数理方程课程简介
数理方程------中国科学技术大学-季孝达
数理方程------中国科学技术大学-季孝达数学物理方程:讨论的对象是物理问题里提出来的数学方程，这个方程以偏微分方程为主，也包括常微分方程、积分方程、差分方程。
也可以叫数学物理的偏微分方程。
不是泛泛的讨论偏微分方程，跟数学上的讨论不同，是从物理角度讨论物理里重要的偏微分方程。
研究数理方程归纳为三个步骤:第一步建立数学模型(导出一个偏微分方程)，把物理问题变成数学问题。
第二步求解。
把解找出来。
第三步把解回复到物理中，做出物理的解释。
一方面检验解的正确性，即检验解与观测到的物理现象、总结的物理规律是不是吻合，另一方面，通过解对物理现象进行预测。
我们这个课程主要做的是第二步，即求解。
第一步和第三步也会涉及到一些，但这些主要是在相应的专业课程中学习的。
我们的主要任务是求解，研究对象是数学物理方程，求解:一要从物理上认识这个问题，找出求解的思路，物理上直观的想法很重要(要有物理的直观)，希望大家不要搞成纯粹数学。
需要调动所有的数学工具来求解偏微分方程，需要既要从物理上又要从数学上。
从历史上，前面是微积分、线性代数、复变函数，都学过了，凡是能用的我们把它都拿过来，目标是一个，把解找出来。
结合物理问题，一结合实际问题往往比较复杂，从计算量上或许就会大一些，求解方法常常是比较繁琐的，不一定难，有可能很繁，希望大家把这个作为我们科学工作能力的(锻炼)一个方面来要求自己，不怕繁、要坚持做到底，发明、创新第一步是找准方向，然后去实现它，实现必须踏踏实实、一步步的做。
我们所涉及到的数学物理方程主要是三个，这部分内容主要是19世纪的内容，物理和数学是紧密结合的，数学帮助解决物理问题，物理提供了数学发展的动力。
从牛顿、莱布尼茨创立微积分开始就是紧密结合的，很多问题就是从物理里促使了微积分的出现，从历史上讲，偏微分方程在18世纪的时候就由了，最重要的发展是19世纪力学、热学、电磁学(独立成分支)的发展急需数学工具解决，偏微分方程就是适应了这种形式发展起来的，且发展的比较快。
数理方程课件
数理方程课件数理方程是数学中的重要分支，它研究方程的解和性质。
随着计算机技术的不断发展，数理方程的研究变得越来越重要，其在科学、工程和金融等领域都有着广泛的应用。
本文将介绍数理方程的基本概念、解的求解方法和一些经典方程的应用案例。
一、数理方程的基本概念数理方程是指含有未知数和已知数之间关系的等式。
它通常由代数方程、微分方程和积分方程组成。
在数理方程的研究中，我们需要关注方程的次数、阶数和特殊形式，并通过分析方程的性质来解决相关问题。
在解数理方程时，我们常用的方法包括代数方法、几何方法和数值方法。
其中，代数方法主要通过变换和化简方程，将其转化为更简单的形式进行求解；几何方法通过图形和几何关系来推导方程的解；数值方法则借助计算机的力量，利用数值逼近的方法求解方程。
二、数理方程的解的求解方法1. 代数方程的解的求解方法代数方程是最常见的数理方程形式，其解的求解方法众多。
常见的方法包括因式分解、配方法、二次公式、根号法等。
例如，对于一元二次方程$a x^{2}+b x+c=0$，我们可以使用二次公式来求解：$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$2. 微分方程的解的求解方法微分方程描述了函数与其导数之间的关系，其解的求解方法也有多种。
常见的方法有分离变量法、常数变易法、齐次线性微分方程的解法等。
例如，对于一阶线性微分方程$\frac{d y}{d x}+P(x) y=Q(x)$，我们可以使用常数变易法进行求解。
3. 积分方程的解的求解方法积分方程是利用积分关系表达的方程，其解的求解方法也有多种。
常见的方法有分离变量法、常数变易法、特殊积分方程的解法等。
例如，对于柯西问题（Cauchy problem）中的积分方程$u(x)=f(x)+\int_{a}^{x} K(x, t) u(t) d t$，我们可以使用定积分的性质进行求解。
三、常见数理方程的应用案例1. 常微分方程的应用常微分方程在物理学、化学、生物学等领域有着重要的应用。
数理方程课程介绍
《数理方程》课程介绍
一、本课程的性质与任务：
《数理方程》是理科很多专业的必修课以及相关专业的选修课。
数理方程主要是指在物理学、力学以及工程技术中常见的一些偏微分方程。
它是一门发展相当迅速的学科，不仅有广泛的应用，同时又与数学的其它各个分支有密切的联系，是数学理论与实际问题之间的一个桥梁。
本课程重点讲授一些经典的知识，同时兼顾新近发展的有着广泛应用的有关知识。
使学生了解到数学物理方程的某些应用背景，扩大学生的数学知识面，初步具备了解决数理方程定解问题的能力。
