应力与应变状态分析

出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因， 建立适当的强度条件。
4、研究方法：取单元体。
单元体的概念：构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小 的几何体，常用的是正六面体。
单元体上应力的性质：每个面上的应力均布，每对相平行面上的 应力大小、性质完全相同。
σα
FP
A FP
x A x
A τα
5、主平面：剪应力等于零的面。 6、主应力：主平面上的应力（正应力）。 7、主单元体：由主平面组成的单元体。
ma x
min
x 2
y
(x 2y)2x2 y——主应力的大小
1 ; 2 ; 3 ; m ;am x;i0 n
最大正应力（σmax）与X轴的夹角规定用“α0 ” 表示。 简易判断规律：由τ的方向判断。
Fra Baidu bibliotek
α0 α0
2、 τ的极值及所在平面
x 2ysi2 n xc y o2s
d d
0
t
g21
x y 2xy
——最大剪应力 所在的位置
(1;
1 1900 )
max
min
(x 2y)2xy2
——xy面内的最大剪应力
m
m
ax
in
1
3
2
——整个单元体内的最大剪应力
最大剪应力与X轴的夹角规定为“α1”
tg20tg211
(10450)
例：如图所示单元体，求主应力及主平面。
解：1、主应力
σ3
xy
ma x
第八章 应力与应变状态分析
§8—1 应力状态概述 §8－2 平面应力状态分析——解析法 §8－3 平面应力状态分析——图解法 §8－4 梁的主应力及其主应力迹线 §8－5 三向应力状态研究 §8－6 平面应力状态下的应变分析 §8－7 复杂应力状态下的应力 -- 应变关系 §8－8 复杂应力状态下的变形比能
min
x y 2
(x 2y)2x2 y
450
σ1
yx
0 0x2yxy
1x;y 20 ;3 x.y
20
30 单位：MPa σ1 、σ2、σ3 ？
2、主平面
tg20
2xy x y
2xy
0
0 450;
例：如图所示单元体，求α斜面的应力及主应力、主平面。
60
解：1、 α斜面的应力
50 40
x 2 y x 2 yc2 o sxs y 2 i n
3、三向应力状态：三向主应力都不等于零的应力状态。
平面应力状态：单向应力状态和二向应力状态的总称。 空间应力状态：三向应力状态 简单应力状态：单向应力状态。 复杂应力状态：二向应力状态和三向应力状态的总称。 纯剪切应力状态：单元体上只存在剪应力无正应力。
§8－2 平面应力状态分析——解析法
一、任意斜面上的应力计算
小结
§8—1 应力状态概述
一、基本概念：
m a x ; m a x
F 铸铁拉伸
F 铸铁压缩
F 铸铁与低碳钢的拉、压、扭 试验现象是怎样产生的？
Ｍ
低碳钢 铸铁
组合变形杆将怎样破坏？
σmax ？ τmax ？
F Ｍ
1、应力状态：构件内任意一点处取一单元体，单元体上的应力。 2、一点处应力状态：构件内通过一点各个方向的应力的总称。 3、研究的目的：找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定
对上述方程消参（2），得：
x 2y 2 2 x 2y 2x 2y——应力圆方程（莫尔圆）
圆心：
(
x
y
,0)
2
半径： R
(xy
2
)2
xy2
二、应力圆的绘制：
1、取直角坐标系σοτ。
2、取比例尺（严格按比例做图）。
F
F a
x
a
x
x
F A
y b C
z
y b
C z
Ｍ F L
b xz
zx
x
M
WT
yx
C xy
x b x
C
σx
x
x
FL WZ
y
b
Ｍ
x
c
x
z
Ｍ0
二、应力状态的分类：
yx
b
zx
xz x
C xy
x
M0 WZ
M WT
1、单向应力状态：只有一个主应力不等于零，另两个主应力 都等于零的应力状态。
2、二向应力状态：有两个主应力不等于零 ，另一个主应力 等于零的应力状态。
主应力排列规定：按代数值由大到小。 1 2 3
10 σ1=50 MPa ；
50
30 σ2=10 MPa ； σ3=-30 MPa 。
单位：MPa
10 σ1=10 MPa ；
30 σ2=0 MPa ； σ3=-30 MPa 。
8、画原始单元体： 例 ：画出下列图中的 a、b、c 点的已知单元体。
二、σ、τ的极值及所在平面（主应力，主平面）
1、 σ的极值及所在平面（主应力，主平面）
x 2 y x 2 yc2 o sxs y 2 i n d d 0 x 2 ys2 i n 0 xc y o 2 0s 0 0 0
tg20
2xy x y
——主平面的位置
( 0;
0 0900 )
300
40604060cos6( 00)
2
2
（单位：MPa）
(50)sin(600)58.3(MP)a
x 2ysi2 n xc y o 2s
4060sin6(00)(5)0cos6(00) 2
1.83(MP ) a
2、主应力、主平面
ma x
min
x y( 2
x 2
y)2x2 y
42 0 6 0(42 0 6)2 0 ( 5)2 0 8 6..7 7 0 0 ( (M M) )P Pa a
考虑剪应力互等和三角变换，得：
x 2 y x 2 yc2 o sxs y 2 i n
x 2ysi2 n xc y o2s
——任意α斜面应力的计算公式
规律： 900xy
注意：用公式计算时代入相应的正负号
符号规定：、“”正负号同“”； 、 “正负号同“ ；
、 “为斜面的外法线与 轴正向的夹角， 逆时针为正，顺时针为负。
等价
y x
xy
y
x
n
xy
t
图1
设：斜截面面积为ｄA，由分离体平衡得：
F n0;
d A (xdcAo )c so s(xd y cAo )ssin (ydsA in )sin (yd x sA in )co s0
Ft 0
dA(xdA cos)sin(xydA cos)cos (ydA sin)cos(yxdA sin)sin0
σ1=80.7（MPa）；σ2=0；σ3=-60.7（MPa）。
tg20
2xy x y
2 ( 50 ) 40 60
1
0 67.50
60 50
σ1
60
α0
50
40
σ1；σ2；σ3？
90
40
σ3
（单位：MPa）
§8－3 平面应力状态分析——图解法
一、基本原理：
xx 2 2yysin2 x 2yxcycoo2s2sxysin2