_格林公式_的物理原型及其它
格林公式的讨论及其应用
格林公式的讨论及其应用目录一、引言 (2)二、牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式的应用 (3)（一）牛顿-莱布尼兹公式简介 (3)（二）牛顿-莱布尼兹公式的物理意义 (3)（三）牛顿-莱布尼兹公式在生活中应用 (3)三、格林（Green）公式的应用 (4)（一）格林公式的简介 (4)（二）格林公式的物理原型 (4)1、物理原型 (4)2、计算方法 (4)（三）格林公式在生活中的应用 (5)1.曲线积分计算平面区域面积 (5)2.GPS面积测量仪的数学原理 (6)四、高斯（Gauss）公式的应用 (7)（一）高斯公式的简介 (7)（二）保守场 (8)（三）高斯公式在电场中的运用 (8)（四）高斯定理在万有引力场中的应用 (11)五、斯托克斯（Stokes）公式的应用 (12)（一）斯托克斯公式简介 (12)（二）Stokes公式中P、Q、R的物理意义 (13)（四）旋度与环流量 (14)（五）旋度的应用 (14)六、结语 (16)参考文献............................................................................................................................... 错误!未定义书签。
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摘要牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz)公式、格林（Green）公式、高斯(Gauss)公式和斯托克斯(Stokes)公式是积分学中的几个非常重要的公式，分别建立了原函数与定积分、曲线积分与二重积分、曲线积分与三重积分、曲线积分和曲面积分之间的联系，它们除了在数学上用来计算多元函数的积分有很大用处之外，在其他的领域也有很多重要的应用。
格林公式的应用
格林公式的应用格林公式是数学中的一个重要定理，它描述了二维平面区域内的曲线积分与对应的面积积分之间的关系。
格林公式的应用非常广泛，涉及到物理、工程、地理等多个领域。
本文将介绍格林公式的基本概念和原理，并探讨其在实际问题中的应用。
格林公式是由德国数学家格林（Green）于1828年提出的，它建立了曲线积分与面积积分之间的联系。
在二维平面上，设D是一个有界闭区域，边界为C，f(x, y)和g(x, y)在D上具有一阶连续偏导数，则有格林公式：∮<sub>C</sub> (f(x, y)dx + g(x, y)dy) = ∬<sub>D</sub> (∂g/∂x - ∂f/∂y) dxdy其中，∮<sub>C</sub>表示沿着曲线C的曲线积分，∬<sub>D</sub>表示在区域D上的面积积分，∂f/∂x和∂g/∂y分别表示f 和g对x和y的偏导数。
格林公式的应用可以帮助我们求解各种与曲线积分和面积积分相关的问题。
下面将通过几个具体的例子来说明格林公式在实际中的应用。
**例1：计算曲线积分**考虑曲线C：x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = 1，逆时针方向，要计算曲线积分∮<sub>C</sub> (x<sup>2</sup>dx +y<sup>2</sup>dy)。
首先，根据格林公式，我们可以将曲线积分转化为面积积分。
设D 为曲线C所围成的区域，那么根据格林公式，有：∮<sub>C</sub> (x<sup>2</sup>dx + y<sup>2</sup>dy) =∬<sub>D</sub> (∂y<sup>2</sup>/∂x - ∂x<sup>2</sup>/∂y) dxdy 计算偏导数，得到∂y<sup>2</sup>/∂x = 0，∂x<sup>2</sup>/∂y = 0，因此面积积分为0。
格林公式 柯西黎曼方程
格林公式柯西黎曼方程格林公式和柯西黎曼方程是物理学中最重要的两个方程之一，它们是物理学家们用来描述物理现象的基础。
格林公式是由英国物理学家约翰·格林于1845年提出的，它是一个关于电磁场的基本方程，它描述了电磁场的变化，以及电磁场与电流的关系。
柯西黎曼方程是由德国物理学家威廉·柯西黎曼于1876年提出的，它是一个关于电磁场的基本方程，它描述了电磁场的变化，以及电磁场与电场的关系。
格林公式和柯西黎曼方程是物理学中最重要的两个方程之一，它们是物理学家们用来描述物理现象的基础。
格林公式是由英国物理学家约翰·格林于1845年提出的，它是一个关于电磁场的基本方程，它描述了电磁场的变化，以及电磁场与电流的关系。
格林公式的公式形式是：∇×E=-∂B/∂t，其中E是电场，B是磁场，t是时间。
