数理方程：第10讲格林函数法
数学物理方法第十章 格林函数法
上式给出了泊松方程解的积分表达(biǎodá)，但由于G(M,M0)未知 且不同边值条件也需做进一步的分析。
共二十六页
§10 格林函数(háns
2、泊松方程(fāngchéng)边值问题的积分公式
(A)第一类边界条件 0
由
边界条件变为 u 1 g(M ) f (M )
基本(jīběn)公式变为
这里(zhèlǐ)G就相当于 格林第二公式中的v
(G u u G )d (Gu uG)d
n
n
[u(M ) (M M0 ) G(M , M 0 )h(M )]d
若能由此式化简整理得到u(M),则一定(yīdìng)是方程（1）的解
共二十六页
§10 格林函数(hán
共二十六页
§10 格林函数(hánsh
显然，为了解决这一矛盾，或者修改格林函数所满足的方程
G(M , M0 ) (M M0 )
使之与边界条件
G 相0 容，
n
这就要引入所谓的广义格林函数方程；或者修改边界条件使之
与格林函数所满足的方程相容，这里不再详细讨论。
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§10 格林函数(hánsh
(C)第三类边界条件 0, 0
积分变换法：无界区域(qūyù)的定解问题， 解一般为无穷积分
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§ 10.1
函数(hánshù)
§10 格林函数(háns
共二十六页
2、定义(dìngyì)
(x)
0
x0 x0
(x)dx 1
更普遍的定义为
§10 格林函数(hánsh
—— 函数
(hánshù)
共二十六页
§10 格林函数(háns
u(M )
数学物理方程——10 格林函数法续
3/ 2
sin θdθdϕ .
12
上午6时53分
数学物理方法
第六章
格林函数法
R u (r0 , θ 0 , ϕ 0 ) = 4π
∫ ∫ (R
0 2
2π
π π
R 2 − r02
2
+ r − 2 Rr0 cos γ
2 0
)
3/ 2
sin θdθdϕ .
其中 cos γ = cos θ cos θ 0 + sin θ sin θ 0 cos(ϕ − ϕ 0 ). θ 特别的，求温度在球的铅垂直径：0 = 0(直径的 上半部分)和θ 0 = π (下半部分)上的分布。 当θ 0 = 0 时，cos γ = cos θ , 故
在球面 Γ上，
∂G ∂G r − r0 cos γ 1 ⎡ |Γ = |r =R = − ⎢ ∂n ∂r 4π ⎢ r02 + r 2 − 2r0 r cos γ ⎣
(
)
3/ 2
⎤ − ⎥ 2 2 2 4 3/ 2 ⎥ r =R r r0 − 2 R r0 r cos γ + R ⎦
(
(rr
2 0
− R 2 r0 cos γ R
∫ ∫
0
2π
π
0
f ( R, θ , ϕ ) ×
R −r
2 2 0 2 0
(4)
其中 cos γ = cos θ cos θ 0 + sin θ sin θ 0 cos(ϕ − ϕ 0 ). 解 这个问题归结为如下定解问题
Δu (r , θ , ϕ ) = 0 (0 < r < R ),
u |r =R =
Γ
(1) (2)
格林函数方法
格林函数方法
1、格林函数
格林函数（Green's function）是指由著名数学家.格林（Green）提出的数学方法，它是一种可以求解各种微分方程的技术。
格林函数的定义是对于任意给定的初值问题，在区间上的解的和等于给定的数值13。
其用法主要有两种：一种是用于求解某些有定型的初值问题；另一种是求解某些微分方程的积分解。
格林函数的结果可以用来解决复杂的初值问题和理解复杂的微分方程以及系统的时间变化。
2、格林函数的原理
格林函数可以用来解决一类有特定初值条件的常微分方程组。
它的原理是基于一种叫做拉普拉斯变换（Laplacetransform）的数学变换理论，它是一种将微分方程组变换成求积分方程组的方法，从而可以使原本困难的初值问题变得容易解决，其在解决物理学中不变解中特别有用。
3、格林函数的计算
对于特定的初值条件，可以使用格林函数计算出拉普拉斯变换得到的积分方程的结果，从而计算得到解析解。
计算过程比较复杂，需要用到积分变换和methods。
总之，格林函数是一种可以求解复杂常微分方程的有效数学方法，它基于拉普拉斯变换的原理，对于特定的初值问题，运用格林函数，可以计算出相应的解析解。
数学物理方程第10讲 格林函数法 叶葱
M(x,y,z)
v u (u v u)dV (u n v n )ds
现在的问题是， V(x,y,z)不包含M0这一点！！！！ 所以运用公式时我们要挖去M0点（奇异点）
如何去除M0点？？
最简单的，以M0为中心， ɛ 为半径作一个球面， 球面为Ƭɛ,球体积为Kɛ,挖去这样一个球。
