应力和应变分析强度理论
13应力应变分析及强度理论
15 . 5 90 105 . 5 0
x y
15 . 5 主应力 1 方向： 0
主应力
3
105 .5 方向： 0
18
（3）主单元体：
y
xy
3
1
15.5
x
19
13-5空间应力状态
代表单元体任意斜截面上应力 的点，必定在三个应力圆 圆周上或圆内。
纯剪切应力状态下： u=τ 2/2G
复杂应力状态下：
u= σ1ε1/2+ σ2ε2/ 2 + σ3ε3/ 2
= [σ12+ σ22+ σ32-2μ（σ1σ2+σ2σ3 +σ3σ1）] /2E
三、体积改变比能和形状改变比能
单元体的变形表现为 体积的改变和形状的改变，其变形 能和比能也由以下这两部分组成：
σ
3
σ1
σ2
σ2
σ
σ1
3
8
13-2 平面应力状态分析-解析法
一个微分六面体可以简化为平面单元体
9
1.斜截面上的应力
y
x
yx
a
xy
x
α
a
n
dA
x
y
a
xy
yx
F 0
n
t
y
F 0
t
10
1 1 ( ) ( ) cos 2 sin 2 x y x y xy 2 2
33
（2）最大伸长线应变理论（第二强度理论）脆性断裂 最大伸长线应变是引起材料断裂破坏的主要因 观点： 素，即认为无论是单向或复杂应力状态， 1 是
材料力学应力和应变分析强度理论
§7–5 广义虎克定律
y
一、单拉下旳应力--应变关系
x
x
E
y
E
x
ij 0 (i,j x,y,z)
二、纯剪旳应力--应变关系
z
E
x
z
y
xy
xy
G
i 0 (i x,y,z)
z
yz zx 0
x
x
xy
x
三、复杂状态下旳应力 --- 应变关系
y
y
x
y x
z
xy
z
x
依叠加原理,得:
x
1
(MPa)
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
45 25 3
95
60°
i j
x
2
y
（
x
2
y
）2
2 xy
y
1
25 3 y 45MPa
° 5
0
Ox
6095MPa 6025 3MPa
yx 25 3MPa xy
x ?
x
y
2
sin 2
xy cos 2
25 3 x 45 sin 120o 25 3 cos120o
y
z
z
y
证明: 单元体平衡 M z 0
xy x
x
( xydydz)dx( yxdzdx)dy0
xy yx
五、取单元体： 例1 画出下图中旳A、B、C点旳已知单元体。
F
A
y
F x
x
A
B
C z
x B x
zx
xz
F
Mex
yx
C
xy
FP
9第九章 应力、应变分析、强度理论123
第九章 应力、应变分析、强度理论一、是非题9-1、单元体最大正应力面上的剪应力恒等于零。
（ ）9-2、单元体最大剪应力面上的正应力恒等于零。
（ ）9-3、依照剪应力互等定理，一单元体中两个平面上的剪应力数值相等，符号相反，则这两平面必定相互垂直。
（ ）9-4、 只要构件横截面上的轴力N=0，则该横截面正应力处处为零。
（ ）9-5、 梁受横力弯曲时，其横截面上各点处的主应力必定是σ1≥0，σ3≤0。
（ ）9-6、 等截面圆杆受纯扭转时，杆内任一点处只有剪应力，而无正应力。
（ ）9-7、若受力构件中一点处，某方向上的线应变为零，则该方向上的正应力必为零。
（ ）9-8、若受力钢质构件中的一点处，某相互垂直方向的剪应变为零，则该方向上的剪应力必为零。
（ ） 9-9、若各向同性材料单元体的三个正应力σx >σy >σz ，则对应的三个线应变也有εx >εy >εz 。
（ ） 9-10、 各向同性单元体的三个主应变为ε1≠0，ε2≠0，ε3=0，若（1）、当ε1>0，则必有σ1>0；（ ）（2）、当ε1>ε2，则必有σ1>σ2；（ ）（3）、当ε1>ε2>0，则()()21max 12εεμτ-+=E 。
（ ） 9-11、各向同性材料在三向均匀压缩或拉伸时，其形状改变比能恒等于零。
