应力应变分析
材料力学：第八章-应力应变状态分析
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
D
C
sO
E
s 2 , 0
s 1 , 0
D
s
结论：所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用4
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
证： 1. 据纯剪切斜截面应变公式求e45。
2. 据广义胡克定律求 e45。
纯剪切时主应力在45度方向,
3. 比较
例 8-3 边长 a =10 mm 正方形钢块，置槽形刚体内， F = 8 kN，
m 0.3，求钢块的主应力
解：
因二者均为压应力, 故
§8 电测应力与应变花
应力分析电测方法 应变花
已知 sa , ta , sa+90 , ta +90 ,画应力圆
应力圆绘制 先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
ta+90 sa+90
t
sa ,ta
D
t
sa ,ta
D
sa
ta
O
C
sO
E
sa+90 ,ta+90
C
s
E
sa+90 ,ta+90
应力圆的绘制方法(3): 由主应力画应力圆
适用范围： 各向同性材料，线弹性范围内
主应力与主应变的关系
主应变与主应力的方位重合 最大、最小主应变分别发生在最大、最小主应力方位
最大拉应变发生在最大拉应力方位 如果 s1 0，且因 m < 1/2，则
第七章应力和应变分析
tg20
2 xy x
y
mm
ax in
x
y
±
（x
2
y
2
）2
2 xy
0 0极值正应力就是主应力！
明德 砺志 博学 笃行
max在剪应力相对的项限内，
且偏向于x 及y大的一侧。
y
2
主 单元体
x
令:d d
0
1
tg212xxy y
y
xy 1
Ox
mmainx
± （x
y
2
）2 2 xy
014 , 即极值剪应力面与主面 成450
（4）最大切应力
max
1
2
2
22.1MPa
明德 砺志 博学 笃行
§7-4 二向应力状态分析——图解法
y
n
x
2
y
x
2
y
c
os2
xysin2
y
xy
x
x
2
y
s
in2
xyc
os2
Ox
对上述方程消去参数（2），得：
x
y
xy
x
2
y
2
2
x
2
y
2
2 xy
n
明德 砺志 博学 笃行
y n 二、应力圆的画法
明德 砺志 博学 笃行
例 分析受扭构件的破坏规律。
解：确定危险点并画其原
C
yx
始单元体
M
C
xy
x y 0
xy
T WP
xy
求极值应力
y
yx
m m
ax in
材料力学应力与应变分析
在复杂应力状态下，物体内部某一点处的主应力表示该点处最主要 的应力，次应力则表示其他较小的应力。
应力表示方法
应力矢量
应力矢量表示应力的方向和大小，通常用箭头表示。
应力张量
在三维空间中，应力可以用一个二阶对称张量表示，包括三个主应力和三个剪切 应力分量。
主应力和剪切应力
主应力
在任意一点处，三个主应力通常是不相等的，其中最大和最小的主应力决定了材料在该点的安全程度 。
采用有限元分析方法，建立高 层建筑的三维模型，模拟不同 工况下的应力与应变分布。
结果
通过分析发现高层建筑的关键 部位存在较高的应力集中，需
要进行优化设计。
结论
优化后的高层建筑结构能够更 好地承受各种载荷，提高了安
全性和稳定性。
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不同受力状态下的变形行为。
06 实际应用与案例分析
实际应用场景
航空航天
飞机和航天器的结构需要承受高速、高海拔和极端温度下 的应力与应变，材料力学分析是确保安全的关键。
汽车工业