对培养学生的逻辑推理能力起着很大的作用。
本课程主要讲述经典的弦振动、热传导、Laplace方程的物理背景、定解问题的概念和古典的求解方法, 如波动方程的D`Alembert解法、分离变量法，积分变换法及极坐标系下的分离变量法等。
二、课程内容、学时与教学方式：
内容： 1) 绪论；
2) 分离变量法；
3)行波法与积分变换法；
4) 变分法初步与Green函数。
学时：40
教学方式：课堂讲授
三、教材：
数理物理方程与特殊函数》（第二版），南京工学院数学教研组著，北京：高等教育出版社，1997年。
四、开课范围：
力学、物理、数学等理科专业本科生。
五、预备知识：
高等数学、常微分方程。
第1课 数理方程
PDE的阶： m = m1 + m2 + 古典解 PDE 的解 广义解
是指这样一个函数，它满足方 程，并且在所考虑的区域内有m 阶连续偏导数。
13
PDE维数： 是指方程中出现的空间坐标的个数。
Байду номын сангаас1. 2.
∂u + sin( xy )u = 0 ∂x
∂ 2u = a2 ∂ 2u + e x cos t ∂t 2 ∂x 2
, xn )
, xn )
,
m1
自变量 未知函数
∂u , , ∂xn
∂ mu ∂ x1 ∂ x 2
m2
∂xn
mn
)=0
偏微分方程的一般形式
7
1. PDE的分类
线性PDE：PDE中对所含未知函数及其各阶导数的 全体都是线性的。 线性PDE中所有具有最高阶数的偏导数 组成的部分，称为线性方程的主部。 例如：
i , j =1
∑ aij ( x1 ,
n
n ∂ 2u , xn ) + ∑ b j ( x1 , ∂xi ∂x j j =1
, xn )
∂u + c( x1 , ∂x j
, xn )u = f ( x1 ,
, xn ),
其中aij , b j , c, f 是给定的函数。
主部
8
拟线性PDE：PDE中对最高阶导数是线性的。 非线性PDE： 不是线性的PDE。
序言
数学物理方程（简称数理方程） 是指从物理学及其它各门自然科学、 技术科学中所导出的偏微分方程． 数学物理方程所研究的自然界中 的许多物理现象和普遍规律.
4
现实中，具体的科学、工程问题的解决 实际问题
数理方程教材
数理方程教材一、数学建模基础本部分将介绍数学建模的基本概念、原理和方法，为后续的数理方程学习奠定基础。
重点将放在如何将实际问题转化为数学模型，以及如何运用数学工具进行求解。
二、常微分方程本部分将介绍常微分方程的基本概念、分类和求解方法。
内容将涵盖初值问题、通解、特解、存在唯一性定理等，以及常见的求解方法如分离变量法、积分因子法等。
三、偏微分方程本部分将介绍偏微分方程的基本概念、分类和求解方法。
内容将涵盖特征线法、行波法、傅里叶级数法等，同时还将介绍一些常见的偏微分方程类型如热传导方程、波动方程等。
四、线性代数本部分将介绍线性代数的基本概念、性质和定理。
内容将涵盖向量、矩阵、线性空间、线性变换等，以及一些常见的线性代数问题如矩阵的逆、行列式等。
五、傅里叶分析本部分将介绍傅里叶分析的基本概念、性质和定理。
内容将涵盖傅里叶级数、傅里叶变换等，以及其在信号处理、图像处理等领域的应用。
六、拉普拉斯变换本部分将介绍拉普拉斯变换的基本概念、性质和定理。
内容将涵盖拉普拉斯变换的积分公式、变换的性质、逆变换等，以及其在控制系统、电路分析等领域的应用。
七、泛函分析本部分将介绍泛函分析的基本概念、性质和定理。
内容将涵盖函数的连续性、可微性、收敛性等，以及一些常见的泛函分析问题如极值问题、变分法等。
八、变分法本部分将介绍变分法的基本概念、性质和定理。
内容将涵盖函数的变分、泛函的极值等，以及其在最优控制、最小二乘法等领域的应用。
同时还将介绍一些常见的变分法问题如欧拉方程、拉格朗日方程等。
九、差分方程本部分将介绍差分方程的基本概念、分类和求解方法。
内容将涵盖差分方程的解的存在唯一性定理、通解和特解等，以及常见的求解方法如迭代法、递推法等。
同时还将介绍一些常见的差分方程类型如线性差分方程、非线性差分方程等。
数理方程课程总结 (精简)
(19’)
在 D C 上具有一阶连续偏导数的解存在的话， 那么问题(19’)的解可表示为
u ( M 0 ) f ( x, y )
C
G dS. n
(20’)
其中
1 1 G( M , M 0 ) ln v, 2 rMM 0
(17’)
21
8 求解上半空间 z 0内的狄利克雷问题
1 F [sin a ] [ ( x a ) ( x a )] 2i
1
14
几类常见的拉普拉斯变换或逆变换 1. 2. 3. 4. 5.