（ ）二、选择题9-12、单元体应力状态如图9-1所示，由x 轴至σ1方向的夹角为（ ）。
A 、＋13.5°；B 、－76.5°；C 、＋76.5°；D 、－13.5°。
9-13、 若已知σ1=5MP a ，则另一个主应力为（ ）。
A 、σ2=－85MP a ；B 、σ3=－85MP a ；C 、σ2=75MP a ；D 、σ3=－75MP a 。
9-14、 三种应力状态分别如图9-2a 、b 、c 所示，则三者间的关系为（ ）。
A 、完全等价；B 、完全不等价；C 、（b ）和（c ）等价；D 、（a ）和（c ）等价。
第七章 应力状态、应变分析和强度理论
§7-3 平面应力状态分析－－解析法
二、 正应力极值
1 1 ( x y ) ( x y ) cos 2 xy sin 2 2 2 d ( x y ) sin 2 2 xy cos 2 d
设α＝α0 时，上式值为零，即
2
1 0, 2 0, 3 0
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念
3、三向（空间）应力状态 三个主应力1 、2 、3 均不等于零
2 1
3 1
3 2
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念
仅在微体四侧面作用应力，且 应力作用线均平行于微体的不 受力表面－平面应力状态
1
1
1
1
3
3
1 0, 2 0, 3 0
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念 2、二向（平面）应力状态 三个主应力1 、2 、3 中有两个不等于零
3 2 3 2
3
2
1
3
1
1
1
1 0, 2 0, 3 0
Ft 0
dA ( x dAcos )cos ( x dAcos )sin ( y dAsin )sin ( y dAsin )cos 0
§7-3 平面应力状态分析－－解析法
一、任意斜截面上的应力公式 已知： x , y , x , y , dA 求： ，
sin 2 xy cos 2
2 xy 2 ( 50) tan 2 0 1 x y 40 60 2 0 45 135
y =60 MPa xy = -50MPa =-30°
应力应变分析与强度理论
ax in
m
ax
2
m in
极值切应力等于极值正应力差的一半。
材料力学电子教案 C 机械工业出版社
§7.2 平面应力状态分析的解析法
三、极值切应力和主平面夹角
注意到 则 所以
tan
2 0
2 xy x
y
tan
21
x 2 xy
y
tan
20
第7章 应力应变分析与强度理论
§7.1 应力状态的概念 §7.2 平面应力状态分析的解析法 §7.3 平面应力状态分析的图解法 §7.4 三向应力状态简介 §7.5 平面应力状态的应变分析 §7.6 广义胡克定律 §7.7 强度理论概述 §7.8 四个常用的强度理论 §7.9 莫尔强度理论
材料力学电子教案 C 机械工业出版社
7.2.3 极值切应力及其作用面 一、极值切应力方位角
d 0 d
( x y ) cos 2 2 xy sin 2 0
得
tan
21
x 2 xy
y
二、最大、最小切应力
m m
ax in
x
2
y
2
2 xy
m m
主应力通常用1、 2 和 3 表示，它们的顺序按代 数值大小排列，即 1 2 3 。
材料力学电子教案 C 机械工业出版社
§7.1 应力状态的概念
7.1.4 应力状态的分类 1. 单向应力状态 (简单应力状态 ) 三个主应力中，只有一个不等于零 2. 二向应力状态 (复杂应力状态 ) 有两个应力不等于零 3. 三向应力状态 (复杂应力状态 ) 三个主应力都不等于零
应力和应变分析和强度
泊松比
总结词
泊松比是描述材料横向变形与纵向变形之间关系的物理量。
详细描述
