四个强度理论及其相当应力
强度理论四个基本的强度理论
强度理论四个基本的强度理论四个基本的强度理论分别为第一强度理论，第二强度理论，第三强度理论和第四强度理论。
现将它们的有关知识点对应列于四个强度理论比较表，以便于比较学习。
未在表中涉及的内容，此处给出介绍。
第一强度理论--看一下它的强度条件的取得。
在简单拉伸试验中,三个主应力有两个是零，最大主应力就是试件横截面上该点的应力，当这个应力达到材料的极限强度sb时，试件就断裂。
因此，根据此强度理论，通过简单拉伸试验，可知材料的极限应力就是sb。
于是在复杂应力状态下，材料的破坏条件是s1=sb(a)考虑安全系数以后的强度条件是s1≤[s](1-59)需指出的是：上式中的s1必须为拉应力。
在没有拉应力的三向压缩应力状态下，显然是不能采用第一强度理论来建立强度条件的。
第二强度理论--看看它的强度条件的取得此理论下的脆断破坏条件是e1=ejx =sjx /E (b)由式(1-58)可知，在复杂应力状态下一点处的最大线应变为e1=[s1-m(s2+s3)]/E代入(b)可得[s1-m(s2+s3)]/E =sjx /E 或[s1-m(s2+s3)]=sjx将上式右边的sjx 除以安全系数及得到材料的容许拉应力[s]。
故对危险点处于复杂应力状态的构件，按第二强度理论所建立的强度条件是：[s1-m(s2+s3)]≤[s] (1-60)第三强度理论--也来看看它的强度条件的取得对于象低碳钢这一类的塑性材料,在单向拉伸试验时材料就是沿斜截面发生滑移而出现明显的屈服现象的。
这时试件在横截面上的正应力就是材料的屈服极限ss，而在试件斜截面上的最大剪应力(即45°斜截面上的剪应力)等于横截面上正应力的一半。
于是，对于这一类材料，就可以从单向拉伸试验中得到材料的极限值txytxy =ss/2按此理论的观点，屈服破坏条件是tmax =txy =ss/2(c)由公式(1-56)可知，在复杂应力状态下下一点处的最大剪应力为tmax =(s1-s3)/2其中的s1、s3分别为该应力状态中的最大和最小主应力。
四个强度理论的相当应力表达式
23
11 10
x y
2
2 x
2
2 y
2 x
29.8MPa
3.72MPa
(单位 MPa)
1 29.28MPa， 2 3.72MPa，3 0
1 29.28MPa 30MPa
某结构上危险点处的应力状态如图所示，其中σ＝ 116.7MPa，τ＝46.3MPa。材料为钢，许用应力［σ］＝ 160MPa。试校核此结构是否安全。
图（b）给出尺寸。
y t
p
z
D
（a） 例题 5- 4 图
（b）
解： 包围内壁任一点，沿直径方向 取一单元体，单元体的侧面为 横截面，上，下面为含直径的 纵向截面，前面为内表面。
包含直径的纵向截面 横截面 Nhomakorabea内表面
横截面上的应力
假想地，用一垂直于轴线的平面将汽包分成两部分，取右边为研
究对象。n— n面为横截面 。
aF
Fa
A
B
C
A
B
C
C
A
B
A
B 1
C1
1
3
3
BC
对图示的纯剪切应力状态，试按强度理论建立纯剪切状 态下的强度条件，并导出剪切许用应力［τ］与拉伸许用 应力［σ］之间的关系。
1＝， 2＝0，3＝
1 单元体纯剪切强度条件
KK
τ
第三强度理论 第四强度理论
第一强度理论 1
包含直径的纵向截面上的应力
用两个横截面 mm , nn 从圆筒部分 取出 单位长的圆筒研究。
m
四大强度理论基本内容介绍建立的强度条件公式以及适用的范围
四种强度理论的破坏标志、基本假设内容、建立的强度条件公式以及适用的范围。
一、四大强度理论基本内容介绍：1、最大拉应力理论（第一强度理论）：这一理论认为引起材料脆性断裂破坏的因素是最大拉应力，无论什么应力状态，只要构件内一点处的最大拉应力σ1达到单向应力状态下的极限应力σb，材料就要发生脆性断裂。
于是危险点处于复杂应力状态的构件发生脆性断裂破坏的条件是：σ1=σb。
σb/s=[σ]所以按第一强度理论建立的强度条件为：σ1≤[σ]。
2、最大伸长线应变理论（第二强度理论）：这一理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素，无论什么应力状态，只要最大伸长线应变ε1达到单向应力状态下的极限值εu，材料就要发生脆性断裂破坏。
