应力分析和强度理论
单向应力状态 纯剪应力状态
思考：在下面单元体上，应 力已知，则该单元体所代表 的点处于什么应力状态？
y
50MPa
50MPa
50MPa
x
思考：纯剪应力状态，对 应于几向应力状态？
y
τy τx
x
§7-3 二向应力状态分析—解析法
如图所示原始单元体
取任意斜截面假想将单元体
y x
xy
分为两部分
x
xy
x
2
sin 2
45o: 2,m ax 2; 45o: 2,m in 2;
例题：原始单元体如图示。试求：
50
1）. 30o斜截面上的应力；
2）.主应力，主平面；
30o
30
3）.最大剪应力。
30o
20
解：写出各应力元素的具体数值
x 30MPa,y 50MPa,
应力单位：MPa
xy 20MPa,30o.
Ft 0:
x
t
n
dA (xd A co s)sin xy dA
(xydAcos)cos yx
(yxdAsin)sin
y
(ydAsin)cos 0
(x y ) s i n c o s x y c o s 2 y x s i n 2
又注三意角到公：式xy：c 2 o yx s 1 c2 o ,s s2 in 1 c2 o s
123
■ 应力状态概念的进一步说明
根据单元体的平衡条件分析任意方向面上的应力情况
拉中有剪
剪中有拉
根据单元体的平衡条件说明：同一单元体的不同方向面上 的应力一般是不相同的。这便是应力的截面方位的概念。
小结：一点的应力状态:
通过同一点所取截面方向不同，应力的大小也不 同。应力既是点的位置的函数，也是过该点的截面方 位的函数。
(xy)/2
min
e
d’
o
c
(y ,yx) b maxe’
在主剪应力面上( e, e’ ):
12(x y) a (x ,xy) max 圆心横坐标:
d
min
oc
1 2
(
xLeabharlann y)1 2
(
max
min
)
x y m a m x in
例题：原始单元体如图示。试用图解法求解：
1. 300， 300； （300）
■ 基本变形原始单元体的画法（各侧面应力已知的单元体）
P
P
1、截取无限小六面体作为单元体；
1）截取横截面； 2）在横截面上平行于边缘截取小矩形； 3）从横截面开始缘截取小立方体；
2、分析单元体各个面的含义，分清哪个面是横截面；
N A
3、按照杆件受力的特点，在横截面上画出相应的应力；
4、画出单元体其他各面上的应力；
yx
y
二向应力状态的解析法
Fn 0:
x
t
n
dA (xdcAo)scos
(xydc Ao)ssin
xy dA yx
(yxdA si n)cos
y
(ydA si n)si n 0
x c o s 2 y s i n 2 ( x y y x ) s i n c o s
二向应力状态的解析法
右视图
M
M
M
T
T Wt
T Wt
弯曲梁上一点的单元体，剪力和弯矩都不为0，在横截面 上，既有剪应力也有正应力
dx
弯曲梁上四个点的单元体。四个点在横截面上，既有 剪应力也有正应力
P
P
z
P z
max
Q.SZmax IZb
m ax
M Wz
m ax
M Wz
M y Iz
Q
S
z
I zb
l
S
F
a
y
1
max min
m x a2 2 xm yinmxa 2xy2x2 y --- (3)
• (3)式中两式相加:
mmmmianxianx
m x 2 a m xx y2 iyn x 2 x 2xyy2y2x2 y
--- (4) ---（3）
例：讨论单向应力状态
x,yxy0
2x2xco 2sxco 2s
x
x
z
z
zx zy
xz yz
xy
yx
y
y
二向（平面）应力状态 Biaxial ( Plane) Stress State
z 0
yz 0
zx 0
x
定义：在一个单元体上， 两个主应力均不为0，则 称该单元体所代表的点 处于二向应力状态。
y
yx xy
x
y
y
x x
y
τyx
τxy
x
单向应力状态 ( Uniaxial Stress State )
对(1)式第一式求导, 得:
d d x 2 2 [ y x 2 x ys 2 in 2 y c 2 x o yc o s s 2 x s ]y 2 0 i n
