材料力学应力应变分析习题解答

2）主应力，由以下公式可得：
σ max σ min
=
σx + σy 2
σx − σy + τ2 σ ± x 2 max
2
σ min
= ± τ = 30 MPa −30
显然，主应力方向沿着对角线方向。 3）绘出主平面位置及主应力方向 如右图所示：
σ min
σ max
习题解答
O 再从应力圆上量得 2α 0 = 22.6 如图中（a）所示。
O ，故 α 0 = 11.3 ，主应变
ε1 的方向
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6、已知图示单元体材料的弹性常数 E = 200GPa , υ = 0.3 y 30MPa 试求该单元体的形状改变比能 解：要想求单元体的形状改变比能，必须先求出 该单元体的三个主应力，由右图可知 σ z = 50 70MPa 为该单元体的一主应力，于是可只计算垂直于z轴的 平面上的主应力。由平面应力公式可得
30 30
60
o
30
30
解：1）由以下应力公式 可得
οx +οy οx −οy οα = + cos α−τx sin2α 2 2 2 οx −οy τα = sin2α+τx cos α 2 2
习题解答
ο60o = −30×sin( ×60o )o ) =15 2
σ max σ min
=
σx + σy 2
σx − σy + τ2 ± x 2
2 2
z
40MPa 50MPa
x
70 + 30 70 − 30 2 94.72 = ± + 40 = 5.28 MPa 2 2
习题解答
根据大小来确定主应力的次序如下：
o
ε 0o = 700 × 10 −6 , ε 45o = 350 ×10 −6 , ε 90o = −500 ×10 −6
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ε2
y
ε1
ε 90o
ε 45o
C
ε1
D2
O
O1
(a )
ε 0o
x
L c ε 90o
2α 0
D1
ε
o 45o 45
γ 2
ε 45o B ε 0o
(b )
La
Lb
ε1 = 750 ×10 −6 , ε 2 = −550 ×10−6
[
]
应力应变分析习题解答
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1、试从图示各构件中A点处取出单元体，并表明单元 体各面上的应力
A
m2
m1
m1 = 39.3N ⋅ m m 2 = 78.6 N ⋅ m
解：该构件在A点处受弯矩和扭矩作用产生拉应力和剪应力， 分别计算如下： 在A处受到的拉应力最大，即 m m 39.3 σ = 1 = 13 = = 50MPa 3 π × (0.02) W πD 32 32
σ1 = 94.72MPa , σ 2 = 50MPa , σ3 = 5.28MPa
于是该单元体的形状改变比能为：
1+ µ uf = (σ1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 −σ 3 ) 2 + (σ3 − σ1 ) 2 6E (1 + 0.3)×106 [(94.72 − 50) 2 + (50 − 5.28) 2 + (5.28 − 94.72) 2 ] = 6 × 200 × 103 = 12.99 × 103 N ⋅ m / m 3
σx − σy + τ2 = ± x 2 2 = ±50MPa
2
σx + σy
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根据大小来确定主应力的次序如下：
σ1 = 50MPa , σ 2 = −50MPa , σ3 = −80MPa , τ max = 65MPa
5、用45 应变花测得构件表面上一点处三个方向的线应变分别为 试作应力圆，求该点处的主应变数值和方向。 ε 解:选比例尺如图b所示。绘出纵坐标轴，并根据已知的ε 0o 、 45o o 和 ε 90值分别作出平行于该轴的直线 L a、L b和 L c 。过 L b线上的 o 任一点B，作与 L b 线成 45 角（顺时针转向）的BA线，交 L a 线于 A点；作与 L b 线成 45o 角（逆时针转向）的BC线，交L c 线于C点。 作BA与BC两线的垂直等分线，相交于 O1 点。过 O1点作横坐标轴 即 ε 轴，并以 O1A 为半径作圆，按上述比例尺量取应变圆与ε 轴 D 的交点 D1 、 2 的横坐标，即得
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在A处受到的剪应力为：
τ= m2 m 78.6 = 13 = = 50MPa 3 π × (0.02) 2 W πD 16 16
所以在A处单元体的应力图为：
50MPa 50MPa 50MPa 50MPa 50MPa 50MPa
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2、试根据相应的的应力圆上的关系，写出图示单元体任一斜面mn 上正应力及剪应力的计算公式。设mn面的法线与x轴成α 角如图示 （作图时可设 σ y > σ x ）。
2 2
70 + 30 70 − 30 2 94.72 = ± + 40 = 5.28 MPa 2 2
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根据大小来确定主应力的次序如下：
σ1 = 94.72MPa , σ 2 = 50MPa , σ3 = 5.28MPa
2）
y
80 50
z x
σ max σ min
由图中可知 σ x = −80为该单元体的 一主应力，于是可只计算与x轴相 垂直平面上的主应力。由平面应力 公式可得：
y
m
σy
σx
α
n
σy
n
x
σx
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σ
οx +οy οx −οy οα = + cos α−τx sin2α 2 2 2 οx −οy τα = sin2α+τx cos α 2 2
οα
2α
τα
B
A
οx
οy
o
τ
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3、各单元体各面上的应力如图所示（应力单位MPa）。试利用应力圆： 1）求指定截面上的应力； 2）求主应力的数值； 3）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。
4、单元体各面上的应力如图（应力单位为MPa）。试用应力圆求主应力 及最大剪应力。 y 30 1） 由图中可知 σ z = 50为该单元体的 一主应力，于是可只计算与z轴相 40 70 垂直平面上的主应力。由平面应力 公式可得： 40
x
50
z
σ max σ min
=
σx + σy 2
σx − σy + τ2 ± x 2