格林公式表明，电磁场的变化是由电流引起的，电流的变化会导致电磁场的变化。
柯西黎曼方程是由德国物理学家威廉·柯西黎曼于1876年提出的，它是一个关于电磁场的基本方程，它描述了电磁场的变化，以及电磁场与电场的关系。
柯西黎曼方程的公式形式是：∇×B=μ0J+μ0ε0∂E/∂t，其中B是磁场，J是电流密度，E是电场，μ0是真空磁导率，ε0是真空电导率，t是时间。
柯西黎曼方程表明，电磁场的变化是由电流和电场引起的，电流和电场的变化会导致电磁场的变化。
格林公式和柯西黎曼方程是物理学中最重要的两个方程之一，它们是物理学家们用来描述物理现象的基础。
它们的公式形式描述了电磁场的变化，以及电磁场与电流和电场的关系，这些关系是物理学家们用来研究物理现象的基础。
格林公式和柯西黎曼方程的发现和研究，为物理学的发展做出了重要贡献，它们也是物理学家们研究物理现象的重要工具。
格林公式的讨论及其应用
格林公式的讨论及其应用目录一、引言 (2)二、牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式的应用 (3)（一）牛顿-莱布尼兹公式简介 (3)（二）牛顿-莱布尼兹公式的物理意义 (3)（三）牛顿-莱布尼兹公式在生活中应用 (3)三、格林（Green）公式的应用 (4)（一）格林公式的简介 (4)（二）格林公式的物理原型 (4)1、物理原型 (4)2、计算方法 (4)（三）格林公式在生活中的应用 (5)1.曲线积分计算平面区域面积 (5)2.GPS面积测量仪的数学原理 (6)四、高斯（Gauss）公式的应用 (7)（一）高斯公式的简介 (7)（二）保守场 (8)（三）高斯公式在电场中的运用 (8)（四）高斯定理在万有引力场中的应用 (11)五、斯托克斯（Stokes）公式的应用 (12)（一）斯托克斯公式简介 (12)（二）Stokes公式中P、Q、R的物理意义 (13)（四）旋度与环流量 (14)（五）旋度的应用 (14)六、结语 (16)参考文献............................................................................................................................... 错误!未定义书签。
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摘要牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz)公式、格林（Green）公式、高斯(Gauss)公式和斯托克斯(Stokes)公式是积分学中的几个非常重要的公式，分别建立了原函数与定积分、曲线积分与二重积分、曲线积分与三重积分、曲线积分和曲面积分之间的联系，它们除了在数学上用来计算多元函数的积分有很大用处之外，在其他的领域也有很多重要的应用。
全微分方程的物理背景与格林(Green)公式
全微分方程的物理背景与格林（Green ）公式专题摘要：给出全微分方程的定义和格林公式，以力场为例给出了全微分方程的物理背景，利用曲线积分与路径无关的两个充要条件，得到一阶微分方程是全微分方程的充要条件。
一个一阶微分方程写成0),(),(=+dy y x Q dx y x P ， （1）的形式，如果它的左端恰为某一二元函数),(y x u 的全微分dy y x Q dx y x P y x du ),(),(),(+=， （2）那么，微分方程式（1）称为全微分方程。
全微分方程有很具体的物理背景，假设在xoy 平面有一力场F ，j i F ),(),(y x Q y x P +=现在求这样一条曲线l ，使该曲线与力场处处垂直。
设曲线的方程为)(x f y =，则应有),(),(y x Q y x P dx dy -=， （3） 或0),(),(=+dy y x Q dx y x P ， （4）于是问题化为求微分方程（1）的解的问题。
如果在力场中存在标量函数),(y x u ，使得),(),,(y x Q yu y x P x u =∂∂=∂∂ 因此，（4）式是全微分方程，它的解为C y x u =),(， （5）由（5）式确定的曲线是力场F 的等值线。
沿等值线，力场不作功。
怎样判断一个微分方程是否为全微分方程呢？结论1 当函数),(),,(y x Q y x P 在闭区域D 上具有连续的一阶偏导数时，则有⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂LD Qdy Pdx dxdy y P x Q )(， （6） 其中L 是区域D 内取正向的分段光滑闭曲线。
（6）式称为格林（Green ）公式。