x 2 y x 2 yco 2 sx s y i2 n ---（1）
x 2ysi2 n x y co2s
o
Re
b (y ,yx)
•在- 坐标中，取对应于单元体A、B面的点a、b； • a、b两点连线交轴于c点； •以c为圆心ac为半径作圆。
x y 2
a (x ,xy)
fc
o
Re
b (y ,yx)
o c o ffc y x 2 y x 2 y
acce2ae2(x 2y)2x 2y
3.应力圆的应用 y
点面对应
yx
A xy
x
a
c
转向、二倍角对应
y
xA A'
a'
2
C
a
•求任意斜截面上的应力
y
yx
xy
x
(xy)/2
( ,)
e 2
c b
(y ,yx)
a (x ,xy)
自ac与同向转2角得ec, 则e点的坐标就是面 上的、。
•求正应力的极值及方位：
(xy)/2
min
o d’ c (y ,yx) b
1 ). 3 0 o斜 截 面 上 的 应 力
30o
30503050cos60o(20)sin60o52.32M Pa
2
2
60o
3050sin60o(20)cos60o18.66M Pa 2
2）主应力，主平面
m m a in x3 0 25 0 3 0 25 0 2 2 02 6 1 2 7 ..4 6M M P P a a
纯剪应力状态 ( Pure Shear Stress State)
定义：在一个单元体上，仅有 一个主应力不为0，则称该单 元体所代表的点处于单向应力 状态。
定义：在一个单元体上，仅有 剪应力，而无正应力。则称该 单元体所代表的点处于纯剪应 力状态。
三 向 应 力 状 特例 态
平 面 应 力 状 特例 态
2 .1 ， 2 ， 3 ； 标 注 在 单 元 体 上 。
3 . m ax .
y
解题步骤：
60
n
1.建 立 坐 标 系
30 0
40
x
2.选取应力比例尺 k20MPa/cm
§7-1 应力状态的概念
■ 问题的提出
P
P
弯曲: M y 扭转 : T
Iz
Ip
cos2
sin 2
2
应力随点的位置变化 应力随截面的方位变化
•地震荷载作用下的墙体破坏
说明:
破坏面与受力 方向可能不一致。
推论:
对同一点:一 个方向上满足强度 要求,并不能说明已 经安全。
应力状态的初步概念：
主 主方 应 向 m m tg2力 a i n： x 0x 2： xy 2 xyy(x 2y)2x 2y
45o:m ax;
45o:m in ;
等价流出的剪 应力流方向
2.平面主剪应力: 剪应力的极值（极大、极小）
对(1)式第二式求导,经推导得:
t
g21
x y 2xy
---（4）
max min
通过同一点不同方位截面上的应力的集合称为该 点的应力状态。
应力是定义在“点”上的 pdF, dN, dQ
dA dA dA 材料力学中的“点”是物理点,不是几何点, 有大小和形状，通常用正六面体表示，称为单元 体。 单元体很小，可以认为:
(1)各个面上的应力均匀分布；
(2)相互平行的平面上，应力大小和性质完全相同。
tg 2 0
2 (20) 30 50
2,
0
3 1o 4 3 58o17
因为最大主应力σmax的作用面偏向 于流出的剪应力流方向,可作图
50
1
max 30 250220222.4M Pa
2
2 0
58o17
3 0
31o43
1 x
x 3
主应力迹线: 主应力方向在梁内的分布规律。
m m
1
m
•主拉应力1方向:
(x
y)2
2
x2y
---（5）
说明:
(1) 出现主剪应力的两个面相互垂直。
(2) 主剪应力的作用面上,正应力不一定为0。
讨论: •由(2)和(4)可知:
tg20 txg 22 xy0y ,ttg 2 1 g211x2xy y
推知: 2 0 与 2 1 相差90o ， 0与 1相差45o
• (3)式中两式相减与(4)式比较:
自下而上由水平按顺时针转动。
2
合集下载
材料力学 第07章 应力状态分析与强度理论
2
sin2a t xy cos2a
18/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.3 主平面的方位及极值正应力 s x s y s x s y sa cos2a t xy sin2a 2 2 s x s y ds a 上式对a 求导 2 sin2a t xy cos2a da 2 s x s y 若a a0时，导数为 0 sin2a 0 t xy cos2a 0 0 2 2t xy tan2a 0 s x s y