εu=σb/E；ε1=σb/E。
由广义虎克定律得：ε1=[σ1-u(σ2+σ3)]/E所以σ1-u(σ2+σ3)=σb。
按第二强度理论建立的强度条件为：σ1-u(σ2+σ3)≤[σ]。
3、最大切应力理论（第三强度理论）：这一理论认为最大切应力是引起屈服的主要因素，无论什么应力状态，只要最大切应力τmax达到单向应力状态下的极限切应力τ0，材料就要发生屈服破坏。
依轴向拉伸斜截面上的应力公式可知τ0=σs/2（σs——横截面上的正应力）由公式得：τmax=τ1s=（σ1-σ3）/2。
所以破坏条件改写为σ1-σ3=σs。
按第三强度理论的强度条件为：σ1-σ3≤[σ]。
4、形状改变比能理论（第四强度理论）：这一理论认为形状改变比能是引起材料屈服破坏的主要因素，无论什么应力状态，只要构件内一点处的形状改变比能达到单向应力状态下的极限值，材料就要发生屈服破坏。
二、四大强度理论适用的范围1、各种强度理论的适用范围及其应用第一理论的应用和局限1、应用材料无裂纹脆性断裂失效形势（脆性材料二向或三向受拉状态；最大压应力值不超过最大拉应力值或超过不多）。
2、局限没考虑σ2、σ3对材料的破坏影响，对无拉应力的应力状态无法应用。
四种强度理论
由于材料的破坏按其物理本质分为脆断和屈服两类形式，所以，强度理论也就相应地分为两类，下面就来介绍目前常用的四个强度理论。
1、最大拉应力理论：这一理论又称为第一强度理论。
这一理论认为破坏主因是最大拉应力。
不论复杂、简单的应力状态，只要第一主应力达到单向拉伸时的强度极限，即断裂。
破坏形式：断裂。
破坏条件：σ1 =σb强度条件：σ1≤[σ]实验证明，该强度理论较好地解释了石料、铸铁等脆性材料沿最大拉应力所在截面发生断裂的现象；而对于单向受压或三向受压等没有拉应力的情况则不适合。
缺点：未考虑其他两主应力。
使用范围：适用脆性材料受拉。
如铸铁拉伸，扭转。
2、最大伸长线应变理论这一理论又称为第二强度理论。
这一理论认为破坏主因是最大伸长线应变。
不论复杂、简单的应力状态，只要第一主应变达到单向拉伸时的极限值，即断裂。
破坏假设：最大伸长应变达到简单拉伸的极限(假定直到发生断裂仍可用胡克定律计算)。
破坏形式：断裂。
脆断破坏条件：ε1= εu=σb/Eε1=1/E[σ1−μ (σ2+σ3)]破坏条件：σ1−μ(σ2+σ3) = σb强度条件：σ1−μ(σ2+σ3)≤[σ]实验证明，该强度理论较好地解释了石料、混凝土等脆性材料受轴向拉伸时，沿横截面发生断裂的现象。
但是，其实验结果只与很少的材料吻合，因此已经很少使用。
缺点：不能广泛解释脆断破坏一般规律。
使用范围：适于石料、混凝土轴向受压的情况。
3、最大切应力理论：这一理论又称为第三强度理论。
这一理论认为破坏主因是最大切应力maxτ。
不论复杂、简单的应力状态，只要最大切应力达到单向拉伸时的极限切应力值，即屈服。
破坏假设：复杂应力状态危险标志最大切应力达到该材料简单拉、压时切应力极限。
破坏形式：屈服。
破坏因素：最大切应力。
τmax=τu=σs/2屈服破坏条件：τmax=1/2(σ1−σ3 )破坏条件：σ1−σ3= σs强度条件：σ1−σ3≤[σ]实验证明，这一理论可以较好地解释塑性材料出现塑性变形的现象。
四大强度理论对比
四大强度理论1、最大拉应力理论（第一强度理论）：这一理论认为引起材料脆性断裂破坏的因素是最大拉应力，无论什么应力状态，只要构件内一点处的最大拉应力（T 1达到单向应力状态下的极限应力（T b,材料就要发生脆性断裂。
于是危险点处于复杂应力状态的构件发生脆性断裂破坏的条件是：T 仁T b。
T b/s=[ T ]所以按第一强度理论建立的强度条件为：T 1 W[ T ]。
2、最大伸长线应变理论（第二强度理论）：这一理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素，无论什么应力状态，只要最大伸长线应变& 1达到单向应力状态下的极限值& u,材料就要发生脆性断裂破坏。
& u=T b/E ; & 1 = T b/E。
