材料力学第七章__应力和应变分析__强度理论
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材料力学第七章应力状态和强度理论
2
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y
x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2
x
y
2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c
x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )
C
C
C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y
x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2
x
y
2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c
x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )
C
C
C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
材料力学带答疑
第七章应力和应变分析强度理论1.单元体最大剪应力作用面上必无正应力答案此说法错误（在最大、最小正应力作用面上剪应力一定为零；在最大剪应力作用面上正应力不一定为零。
拉伸变形时，最大正应力发生在横截面上，在横截面上剪应力为零；最大剪应力发生在45度角的斜截面上，在此斜截面上正应力为σ/2。
）2. 单向应力状态有一个主平面，二向应力状态有两个主平面答案此说法错误（无论几向应力状态均有三个主平面，单向应力状态中有一个主平面上的正应力不为零；二向应力状态中有两个主平面上的正应力不为零）3. 弯曲变形时梁中最大正应力所在的点处于单向应力状态答案此说法正确（最大正应力位于横截面的最上端和最下端，在此处剪应力为零。
）4. 在受力物体中一点的应力状态，最大正应力作用面上切应力一定是零答案此说法正确（最大正应力就是主应力，主应力所在的面剪应力一定是零）5.应力超过材料的比例极限后，广义虎克定律不再成立答案此说法正确（广义虎克定律的适用范围是各向同性的线弹性材料。
）6. 材料的破坏形式由材料的种类而定答案此说法错误（材料的破坏形式由危险点所处的应力状态和材料的种类综合决定的）7. 不同强度理论的破坏原因不同答案此说法正确（不同的强度理论的破坏原因分别为：最大拉应力、最大线应变、最大剪应力、形状比能。
）二、选择1.滚珠轴承中，滚珠与外圆接触点为应力状态。
A：二向； B：单向C：三向D：纯剪切答案正确选择C（接触点在铅垂方向受压，使单元体向周围膨胀，于是引起周围材料对接触点在前后、左右方向的约束应力。
）2.厚玻璃杯因沸水倒入而发生破裂，裂纹起始于。
A：内壁 B：外壁 C：内外壁同时 D：壁厚的中间答案正确选择：B （厚玻璃杯倒入沸水，使得内壁受热膨胀，外壁对内壁产生压应力的作用；内壁膨胀使得外壁受拉，固裂纹起始于外壁。
）3. 受内压作用的封闭薄壁圆筒，在通过其壁上任意一点的纵、横两个截面中。
A：纵、横两截面均不是主平面； B：横截面是主平面、纵截面不是主平面；C：纵、横二截面均是主平面； D：纵截面是主平面，横截面不是主平面；答案正确选择：C （在受内压作用的封闭薄壁圆筒的壁上任意取一点的应力状态为二向不等值拉伸，其σx =pD/4t、σy=pD/2t。
材料力学第七章_3_ 应变能密度和强度理论概要
材料力学
第 7章 应力和应变分析·强度理论
[例9－8]证明弹性模量E 、泊松比µ 、切变弹性模量G 之间 的关系为 G E 。
2(1 )
证明： 纯剪应力状态应变能密度为
3
v1
1
2
1 2
2G
1 , 2 0, 3
1
用主应力计算比能
v2
1 2E
[
2 1
2 2
2 3
2 (1 2
2 3
1
3
k
1
3
2
OC
B
3
1
2
1 3
河南理工大学土木工程学院
A
材料力学
第 7章 应力和应变分析·强度理论
各向同性材料的广义胡克定律：
εx
1 E
σx
μ
σy
σz
εy
1 E
σy
μσz
σx
εz
1 E
σz
μ
σx σy
xy
xy
G
,
yz
yz
G
,
zx
zx
G
上述一组方程为用应力表示应变，若用应变表示应力，
河南理工大学土木工程学院
材料力学
第 7章 应力和应变分析·强度理论
二、常用四个强度理论
● 第一强度理论（最大拉应力理论） 该理论不论材料处于什么应力状态，引起材料脆性断裂
破坏的主要原因是最大拉应力，并认为当复杂应力状态的最 大拉应力达到单向应力状态破坏时的最大拉应力时，材料便 发生断裂破坏。由此，材料的断裂判据为
一、强度理论的概念
1. 什么是强度理论 强度理论是关于材料破坏原因的学说。
工程力学c材料力学部分第七章 应力状态和强度理论