7.2.5 应力圆
t
sx
tyx
sy
sx txy sy
D(sx,txy) 1. 确定点 D (s ,t ) x xy
O
D'(sy,tyx)
C
s
2. 确定点D' (sy,tyx) tyx= －txy 3. 连接DD'与s 轴交于点C 4. 以 C 为圆心，CD（CD'） 为半径画圆。
26/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆
sx sy sz
sxs1 100 MPas 2
0 MPas 3 120 MPa
11/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态 三个主应力中仅有一个主应力不为零 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
12/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态
O
D'(sy,tyx)
C sx－ sx sy/2
s
27/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆 利用应力圆确定角a 斜截面上的正应力和切应力
sin2a t xy cos2a
18/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.3 主平面的方位及极值正应力 s x s y s x s y sa cos2a t xy sin2a 2 2 s x s y ds a 上式对a 求导 2 sin2a t xy cos2a da 2 s x s y 若a a0时，导数为 0 sin2a 0 t xy cos2a 0 0 2 2t xy tan2a 0 s x s y
7.2.5 应力圆
t
sx
tyx
sy
sx txy sy
D(sx,txy) 1. 确定点 D (s ,t ) x xy
O
D'(sy,tyx)
C
s
2. 确定点D' (sy,tyx) tyx= －txy 3. 连接DD'与s 轴交于点C 4. 以 C 为圆心，CD（CD'） 为半径画圆。
26/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆
sx sy sz
sxs1 100 MPas 2
0 MPas 3 120 MPa
11/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态 三个主应力中仅有一个主应力不为零 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
12/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态
O
D'(sy,tyx)
C sx－ sx sy/2
s
27/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆 利用应力圆确定角a 斜截面上的正应力和切应力
材料力学应力和应变分析强度理论
§7–5 广义虎克定律
y
一、单拉下旳应力--应变关系
x
x
E
y
E
x
ij 0 (i,j x,y,z)
二、纯剪旳应力--应变关系
z
E
x
z
y
xy
xy
G
i 0 (i x,y,z)
z
yz zx 0
x
x
xy
x
三、复杂状态下旳应力 --- 应变关系
y
y
x
y x
z
xy
z
x
依叠加原理,得:
x
1
(MPa)
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
45 25 3
95
60°
i j
x
2
y
（
x
2
y
）2
2 xy
y
1
25 3 y 45MPa
° 5
0
Ox
6095MPa 6025 3MPa
yx 25 3MPa xy
x ?