由广义虎克定律得：& 1=[ T 1-u（T 2+T 3）]/E所以T 1-u（T 2+T 3）= T b。
按第二强度理论建立的强度条件为：T 1-u（T 2+ T 3）W[ T ]。
3、最大切应力理论（第三强度理论）：这一理论认为最大切应力是引起屈服的主要因素,无论什么应力状态,只要最大切应力T max达到单向应力状态下的极限切应力T 0,材料就要发生屈服破坏。
t max=t 0。
依轴向拉伸斜截面上的应力公式可知T 0= T s/2 （T s ---- 横截面上的正应力）由公式得：t max=t 1s=（T 1-T 3）/2 。
所以破坏条件改写为(7 1-(7 3= C S。
按第三强度理论的强度条件为：7 1- 7 3<[ 7 ]。
4、形状改变比能理论(第四强度理论)：这一理论认为形状改变比能是引起材料屈服破坏的主要因素，无论什么应力状态，只要构件内一点处的形状改变比能达到单向应力状态下的极限值，材料就要发生屈服破坏。
发生塑性破坏的条件为：所以按第四强度理论的强度条件为：2、sqrt( 7 1A2+ C 2A2+ C 3A2- C 1 C 2- C 2 C 3- C 3 C 1)<[ C ]四个强度理论的比较。
四个强度理论与其相当应力
由于各向同性材料，正应力仅产生线应变，剪应力 仅产生剪 应变。而两种情况下的正应力和剪应力分 别相 等，因此，
其形状改变比能也相等，故两种情况下的危险程度相
等。
σ
σ
τ τ
(a)
(b)
二、定量计算
状态(a):
1
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2 0
第2强度理论
—最大伸长 线应变理论
σ r1 σ1
r 2 1 2 3
第二类强度理论
（屈服失效的 理论）
第3强度理论
—最大剪应 力理论
σr3 σ1 σ3
第4强度理论
—形状改变
r4
1 2
1
2 2
2
3 2
解： （1）对于图 (a) 所示的单元体， 由图知 1= 0，2= 3= –100MPa,
100MPa 100MPa
r3 1 3 0 100 100 MPa
(a)
r4
1
2
1
2 2
2
3 2
3
1
2
[ ( )]
r2
1
2
3
(9-2-2)
第 二 类强度理论
三、 最大剪应力理论 (第三强度理论) 根据：当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就会 沿最大剪应力所在截面滑移而发生屈服失效。
基本假说： 最大剪应力 max 是引起材料屈服的因素。
四个强度理论的相当应力表达式
aF
Fa
A
B
C
A
B
C
C
A
B
A
B 1
C1
1
3
3
B
C
对图示的纯剪切应力状态，试按强度理论建立纯剪切状
态下的强度条件，并导出剪切许用应力［τ］与拉伸许用
应力［σ］之间的关系。
1＝， 2＝0，3＝
1 单元体纯剪切强度条件
KK
τ
第三强度理论 第四强度理论
第一强度理论 1
2
τ σ
3
[]为材料在单轴拉伸是的许用拉应力。
材料在纯剪切应力状态下的许用剪应力为
τ σ 0.577σ
3
（10-13）
已知铸铁构件上危险点处的应力状态，如图所示。若铸
铁拉伸许用应力为［σ］＋＝30MPa，试校核该点处的强度
是否安全。
第一强度理论
1 ＋
= 100MPa 。试按强度条件选择工字钢的号码。
（a）
200KN
200KN
A C
0.42
1.66
2.50
单位：m 例题 10-3 图
B D
0.42
解：作钢梁的内力图。 C , D 为危险截面
按正应力强度条件选择截面
200KN
A C
0.42
1.66 2.50
取 C 截面计算 Q c = Qmax = 200kN
( 2
3)2
( 3
1)2
rM
1
t
c
3
在大多数应力状态下,脆性材料将发生脆性断裂.因而应选用 第一强度理论;而在大多数应力状态下,塑性材料将发生屈服和剪 断.故应选用第三强度理论或第四强度理论.但材料的破坏形式不 仅取决于材料的力学行为,而且与所处的应力状态,温度和加载速 度有关.实验表明,塑性材料在一定的条件下低温和三向拉伸,会 表现为脆性断裂.脆性材料在三向受压表现为塑性屈服.