当材料受到外力作用时，会发生形变。泊松比是表示材料在受到外力作用时，横向变形与纵向变形之间的比例关 系。其值通常在-0.5到0.5之间，但不同材料的泊松比可能会有所不同。
屈服强度
总结词
屈服强度是描述材料在受到外力作用时开始发生屈服现象的应力极限。
应力和应变分析和强度
目录
• 应力分析 • 应变分析 • 强度分析 • 材料性能 • 应力和应变的关系 • 工程应用
01
应力分析
定义与概念
01
02
03
应力
物体受到外力作用时，单 位面积上的内力。
应变
物体在外力作用下发生的 形状和尺寸的改变。
应力分析
通过数学模型和实验手段， 研究物体在受力状态下的 应力分布、大小和方向的 过程。
应力分类
正弯曲应力
由于弯曲产生的应力。
扭曲应力
由于扭曲产生的应力。
应力计算方法
解析法
通过数学公式和物理定律，计算应力 的方法。
有限元法
将物体离散化为有限个小的单元，通 过求解每个单元的应力，再组合得到 整体的应力分布。
实验法
通过实验手段测量物体的应力分布。
应变计算方法
有限元分析法
有限元分析是一种数值计算方法，通过将物体离散化为有限个小的单元，对每个 单元进行受力分析和形变计算，再通过单元的集合来模拟整个物体的形变。这种 方法可以处理复杂的几何形状和边界条件，广泛应用于工程领域。
实验测量法
通过在物体上粘贴应变片或使用激光干涉仪等设备来测量物体的形变，这种方法 可以直接获得物体的应变值，但需要专业的设备和操作技能。
工程力学四大强度理论的基本内容
工程力学中四大强度理论的基本内容一、四大强度理论基本内容介绍：1、最大拉应力理论（第一强度理论）：这一理论认为引起材料脆性断裂破坏的因素是最大拉应力，无论什么应力状态，只要构件内一点处的最大拉应力σ1达到单向应力状态下的极限应力σb，材料就要发生脆性断裂。
于是危险点处于复杂应力状态的构件发生脆性断裂破坏的条件是：σ1=σb。
σb/s=[σ] ，所以按第一强度理论建立的强度条件为：σ1≤[σ]。
2、最大伸长线应变理论（第二强度理论）：这一理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素，无论什么应力状态，只要最大伸长线应变ε1达到单向应力状态下的极限值εu，材料就要发生脆性断裂破坏。
εu=σb/E；ε1=σb/E。
由广义虎克定律得：ε1=[σ1-u(σ2+σ3)]/E 所以σ1-u(σ2+σ3)=σb。
按第二强度理论建立的强度条件为：σ1-u(σ2+σ3)≤[σ]。
3、最大切应力理论（第三强度理论）：这一理论认为最大切应力是引起屈服的主要因素，无论什么应力状态，只要最大切应力τmax达到单向应力状态下的极限切应力τ0，材料就要发生屈服破坏。
依轴向拉伸斜截面上的应力公式可知τ0=σs/2（σs——横截面上的正应力）由公式得：τmax=τ1s=（σ1-σ3）/2。
所以破坏条件改写为σ1-σ3=σs。
按第三强度理论的强度条件为：σ1-σ3≤[σ]。
4、形状改变比能理论（第四强度理论）：这一理论认为形状改变比能是引起材料屈服破坏的主要因素，无论什么应力状态，只要构件内一点处的形状改变比能达到单向应力状态下的极限值，材料就要发生屈服破坏。
二、四大强度理论适用的范围1、各种强度理论的适用范围及其应用（1）、第一理论的应用和局限应用：材料无裂纹脆性断裂失效形势（脆性材料二向或三向受拉状态；最大压应力值不超过最大拉应力值或超过不多）。
局限：没考虑σ2、σ3对材料的破坏影响，对无拉应力的应力状态无法应用。
（2）、第二理论的应用和局限应用：脆性材料的二向应力状态且压应力很大的情况。
本章应力和应变分析与强度理论的知识结构框图
本章应力和应变分析与强度理论的知识结构框图本章应力和应变分析与强度理论重点、难点、考点本章重点是应力状态分析，要掌握二向应力状态下斜截面上的应力、主应力、主平面方位及最大切应力的计算。
能够用广义胡克定律求解应力和应变关系。
理解强度理论的概念，能够按材料可能发生的破坏形式，选择适当的强度理论。