x
y
2
sin 2
xy cos 2
25 3 x 45 sin 120o 25 3 cos120o
y
z
z
y
证明: 单元体平衡 M z 0
xy x
x
( xydydz)dx( yxdzdx)dy0
xy yx
五、取单元体： 例1 画出下图中旳A、B、C点旳已知单元体。
F
A
y
F x
x
A
B
C z
x B x
zx
xz
F
Mex
yx
C
xy
FP
材料力学应力状态分析强度理论
断裂力学
断裂力学用于研究材料发生断裂时的力学行为，包括断裂韧性和断裂韧性指标。
断裂模式分析
通过对材料断裂模式的分析，了解材料在受到外力作用时如何发生破裂。
材料的强度
应力。 材料在受力过程中开始产生塑性变形的应力值。
材料在受到大幅度应力作用时发生破裂的强度。
由强度理论推导的材料设计
根据材料的强度特性，可以进行材料设计，以确保材料在使用过程中不超过其强度极限。
考虑材料疲劳的应力分析
1
疲劳寿命评估
扭转应力分析
扭转应力是材料在受扭转力作 用下的应力分布，对材料的扭 转能力和疲劳寿命影响较大。
应力分布分析
1 梁的应力分布
梁的应力分布分析可以 帮助了解梁在受力过程 中的强度和变形情况。
2 压力容器的应力分析 3 板的应力分布
压力容器的应力分析是 为了确保容器在承受压 力时不会发生破裂或变 形。
板的应力分布分析可用 于评估板在受力状态下 的强度和变形性能。
材料力学应力状态分析强 度理论
材料力学应力状态分析强度理论是研究材料受力情况及其强度特性的理论体 系，包括弹性理论、横向状态分析、应力分布分析等内容。
弹性理论
基本原理
材料在受力过程中 会发生变形，弹性 理论用于描述材料 的弹性性质和应变 的产生与传递。
弹性模量
弹性模量是衡量材 料对应力的响应能 力，不同材料具有 不同的弹性模量。
应力-应变关 系
弹性理论可以通过 应力-应变关系来描 述材料受力后的变 形情况。
限制条件
弹性理论是在一定 条件下适用的，需 要考虑材料的线性 弹性和小变形假设。
横向状态分析
横向力
横向状态分析用于研究材料在 受横向力作用下的变形和应力 分布。
断裂力学用于研究材料发生断裂时的力学行为，包括断裂韧性和断裂韧性指标。
断裂模式分析
通过对材料断裂模式的分析，了解材料在受到外力作用时如何发生破裂。
材料的强度
应力。 材料在受力过程中开始产生塑性变形的应力值。
材料在受到大幅度应力作用时发生破裂的强度。
由强度理论推导的材料设计
根据材料的强度特性，可以进行材料设计，以确保材料在使用过程中不超过其强度极限。
考虑材料疲劳的应力分析
1
疲劳寿命评估
扭转应力分析
扭转应力是材料在受扭转力作 用下的应力分布，对材料的扭 转能力和疲劳寿命影响较大。
应力分布分析
1 梁的应力分布
梁的应力分布分析可以 帮助了解梁在受力过程 中的强度和变形情况。
2 压力容器的应力分析 3 板的应力分布
压力容器的应力分析是 为了确保容器在承受压 力时不会发生破裂或变 形。
板的应力分布分析可用 于评估板在受力状态下 的强度和变形性能。
材料力学应力状态分析强 度理论
材料力学应力状态分析强度理论是研究材料受力情况及其强度特性的理论体 系，包括弹性理论、横向状态分析、应力分布分析等内容。
弹性理论
基本原理
材料在受力过程中 会发生变形，弹性 理论用于描述材料 的弹性性质和应变 的产生与传递。
弹性模量
弹性模量是衡量材 料对应力的响应能 力，不同材料具有 不同的弹性模量。
应力-应变关 系
弹性理论可以通过 应力-应变关系来描 述材料受力后的变 形情况。
限制条件
弹性理论是在一定 条件下适用的，需 要考虑材料的线性 弹性和小变形假设。
横向状态分析
横向力
横向状态分析用于研究材料在 受横向力作用下的变形和应力 分布。
材料力学——第6章(应力状态分析及强度理论)
t min
2t x tan 2 0 = s x s y
t max s max s min = R半 径 = 2 t min
s x s y 2 2 （ ） t x 2
25
[例6-4]求 ⑴图示单元体α =300 斜截面上的应力 ⑵主应力、主平面（单位：MPa）。
