薄壁圆筒与纸面垂直方向上的σz为零.
材料力学
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态实例
轴向拉压: F
F
对比同一点在不同截面上的应力是否相同？
即使同一点在不同方位的截面上，它的应力
也是各不相同的，此即应力的面的概念。
材料力学
应力和应变分析 强度理论/应力状态概述
2. 应力的点的概念
M
FS
横力弯曲时矩形截面上正应力和切应力分布图 对比同一个面上不同点的应力是否相同？
同一面上不同点的应力各不相同， 此即应力的点的概念。
60 MPa
48.3MPa
1 68.3 MPa, 2 0, 3 48.3 MPa
材料力学
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
tan 2 0
Hale Waihona Puke 2 xy x y
αo=15.48°或αo=105.48°
（3）绘制主应力单元体
根据主平面角度和主应力大小绘图 αo=15.48°或αo=105.48°
将两个角度αo均带入公式
得：
x y
2
sin 2 xy cos 2
o 0
可见：
1.α o对应的两个平面为主平面；
2.最大和最小正应力即为主应力。
材料力学
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
将两个角度αo均带入公式求得两个主应力
x y
（C）单元体必须是正方体； （D）单元体必须有一对横截面。
材料力学
3.对于图示承受轴向拉伸的锥形杆上的A点， 哪一种应力状态是正确的。 A
yx
x
xy yx
yx y
xy
x
x
x
材料力学
4.在单元体的主平面上（）。
（A）正应力一定最大； （B）正应力一定为零； （C）切应力一定最小； （D）切应力一定为零。
练习一：一点处的平面应力状态如图所示。
30 x 60MPa xy 30MPa y 40MPa
试求（1） 斜面上的应力；（2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
40
30 MPa
60 MPa
材料力学
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
x
e
yx
e
xy
f
x
x xy
yx
y
a
f
y
材料力学
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
dA· t cos
微元局部列平衡
n
e
x xy
yx
dA f a
参加平衡的量：
应力乘以其作用的面积
sin y dA·
平衡方程——
材料力学
tan 2 0
材料力学
2 xy
x y
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
tan 2 0
2 xy
分析：
x y
可求出相差90度的两个角度αo 确定两个相互垂直的平面 分别为最大、最小正应力所在平面
材料力学
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
3.角正负号规定 由x逆时针
y
n
x
转到n为正；
反之为负。
材料力学
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
二.已知如图，求任意斜截面ef上的应力
y
x
e
yx
需利用：
xy
截面法
y
f
x
材料力学
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
截面法求ef斜截面上的应力 y
材料力学
应力和应变分析 强度理论/应力状态概述
3. 应力状态的概念
应 力
指明
哪一个面上？ 哪一点？ 哪一点？ 哪个方向面？
过一点不同方向面上所有应力的集合， 称之为这一点的应力状态。
材料力学
应力和应变分析 强度理论/应力状态概述
二.主平面和主应力
• 围绕一点取出单元体
dx , dy , dz 0
2.求竖直方向上的正应力σy
ｐ
材料力学
ｐ
y y
由球体形态的特殊对称性，得
材料力学
pD y x 4