汽车的结构和零部件在行驶过程中会受到各种应力和应变 ，材料力学分析有助于优化设计，提高安全性和耐久性。
土木工程
桥梁、大坝、高层建筑等大型基础设施的建设需要精确的 应力与应变分析，以确保结构的稳定性和安全性。
剪切应力
剪切应力是使物体产生剪切变形的力，其大小和方向与剪切面的法线方向有关。剪切应力的作用可以 导致材料产生剪切破坏。
04 应变分析
应变定义
定义
应变是描述材料形状和尺寸变化的物理量， 表示材料在外力作用下发生的形变程度。
单位
应变的单位是1，没有量纲，常用的单位还有微应变 （με）和工程应变（%）。
应力与应变状态分析
ma x
min
x y 2
(x 2y)2x2 y ——主应力的大小
1 ; 2 ; 3 ; m ;am x;i0 n
最大正应力（σmax）与X轴的夹角规定用“α0 ” 表示。 简易判断规律：由τ的方向判断。
α0 α0
2、 τ的极值及所在平面
x 2ysi2n xy co 2s
d 0 d
tg21
3、三向应力状态：三向主应力都不等于零的应力状态。
平面应力状态：单向应力状态和二向应力状态的总称。 空间应力状态：三向应力状态 简单应力状态：单向应力状态。 复杂应力状态：二向应力状态和三向应力状态的总称。 纯剪切应力状态：单元体上只存在剪应力无正应力。
§8－2 平面应力状态分析——解析法
一、任意斜面上的应力计算
主应力排列规定：按代数值由大到小。 1 2 3
10 σ1=50 MPa ；
50
30 σ2=10 MPa ； σ3=-30 MPa 。
单位：MPa
10 σ1=10 MPa ；
30 σ2=0 MPa ； σ3=-30 MPa 。
8、画原始单元体： 例 ：画出下列图中的 a、b、c 点的已知单元体。
二、σ、τ的极值及所在平面（主应力，主平面）
1、 σ的极值及所在平面（主应力，主平面）
x 2 y x 2 yc2 o s xs y 2 i n d d 0 x 2 ys2 i n 0 xc y 2 o 0 s0 0 0
tg20
2xy x y
——主平面的位置
( 0;
0 0900 )
F
F a
x
a
x
x
F A
y b C
z
y b
C z
Ｍ F L
工程力学中的应力和应变分析
工程力学中的应力和应变分析工程力学是应用力学原理解决工程问题的学科，它研究物体受外力作用下的力学性质。
应力和应变是工程力学中的重要概念，它们对于分析材料的强度和变形特性具有重要意义。
本文将就工程力学中的应力和应变进行详细分析。
一、应力分析应力是指物体单位面积上的内部分子间相互作用力。
根据作用平面的不同，可以分为法向应力和剪切应力两种。
1. 法向应力法向应力是指力作用垂直于物体某一截面上的应力。
根据物体受力状态的不同，可以分为拉应力和压应力两种。
- 拉应力拉应力是指作用于物体截面上的拉力与截面面积的比值。
拉应力的计算公式为：σ = F/A其中，σ表示拉应力，F表示作用力，A表示截面面积。
- 压应力压应力是指作用于物体截面上的压力与截面面积的比值。
压应力的计算公式与拉应力类似。
2. 剪切应力剪切应力是指作用在物体截面上切向方向上的力与截面面积的比值。
剪切应力的计算公式为：τ = F/A其中，τ表示剪切应力，F表示作用力，A表示截面面积。
二、应变分析应变是指物体由于外力的作用而产生的形变程度。
根据变形情况，可以分为线性弹性应变和非线性应变。
1. 线性弹性应变线性弹性应变是指物体在小应力下，应变与应力成正比，且随应力消失而恢复原状的应变现象。
线性弹性应变的计算公式为：ε = ΔL/L其中，ε表示线性弹性应变，ΔL表示物体的长度变化，L表示物体的原始长度。
2. 非线性应变非线性应变是指物体在较大应力下，应变与应力不再呈线性关系的应变现象。
非线性应变的计算公式较为复杂，需要根据具体情况进行分析。
三、应力和应变的关系应力和应变之间存在一定的关系，常用的关系模型有胡克定律和杨氏模量。
1. 胡克定律胡克定律是描述线性弹性材料的应力和应变之间关系的基本模型。