40
§6–1 应力状态概述
§6-2 平面应力状态分析
§6-3 三向应力状态分析 §6-4 广义胡克定律 §6-5 工程中常用的四种强度理论
1
拉压
扭转
弯曲
y
y
y
C
s max 压 s max 拉 s max
截面 应力 危险点
应力状态
C
o
FN
s=smax smax
MT
t max
M
t max
2
S平面
n
F
1
sx 面上的应力(s ，t )
tx
y x t n D( s , t C O B(sy ,ty) 2 O
面的法线
两面夹角 两半径夹角2 ； 且转向一致。 x
A(sx ,tx)
s
23
ty
sy s t
n
t D = DC sin[ 180 ( 2 0 2 )]
O
sx sy
图2
ty
px t
同理： t = p x sin p y cos
= s x cos t y sin sin t y cos s y sin cos
经简化 得
s x s y t = sin 2 t x cos 2 2
s
sx sy
材料力学中的强度理论与应力分析方法
材料力学中的强度理论与应力分析方法材料力学是研究材料力学性质及其变形、破坏和断裂等状况的学科。
其中，强度理论是一种重要的理论方法，而应力分析方法则是强度理论的重要支撑。
本文将从材料强度理论和应力分析两个方面来探讨材料力学中的强度理论与应力分析方法。
一、强度理论强度是材料抵抗断裂、破坏的能力，也是材料的重要性能之一。
强度理论通常采用两种方法：极限破坏理论和应变能密度理论。
1.极限破坏理论极限破坏理论认为，当材料的最大应力超过其强度时，材料就会破坏。
这种理论关注的是材料抵抗断裂的能力，它主要包括如下几种：(1)最大应力理论：它认为，在拉伸或压缩中，当最大正应力或最大剪应力达到或超过材料的抗拉或抗剪强度时，材料就会发生断裂。
(2)最大努迈尔应力理论：它认为，在回转或剪切中，当最大努迈尔应力达到或超过材料的极限努迈尔应力时，材料会破裂。
(3)最大应变能理论：它认为，在材料加载过程中，当最大应变能密度达到或超过材料的极限应变能密度时，材料就会发生断裂。
2.应变能密度理论应变能密度理论就是根据能量原理，分析材料受力的能量对其破坏的影响。
应变能密度理论是通过对应变能密度进行分析而得出材料破坏的理论，它主要包括如下几种：(1)离散裂缝模型：它将材料分割成数个小块，并分析在这些小块中的应变能密度，从而得出材料的应变能密度分布图。
(2)连续裂缝模型：它将材料分成不同的层次，并通过不同层次之间的影响来分析材料的应变能密度。
(3)微观结构模型：它侧重于对材料内部微观结构的研究，从而得出材料内部应变能密度的分布情况。
二、应力分析方法应力分析方法是材料强度理论的重要支撑，它主要包括静力学分析、动力学分析和热力学分析三个方面。
1.静力学分析静力学分析是指材料在静止状态下各点所受的应力分析。
它主要采用等效应力理论和等效应变理论进行分析。
等效应力理论认为，当材料中各方向的应力大小不同时，我们可以通过一个等效应力来代表这些应力。
等效应力通常取其高或低值，从而来确定其破坏状态。
第七章 应力状态、应变分析和强度理论
§7-3 平面应力状态分析－－解析法
二、 正应力极值
1 1 ( x y ) ( x y ) cos 2 xy sin 2 2 2 d ( x y ) sin 2 2 xy cos 2 d
设α＝α0 时，上式值为零，即
2
1 0, 2 0, 3 0
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念
3、三向（空间）应力状态 三个主应力1 、2 、3 均不等于零
2 1
3 1
3 2
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念
仅在微体四侧面作用应力，且 应力作用线均平行于微体的不 受力表面－平面应力状态
1
1
1
1
3
3
1 0, 2 0, 3 0
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念 2、二向（平面）应力状态 三个主应力1 、2 、3 中有两个不等于零