无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值， 无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值，为了找 到构件内最大应力的位置和方向 需要对各点的应力情况做出分析。 最大应力的位置和方向， 到构件内最大应力的位置和方向，需要对各点的应力情况做出分析。
受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 研究一点的应力状态时， 应力状态 。研究一点的应力状态时，往往围绕该点取一个无限小 的正六面体—单元体来研究。 单元体来研究 的正六面体 单元体来研究。
σ2
σ2
σ1
σ1
σ
σ
σ3
三向应力状态
双向应力状态
单向应力状态 简单应力状态
复杂应力状态 主应力符号按代数值的大小规定： 主应力符号按代数值的大小规定：
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
平面应力状态的应力分析—解析法 §7−2 平面应力状态的应力分析 解析法
图(a)所示平面应力单元体常用平面图形(b)来表示。现欲求 )所示平面应力单元体常用平面图形( )来表示。现欲求 垂直于平面xy的任意斜截面 上的应力 垂直于平面 的任意斜截面ef上的应力。 的任意斜截面 上的应力。
二、最大正应力和最大剪应力
σα =
σ x +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
τα =
令
σ x −σ y
2
sin 2α + τ x cos 2α
dσ α =0 dα
σ x −σ y
2
sin 2α +τ x cos2α = 0
可见在 τ α
=0
材料力学应力和应变分析强度理论
§7–5 广义虎克定律
y
一、单拉下旳应力--应变关系
x
x
E
y
E
x
ij 0 (i,j x,y,z)
二、纯剪旳应力--应变关系
z
E
x
z
y
xy
xy
G
i 0 (i x,y,z)
z
yz zx 0
x
x
xy
x
三、复杂状态下旳应力 --- 应变关系
y
y
x
y x
z
xy
z
x
依叠加原理,得:
x
1
(MPa)
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
45 25 3
95
60°
i j
x
2
y
（
x
2
y
）2
2 xy
y
1
25 3 y 45MPa
° 5
0
Ox
6095MPa 6025 3MPa
yx 25 3MPa xy
x ?
x
y
2
sin 2
xy cos 2
25 3 x 45 sin 120o 25 3 cos120o
y
z
z
y
证明: 单元体平衡 M z 0
xy x
x
( xydydz)dx( yxdzdx)dy0
xy yx
五、取单元体： 例1 画出下图中旳A、B、C点旳已知单元体。
F
A
y
F x
x
A
B
C z
x B x
zx
xz
F
Mex
yx
C
xy
FP
材料力学第七章 应力状态
主平面的方位：
tan
2a0
2 xy x
y
主应力与主平面的对应关系： max 与切应力的交点同象限
例题：一点处的平面应力状态如图所示。
已知 x 60MPa， xy 30MPa, y 40MPa, a 30。
试求（1）a 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
x y cos 2a
2
x sin 2a
x
a
x y sin 2a
2
x cos 2a
300
10 30 2
10 30 cos 60020sin 600
2
2.32 MPa
300
10 30 sin 600 2
20cos 600
1.33 MPa
a
20 MPa
c
30 MPa
b
n1
y xy
a x
解：（1）a 斜面上的应力
y xy
a
x
2
y
x
2
y
cos 2a
xy
sin 2a
60 40 60 40 cos(60 ) 30sin(60 )
2
2
a x 9.02MPa
a
x
y
2
sin
2a
xy
cos
2a
60 40 sin(60 ) 30cos(60 ) 2
58.3MPa
2
1.33 MPa
300 600 x y 40 MPa
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ 的和为
一常数。
证明： a
x y
材料力学-应力分析、强度理论
点的研究常采用分析单元体的方法
Down Up
σy y
空间一般应力状态
y
σy
A
σx x
τxy
平面一般应力状态
τyz
τxz
σx
τxy
x
z σz
7
Down Up
主平面：若单元体上某个平面上的切应力为零，
则该平面称为主平面。
而主平面上的正应力称为主应力。
主单元体：所有面均为主平面的单元体。
σ3 σ2
σ1 σ2
例如：拉(压)杆横截面上各点的应力状态
P