根据胡克定律，拉应力和拉应变之间的关系可以表示为：σ = Eε其中，σ表示拉应力，E表示弹性模量，ε表示拉应变。
2. 杨氏模量杨氏模量是描述材料抵抗拉伸或压缩变形能力的物理量。
2应力应变分析
JJ J
1 2
应该是单值的，不随坐标
3
而变，因此把
JJ J
1 2
3
分别称为应力张量的
第一、第二和第三不变量，存在不变量也是张
量的特性之一。
15
例题
• 设某点的应力状态如图所示，试求其主应力（应力 单位：牛顿/平方毫米）
16
• 解：
x
yx
zx
2; 3;
4;
ij
xy y
2
2
2
2
xy
yz
zx
x
yz
y
xz
z
xy
2
2
2
18
• 将应力张量不变量带入应力状态特征方程中得:
J 1 J 2 J 3 0
3 3 2
•
9;
1
15 60 54 0
2
9 6 6 0
2 2
3 3;
ζ
ζ η ζ
ζ 主剪切应力平面
21
• 一对相互垂直的主剪应力平面，它们分别与一个主平面 垂直并与另两个主平面成45度，而且每对正交主剪平面 上的主剪应力都相等。如下图所示：
22
三个主剪应力为： τ σ σ 2 23 2 3
τ 31 σ 3 σ1 2
τ12 σ1 σ 2 2
张量的特性：一个对称张量有三个相互垂直的方向， 叫做主方向，在主方向上，下标不同的分量均为零， 只剩下下标相同的分量，叫做主值。
在应力张量中，主值就是主方向上的三个正应力， 叫做主应力；与三个主方向垂直的微分面叫主平面， 主平面上没有剪应力。也就是说τ=0。
第八章2应力应变状态分析
第八章2应力应变状态分析应力应变状态分析是研究材料或结构在外力作用下所产生的应力和应变的过程。
应力是单位面积上的内力，用于描述材料或结构对外力的抵抗能力。
而应变是形变相对于初始状态的变化量，用于描述材料或结构的变形程度。
针对材料或结构的应力应变状态进行分析，可以帮助我们了解其力学性能和稳定性，为工程实践提供重要依据。
应力应变状态分析是弹性力学的基本内容之一、根据材料的力学性质和外力的作用，可以得到不同的应力应变状态。
在弹性力学中，线弹性和平面应变假定是常用的简化假设。
线弹性假定材料仅在拉伸和压缩的方向上有应力，而在横截面上的应力是均匀分布的。
一维拉伸和挤压是线弹性应力应变状态的基本类型。
平面应变假定材料在一个平面内有应力，而在垂直于该平面的方向上无应力。
二维平面应变是平面应变应力应变状态的基本类型。
在应力应变状态分析中，我们通常关注应力和应变之间的关系。
最常见的是材料的应力-应变曲线。
应力-应变曲线描述了材料在外力作用下的力学行为，可以帮助我们了解材料的强度、塑性和韧性等性能。
在弹性阶段，应力-应变曲线呈线性关系，符合胡克定律。
而在屈服点之后，材料会发生塑性变形，应力不再是线性关系。
当应力达到最大值时，材料会发生破坏。
除了应力-应变曲线外，还有一些其他重要的参数和指标可用于描述应力应变状态。
例如，弹性模量是描述材料刚度的重要参数，表示单位应力引起的单位应变量。
剪切弹性模量描述了材料抵抗剪切变形的能力。
同时，杨氏模量和泊松比也是用于描述材料力学性质的常用参数。
应力应变状态分析在材料工程、结构工程以及土木工程等领域具有重要应用。
通过对材料和结构的应力应变状态进行分析，可以帮助我们评估其性能和强度，并且对设计和优化具有指导意义。
例如，在结构工程中，通过应力应变状态分析可以确定材料的承载能力和极限状态，从而确保结构在设计荷载下的安全运行。
然而，应力应变状态分析也面临一些挑战。
首先，材料的力学性质和变形行为往往是非线性的，需要使用复杂的数学模型进行描述。
第八章 应力应变状态分析
o
C
(σ x + σ y ) / 2
σ
半径为
Rσ = (
σ x −σ y
2
2 )2 + τ x
目录
应力圆（图解法） §8.3 应力圆（图解法）
二.应力圆的绘制与应用
σy σα τα σy τy