结论2在单连通区域G 内的曲线积分与路径无关的充要条件是区域G 内的任意闭路径积分为零。
结论3 由格林公式（6）知，曲线积分⎰+L Qdy Pdx 与路径无关的充要条件是在区域G 内恒有 yP x Q ∂∂=∂∂， （7） 结论4 根据曲线积分⎰+L Qdy Pdx 与路径无关的充要条件得，在单连通区域G 内具有连续一阶偏导数的函数),(),,(y x Q y x P 构成的一阶微分方程（4）是某一函数),(y x u 全微分的充要条件是（7）式成立。
第10.5节 格林、高斯、斯托克斯公式
L2 : y 2 ( x)
L4 L3
P 因为 连续, 所以由对坐标的 y o 曲线积分及二重积分的 计算法有
L1 : y 1 ( x )
a
b x
高等数学 第10章 曲线积分与曲面积分
10.5 格林公式、高斯公式与斯托克斯公式
Pdx Pdx Pdx Pdx Pdx
D xy D xy
D xy
R( x , y, z ( x , y )) R( x , y, z ( x , y )) dxdy
2 1
z 2 : z z2 ( x , y )
dxdy
D xy
z2 ( x , y )
z1 ( x , y )
R dz z
o
3
y
R d . z
(
P Q R )d , x y z
(10.5.4)
其中 ( x , y , z ), ( x , y , z )和 ( x , y , z )为曲面 在点( x , y , z )处的法向量关于 x轴、 y轴和 z轴的方向角 . 在定理 10.5.2中, 若 是 的整个边界曲面的内侧 , 则
1
y
L
1 0 2 xdy ydx a C 1 2 1 ( 1)dxdy a D
2
C
o
D1
x
2 2 a 2 2 . a
( D2 : x 2 y 2 a 2 )
高等数学 第10章 曲线积分与曲面积分
10.5 格林公式、高斯公式与斯托克斯公式
（10.5.1）
高等数学 第10章 曲线积分与曲面积分
格林公式高斯公式斯托克斯公式
格林公式高斯公式斯托克斯公式
（原创实用版）
目录
1.引言：介绍格林公式、高斯公式和斯托克斯公式
2.格林公式：详细解释格林公式的概念、公式形式和应用领域
3.高斯公式：详细解释高斯公式的概念、公式形式和应用领域
4.斯托克斯公式：详细解释斯托克斯公式的概念、公式形式和应用领域
5.结论：总结三种公式的特点和重要性
正文
在数学和物理学中，格林公式、高斯公式和斯托克斯公式是三种非常重要的公式。
它们各自有着独特的概念、公式形式和应用领域。
格林公式，又称为高斯公式，是向量分析中的一种重要公式。
它描述了向量场的旋度与散度之间的关系。
格林公式的公式形式为：×A = μ
^(-1) * ×(μA)，其中 A 表示向量场，μ表示磁导率。
格林公式在电磁学、流体力学等领域有着广泛的应用。
高斯公式，又称为高斯定理，是向量分析中的另一种重要公式。
它描述了向量场的散度与通过其表面积的通量之间的关系。
高斯公式的公式形式为：A = μ_0 * ×E，其中 A 表示向量场，μ_0 表示真空磁导率，E 表示电场强度。
高斯公式在电场、重力场等领域有着广泛的应用。
斯托克斯公式，又称为斯托克斯定理，是向量分析中的一种基本公式。
它描述了向量场的旋度与通过其表面积的通量之间的关系。
斯托克斯公式的公式形式为：×A = -A/t，其中 A 表示向量场，t 表示时间。
斯托克斯公式在流体力学、热力学等领域有着广泛的应用。
总之，格林公式、高斯公式和斯托克斯公式在数学和物理学中都有着
重要的地位。
数学物理方法12格林函数
泊 第一类边界条件：第一边值问题(狄里希利问题)
松 方
第二类边界条件：第二边值问题(诺依曼问题)
程
第三类边界条件：第三边值问题
2、格林函数的引入及其物理意义
引入：为了求解泊松方程的定解问题，我们必须定 义一个与此定解问题相应的格林函数 G(r, r0)
它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类 条件：
这就是第三边值问题解的积分表示式．
右边第一个积分表示区域 T 中分布的源 f (r0 ) 在 r
点产生的场的总和. 第二个积分则代表边界上的状况对 r
点场的影响的总和．两项积分中的格林函数相同．这说明 泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的 场．
对于拉普拉斯方程
f (r0 ) 0
第一边值问题的解为
构建格林函数为
G(x,
y
|
x0 ,
y0 )
1 4π
(x ln[
(x
x0 )2 x0 )2
(y (y
y0 )2 y0 )2
]
边界外法线方向为负 y 轴，故有
G n
|
G y
|y0
=
1 2π
(x
y0 x0 )2
y02
1 π
y0 (x x0 )2
