材料力学课件(路桥)第9章应力和应变分析 强度理论(2)
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最新应力分析与应变分析教学讲义ppt
➢ 最大剪应力(maximun shear s3
则有最大剪应力：
max1
3
2
或者： 其中：
且有：
maxmax1{2,23,31}
12122,23223,31321 1223310
§1.2.3 八面体应力与等效应力
即主应力空间的｛111｝等倾面上的应力。
这组截面的方向余弦为：
度，与塑性变形无关；I3也与塑性变形无关；I2与塑性 变形无关。 7. 应力不变量不随坐标而改变，是点的确定性的判据。
➢ 主应力的求解（略，见彭大暑《金属塑性加工力学》教材） ➢ 主应力的图示
§1.2.2 主剪应力和最大剪应力
➢ 主剪应力(principal shear stress)：极值剪应力（不为零） 平面上作用的剪应力。主应力空间的｛110｝面族。
1MPa=106 N/m2
➢ 应力是某点A的坐标的函数，即受力体内不同点 的应力不同。
➢ 应力是某点A在坐标系中的方向余弦的函数，即 同一点不同方位的截面上的应力是不同的。
➢ 应力的分量表示及正负符号的规定
ij xx 、 xz ……
（便于计算机应用）
i——应力作用面的外法线方向(与应力作用面的外
§1.2 点的应力状态分析
§1.2.1 主应力及应力张量不变量 §1.2.2 主剪应力和最大剪应力 §1.2.3 八面体应力与等效应力
§1.2.1 主应力及应力张量不变量
设想并证明主应力平面（其上只有正应力，剪应力 均为零）的存在，可得应力特征方程：
3I12I2I30 (3I12I2I30)
(1)(2)(3)0
'
'
22
'
'
33
则有最大剪应力：
max1
3
2
或者： 其中：
且有：
maxmax1{2,23,31}
12122,23223,31321 1223310
§1.2.3 八面体应力与等效应力
即主应力空间的｛111｝等倾面上的应力。
这组截面的方向余弦为：
度，与塑性变形无关；I3也与塑性变形无关；I2与塑性 变形无关。 7. 应力不变量不随坐标而改变，是点的确定性的判据。
➢ 主应力的求解（略，见彭大暑《金属塑性加工力学》教材） ➢ 主应力的图示
§1.2.2 主剪应力和最大剪应力
➢ 主剪应力(principal shear stress)：极值剪应力（不为零） 平面上作用的剪应力。主应力空间的｛110｝面族。
1MPa=106 N/m2
➢ 应力是某点A的坐标的函数，即受力体内不同点 的应力不同。
➢ 应力是某点A在坐标系中的方向余弦的函数，即 同一点不同方位的截面上的应力是不同的。
➢ 应力的分量表示及正负符号的规定
ij xx 、 xz ……
（便于计算机应用）
i——应力作用面的外法线方向(与应力作用面的外
§1.2 点的应力状态分析
§1.2.1 主应力及应力张量不变量 §1.2.2 主剪应力和最大剪应力 §1.2.3 八面体应力与等效应力
§1.2.1 主应力及应力张量不变量
设想并证明主应力平面（其上只有正应力，剪应力 均为零）的存在，可得应力特征方程：
3I12I2I30 (3I12I2I30)
(1)(2)(3)0
'
'
22
'
'
33
材料力学应力分析(共143张PPT)
Mz Wz
17
y
1
4
z
2
x
3
S平面
18
y
1
FQy
1
4
4 Mz
x
z
2
Mx
3
3
19
应力状态的概念
主平面：单元体中剪应力等于零的平面。
主单元体：在单元体各侧面只有正应力而
无剪应力
3
2
主应力：主平面上的正应力。
主方向：主平面的法线方向。
约定：
1
12 320
应力状态的分类
3
2
1
1
2
3
单向应力状态：三个主应力中，只有一个主应力不等于零的情况。
3
一、什么是应力状态？
〔一〕、应力的点的概念:
最大正应力所在的面上切应力一定是零； 它与塑性较好材料的试验结果比第三强度理论符合得更好； 7-2 二向应力状态分析--解析法 面将单元体截为两局部， 并注意到 化简得 三、如何描述一点的应力状态 应力圆上一点( ， ) 7-8 广义胡克定律 该单元体的三个主应力按其代数值的大小顺序排列为 解: 该单元体有一个主应力 例2：纯剪切状态的主应力 它与塑性较好材料的试验结果比第三强度理论符合得更好；
5
F
F
A
F
co2s
2
sin2
过同一点不同方向面上的应力各不相同， 即应力的面的概念
6
应力的点的概念与面的概念
应力
指明
哪一个面上？ 哪一点？
哪一点？ 哪个方向面？
应力状态: ——过同一点不同方向面上应力的集合，称为
这一点的应力状态；
7
二、为什么要研究应力状态？
最新陈天富材料力学第九章应力和应变分析和强度理论修订版(精品资料)幻灯片课件
比较斜截面应力公式
x 2yx 2yco 2 sxs y i2 n 2 x 2 x 2ys y i2 n x 2x yc y co o 2 2s sxs y i2 n
三套公式类似
二 主应变和主应变方向
主应变
} εmax
εmin
= xy (xy)2(xy)2
2
4 体积应变
变形前体积
V=dxdydz
ε2dy
变形后体积
V1=(1+ε1)(1+ε2)(1+ε3)dxdydz
dy
≈(1+ε1+ε2+ε3)dxdydz
单位体积改变
V 1 V V ( 1 1 2 V 3 ) V V 1 23
( 1 E 2)(1 23 ) 3 ( 1 E 2)1 3 23
3 最大最小正应力max1min3τ τ13τ23
τ12
4 主剪应力
12
1
2
2
0 σ3
σ2 D(σατα)
σ1 σ
23
2
3
2
131
3
2
max
三个圆周围成的区域中任一点D 表示任意斜截面上的应力.