n
τ
σα τα
H(任意斜截面α) D（x截面对应）
τx
τx
t
-τ x
σx
α
2α
C
σx
τx=τy DF=EG
将第一式移项后两边平方与第二式两边平方相加
σ x +σ y
σ x −σ y
(σ α −
σ x +σ y
2
) =(
2
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α ) 2
τα = (
2
σ x −σ y
2
sin 2α + τ x cos 2α ) 2
目录
应力圆（图解法） §8.3 应力圆（图解法）
τ max σ x −σ y 2 2 = ±CK = ± ( ) +τ x τ min 2
所在截面互相垂直，并与正应力极值截面呈45 °夹角。
目录
§8.4 极值应力与主应力
二.主应力
由图可知，正应力极值所在截面的切应力为零。 ab，bc，cd，da 均为主平面。 微体的前、后 两面不受力， 切应力也为零。 主平面：切应力为零的截面。 主平面微体：三对互相垂直的主平面所构成的微体。
三.纯剪切状态的最大应力与圆轴扭转破坏分析
σ 3 = −τ
τ τ A(0，τ)
−45
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x y 2
二. 求正应力极值及其作用面
， 均为 的函数，必存在极值。
d 显然有 令 0， 0 0 d 正应力的极值为主应力
方位角：
（确定主应力及主平面位置）
正应力极值：
至于 max , min 是第几主应力，
要求出具体数值与零排序而定。
三. 确定极值切应力及其所在平面
max
2
F
C
1 2 0 3
max
2
C
2 0 3 max
1
四 横力弯曲梁中的主应力及其分析 m m
F
M
FQ
m
3
１ ２
1 1
３
3
2
3
1
1
４ ５
x y 2 2
2
x y 2
两式平方相加 x y 2
2
( x a)
y R
2
2 xy
2
2
x y 2
( x a)
x y 2 2
F
l
FQ
M
A
z
F
max
Fl
切应力强度条件： max
正应力强度条件 ： max
FQ My max max ht Iz
A
z
A
A
A A
问题：A点的强度条件如何建立？
总结： 1. 过一点处所有截面上应力的全部 情况称为一点处的应力状态。
2. 解决复杂受力点的强度计算问题， 分析引起构件破坏的原因 。通过应 力，应变分析，建立了强度理论， 从而解决组合变形下构件的强度计 算问题。
max
180
min 80
90
（160,40）
0 80 180 （100,-40）
单位：Mpa
max
1 3
2
1 180 2 80 30
90
2.空间问题的特殊情况
160
求出 max, min 与-40排队
不看已知主应力, 先解决平面问题。
只有一个主应力不为零-----单向应力状态
有二个主应力不为零-----二向应力状态
有三个主应力不为零-----三向应力状态
例
已知锅炉内径D，壁厚t，压力p 求炉壁内任意点处的应力。
轴向应力： p
环向应力：
p
外壁大气压 相对 x , 很小，可略。 内壁压力 p
可认为内壁处于二向受拉
100
40
-40
80
180
1 3 max 110 2
1 180 2 80 3 40
40
80
50
80
1 80 2 50 3 50
max
1 3
2
65
1
得极值切应力
1.3
1 3
2
2
1
2.用平行
3 的平面
3
切单元体, 得
1 2
组成的应力圆
3 2
1
得极值切应力
1.2
1 2
2
3 2
1 3
2
1
任意面应力在三个圆组成的黄色区域内
单元体
max
max max min 纯剪特点： t max max c max
3
max
1 tan 2 0
min
0 45 或135
max min 显然有： 1 2 0 3
{
1
2
应力分析的实质和前提