L[ (t )] 1
L[e
at
Re s 0
1 ] sa
1 特别的， L[1] s
L[t ]
n
n! s n 1
s L[cos at ] 2 s a2
F [ ( x )] 1
F [
1
1
sin m
2t
1 ] , | x | m 2
1 4t
1
F [e
]
e
x2 4t
(t 0)
F 1 [e || y ]
y ( y 0) 2 2 y x
1 F 1 [cos a ] [ ( x a) ( x a)] 2
2
1 x at ( )d x at 2a
(26)
1 t x a (t ) f ( , )d .d . 2a 0 x a (t )
3. 会应用傅氏变换和拉氏变换求解定解问题
书上例子很重要
13
书上例子中出现的傅里叶变换或逆变换 1. 2. 3. 4. 5.
数理方程 教学大纲
数理方程教学大纲数理方程是数学中的一个重要分支，它研究的是各种类型的方程及其解法。
无论是在理论研究还是实际应用中，数理方程都扮演着重要的角色。
因此，为了更好地培养学生的数学思维和解题能力，数理方程的教学大纲应该具备一定的深度和广度。
首先，数理方程的教学大纲应该包括基本的方程类型和解法。
学生首先需要学习一元一次方程、一元二次方程以及简单的高次方程的解法。
这些方程是数理方程的基础，掌握了这些基本的方程类型和解法，学生才能够更好地理解和应用更复杂的方程。
其次，数理方程的教学大纲还应该包括方程的应用。
数理方程在实际生活中有着广泛的应用。
例如，一元一次方程可以用来解决物品购买、时间计算等实际问题；一元二次方程可以用来解决抛物线轨迹、最值问题等。
通过引入这些实际应用，可以增加学生对数理方程的兴趣，提高他们的解题能力。
此外，数理方程的教学大纲还应该注重培养学生的数学思维和解题能力。
数理方程的解题过程需要学生进行分析、推理和演绎，培养他们的逻辑思维和问题解决能力。
因此，在教学中应该注重培养学生的思维能力，引导他们从不同角度思考问题，探索解题的多种可能性。
另外，数理方程的教学大纲还应该注重数学模型的建立和解决。
数学模型是数理方程应用的重要手段，通过建立数学模型，可以将实际问题转化为数学问题，再通过解方程求解。
因此，在教学中应该引导学生学会建立数学模型，并通过解方程求解实际问题。
此外，数理方程的教学大纲还应该注重培养学生的数学思维和解题能力。
数理方程的解题过程需要学生进行分析、推理和演绎，培养他们的逻辑思维和问题解决能力。
因此，在教学中应该注重培养学生的思维能力，引导他们从不同角度思考问题，探索解题的多种可能性。
最后，数理方程的教学大纲还应该注重培养学生的团队合作和沟通能力。
数理方程的解题过程往往需要学生之间的合作和交流，通过合作解题，可以激发学生的思维活力，拓宽他们的解题思路。
因此，在教学中应该注重培养学生的团队合作和沟通能力，培养他们的团队合作精神和解决问题的能力。
《数理方程》第一讲
通过Ω 的边界流出Ω 外的热量为Q2 ， Ω 内温度变化所需要的热量为 Q3 。
10
9.1.2 热传导方程的导出
则
Q1
Q1 Q2 Q3
t2 t1
1.6
F ( x, y, z, t )dVdt
1.7
由热力学的Fourier实验定理得：
t2 u u dQ 2 k d dt Q2 k d dt t1 n n
1.13
16
9.1.2 热传导方程的导出
可得
U U 2U R GU C t L G t C t2 2U 2U U LC RC LG RGU 2 2 t x t 2U I 2I I U R L 2 x IR L t t t t x2 I I U 2U U 2 G C GU C x xt x t x
20
9.1 典型方程的建立
三类典型方程： 波动方程 热传导方程 Poisson方程
utt a 2 u f
ut a 2 u f
u g
21
9.2
定解条件与定解问题
utt a2 u f ut a2 u f
u g 三类方程 如果有解，则其解应该不唯一。 在这众多的解中确定出所需要的解，还需要 增加另外的条件，即定解条件，使之成为定 解问题，在此条件下，再来讨论适定性，即 存在性、唯一性和稳定性。
Q3
t2 t1
u u u k ( cos cos cos )dSdt t1 x y z t2 2u 2u 2u Q2 k 2 2 dvdt 2 t1 y z x
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由此可以预测1961年以后每年的世界人口。比
如，预测1970年的世界人口(t = 9)为：
u(9) 3.06 109 exp( 0.02 9) 3.66 109
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世界人口分析: u(t) 3.06 109 exp( 0.02t)
