2017年高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题的概念和例子1.1.2命题的四种形式同步练习湘教版选修1_1201710193

1.1.2 命题的四种形式
1．命题“若函数 f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数，则 loga2＜0”的逆
否命题是( )．
A．若 loga2≥0，则函数 f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数
B．若 loga2＜0，则函数 f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数
C．若 loga2≥0，则函数 f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数
D．若 loga2＜0，则函数 f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数
2．有下列四个命题：
①“若 x＋y＝0，则 x，y 互为相反数”的逆命题；
②“若 a＞b，则 a2＞b2”的逆否命题；
③“若 x≤－3，则 x2＋x－6＞0”的否命题；
④“若 ab 是无理数，则 a，b 是无理数”的逆命题．
其中真命题的个数是( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
3．“若 x2＝1，则 x＝1”的否命题为( )．
A．若 x2≠1，则 x≠1
B．若 x2＝1，则 x≠1
C．若 x2≠1，则 x＝1
D．若 x≠1，则 x2≠1
4．有下列四个命题，其中真命题是( )．
①“若 xy＝1，则 x，y 互为倒数”的逆命题；
②“相似的两个三角形的周长相等”的否命题；
③“对实数 a，b，若 a2＋b2＝0，则 a，b 全为 0”的逆否命题；
④“若 x＞2，则 x＞1”的逆命题．
A．①② B．②③
C．①③ D．②④
5．已知命题“若 p 则 q”为真，则下列命题中一定为真的是( )．
A．若 p 则 q B．若 q 则 p
C．若 q 则 p D．若 q 则 p
6．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共
点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是__________．(把符合
要求的命题序号都填上)
7．下列命题中的真命题为__________．
①“若 a＞b，则 a＋c＞b＋c”的否命题；②“矩形的对角线相等”的逆命题；③“若 xy

1
＝0，则 x，y 中至少有一个为 0”的否命题．
8．把下列不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．若函数 f(x)＝3＋log2x(x＞0)的
图象与 g(x)的图象关于__________对称，则函数 g(x)＝__________.(填上你认为可以成为真
命题的一种情况即可)
9．把下列命题写成“若 p 则 q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．
(1)当 x＝2时，x2－3x＋2＝0；
(2)对顶角相等．
10．已知函数 f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，对 命题“若 a＋b≥0，则 f(a)＋
f(b)≥f(－a)＋f(－b
)”．

(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；
(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．

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参考答案
1．A 由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若 loga2≥0，则函数 f(x)＝
logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数．
2．B ①逆命题“若 x，y 互为相反数，则 x＋y＝0”是真命题；
②因为原命题为假命题，所以其逆否命题也为假命题；
③否命题“若 x＞－3，则 x2＋x－6≤0”，取 x＝5，但 x2＋x－6＝24＞0，所以原命题的
否命题为假命题；
④逆命题“若 a，b 是无理数，则 ab 是无理数”，若 a＝( 2) 2，b＝ 2，则 ab＝2是有理
数，所以原命题的逆命题为假命题．
3．A 选项 B为命题的否定，选项 D为逆否命题，故选 A.
4．C ①的逆命题为“若 x，y 互为倒数，则 xy＝1”，显然为真．②的否命题为“不相似
的两个三角形的周长不相等”，为假．③中的原命题为真，故其逆否命题也为真．④的逆命题
3
为“若 x＞1，则 x＞2”，为假，因为当 x＝ 时，x＞1，但 x＜2.故只有①③为真．
2

5．B 互为逆否命题的两个命题的真假性相同．互为逆命题或互为否命题的两个命题的真
假性不相关．选项 B和已知命题互为逆否命题，均为真命题，故选 B.
6．② ①的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面，显然不正确．
②的逆命题是：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，为真命题．
7．①③ ①中的否命题为：“若 a≤b，则 a＋c≤b＋c”，为真命题．②中的逆命题为“对
角线相等的四边形是矩形”，为假命题，因为等腰梯形的对角线也相等．③中的否命题为“若
xy≠0，则 x，y
都不为 0”，为真命题．

8．y 轴 3＋log2(－x)(x＜0) 该题将函数的图象和性质与命题综合在一起，要综合利用
知识．可能情况有：x 轴，－3－log2x；y 轴，3＋log2(－x)；原点，－3－log2(－x)；直线 y
＝x,2x－3等．答案不唯一．
9．解：(1)原命题：若 x＝2，则 x2－3x＋2＝0.
逆命题：若 x2－3x＋2＝0，则 x＝2.
否命题：若 x≠2，则 x2－3x＋2≠0.
逆否命题：若 x2－3x＋2≠0，则 x≠2.
(2)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等．
逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角．
否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等．
逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角．
10．解：(1)逆命题是：若 f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f (－b)，则 a＋b≥0.它为真命题，可

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证明原命题的否命题为真命题来证明它．
假设 a＋b＜0，则 a＜－b，b＜－a.
因为 f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，
则 f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，
所以 f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．
故原命题的否命题为真命题．
因为否命题与逆命题互为逆否命题，
所以原命题的逆命题为真命题．
(2)逆否命题是：若 f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则 a＋b＜0.它为真命题，可证明原命
题为真命题来证明它．
因为 a＋b≥0，所 以 a≥－b，b≥－a.因为 f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以
f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a
)．

所以 f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，故原命题为真命题．
所以原命题的逆否命题为真命题．

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