工程力学四大强度理论的基本内容
工程力学中四大强度理论的基本内容一、四大强度理论基本内容介绍：1、最大拉应力理论（第一强度理论）：这一理论认为引起材料脆性断裂破坏的因素是最大拉应力，无论什么应力状态，只要构件内一点处的最大拉应力σ1达到单向应力状态下的极限应力σb，材料就要发生脆性断裂。
于是危险点处于复杂应力状态的构件发生脆性断裂破坏的条件是：σ1=σb。
σb/s=[σ] ，所以按第一强度理论建立的强度条件为：σ1≤[σ]。
2、最大伸长线应变理论（第二强度理论）：这一理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素，无论什么应力状态，只要最大伸长线应变ε1达到单向应力状态下的极限值εu，材料就要发生脆性断裂破坏。
εu=σb/E；ε1=σb/E。
由广义虎克定律得：ε1=[σ1-u(σ2+σ3)]/E 所以σ1-u(σ2+σ3)=σb。
按第二强度理论建立的强度条件为：σ1-u(σ2+σ3)≤[σ]。
3、最大切应力理论（第三强度理论）：这一理论认为最大切应力是引起屈服的主要因素，无论什么应力状态，只要最大切应力τmax达到单向应力状态下的极限切应力τ0，材料就要发生屈服破坏。
依轴向拉伸斜截面上的应力公式可知τ0=σs/2（σs——横截面上的正应力）由公式得：τmax=τ1s=（σ1-σ3）/2。
所以破坏条件改写为σ1-σ3=σs。
按第三强度理论的强度条件为：σ1-σ3≤[σ]。
4、形状改变比能理论（第四强度理论）：这一理论认为形状改变比能是引起材料屈服破坏的主要因素，无论什么应力状态，只要构件内一点处的形状改变比能达到单向应力状态下的极限值，材料就要发生屈服破坏。
二、四大强度理论适用的范围1、各种强度理论的适用范围及其应用（1）、第一理论的应用和局限应用：材料无裂纹脆性断裂失效形势（脆性材料二向或三向受拉状态；最大压应力值不超过最大拉应力值或超过不多）。
局限：没考虑σ2、σ3对材料的破坏影响，对无拉应力的应力状态无法应用。
（2）、第二理论的应用和局限应用：脆性材料的二向应力状态且压应力很大的情况。
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相当应力表达式
第一类强度理论
（脆断破坏的 理论）
第1强度理论
—最大拉应 力理论
第2强度理论
—最大伸长 线应变理论
σr1 σ1
r 2 1 2 3
第二类强度理论
（屈服失效的 理论）
第3强度理论
—最大剪应 力理论
σr3σ1σ3
第4强度理论
—形状改变
r 4 1 21 2 22 3 23 1 2 1 2
其形状改变比能也相等，故两种情况下的危险程度相
等。
σ
σ
τ
τ
(a)
(b)
二、定量计算
状态(a):1Βιβλιοθήκη 22 22
3
2
2 0
2 2
2
r4
1 2
1
2
2
2
3
2
3
1
2
232
状态(b): 设 ，则
1 2 3
r4
1 2
1
2
2
2
3
2
3
1
2
232
根据：当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材 料就会沿最大拉应力所在截面发生脆性断裂。
基本假说：最大拉应力1是引起材料脆断破坏的因素。 脆断破坏的条件： 1 = u （材料极限应力值）
强度条件为： r1 = 1 [
(9-2-1)
注意：无拉应力时，该理论无法应用。
二、 最大伸长线应变理论（第二强度理论） 根据：当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料
τmax12(13)
即
σ1σ3σs
强度条件为： r3 = 1 - 3 [
(9-2-3)
四、 形状改变比能理论（第四强度理论）
基本假说：形状改变比能 uf 是引起材料屈服的因素。
屈服条件： uf = uf u
1 ν
2
2
2
u f6 Eσ 1 σ 2 σ 2 σ 3 σ 3 σ 1