y02
1 π
(x
y0 x0 )2
y02
代入到拉普拉斯第一边值问题解的公式（14.2. 13），拉普拉斯 方程的自由项 f 0 ,则由
G(r,
r0
)
1 2π
ln
|
r
1
r0
|
1 2π
ln
|
r
1
r1
|
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率高 。本文 的大量 计算结果表 明 , 计算求得 的叶轮 , 轴套接
触 区 域 的变形 , 应 力及接触 内力 的分布完全符合规律 。
接触点对 的相对位移与叶轮的质盆分布有很大关系 ,
在压气机额定工作转速下 , 叶轮径 向尺 寸较 大部分对应 的
接触 区 域产生 了相对位移 , 大部分接触 点对 已经脱开 , 仅有
北 京理 工 大 学 出版社 ,
。
上接第 万
、是先判断与路径无关 , 在找简单路径 积 分 。
例 证明 ‘ 一
,
,只 与“的起讫 点有关 而
泣女 与 。径无关 , 且求 “
一‘ ,的值
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平 面 图形 面积
户 , 专 ‘ 二
二
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公式有 个 , 其中 为 的面积 , 为 的边 界
力迅 速降为零 , 应在结 构允许的条件下 采用 壁厚 较小 的轴
套。
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五 、结论
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用 有 限元 参数二次 规划法结合子 结构技术对 内燃机 增
压器压气机 做三 维接触精细分析是可行的 。计算精度高 , 效
中国 · 包头
职 大 学报
的 年第 期
“ 格林公式 ”的物理原 型及 其它
包海臣
呼和 浩 特职 业 学院 , 内萦古 呼 和 浩 特
摘 耍 介绍格林公式物理原型 , 总结格林公式应 用 的几种类型 。
关 词 平 面德定 流 动 流速 流 童 弧徽分 重积 分
中 圈分 类号
文献标识码
文章绷号
一
一心肠 一习
中 , 试 , 加人这部分 内容 并对公式作了简单的符号记法 , 简化 了公
式 , 降底 了出错率 , 并对应用 总结了几 个类 型 。多年 的实践证 明 , 效果
是很好的 , 下 面就将加人 的内容介绍 如下
格林公式的物理原 型
在流体物理
学
中
,
称
满
足
下
述三
个
条件的“
流速
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对 于 不 同壁厚 的轴套 , 其转速 与接 触 内力 的关 系
如圈 所 示 。 由该 图 曲线 可 以 发 现 , 壁 厚 较 小 例如 , 二
的轴套与壁厚 较 大 例 如 , 二
的轴套相 比 , 当转
引 △ 】 二
·
动 ·
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其 中布是 的单位 外法 向量
单位时间 内流体面 积 为 子
山
由曲线积分定 义有总 的流体面 积 林
子孟
伪 的全
长 , 设孟二
州 ,
则 朴二
几山
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设伪点 、 处 的切线方 向 , 与 轴夹角
如图 所示
。二
, 沁“ 月 一
,
…二 ‘
、 一
‘二
。
一。
收稿 日期
一。 一
作者 简介 包海 巨 男 , 呼 和 浩 特职 业 学院 教 师 。
改写为
格林定理 设 佣 区 域 的边 界 曲线 是无 重点 , 光滑 曲线 。
、
,
在 、 上 具 有一 阶连续 偏导 数 , 则 有
·
尸么
二
詹 拳晒 一 沿正 向即逆 时针方 向。
初学 的人往往感到 格林公式 不太好记 , 现介绍一种符号行列式
来帝助记忆 , 很方便 。 日日 即 石 百 二 李 一 零 方法 同行列式计算 “叮 犷
二 、 卜 的计算可 以从另一个角度来计算 , 那就是先算出流过场内每
一个徽元
在单位时间内散发 出去的流体的面积 然后求其总和。
设 上 述 曲线 所 围平 面 区 城 为 在 , 内任取 一 个 徽 元
如图 所示
显然在单位时间 内从左边 流进 轴方 向 这个徽 元 的流体面积
近似于 , 而从 右边流出的面 积近 似于
‘
,
‘
为偏
增 的近似 。因此这个徽元 在单位时间内沿 方向 净 散发 出去流
体面 积 近 似于
伙
一
二 口 记 同理 沿 方 向 净 散 出
去 的流体面积近 似于 ,
” 由 分的定 义 得
, 所 以 总的为 、十 护