五15:00-17:00，dugeguo@
• 网上答疑：在线交流（BB平台-Blackboard/）
考试与成绩评定方式：
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超级关心
• 学期总成绩包括平时成绩和期末考试 成绩两部分组成。平时成绩包括平时
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《数理方程与特殊函数》 课程简介
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杜戈果
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课程名称:数理方程与特殊函数
• 英文名称:Equations of Mathematical Physics and
Special Functions
• 总学时: 54 其中:实验课0 学时
特别是，数学物理方法的知识在量子力学中 十分重要，而量子力学则是当代物理学及所 有相关高新技术的理论基础
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什么是“数学物理方法”？
一个例子: 人口增长规律
英国人口统计学家 Malthus（1766-1834）
在担任牧师期间，利用教 堂所拥有的资料，研究了 100 多年人口出生和死亡 的统计数据。他发现了一 个规律：人口的相对净增 长率是一个常数。于是他 在《人口原理》一书中提 出了一个人口增长模型， 即后来闻名于世的“马尔 萨斯人口模型”。
3. 根据微分方程和相关条 件，求出考察量的解
4. 讨论解的适用条件
数学物理方法的核心
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用数学物理方法处理实际问题:
第一步 它是最重要的一步 也是最困难的一步：
数学物理方程的建立
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建立数理方程的方法
1. 统计法：对所考察的问题进行统计学研究，分 析考察量的变化规律，写出它所满足的微分方 程。这种方法具有非常广泛的用途，包括生物 学、生态学、经济学、社会学等。
教学目标：
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• 使学生正确理解和掌握数学物理方程中出现的 基本概念、基本理论和基本方法；了解数理方 程的物理来源与有关概念的物理解释，并能较 熟练的掌握二阶偏微分方程几种主要的求解方 法：分离变量法、行波法、积分变换法和格林 函数法；掌握基本特殊函数的主要性质及其应 用。
• 立足课程教学各个环节，注重培养学生分析、 归纳、综合、演绎、抽象、猜测、试探、估算 的科学方法。为后继课程以及今后从事科学实 践活动中所涉及的有关数学物理问题作铺垫。
• 学 分: 3
• 先修课程: 《高等数学》、《复变函数》、《线性 代数》、《场论》、《大学物理》
• 教 材:《数学物理方法》，顾樵编著，科学出版 社；《数学物理方程与特殊函数》，东南大学数学 系，王元明编，高等教育出版社出版
• 参考教材: 其它参考资料
开卷有益
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• [1] 梁昆淼编.数学物理方法.人民教育出版社 • [2] 复旦大学数学系主编. 数学物理方程.上海科学
性相互作用项-u2）。
du u u2
dt
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什么是数学物理方法？
例子:人口增长问题
du u
dt
(Malthus模型)
u(t) t0 n
u(t) n exp(t)
精确描述线性增长阶段
1. 对实际问题（物理及一 般问题），分析考察量 的变化规律，建立相应 的微分方程
2. 写出考察量所满足的相 关条件
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教学内容:
• 一些典型方程和定解条件的建立 • 分离变量法 • 行波法 • 积分变换法 • 格林函数法 • 贝塞尔函数 • 勒让德多项式
教学手段：
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• 1. 课堂教学包括：课堂讲解、PPT幻灯片课件、 课堂提问、课堂小测验、课后作业及讲评等；
• 2. 答疑：科技楼516-4，26558252（71555），周