难点主要有 ① 主平面方位的判断。
当由解析法求主平面方位时，结果有两个相差 90 ”的方位角，一般不容易直接判断出它们分别对应哪一个主应力，除去直接将两个方位角代人式中验算确定的方法外，最简明直观的方法是利用应力圆判定，即使用应力圆草图。
还可约定y x σσ≥，则两个方位中绝对值较小的角度对应max σ所在平面。
② 最大切应力。
无论何种应力状态，最大切应力均为2/)(31max σστ-=，而由式（ 7 一 l ）中第二式取导数0d d =ατα得到的切应力只是单元体的极值切应力，也称为面内最大切应力，它仅对垂直于Oxy 坐标平面的方向而言。
面内最大切应力不一定是一点的所有方位面中切应力的最大值，在解题时要特别注意，不要掉人“陷阱”中。
本章主要考点： ① 建立一点应力状态的概念，能够准确地从构件中截取单元体。
② 二向应力状态下求解主应力、主平面方位，并会用主单元体表示。
会计算任意斜截面上的应力分量。
③ 计算单元体的最大切应力。
④ 广义胡克定律的应用。
⑤ 能够选择适当的强度理论进行复杂应力状态下的强度计算，会分析简单强度破坏问题的原因。
本章应力和应变分析与强度理论的习题分类及解题要点：本章习题大致可分为四类：( l ）从构件中截取单元体这类题一般沿构件截面截取一正六面体，根据轴力、弯矩判断横截面上的正应力方向，由扭矩、剪力判断切应力方向，单元体其他侧面上的应力分量由力平衡和切应力互等定理画完整。
特别是当单元体包括构件表面（自由面）时，其上应力分量为零。
( 2 ）复杂应力状态分析一般考题都不限制采用哪一种方法解题，故最好采用应力圆分析，它常常能快速而有效地解决一些复杂的问题。
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总结：
y
x
薄壁圆筒的三个主应力为：
1
y
pD
2
2
x
pD
4
3 z 0
精品课件
薄壁圆筒为两向应力状态
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态实例
注意事项
1.注意单位配套使用； 2.轴向正应力是横向正应力的两倍； 3.按规定排列正应力。
精品课件
课本215页例7.1 如下
精品课件
由Q235钢制成的蒸汽锅炉，壁厚δ=10mm，内 径D=1m，蒸汽压力p=3MPa，试计算锅炉壁内任 意一点处的三个主应力。
精品课件
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
二向应力状态下，单元体各面上应力 分量皆为已知，如下图所示：
e
x
y
yx
xy
x
f
y
求垂直于xy平面的任意斜截面ef上的应力
精品课件
及主应力和主平面
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
一.符号规定
1.正应力正负号规定
x
x
1
2
pD
4
3 0
受内压的球形薄壁容器为二向应力状态
精品课件
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
§7.3 二向应力状态分析
——解析法
精品课件
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
◆ 解析法解决的问题 二向应力状态下，已知通过一
点的某些截面上的应力后，确定通过这 一点的其他截面上的应力，以及确定主 应力和主平面。（举例说明如下）
x(pD) ppD 42
x
pD
4
2.求竖直方向上的正应力σy
精品课件
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态实例
ｐ×Ｄ×ｌ
y
ｐ
y
y(2l)
Fy 0
y(2 l)p (D l)
y
pD
2
精品课件
3.求垂直于纸面方向上的正应力σz
薄壁圆筒与纸面垂直方向上的σz为零.