二 居 ·韵坷
由‘一 , 、‘二 ,可 得
、 一
二
子·韵晒
这是场论 中最根本的公式 , 即格林公 式 的原 型 , 以后 为记 忆 方便
速二
时 , 前 者 的接触 内力较 后 者为小 当转
速二
洲
时 , 前者 的接触 内力较后 者为大 。 以上
表 明 , 壁厚 较 小 的轴套 , 随 转 速 的增加 , 其接触 内力 下 降较
缓 , 而 壁厚 较大的轴套 , 随 转速 的增 加 , 其接触 内力 下 降较
为迅速 。 因此 , 为防止 高速转 动 时 叶 片与轴套间的接触 内
相 应 增 加 图 。 由此 可 以 看 出 , 相 对 位移 的不 均 匀 分 布必
然导致接触力的不均匀分布 。为防止有些 区 域接触力很 大
而有些 区 域 的接触力很 小 的情况 发生 图 , 建议设计制
造时采取 沿轴 向不 均等 的过盈 量 。例如采取 简单线性增 加
减少 的过 盈 。
扭城月盆琅丫︽”
持稳定 而 足够 的接触内力 , 应 尽 可能采用 壁厚较小 的轴套 。
参考 文 做
钟 万 鹉 、 张 洪 武 、 吴 承 伟 , “ 参史 全 史 分 原 理 及 其 在工 租 中的
应 用 ” , 科学出版社 ,
。
冯 登 秦 “ 接 触 力 学的 发展 概 况 ” ,《力 学进 展 》
第 期。
《经 典 弹 性 理 论 中的接 触 问 题 中译 本 ,
在这 种“ 平面 稳定 流 动 ”中 , 我 们 来计算 单 位时 间 内流过 曲线
的流体体积 即流 密度 其实是 流过 以 为准线 、 高为 的柱体 的流
体体积 简单用 面 积 表示 其 中 是平 面 上 一 个闭 的 、无重 点 , 光滑
曲线 。无 , 点 , 是 指 曲线
州 二
,
二 州 当 , 尹 七时 , 点 忡
的上 半回周 尹二
, 此类皿擂加人 轴上 的线段
人 接合 。 成封闭 , 然后 用 格林公式计算 。简记为
二
十
一
二
月 口 ,
口月
曰
︸ ‘
特不 页
恤
在转速 二
条件下 , 计算结果表 明 , 叶
轮与轴套接触点的相对位移与叶轮的质 分布存在明显
的联 系 。 沿轴长方 向随 叶轮径 向尺 寸 的增 加 , 相 对 位移亦
在工 科的“ 高等数学 ”教 材 中 , 格林公式这 部分都是 先给 出定理 ,
然后 加 以 证 明 、应用 。讲这 部分 内容时 , 总有学生 询 到曲线积 分与重积分会有这样 的数值
上 的联 系 能否将格林公式 的来源 即物理 原型 加 入教材呢 在教学
少部分 区域残存有接触力 。建议采用非均匀的初始过盈 ,
以保证不 发生 相 对位移 和均匀的接触 内力 。
接触 内力 沿轴 向的 变化速 率与轴套 的厚度有关 , 壁厚
大 , 则在工 作转速 前后 一 定 范 围 内 , 接触 内力 下 降较快 壁
厚小 , 则变化趋势 相 反 , 为使接触 内力沿轴 向变化 较缓 , 保
勃 臀韶 寄 规定
。之积 为 ·
之积为
旦 且 ,
,
所 以格林公式可 记 为 “ 。
方二
卿 ‘ 玉 你
口
格林公式的应用 可分以 下几个类型 每种给了几个作为参考的
习题 , 在这不求解 。
人 直接用公式计算
例 卜 护。 尹 一 护 , 为逆时 绕 犷 尹二 扩一 周 。
、
一
一
’
一
, 其中
为 由点
,,
至。
场 、 中每一点 的速度都不 随时 间改 变 , 只是 位 的 函数 即
子二 尸
万 卜
二, ,
、所论 流体介 于两 个互 相平行的平面之 间 为方便 , 不妨设平面
间距离 为 个单位 其 中之一 称为底 面 往往底 面 即为 坐标面 。
垂 、 宜于底面 的直线上 的各点 流速 相等 , 并平 行于 底面 。
中
与
甲七
中 ,
七
总是 相异 的 。
下面有两种方法计算
一 在 、 上 任取一 小段 弧线 △ 在 , △ 时 间 内流过 △ 的流体面
积 , 近 似于 一 个 平行 四 边 形 的面 积 如 图 中阴影 部 分 , 它 的一 个边
长是 △ 另一个相邻的边长是流程
仍
△ ·
才
因此 面积 为 △ ·
明 子 子 肠 △ ‘
例 求星形线 二
大 、,
,
二
、的 面 积
求全徽分方程 的通解
,
二
日
当李 二 单 即 百 百 卜 时
一今
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有通解 二 ·
以 二
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例求 ,
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卿 状 “ ’
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