100M Pa 100M Pa
r 3 1 3 0 1 0 1M 0 0 a 0 P(a)
r 4 1 2 1 2 2 2 3 2 3 1 2
1 201020100102010002
10M 0 Pa
（2）对于图 b 所示的单元体，
110M Pa
由图知 1=140MPa，2=110MPa , 3=0
两种情况下的危险程度相等。
单轴受拉时:
σ 1σ s σ ,2σ 30
代入上式，可得材料的极限值
ufu16 E ν22 s
强度条件为：
r41 2 12 2 23 2 31 2
(9-2-4)
五、强度条件的统一形式
r
其中: r 称为相当应力
σ2
σ3
等效为
σ1
σ1
σr
σr
σ3
σ2
强度理论的分类及名称
就会沿垂直于最大伸长线应变方向的平面发生 脆断破坏。
基本假说：最大伸长线应变 1 是引起材料脆断破坏的因素。
脆断破坏的条件： 1 u （材料极限应变值）
若材料符合胡克定律,则最大伸长线应变为
1E 1[1(23)]
即 [ σ 1 ν ( σ 2 σ 3 ) ] σ u
强度条件为:
[ ( ) ]
r4 1 2 1 2 2 2 3 2 3 1 2
1 29.472502505.2825.28 9.4722
7.75MPa
例题 9-2 两种应力状态分别如图所示，试按第四强度理论, 比较两者的危险程度。
解：一、定性分析
由于各向同性材料，正应力仅产生线应变，剪应力 仅产生剪 应变。而两种情况下的正应力和剪应力分 别相 等，因此，
r3131M 40Pa (b)
140M Pa
r 4 1 2 1 2 2 2 3 2 3 1 2
1214011201100201420
12M 8 Pa
（3）对于图 c 所示的单元体，
70M Pa
由图知: 1= 80MPa ， 2= –70MPa , 3= –140MPa
r 2 1
23
(9-2-2)
第 二 类强度理论
三、 最大剪应力理论 (第三强度理论) 根据：当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就会 沿最大剪应力所在截面滑移而发生屈服失效。
基本假说： 最大剪应力 max 是引起材料屈服的因素。
屈服条件：
τmax τu
σs 2
在复杂应力状态下一点处的最大剪应力为
解：求主应力 由图知 : x=30MPa， y=70MPa， xy= - 40MPa 可求得
70M Pa 40M Pa
30M P
1 3
30
2
70
30
2
70
2
40
2
94 .72
50 20 5
MPa
5 .28
50M Pa (d)
2 50 MPa
r 31 3 9.7 4 5 2 .2 8.4 9 M 4 a P
比能理论
注意：按某种强度理论进行强度校核时， 要保证满足如下两个条件:
1. 所用强度理论与在这种应力状态下发生的 破坏形式相对应;
2. 用以确定许用应力 [ 的,也必须是相应于该 破坏形式的极限应力。
例题 9-1 对于图示各单元体，试分别按第三强度理论及第 四 强度理论求相当应力。
解： （1）对于图 (a) 所示的单元体， 由图知 1= 0，2= 3= –100MPa,
§9 - 2 四个强度理论及其相当应力
在常温、静载荷下，常用的四个强度理论分两类
第 一类强度理论——以脆断作为破坏的标志
包括：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论
第 二类强度理论——以出现屈服现象作为破坏的标志
包括：最大剪应力理论和形状改变比能理论
第 一类强度理论
一、 最大拉应力理论（第一强度理论）
80M Pa
r 3 1 3 8 0 1 4 2M 0 2 a 0 P (c)
140M Pa
r 4 1 2 1 2 2 2 3 2 3 1 2
1280702701420140802
19M 5 Pa
（4）对图d 所示的单元体,计算 r3 ,r4