§9.6平面应变状态分析 一 平面应变状态分析
y y´
在xoy座标下应变为
α
εx εy γxy 旋转α角度 在x´oy´座标下应变为εα,
τyz τyτx xy τzy τzτx xz
形状改变
{ 2 主应变
1E 1[1(23)]max 2E 1[2(31)]
σ2
3E 1[3(12)]
{ 3 平面问题
x E1(x y) y E1(y x)
xy
xy G
x 2yx 2yco 2 sxs y i2 n 2 x 2 x 2ys y i2 n x 2x yc y co o 2 2s sxs y i2 n
三套公式类似
二 主应变和主应变方向
主应变
} εmax
εmin
= xy (xy)2(xy)2
2
4 体积应变
变形前体积
V=dxdydz
ε2dy
变形后体积
V1=(1+ε1)(1+ε2)(1+ε3)dxdydz
dy
≈(1+ε1+ε2+ε3)dxdydz
单位体积改变
V 1 V V ( 1 1 2 V 3 ) V V 1 23
( 1 E 2)(1 23 ) 3 ( 1 E 2)1 3 23
3 最大最小正应力max1min3τ τ13τ23
τ12
4 主剪应力
12
1
2
2
0 σ3
σ2 D(σατα)
σ1 σ
23
2
3
2
131
3
2
max
三个圆周围成的区域中任一点D 表示任意斜截面上的应力.
§9.6平面应变状态分析 一 平面应变状态分析
y y´
在xoy座标下应变为
α
εx εy γxy 旋转α角度 在x´oy´座标下应变为εα,
τyz τyτx xy τzy τzτx xz
形状改变
{ 2 主应变
1E 1[1(23)]max 2E 1[2(31)]
σ2
3E 1[3(12)]
{ 3 平面问题
x E1(x y) y E1(y x)
xy
xy G
材料力学中的应力应变强度理论102页PPT
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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
材料力学中的应力应变强度理论
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
材料力学第九章强度理论 ppt课件
假定：无论材料内各点的应力状态如何， 只要有一点的主应力σ1 达到单向拉伸断裂时的 极限应力σu，材料即破坏。
在单向拉伸时，极限应力 σu =σb 失效条件可写为 σ1 ≥ σb
第一强度理论强度条件：
1 [ ]
[ ] b
n
PPT课件
5
第一强度理论—最大拉应力理论
2 1
3
=b
PPT课件
15
单向拉伸时： 1 s , 2 3 0
Uu
1
6E
2s2
屈服破坏条件是：
1 2
( 1
2 )2
(
2
3 )2
( 3
1)2
s
第四强度理论强度条件：
1 2
(1
2
)2
(
2
3
)2
(
3
1)2
[
（单位MPa）
PPT课件
23
其次确定主应力
1＝29.28MPa, 2＝3.72MPa, 3＝0
max= 1< [] = 30MPa
结论：强度是安全的。
PPT课件
23 11 10
（单位MPa）
24
课本例题9.3 已知： 和，试写出最大剪应力理论
和形状改变能密度理论的表达式。
解：首先确定主应力
屈服破坏条件是： max s
PPT课件
12
最大剪应力理论
2 1
3
=s
max
1
3
2
o max
材料力学之应力与应变分析(ppt 35页)
2201705309M 0 Pa
③根据s1、s2、s3的排列顺序，可知：
s1=390MPa，s2=90MPa，s3=50MPa
y 140
z
A
150 x 300
90
A视
sy=140
txy=150 sx=300
y' 31o y s3
s2 z
s1
x'
31o x
④主应力方位：
tg2a0s2xtxsyy3200115400185 2a062o a031o a0212o1
应力与应变分析
（1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二 角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。
（2）面的方位用其法线方向表示
t y z t z， y t z x t x， z t x y t yx
3.截取原始单元体的方法、原则
①用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状 而定)在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体
应力与应变分析
1. ①主平面：单元体上剪应力为零的面；
②主单元体：各面均为主平面的单元体，单元体上有三对 主平面；
z
sz
tzy
tzx
tyz
txz
sy y
sx txy tyx x
x'
s1 旋转
z' s3
s2 y'