3 2 3 2
3
2
1
3
1
1
1
1 0, 2 0, 3 0
Ft 0
dA ( x dAcos )cos ( x dAcos )sin ( y dAsin )sin ( y dAsin )cos 0
§7-3 平面应力状态分析－－解析法
一、任意斜截面上的应力公式 已知： x , y , x , y , dA 求： ，
sin 2 xy cos 2
2 xy 2 ( 50) tan 2 0 1 x y 40 60 2 0 45 135
y =60 MPa xy = -50MPa =-30°
应力应变分析与强度理论
ax in
m
ax
2
m in
极值切应力等于极值正应力差的一半。
材料力学电子教案 C 机械工业出版社
§7.2 平面应力状态分析的解析法
三、极值切应力和主平面夹角
注意到 则 所以
tan
2 0
2 xy x
y
tan
21
x 2 xy
y
tan
20
第7章 应力应变分析与强度理论
§7.1 应力状态的概念 §7.2 平面应力状态分析的解析法 §7.3 平面应力状态分析的图解法 §7.4 三向应力状态简介 §7.5 平面应力状态的应变分析 §7.6 广义胡克定律 §7.7 强度理论概述 §7.8 四个常用的强度理论 §7.9 莫尔强度理论
材料力学电子教案 C 机械工业出版社
7.2.3 极值切应力及其作用面 一、极值切应力方位角
d 0 d
( x y ) cos 2 2 xy sin 2 0
得
tan
21
x 2 xy
y
二、最大、最小切应力
m m
ax in
x
2
y
2
2 xy
m m
主应力通常用1、 2 和 3 表示，它们的顺序按代 数值大小排列，即 1 2 3 。
材料力学电子教案 C 机械工业出版社
§7.1 应力状态的概念
7.1.4 应力状态的分类 1. 单向应力状态 (简单应力状态 ) 三个主应力中，只有一个不等于零 2. 二向应力状态 (复杂应力状态 ) 有两个应力不等于零 3. 三向应力状态 (复杂应力状态 ) 三个主应力都不等于零
应力状态分析和强度理论
03
弹性极限
材料在弹性范围内所能承受的最大应力状态，当超过这一极限时，材料会发生弹性变形。
01
屈服点
当物体受到一定的外力作用时，其内部应力状态会发生变化，当达到某一特定应力状态时，材料会发生屈服现象。
02
强度极限
材料所能承受的最大应力状态，当超过这一极限时，材料会发生断裂。
应力状态对材料强度的影响
形状改变比能准则
04
弹塑性材料的强度分析
屈服条件
屈服条件是描述材料在受力过程中开始进入屈服（即非弹性变形）的应力状态，是材料强度分析的重要依据。
根据不同的材料特性，存在多种屈服条件，如Mohr-Coulomb、Drucker-Prager等。
屈服条件通常以等式或不等式的形式表示，用于确定材料在复杂应力状态下的响应。
最大剪切应力准则
总结词
该准则以形状改变比能作为失效判据，当形状改变比能超过某一极限值时发生失效。
详细描述
形状改变比能准则基于材料在受力过程中吸收能量的能力。当材料在受力过程中吸收的能量超过某一极限值时，材料会发生屈服和塑性变形，导致失效。该准则适用于韧性材料的失效分析，尤其适用于复杂应力状态的失效判断。
高分子材料的强度分析
01
高分子材料的强度分析是工程应用中不可或缺的一环，主要涉及到对高分子材料在不同应力状态下的力学性能进行评估。
02
高分子材料的强度分析通常采用实验方法来获取材料的应力-应变曲线，并根据曲线确定材料的屈服极限、抗拉强度等力学性能指标。
03
高分子材料的强度分析还需要考虑温度、湿度等环境因素的影响，因为高分子材料对环境因素比较敏感。
02
强度理论
总结词
该理论认为最大拉应力是导致材料破坏的主要因素。
应力分析和强度理论
要点二
详细描述
在机械工程领域，应力分析用于研究 机械零件和结构在各种工况下的受力 情况，以及由此产生的内部应力分布 。强度理论则用于评估这些应力是否 在材料的承受范围内，以确定结构是 否安全可靠。
要点三
应用举例