马尔萨斯的著名预言：
人口是指数增长的， 而粮食是线性增长的： 若干年之后，有限的 地球资源如何装得下 无限扩展的人类！马 尔萨斯预言：
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Population
Food
Time
“战争和瘟疫是不可避免的！”
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按照马尔萨斯模型:
t 2510 年，u(t) 2万亿
课程介绍：
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• 本课程由“数学物理方程”与“特殊函数” 两大部分内容组成。
• “数学物理方程”主要是讲数学物理方程的 一些基本概念及三种典型的二阶线性偏微分 方程定解问题的一些常用解法，其中包括了 分离变量法、行波法、积分变换法和格林函 数法。在这些解法中，将重点放在数学物理 方程的建立与分离变量法上。
如果将全世界所有陆地和 所有海洋面积计算在内:
0.86m2/人
显然这样一种状况是不可能出现的。马尔萨斯 模型对于人口增长的长期预测是不正确的。
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马尔萨斯模型：问题出在哪？
人口总数不太大时，其增长可以用线性动力 学（指数增长规律）描述。但是人口总数相 当大时，地球上生存环境及生态资源对人口 增长的限制变得越来越显著。马尔萨斯模型 的问题在于没有考虑环境对人口增长的制约 （即没有引入人类与环境的关联机制：非线
技术出版社 • [3] 戴嘉尊编著.数学物理方程.东南大学出版社 • [4] 谷超豪编.数学物理方程.高等教育出版社 • [5] 四川大学数学系编.高等数学.高等教育出版社
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• 国外教材：系统性与缜密性不足 • 国内教材：灵活性与实用性欠缺
• 将中国传统讲授内容与国外先进教材相结合 • 将教学实践与理论知识相结合 • 既为教学所用，又适应科研需要 • 科学性、严谨性、完整性与实用性
2. 微元法：在系统中分出一个微元，分析它与附 近部分的相互作用，写出作用规律的数学表达 式（比如牛顿第二定律表达式），它就是系统 的微分方程。
3. 规律法：直接利用物理学规律写出考察量所遵 循的数学物理方程，比如利用电磁波的麦克斯 韦方程，写出电位、电场强度、磁场强度等物 理量的微分方程。
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• “特殊函数”部分，主要是讲贝塞尔函数及 勒让德多项式，其中包括如何从数学物理方 程的定解问题，引出贝塞尔方程与勒让德方 程、解的表达式、贝塞尔函数和勒让德多项 式的一些主要性质以及利用这两种函数来解 决数学物理方程的一些定解问题的全过程。
• 两大部分的内容，既有一定的相对独立性， 但从某种意义上讲，又是一个不可分割的有 机整体。
1 du (常数)
u dt
t: 时间 u:人口
Байду номын сангаас
du u
dt u(t) t0 n
u(t) n exp( t)
（指数增长）
由此可以预测未来人口
世界人口分析:
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u(t) n exp( t)
1961年的世界人口(统计数据): n 3.06109
1961年前的增长率(统计数据): 2%
由此还可以推算1961年之前的世界人口，
比如推算1700年的人口(设为W ): 3.06 109 W exp( 0.02 261) W 1.66107
以1700年为初始年份（t=0）,以后的人口增长为：
u(t) 1.66 10 7 exp( 0.02t)
研究者:用马尔萨斯模型对于1700-1994年(约300年)的世界 人口进行了计算,发现与实际统计值非常精确地相符合
记录的出勤情况、课堂提问以及课后 作业等占30％，期末成绩占70％。
怎么学好这门课程？
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• 课堂上专心听讲（积极思考、善于提问） • 课后及时复习，不要积累问题 • 认真完成作业
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数学物理方法的重要性:
数学物理方法是电子学院许多后续课程的基 础(比如:量子力学、电磁波和电磁场、激光 原理、微电子学、光电子学、非线性光学、 信息光学、高等光学等)