实质：由原始单元体， 求各截面上的应力
前提：从受力构件中正确 取出原始单元体
§7 .2 二向应力状态分析----解析法 y 设在受力构件中取出 x 二向应力状态的最一 般情况的原始单元体， xy
既已知面上的应力 x y ，xy 。
因已知一个主平面，可 将单元体用平面代替。
m
主应力迹线
应用于钢筋混 凝土的制做中
1. 1 0, 2 3 0 问题： . 1 2 3 0 2 3 . max ? 单元体 ４.空间体（ , , ）面上应力
§7.4 三向应力状态分析
一. 一般情况
xx xy xz 可用六个独立
1 3 max 13 2
1 min 3
单向.二向可扩展到三向
三. 三向应力状态的特殊情况 应用平面应力分析的结论解三向应 力问题的必要条件: 1.平面问题，求出 max 后与0序, min 定: 已知一个主应力(主平面)
1 2 3
例：
160 100 40
y
xy
x
一. 确定平行于z轴的任意斜截面上 的应力 ,
y
{
xy
x
依截面法：切、取、代、平。
整理有：
f ( ) g()
x y 2 x y
2
cos 2 xy sin 2 sin 2 xy cos 2
分量表示 x
九个应力分量T yxyyyz
y
yz
z
xz
xy x
zx zy zz
y z xy yz xz
可求
{
, , ）上的应力 任意面（
主应力
max
y
切应力的符号规定
xz
xz
:
z
x xy
x表示切应力作 用面外法线方 向 z表示的指向
二 . 三向应力圆
1
1
2 = 3 =
=0
=
2 = 3=
= 2 =0 3 =0
=
2 == 0 3 3
Байду номын сангаас
=0 2 =0
1
1
1
结论：
max
1 2 3
x y z
单元体与应力圆一一对应关系
——纵坐标 2
max （极值）
min
——横坐标
转向相同
面——点
相互垂直面—直径两端点
90
0
2 180
圆的半径
0
主应力——横坐标交点
（极值）
max—纵坐标最大值（圆半径）
—圆心坐标
应力圆与单元体点面对应关系口诀 圆上点，体上面， 直径两端两垂面；
已知主应力
2
1 2 3 ,作应力圆
3
1
2
1
3
1.用平行 1 的平面 切单元体, 得 2 3 组成的应力圆
3 2
得极值切应力
2.3
2 3
2
2
1
2.用平行
3
2 的平面 切单元体, 得 1 3
组成的应力圆
3 2
3. 截面法的应用 研究原始单元体其他面上的应 力情况应用截面法，可求任意 面上的应力情况。从而确定单 元体的最大正应力和最大切应 力。
三. 应力状态分类
的面-----主平面 主平面上的应力-----主应力 1 2 3 主单元体----三个主平面构成的单元体
1. 定义
0
2. 分类
难点: 取单元体
原始单元体 危险点 指定点
技巧：紧紧抓住横截面，及其上 的应力分布规律，应用切 应力互等定理。
二. 研究方法----单元体平衡
1. 取出原始单元体
x
x
单元体----六面体（微体） 原始单元体----面上的应力已知 2. 应力规定 单元体面上的应力均布 相对面上的应力相等 ----拉为正，压为负 + ----对单元体内任意点取矩
§7.1 应力状态概述
问题的提出：
1. 什么是应力状态?
2. 为什么要研究应力状态?
3. 怎样研究应力状态?
一. 一点处的应力状态
cos sin
2
2
max max
2
sin 2 cos 2
max min max
第七章 应力和应变分析 强度理论
§1 应力状态分析 §2 二向应力状态分析的解析法
§3 二向应力状态分析的图解法
§4 三向应力状态分析
§5 平面应力状态下的应变分析
§6 广义胡克定律 §7 复杂应力状态的变形比能 §8 强度理论的概念 §9 四种常用强度理论
§10 莫尔强度理论和双切应力强 度理论简介
2 1
2 0
1=60.7 2= 0 3 80.7