在机械设计中，通过对发动机、传动 系统、轴承等关键部件进行应力分析 ，可以优化设计，提高其承载能力和 可靠性。
该理论认为最大拉应力是导致材料破坏的 主要因素，当最大拉应力达到材料的极限 抗拉强度时，材料发生断裂。
第二强度理论
总结词
最大剪应力理论
详细描述
该理论认为最大剪应力是导致材料破坏的主 要因素，当最大剪应力达到材料的极限抗剪 强度时，材料发生断裂。
第三强度理论
总结词
最大应变能密度理论
详细描述
该理论认为最大应变能密度是导致材料破坏 的主要因素，当最大应变能密度达到材料的
应力分析
目录
• 应力分析概述 • 应力分析方法 • 材料力学中的应力分析 • 强度理论 • 实际应用中的应力分析与强度理
论
01
应力分析概述
定义与目的
定义
应力分析是研究物体在受力状态下应 力分布、大小和方向的一种方法。
目的
评估物体的强度、刚度、稳定性以及 预测可能的破坏模式，为结构设计提 供依据。
平衡方程
根据力的平衡原理，物体内部的应力分布满足平衡方程。
应变与应力的关系
通过材料的力学性能试验，可以得到应变与应力的关系，即应力-应变曲线。
弹性力学基本方程
根据弹性力学的基本原理，建立物体内部的应力、应变和位移之间的关系。
02
应力分析方法
有限元法
总结词
有限元法是一种广泛应用于解决复杂工程问题的数值分析方法。
材料力学第9章应力分析强度理论
已知如图，设ef 面积为dA
F
n
0
F 0
dA ( xydAcos ) sin ( x dAcos ) cos ( yxdAsin ) cos ( y dAsin ) sin 0
dA ( xydAcos ) cos ( x dAcos ) sin ( yxdAsin ) sin ( y dAsin ) cos 0
2
2 xy
xy
min
y
yx
23
⒉主方向
应力圆：D点顺时针转2α0到A1点
单元体：x轴顺时针转α0到主平面法线
证明：
xy 2 xy AD tg 2 0 CA x y x y 2
24
㈣利用应力圆求剪应力极值 应力圆上最高点、最低点的纵坐标值，为剪 应力的极大、极小值。 证明：
2
?
min
tg 2 0
2 xy
max
yx
x
x y
xy
解出两各极值点α0,α0=90+α0 最大、最小应力即为主应力
max x y x y 2 2 ( ) xy min 2 2
y
σmax、σmin为三个主应力中的两个。
11
讨论： ⑴若代数值σx≥σy，则α0、α0中，绝对值较小者是
σx与σmax之间夹角，且小于45。 ⑵若代数值 σx≤σy ，则α0 、α0 中，绝对值较小者是 σx 与 σmin之间夹角，且小于45。
min
max
yx
x
xy
12
y
㈢τmax、τmin(与z轴平行的任意斜截面上的)
F
n
0
F 0
dA ( xydAcos ) sin ( x dAcos ) cos ( yxdAsin ) cos ( y dAsin ) sin 0
dA ( xydAcos ) cos ( x dAcos ) sin ( yxdAsin ) sin ( y dAsin ) cos 0
2
2 xy
xy
min
y
yx
23
⒉主方向
应力圆：D点顺时针转2α0到A1点
单元体：x轴顺时针转α0到主平面法线
证明：
xy 2 xy AD tg 2 0 CA x y x y 2
24
㈣利用应力圆求剪应力极值 应力圆上最高点、最低点的纵坐标值，为剪 应力的极大、极小值。 证明：
2
?
min
tg 2 0
2 xy
max
yx
x
x y
xy
解出两各极值点α0,α0=90+α0 最大、最小应力即为主应力
max x y x y 2 2 ( ) xy min 2 2
y
σmax、σmin为三个主应力中的两个。
11
讨论： ⑴若代数值σx≥σy，则α0、α0中，绝对值较小者是
σx与σmax之间夹角，且小于45。 ⑵若代数值 σx≤σy ，则α0 、α0 中，绝对值较小者是 σx 与 σmin之间夹角，且小于45。
min
max
yx
x
xy
12
y
㈢τmax、τmin(与z轴平行的任意斜截面上的)