1 u(M 0 ) 4 1 rMM 0 n 1 u ( M ) )ds rMM 0 n
(u(M )
我们要求区域内一点M0处的u， 要知道这个函数在区域边界Ƭ上的值 以及在Ƭ上的法向导数的值
1 r 1 u )ds 4u 4 ( u ) 0 根据 (u n r n n
0, lim u u(M 0 )
1 u(M 0 ) 4 1 rMM 0 n 1 u ( M ) )ds rMM 0 n
(u(M )
调和函数的积分表达式
M0(x0,y0,z0)
M(x,y,z)
考虑球面Ƭɛ上，即M点在球面，此时r=ɛ
1 1 r r 1 1 n r r2 2
1 r ds 1 u n 2
uds r 1 u )ds ? (u n r n
2 2
第二格林公式
现在我们求解u（x，y，z）
u0
2
Dirichlet 问题
u
f ( x, y , z )
求出调和函数 的积分表达式
首先构造一个辅助函数
M0(x0,y0,z0) r
M(X,Y,Z)
1 1 v( x, y, z) 2 2 2 r ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )
格林函数法解非齐次方程
格林函数法解非齐次方程格林函数法是一种常用的解非齐次方程的数学方法。
它基于格林函数的概念，通过求解格林函数来得到非齐次方程的解。
在本文中，我们将介绍格林函数法的基本原理和应用，并通过一个具体的例子来说明如何使用格林函数法解非齐次方程。
让我们来了解一下什么是格林函数。
在偏微分方程中，格林函数是一种特殊的函数，它可以用来表示在某个点上施加单位源时在整个空间内引起的响应。
格林函数可以看作是一个狄拉克函数的解，它满足齐次方程和边界条件，并且在单位源点上的值为1。
通过求解格林函数，我们可以得到非齐次方程的解。
接下来，我们来看一个具体的例子。
假设我们要解一个一维非齐次波动方程：∂^2u/∂t^2 - c^2 ∂^2u/∂x^2 = f(x,t)其中，u是待求解的函数，c是波速，f(x,t)是给定的源函数。
为了使用格林函数法，我们首先需要求解齐次方程的格林函数G(x,t;x',t')，即满足以下方程的函数：∂^2G/∂t^2 - c^2 ∂^2G/∂x^2 = 0边界条件为：G(x,0;x',t') = 0∂G/∂t(x,0;x',t') = 0G(0,t;x',t') = 0G(L,t;x',t') = 0其中，L是空间的长度。
通过求解该齐次方程，我们可以得到格林函数G(x,t;x',t')的表达式。
接下来，我们可以使用格林函数来求解非齐次方程。
假设非齐次方程的源函数为f(x,t)，我们可以将其表示为格林函数G(x,t;x',t')的积分形式：u(x,t) = ∫G(x,t;x',t')f(x',t')dx'dt'通过这个积分形式，我们可以将非齐次方程的解表示为格林函数和源函数的积分。
这样，我们就可以通过求解格林函数来得到非齐次方程的解。
让我们通过一个具体的例子来说明如何使用格林函数法解非齐次方程。
格林函数法 数学物理方程
格林函数法
若L 一个带平滑系数的线性微分算子，当求解形如()L u f =的微分方程时，若对于任意的向量y 都存在广义函数()G x,y ，使得
[]()()L G δ=x x,y x-y
（此处下标x 表示L 作用于()G x,y 时将其当做以x 为自变量的广义函数，而y 为参数） 若再令
()()()d u G f =⎰x x,y y y
将上式代入()L u f =则有
[]()()d ()()d ()()d ()L G f L G f f f δ⎡⎤===⎣⎦
⎰⎰⎰x x,y y y x,y y y x -y y y x 故此时()u x 是微分方程()L u f =的解。
采用上述方法求解微分方程的方法称为格林函数法，广义函数()G x,y 也称为格林函数。
数学物理方法知识体系
数学物理方法所要解决的问题：求解（偏）微分方程
本学期学过的求解方法：变量分离法、积分变换法、格林函数法
变量分离法涉及知识点：傅里叶级数、函数的正交系、贝塞尔函数（Chap.2~Chap.5） 积分变换法涉及知识点：傅里叶变换、拉普拉斯变换、广义函数（Chap.7~Chap.9） 格林函数法涉及知识点：格林函数（Chap.10）
例题数量统计。
《格林函数方法》课件
04
格林函数在工程问题中的应用
流体动力学问题
流体力学中的波动和散射问题
格林函数方法可以用于求解流体力学中的波动和散射问题， 例如声波在流体中的传播、波动在管道中的传播等。
流体动力学中的边界层问题
格林函数方法可以用于求解流体力学中的边界层问题，例如 流体在固体表面流动时的速度分布、温度分布等问题。
格林函数方法的优点
精确度高
格林函数方法基于严格的数学推导，能够精 确地描述物理系统的响应。
适用范围广
该方法不仅适用于线性系统，也适用于非线 性系统，具有较强的通用性。
易于实现