精品课件
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态实例
精品课件
y x
经分析，薄壁圆筒为两向应力状态
x
pD
4
y
pD
2
1 y 2 x 3 z 0
精品课件
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态实例
2. 圆球形容器的壁厚为δ，内径为D，内压为p， 求容器内任意一点的应力。
ｐ
注：薄壁圆球受力均匀，因此，任意点的 应力状态均相同。
精品课件
1.求水平方向上的正应力σx
1.Q235钢制成的薄壁圆筒形蒸汽锅炉，壁厚δ，内径D， 蒸汽压力p，试计算锅炉壁内任意一点处的三个主应力。
L
ｐ
注：薄壁圆筒受力均匀，因此，任意点的应力状 态均相同。
精品课件
1.求水平方向上的正应力σx
精品课件
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态实例
x
x (p D)
ｐπD２
ｐ
４
x
Fx 0
精品课件
精品课件
x
拉为正
x
压为负
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
（A）正应力一定最大； （B）正应力一定为零； （C）切应力一定最小； （D）切应力一定为零。
精品课件
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态实例
§7.2 二向应பைடு நூலகம்状态实例
精品课件
一. 二向应力状态实例
承受内压薄壁容器任意点的应力状态 1. 圆柱形 2. 圆球形
精品课件
二. 二向应力状态实例分析
第七章 应力和应变分析
强度理论
精品课件
应力和应变分析 强度理论/应力状态概述
§7.1应力状态概述
精品课件
应力和应变分析 强度理论/应力状态概述
一.应力的三个重要概念
1. 应力的面的概念 2. 应力的点的概念 3. 应力状态的概念
精品课件
应力和应变分析 强度理论/应力状态概述
1. 应力的面的概念
精品课件
2.关于单元体的描述，下列正确的是 （A）单元体的三维尺寸必须是微小的； （B）单元体是平行六面体； （C）单元体必须是正方体； （D）单元体必须有一对横截面。
精品课件
3.对于图示承受轴向拉伸的锥形杆上的A点， 哪一种应力状态是正确的。
A
yx
精品课件
x yx
x yx
xy x
xy x
y
4.在单元体的主平面上（）。
精品课件
应力和应变分析 强度理论/应力状态概述
★同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式：
y
yx
y
xy
x
x
y '' yp xp
x''
x-y坐标系
xp-yp坐标系
对比后者应力状态与前者有何不同。
精品课件
应力和应变分析 强度理论/应力状态概述
主平面：
3
单元体上切应力为零的平面。
主应力：
1
2
主平面上的正应力。
一个主应力为零的应力状态。 主应力都不为零的应力状态。
应力和应变分析 强度理论/应力状态概述
应力状态的示意图：
简单应力状态
复杂应力状态
单向 纯剪切 二向
三向
应力状态 应力状态 应力状态 应力状态
3
精品课件
1
2
y
巩固练习
精品课件
1.过受力构件内一点，取截面的不同方位， 这一点在各个面上的（）。 （A）正应力相同，切应力不同； （B）正应力不同，切应力相同； （C）正应力和切应力都相同； （D）正应力和切应力都不同。
ｐ
精品课件
x
F 内 x(pD )ｐ
x
F外
p
pD2
4
Fx 0
精品课件
x
pD
4
2.求竖直方向上的正应力σy
ｐ
精品课件
ｐ
y
y
由球体形态的特殊对称性，得
y
x
pD
4
精品课件
3.求垂直于纸面方向上的正应力σz
ｐ
薄壁圆筒与纸面垂直方向上的σz为零.
精品课件
球形薄壁容器的三个主应力为：
0 y
x
pD
4
z
通过任意的受力构件中任意一点，总可以找到三个
相互垂直的主平面，因此每一点都有三个主应力，以
s1，s2 和 s3 表示。
s1s2 s3
精品课件
三.应力状态的分类
简 单
单向应力状态
应
力 状
纯剪切应力状态
态
复 杂
两向应力状态
应
力 状 三向应力状态
态
精品课件
两个主应力为零的应力状态。 只有切应力的应力状态。
精品课件
应力和应变分析 强度理论/应力状态概述
3. 应力状态的概念
应力 指明
哪一个面上？ 哪一点？ 哪一点？ 哪个方向面？
过一点不同方向面上所有应力的集合，
称之为这一点的应力状态。
精品课件
应力和应变分析 强度理论/应力状态概述
二.主平面和主应力
• 围绕一点取出单元体
dx, dy, dz 0
用单元体的应力状态代替一点的应力状态。
F 轴向拉压:
F
对比同一点在不同截面上的应力是否相同？
即使同一点在不同方位的截面上，它的应 力也是各不相同的，此即应力的面的概念。
精品课件
应力和应变分析 强度理论/应力状态概述
2. 应力的点的概念
M
FS
横力弯曲时矩形截面上正应力和切应力分布图 对比同一个面上不同点的应力是否相同？
同一面上不同点的应力各不相同， 此即应力的点的概念。