P
k
σ
k
P
FN =σA
σ= FN/A
10
分析薄壁圆筒受内压时的应力状态
σ’’ m n
n
σ’
k σ’ p
Dp
p
σ’’ l
πD
2
m
(D
)
n
4
pD
4
n
2
plD (2l
)
dq
Oq
p
D
t
pD
2
直径平面
pD
2
1
3 p 0 11
例7.2 圆球形薄壁容器，壁厚为δ，内径为D，
切应力2个下标的意义：
第1个下标表示切应力所 τyx
< 0 σy
在的面；
σx
第2个下标表示切应力实际 沿那个坐标轴的方向。
x
τxy > 0
18
7.3 二向应力状态分析----解析法
若图示单元体上的应力
y
σx、 σy 、τxy
ττyxxy
均为已知，
则由平衡方程可求得 σx 斜角为α的斜截面上
应力应变分析与强度理论
ax in
m
ax
2
m in
极值切应力等于极值正应力差的一半。
材料力学电子教案 C 机械工业出版社
§7.2 平面应力状态分析的解析法
三、极值切应力和主平面夹角
注意到 则 所以
tan
2 0
2 xy x
y
tan
21
x 2 xy
y
tan
20
第7章 应力应变分析与强度理论
§7.1 应力状态的概念 §7.2 平面应力状态分析的解析法 §7.3 平面应力状态分析的图解法 §7.4 三向应力状态简介 §7.5 平面应力状态的应变分析 §7.6 广义胡克定律 §7.7 强度理论概述 §7.8 四个常用的强度理论 §7.9 莫尔强度理论
材料力学电子教案 C 机械工业出版社
7.2.3 极值切应力及其作用面 一、极值切应力方位角
d 0 d
( x y ) cos 2 2 xy sin 2 0
得
tan
21
x 2 xy
y
二、最大、最小切应力
m m
ax in
x
2
y
2
2 xy
m m
主应力通常用1、 2 和 3 表示，它们的顺序按代 数值大小排列，即 1 2 3 。
材料力学电子教案 C 机械工业出版社
§7.1 应力状态的概念
7.1.4 应力状态的分类 1. 单向应力状态 (简单应力状态 ) 三个主应力中，只有一个不等于零 2. 二向应力状态 (复杂应力状态 ) 有两个应力不等于零 3. 三向应力状态 (复杂应力状态 ) 三个主应力都不等于零
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§7．9 复杂应力状态的应 变密度
变形(应变)比能
1、微元应变能(Strain Energy)
s2
s1dydz~1dx
dy
s 1 s2dxdz~2dy
dz
s 3 dx
s3dydx~3dz
dW=
1 2
s
1d
yd
z
1d
x
1 2
s
2d xd z
2d y
1 2
s
3dxdy
3d z
s 1 1 s 2 2 s 3 3 d x d y 242 xy
R c
s x'
应
力
圆
sx s y
2
应2
变 圆
C( x y ,0) 2
R C
R ( x
) ( ) y 2
xy 2
2
2
三、最大应变与主应变
m m a in x1 2[(xy)(xy)2x 2y ]
Tan2
xy
0
x
y
1 ()22]
例 壁厚t=10mm、外径D=60mm的圆筒，在
表面上k点与其轴线成45度角和135度角，x、
y两方向上分别贴上应变片，然后使其承受外 力矩m的作用，发生扭转变形，如图所示。 已知圆筒材料的弹性模量为E=200GPa， v=0.3。若该圆筒的变形在弹性范围内，且k 点横截面上的剪应力为t =80MPa，试求圆筒 k点处的线应变 x、 y及变形后的筒壁厚度。
一、任意方位的应变分析
研究正应变
( O)x B xdcxo s
(O)B y ydsyin
( O)x B yxd y cyo
(d)l(O)B
( O )x B ( O )y B ( O )xy B
( d ) ld cx o d s s y i n d cy o
x
y
xy
(d)l
dl
t xy z E 1[sz(sxsy)
xy
t xy
G
yz
t yz
G
zx
t zx
G
三、三个弹性常数之间的关系
G
E
21
第六节 复杂应力状态的应变比能
一、应变比能
在轴向拉伸或压缩时，根据外力功 和应变能在数值上相等的关系，导 出比能的计算公式为
u 1s s2
2 2E
本节讨论在已知主应力的复杂应力状态下的比能
（2）求变形后的筒壁厚度 由于k点处的径向方向即为z方向，且 sz=s2=0，所以
z [sz (sx sy)/]E 0
薄壁圆筒纯扭转变形时，筒内任一点 都处在纯剪切应力状态。用类似方法 可推知筒壁中任一点处（该点到圆心 的距离为 ）的径向应变为
εzρE(τρτρ)0
因此，该薄壁圆筒变形后 的厚度并无变化，仍然为 t=10mm.
铝块在压力P作用下，上、下两个面及y面 上受到压应力为
σyA P6 016 0 Nm 260MP 铝块在前、后两个面不受约束，在P的
作用下，z方向的变形是自由的，所以
εz 0σ,z 0
铝块在左、右两个面上，由于是刚体，所以 在P力作用下，x方向受到约束力不能变形，故
εx0σ,x0.