③主应力：主平面上的正应力，用s1、s2、s3 表示， 有s1≥s2≥s3。
2.应力状态按主应力分类：
-40.3
(29.8,20.3) s
60o 35.3 29.8o D(30,-20)
第三节 三向应力状态下的最大应力
一、三向应力状态下的应力圆
材料力学精品课件《应力状态和强度理论》
h b
解：k点为纯剪切应力状态，单元体如图所示。
F FS 2
3FS 3F 2 A 4bh
（a）
3FS 3F 2 A 4bh
（a）
1
2 0
3
（c）
（b）
y
由广义胡克定律 1 K 1 1 ( 2 3 ) E
1
y
应力圆的作法：
y
x
x
x
x
D
o
最大和最小切应力的表达式：
y
B C D′ A
max 1 2 2 min
x
§7-4 三向应力状态简介
当一点处的三个主应力都不等于零时，称该点处的应
力状态为空间应力状态(三向应力状态)；钢轨在轮轨触点
处就处于空间应力状态(图a)。
一、 三向应力圆
已知受力物体内某一点处三个 主应力 1、2、3
利用应力圆确定该点的最大 正应力和最大切应力。
3
2 1
2
1
3 1
3
2
首先研究与主应力 3 平行的斜截面上的应力，由于 3 作用 平面上的力自相平衡，因此，凡是与主应力 3 平行的斜截 面上的应力与 3 无关，这一组斜截面上的应力在—平面上
二、各向同性材料的体积应变
构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变用θ表示.
如图所示的单元体，三个边长为 a1 , a2 , a3 变形后的边长分别为 a1(1+，a2(1+2 ，a3(1+3 变形后单元体的体积为 V'=a1(1+· a2(1+2 ·a3(1+3
a2
2
3
材料力学——应力分析【可修改】.ppt
（2）主平面的位置
tg
2α 0
σ
2τ xy
x σ
y
α1 α 2 α1 900
} σ max
σ min
σx σy 2
(σ
x σ 2
y
2
)
τ
2 xy
以1代表max作用面的方位角， 2代表min作用面的方位角。
精选
σ x σ y ,则 α1 450 (α1在 900 范围内取值)
若 σ x σ y ,则 α1 450
x
在坐标系内画出点A( x，
xy)和B(y，yx)
2a C
A(
x
,
a
xy)
AB与a 轴的交点C便是
圆心。
O
以C为圆心，以AC为
B( y ,yx)
半径画圆——应力圆；
精选
y
n 三、单元体与应力圆的对应关系
面上的应力( ， )
a xy x 应力圆上一点( ， )
y
面的法线 应力圆的半径
Oa n D(xa , a)
所在的平面)垂直的
1
斜截面上的应力。
3
精选
2
3
1
2
用截面法，沿求应力的截 面将单元体截为两部分， 取左下部分为研究对象。
2
3
3
1
1
1
3
2
3
2
精选
主应力 3 所在的两平面上是一对
自相平衡的力， 因而该斜面上的
3
应力, 与 3无关, 只由主应力
1
1 , 2 决定。
3 2
与3所在的面垂直的斜截面上的应力可由
精选
应力的点的概念与面的概念
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s ss t 令 :d d 0 xys in 20 2x yc o s20 0
tg20
2txy sx sy
sy
由此的两个驻点：
01、（01
π）和两各极值： 2
y
sx
txy
s max s min
sx
sy ±
2
（ sx
sy
2
）2
t2 xy
O
x
t0sx 2sysin2 0 txycos2 00
O
x
t
2 xy
t
st s s t 1; 2 0; 3 tg20sx 2txs yy 045
t max tmin
（sx 2sy） 2tx2y
t
tg21sx2txsy y 010
破坏分析
低 碳 钢 ：
ss 240M Pa;ts 200M Pa
灰口铸铁：
s Lb 98 ~ 280M Pa s yb 640 ~ 960M Pa; tb 198 ~ 300M Pa
力状态。
三、单元体：
单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点的
无限小的几何体，常用的是正六面体。
单元体的性质——
a、平行面上，应力均布； b、平行面上，应力相等。
s
y
y
四、普遍状态下的应力表示
sz z
sx
txy
x
五、剪应力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress): 过一点的两个正交面上，如果有与相交边垂直的剪应力分量， 则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相离。
x
s pD 4
a
10
y
dq
p(lDdq ) 2、环向应力（hoop stress）
2
z
O
q
p
用纵截面将容器截开，受力 如图c所示。
s
D
s
图c
s (l D ) 2 p D l
s’
s” 外表面
s l pD l D 2