格林函数具有明确的物理意义，计算过程相 对简单，易于编程实现。
可扩展性强
通过引入更多的格林函数，可以处理更复杂 的物理问题。
弹性力学问题
总结词
格林函数在弹性力学问题中也有着重要的应用，它可以帮助我们求解弹性波的传播和散射问题。
详细描述
在弹性力学问题中，格林函数可以用于描述弹性波的传播和散射过程。通过求解格林函数，我们可以得到弹性波 在各种不同介质中的传播规律和散射特性，这对于地震探测、声波传播、振动控制等领域有着重要的应用价值。
格林函数方法的缺点
计算量大
对于大规模系统，需要计算的格林函数数量较多，计算量较大。
对初值敏感
某些情况下，初值的选择对计算结果影响较大，需要仔细选择。
对噪声敏感
在数据中存在噪声时，格林函数方法可能会受到影响，导致结果失真。
对边界条件敏感
边界条件的设定对格林函数的计算结果有较大影响，需要谨慎处理。
格林函数方法的未来发展前景
03
格林函数在物理问题中的应用
电磁场问题
总结词
格林函数在电磁场问题中有着广泛的应用，它可以帮助我们求解电磁场中的散射 和辐射问题。
格林函数
格林函数法求解稳定场问题1 格林函数法求解稳定场问题(Green ’s Function) Green ’s Function, 又名源函数，或影响函数，是数学物理中的一个重要概念。
从物理上看，一个数学物理方程表示一种特定的场和产生这种场的源之间关系：Heat Eq.：()2222 ,u a u f r t t∂-∇=∂v 表示温度场u 与热源(),f r t v之间关系 Poission ’s Eq.：()20u f r ρε∇=-=-v表示静电场u 与电荷分布()f r v之间的关系场可以由一个连续的体分布源、面分布源或线分布源产生，也可以由一个点源产生。
但是，最重要的是连续分布源所产生的场，可以由无限多个电源在同样空间所产生的场线性叠加得到。
例如，在有限体内连续分布电荷在无界区域中产生的电势：()''04r dV r r ρφπεΩ=-⎰r r r这就是把连续分布电荷体产生的电势用点电荷产生的电势叠加表示。
或者说，知道了一个点源的场，就可以通过叠加的方法算出任意源的场。
所以，研究点源及其所产生场之间的关系十分重要。
这里就引入Green ’s Functions 的概念。
Green ’s Functions ：代表一个点源所产生的场。
普遍而准确地说，格林函数是一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场。
所以，我们需要在特定的边值问题中来讨论 Green ’s Functions.下面，我们先给出Green ’s Functions 的意义，再介绍如何在几个典型区域求出格林函数，并证明格林函数的对称性，最后用格林函数法求解泊松方程的边值问题。
实际上，只限于讨论泊松方程的第一类边值问题所对应的 Green ’s Functions 。
2 泊松方程的格林函数静电场中常遇到的泊松方程的边值问题：()()()()()201 f s u r r u r u r r n ρεαβϕ⎧∇=-⎪⎪⎨∂⎡⎤⎪+=⎢⎥⎪∂⎣⎦⎩vv v v v 这里讨论的是静电场()u r v， ()f r ρv 代表自由电荷密度。
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的解如果存在, 必可以表示为
uM0
f
u
v
1
n 4
1 n rM0M
dS
u
n
4
1 rM 0M
v dS
令 GM , M0 4
1 v, 则
rM0M
uM 0
u
GdS n
GM , M 0 称为拉普拉斯方程的格林函数.
如果能找到格林函数中的 v , 并且它在
上有一阶连续偏导数，
则狄利克雷问题 2u 0, u
u | f
格林公式中取 u 为上述调和函数, v 1 , 则
有解的必un要dS条件0.为所函以数紐曼满f内足问题(
u n
|)有f
fdS 0
事实上, 这也是紐曼内问题有解的充分条件.
2) 拉普拉斯方程解的唯一性问题
设 u1 , u2 是定解问题的两个解，则它们的
差 v u1 u2 必是原问题满足零边界条件的
(u2v v2u)dV
(u
v n
v
u n
)dS
可得
v u
(u
n
v
n
)dS
0
与
u
M
0
1
4
u
M
n
1 rM0M
1 rM0M
u M
n
dS
相加得
u M0
u
v
n
1
4
1 n rM0M
1
4
rM
0M
v
u n
dS
如果能找到调和函数 那么上式意味着
v
,
使得
v
|
4
1
rM0M
,
uM0
第四章 拉普拉斯方程的格林函数法
4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
设 u ux, y, z 满足拉普拉斯方程
2u 2u 2u 0,
x2 y 2 z 2 描述稳恒状态下的物理过程。 通常表示成
2u 0
不存在初始条件.