由广义胡克定律及上述可得
u v : Strain-Energy Density Corresponding to the Change of Volume
ud
ss ss ss 1 6 E1 2 2 23 2 31 2
uv 16E 2s1s2s32
ud uv u
作业
7．19（a）、（b） 7．26 7．28
例每边长均为10mm的钢质立方体放入一个四周为 刚性的立方孔（立方孔的宽度正好是10mm），若
tyx sy
tyx sy
sx
sz
txy
sx
sz txy
s2 s1
s3
200 50
300 s "
s'
50
t s''' s
t
300 s " s '''
50
s
s'
*§7．6位移与应变分量
自学
*§7．7 平面应变分析
当构件内某 点处的变形 均平行于某 一平面时， 则称该点处 于平面应变 状态。
所以 mWtt1d361E45o
例 边长为10mm的铝质方块，紧密无隙 地嵌入一个深度和宽度都是10mm的钢槽 中，如图所示。当铝块受到P=60MPa的
作用时，设钢块不变形。若铝的弹性模量 E=70GPa，v=0.3.求铝块的三个主应力、 三个主应变。
P
10 10 10
y
x z
解：（1）求主应力及主应变
• 然后，再进行叠加。
正应力分量在不同方向对应的应变
sx
s y
sz
x
1 E
s
x
E
s
y
E
s
z
y
E
s
x
1 E
s
y
E
s
z
z
E
s
x
E
s
y
1 E
s
z
得出 x、y和 z方向的线应变表达式为
x
1 E
sx
(s y
s
z
)
y
1 E
s
y
(s z
s
x
)
z
1 E
sz
(s x
s
y)
根据剪切虎克定律，在 x y、yz和zx三个面内的
2 max
x
y
xy
四、通常采用测定一点处沿εa、εb、 εc三个方向的线应变的方法，来确定该点处 的主应变εl、ε2及其方向。
εa、εb、εc εx、εy、γxy
ε1、ε2
§7．8 广义胡克定律
一、广义胡克定律
1． 单向应力状态的虎克定律
轴向拉伸 sE 或
或压缩时
由于轴向变形还
1s
E
s
sm13(s1s2s3)
称为体积弹性模量
是三个主应力的平均值
体积应变只与平均应力有关，或者说只与三个主应力之 和有关，而与三个主应力之间的比值无关。体积应变与 平均应力成正比，称为体积虎克定律。
例题：图示直径为d的圆截面轴，承受力偶 矩m的作用。设由实验测得轴表面上与轴线
成-45o方向正应变ε-45o，试求力偶矩m之值。
2.再通过应力状态分析，找到正应力σ-45o (σ45o)和横截面上的剪应力τ的关系。 3.而τ是由外力偶矩引起的，由此即可求出外力
偶矩m的大小。
s s t 解:
405405
45o
1 E
[s
45o
s 45o ]
τ
1 t
E
由此得
t
E
1
4 50
由圆轴扭转应力公式: t T m
Wt Wt
'''
xy
dl sin
2 xy
(x y)s2 in xc y 2 o
xysi2 nxyco2s
22
2
二、应变圆
x 2yx 2yc2 o s2 xy si2 n
xysi2 nxy co 2 s
22
2
(x 2y)2 (2 )2x 2ys2 in (2 x)y
t x'y'
引起横向变形
E
2． 纯剪切应力状态的虎克定律
t G 或
1t
G
3．复杂应力状态的广义 虎克定律
一般情况 下，描述 一点处的 应力状态 需要九个 应力分量
• 在小变形及线弹性范围内，线应变 只与正应力有关，而与剪应力无关；
• 剪应变只与剪应力有关，而与正应 力无关，满足应用叠加原理的条件。
• 所以，我们利用单向应力状态和纯 剪切应力状态的虎克定律，分别求 出各应力分量相对应的应变，
uuV uf
对于图所示的应力状态（只发生体积改变），将平均应力s m 代
入公式，得到单元体的体积改变比能为
s1 s2 64.5MPa
s3 150MPa
对于各向同性材料
一、横向变形与泊松比
x
sx
E
y x sEx
sx
--泊松比
二、三向应力状态的广义胡克定律
－叠加法
s2
1E 1s1s2s3
s 1 2E 1s2s3s1
s3
3E 1s3s1s2
sy
x E 1[sx(sysz)
y z
x
s
y
x
E 1[sy(szsx)
3
1 E
s 3
(s 1
s 2 )
sss ssssss u 2 1 E1 2 2 2 3 3 2(12 23 31 )
二、体积改变比能和形状改变比能 u 对于单元体的应变能 也可认为是由以下两部分组成：①因体
积改变而储存的比能 u V 。称作体积改变比能。②体积不变，只
因形状改变而储存的比能 u f 。称作形状改变比能（或歪形能）
王培荣
2020年4月18日
教学要求 •1.了解三向应力状态的应力圆画法，熟练掌 握单元体最大剪应力计算方法。 •2.掌握广义胡克定律及其应用。 •3.了解关于复杂应力状态下变形比能、形状 改变比能和体积改变比能的一些主要结论和 公式。
§7．5 三向应力状态
三向应力状态特例的一般情形
至少有一个主应力及其主方向已知
2、应变比能(Strain-Energy Density)
ud dW V1 2s11s2d x 2d ysdz33dxdydz 1 2s11s22s33