a
11
§9–2 平面应力状态分析—解析法
y
sy
sy
sx
等价
txy
y
sx
第九章 应力与应变分析 强度理论
§9–1 应力状态概述 §9–2 平面应力状态分析—解析法 §9–3 平面应力状态分析—图解法
一、引言
§9-1 应力状态概述
1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？
P 铸铁拉伸 M
铸铁压缩 P
低碳钢
铸铁
P
P
2、组合变形杆将怎样破坏？ M
二、一点的应力状态： 过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应
低碳钢 铸铁
§9–3 平面应力状态分析—图解法
sy
t sx xy
y
O
x
s
sx
t
y
t sy yx
O
x
一、应力圆（Stress Circle）
ssx2sy
sxsy
2
co2stxysin2
tsx2sysin2txyco2s
对上述方程消去参数（2），得：
n ssx 2sy2t 2sx 2sy2tx2y
此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆， t 由德国工程师：Otto Mohr引入）
sy
考虑剪应力互等和三角变换，得：
sx
txy
y
O
x
图1
s
sx
t
y
t sy yx
O
x
图2
s sx 2 sy sx 2 syc2 o stxs y 2 i n
同理：
Ft 0
n tsx 2sysi2n txc y o2s
t
二、极值应力
s sx 2 sy sx 2 syc2 o stxs y 2 i n
极值正应力就是主应力：
s max s min
sx
sy ±
2
（ sx
sy
2
）2
t2 xy
s s s s 1 m ax ; 3 m in
y
O
sy
s3
主 单元体
t sx xy
s1
x
s1在剪应力相对的象限内，且偏向于sx 及sy 大的一侧。
tsx 2sysi2n txc y o2s
令: dt
0
sy
n
二、应力圆的画法
s t
t sx xy
建立应力坐标系，如下图所示， （注意选好比例尺）
y
x O t n D( s , t
2 C O B(sy ,tyx)
在坐标系内画出点A(s x，txy)和B(sy，tyx)
x A(sx ,txy)
s
AB与s 轴的交点C便是圆心。 以C为圆心，以AC为半径画圆—应力圆；
txy
x z
O
x
sy
一、任意斜截面上的应力
y
sx
txy
规定：s 截面外法线同向为正； t 绕研究对象顺时针转为正； 逆时针为正。
O
x
图1
s
设：斜截面面积为dA，由分离体平衡得：
sx y
t
t sy yx
Fn0
n
sdAsxdAcos2txydAcossin
O
x
图2 t sydAsin2tyxdAsincos0
sy
s1s2s3
三向应力状态（Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。
单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。
x M
tzx
txz
t yx
t C
xy
七、主单元体、主面、主应力：
sy y
主单元体（Principal body）：
各侧面上剪应力均为零的单元体。 sx
sz z
s2
s3
主平面（Principal Plane）： 剪应力为零的截面。
x 主应力（Principal Stress）： 主平面上的正应力。
s1 主应力排列规定：按代数值大小
例2 图a所示为承受内压的薄壁容器。试导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式 。
s1 sm
p p
p
l
x 图a
D
y
x
p
A
O
B
a
9
解：容器的轴向和环向应力表达式 1、轴向应力（longitudinal stress）
用横截面将容器截开，受力如图b所示，根据平衡方程
D
s’ p
s’ 图b
sπD pπD 24
d 1
tg21s2xtsxy y
ttmmainx
±
（sx
sy
2
）2 tx2y
01 π 4 ， 即 极 值 剪 应 力 面 与 主 面 成 4 5 0
a
17
例3 分析受扭构件的破坏规律。
解：确定危险点并画其原始
t yx
单元体
C M
t C
xy
sxsy0
t xy
t
M Wt
txy
求极值应力
tyx
y
s sm mainxsx 2sy（ sx 2sy） 2tx2y
t s y
yx
y
sz z
txy sx
x
证 明 ： 单 元 体 平 衡M z 0
t t (xd y y d z)d x (yd x z d x )d y 0
t xyt yx
六、原始单元体（已知单元体）： 例1 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。
P
y B C z
A
P
sx
sx
A
P
sx B sx