拉普拉斯方程的解称为调和函数
边界条件:
1） 第一边值问题
u 0 ()
u | f .
故在 内必有 grad v 0 , 即
v v v 0 x y z
可得 v C ，其中C为常数.
对于狄利克雷问题, 由于 v | 0, 故 C 0
从而 v 0 .
结论 狄利克雷问题在 C1 C2
内的解是唯一确定的, 紐曼问题的解在相差一个常数下也 是唯一确定的.
3) 调和函数的积分表达式
dS
4u4来自u n0令 0 , 则 lim0 u uM0 ,
lim
0
4
u n
0
于是
uM0
1
4
u M
n
1 rM0M
1 rM0M
u M
n dS
4)平均值公式
设函数 uM 在某区域 内是调和函数,
M 0 是 内任一点, Ka 表示以 M 0 为中
心, a 为半径且完全落在 内的球面,
dV
u x
v x
u y
v y
u z
v z
dV
u
2v x 2
2v y 2
2v z 2
dV
gradu grad v dV u2vdV
所以
u2vdV
u
v n
dS
grad u grad v
dV
第一格林公式
u2vdV
u
v n
dS
grad u grad v
dV
第一格林公式
除点 M 0 外处处满足拉
普拉斯方程, 它称为三维拉普拉斯方程的
基本解.
为了利用格林公式，我们在 内挖去 M 0
的球形邻域 K， 是其球面。
1
在区域 K 内及其边界 是任意可导的。
上，
v
r
在第二格林公式中, 取 为u 调和函数, 并假
定它在 上有一阶连续偏导数, 而取 ,
在区v 域1
上应用公 式K 得
所谓调和函数的积分表达式, 是指用调和 函数及其在区域边界 上的法向导数沿 的积分来表达调和函数在 内任一点的值.
设 M 0 x0 , y0 , z0 是 内一固定点, 下面求调
和函数在这一点的值.
为此构造一个辅助函数
v1
1
r x x0 2 y y0 2 z z0 2
可以证明函数
1 r
交换 u, v 的位置, 有
v2udV
v
u n
dS
grad v grad u
dV
两式相减, 得
(u2v v2u)dV
(u v v u )dS n n
第二格林公式
1) 紐曼内问题有解的必要条件
设 u 是在以 为边界的区域 内的调和函
数, 在 上有一阶连续偏导数, 则在第二
则有
u M0
1
4 a2
Ka
udS
4.3 格林函数 调和函数的积分表达式
u
M
0
1
4
u M
n
1 rM0M
1 rM0M
u M
n dS
能不能直接提供狄利克雷问题和牛曼问
题的解 ？
为得到狄利克雷问题的解, 必须消去 这需要引入格林函数的概念.
un, |
设u, v为内的调和函数,并且在 上 有一阶连续偏导数, 利用第二格林公式
解。对于狄利克雷问题， v 满足
2v 0, v v | 0
对于紐曼问题, v 满足
2v 0,
v n
|
0
v
在第一格林公式中取 u v u1 u2 , 由 v 是
调和函数，可得
0
v
v n
dS
grad v grad v
dV
在两个边界条件下，都有
v
v
n
dS
0
所以
2
grad v dV 0.
P cos n,
x
Qcosn,
y
R cosn,
z dS
其中n 为 的外法向量。
高斯公式可简记为
adV
a
ndS
设 u ux, y, z,v vx, y, z 满足
u, v C1 C 2
令 Px, y, z u v Qx, y, z u v Rx, y, z u v
r
K
u2
1 r
1 r
2u
dV
u
1 r
n
1 r
u n
dS
在球面 上,
1/ r 1/ r 1 1
n r r2 2
因此
u
1/ r
r
dS
1
2
udS
1
2
u 4 2
4 u
同理可得
1 r
u n
dS
1
u n
dS
4
u n
我们可得
u
n
1 r
1 r
u n
x
y
z
则 P,Q, R C C1
将 P, Q, R 代入高斯公式，等式右端
u
v x
cosn,
x
v y
cosn,
y
v z
c
osn,
z
dS
u v dS n
等式左端
P x
Q y
R z
dV
u x
v x
u
2v x 2
dV
u v 2v
y y u y 2 dV
u z
v z
u
2v z 2
狄利克雷(Direchlet)问题
2)第二边值问题
u 0 ()
u f n
纽曼(Neumann)问题
4.2 格 林 公 式
高斯公式：设 是以光滑曲面 为边界的有界区
域，Px, y, z， Qx, y, z ,Rx, y, z 在闭域 上连
续,在 内有一阶连续偏导数，则
P x
Q y
R z
dV