数理方程总结完整终极版
方程主要知识点总结
方程主要知识点总结一、方程的定义在代数学中，方程是指含有一个或多个未知数的等式，通常用字母表示未知数。
方程的一般形式为：$a_1x^n + a_2x^{n-1} + ... + a_nx + a_{n+1} = 0$，其中$x$为未知数，$a_1,a_2, ..., a_{n+1}$为已知的常数，n为方程的次数。
方程的解即是使等式成立的未知数的值。
二、方程的类型1. 一元一次方程：一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程，一般有形式：$ax + b = 0$，其中$a$和$b$为已知的常数，$x$为未知数。
2. 一元二次方程：一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，一般有形式：$ax^2+ bx + c = 0$，其中$a$、$b$和$c$为已知的常数，$x$为未知数。
3. 二元一次方程组：二元一次方程组是指含有两个未知数的一次方程组，一般有形式：$ \begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}$，其中$a$、$b$、$c$、$d$、$e$和$f$为已知的常数，$x$和$y$为未知数。
4. 二元二次方程：二元二次方程是指含有两个未知数的二次方程，一般有形式：$ \begin{cases} ax^2 + by^2 = c \\ dx + ey = f \end{cases}$，其中$a$、$b$、$c$、$d$、$e$和$f$为已知的常数，$x$和$y$为未知数。
5. 多元线性方程组：多元线性方程组是指含有多个未知数的一次方程组，一般有形式：$\begin{cases} a_11x_1 + a_12x_2 + ... + a_1nx_n = b1\\ a_21x_1 + a_22x_2 + ... + a_2nx_n =b_2 \\ \cdots \\ a_m1x_1 + a_m2x_2 + ... + a_mnx_n = b_m \end{cases}$，其中$a_{ij}$和$b_i$为已知的常数，$x_i$为未知数，$i=1, 2, ..., n; j=1, 2, ..., m$。
数理方程知识点总结
数理方程知识点总结数理方程是数学理论中的重要分支，其主要研究方向是解决各种类型的方程，包括一元多项式方程、二元一次方程以及各种变形形式的方程等。
数理方程的解决方法非常多元化，通常采用代数、几何、分析等多种方法进行解决，本文将对数理方程的相关知识点进行总结。
一、一元多项式方程1、一元n次多项式方程形如$f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + ... + a_{n-1}x + a_n = 0$，其中$a_0 \neq 0$, $n$为任意正整数，求出方程的根$x_1, x_2, ...,x_n$。
求解该方程的方法有以下几种：（1）牛顿迭代法牛顿迭代法的基本思想是：将一元n次多项式方程重新构造成$x = g(x)$的形式，并求该函数在曲线上的切线截距，不断通过切线截距逼近根的值。
具体算法如下：• 任选一个随机数$x_0$作为初值；• 计算$y = f(x)$在$x = x_0$处的导数$f'(x_0)$；• 根据切线公式$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$，计算出当$y = 0$时的$x$值$x_1$，即$x_1 = x_0 - f(x_0) / f'(x_0)$；• 重复上述过程，将$x_1$作为$x_0$，计算出$x_2$；• 重复以上步骤，直到$x_n$接近被求解的根。
（2）二分法二分法的基本思想是根据函数值的符号改变区间的端点，使函数在这个区间内单调递增或递减，从而迅速缩小待求解根所在的“搜索区间”，达到求解根的目的。
算法流程如下：• 选定区间$[a, b]$值满足$f(a)f(b) < 0$，即根在$[a, b]$区间内；• 取区间中点$c = (a + b) / 2$，计算$f(c)$；• 如果$f(c) = 0$，即找到根；• 如果$f(a)f(c) < 0$，即根在区间$[a, c]$内，则将$b$更新为$c$；• 如果$f(b)f(c) < 0$，即根在区间$[c, b]$内，则将$a$更新为$c$；• 重复以上过程，不断缩小区间，直到找到根或直到区间长度足够小时停止。
高一数学解方程知识点总结
高一数学解方程知识点总结一、一元一次方程的解法一元一次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程。
其一般形式为ax+b=0，其中a和b为已知数，x为未知数。
解一元一次方程主要有以下几种方法：1. 移项法移项法是指通过移动方程中的项，使方程的等号两边相等。
一般来说，我们将方程中的常数项移到等号的另一边，将系数移到等号的另一边，并且改变符号。
例如，对于方程2x+3=7，我们可以将3移到等号右边，得到2x=7-3，然后再将2移到等号右边，得到x=4/2，最终得到x=2。
2. 相消法相消法是指通过加减法的性质，将方程中的一些项相消掉，简化方程的求解过程。
例如，对于方程3x-2=4x-5，我们可以将4x两边的项相消掉，得到3x-4x=-5+2，然后再求解x 的值。
3. 合并同类项合并同类项是将方程中的同类项合并成一个项，从而简化方程的求解过程。
例如，对于方程2x-3+4x=5，我们可以将2x和4x合并得到6x，然后再将常数项移到等号右边，得到6x=5+3，再求解x的值。
4. 代入法代入法是指将方程中的一个变量用另一个变量代替，从而简化方程的求解过程。
例如，对于方程3x-2=2x+5，我们可以将2x+5用3x-2代替，得到3x-2=3x+3，然后通过移项法求解x的值。
5. 图解法图解法是指通过图像的方法求解方程的根。
对于一元一次方程ax+b=0，我们可以将其转化为y=ax+b的直线方程，然后通过观察直线与x轴的交点来求解方程的根。
6. 比值法比值法是指通过等式两边的比值关系，求解未知数的值。
例如，对于方程3x+5=2x+7，我们可以通过化简等式得到x=2。
以上方法是解一元一次方程的常用方法，学生需要根据具体的情况选择合适的方法进行求解。
二、一元二次方程的解法一元二次方程是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的方程。
其一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b和c为已知数，x为未知数。
解一元二次方程主要有以下几种方法：1. 完全平方式完全平方式是指通过求方程两边的平方根，从而求解一元二次方程。
数学物理方程归纳总结
数学物理方程归纳总结数学和物理方程是科学研究中的重要工具，广泛应用于各个领域。
本文将对一些常见的数学物理方程进行归纳总结，分析其数学意义和物理应用，并探讨其背后的原理和推导过程。
1. 一维运动方程一维运动是物理学中最简单的情形之一，其运动状态只涉及一个方向的变化。
常见的一维运动方程有：- 位移公式：$S = V_0t + \frac{1}{2}at^2$- 速度公式：$V = V_0 + at$- 速度与位移的关系：$V^2 = V_0^2 + 2aS$这些方程描述了质点在匀加速度下的运动规律，其中$S$ 表示位移，$V_0$ 表示初始速度，$a$ 表示加速度，$t$ 表示时间，$V$ 表示末速度。
这些方程在解决一维运动问题时具有重要的应用价值，可以帮助我们计算物体的位移、速度和加速度等物理量。
2. 牛顿力学方程牛顿力学是经典力学的基础理论，在描述宏观物体运动和相互作用时非常重要。
牛顿三定律是牛顿力学的核心，其表述为：- 第一定律（惯性定律）：物体在不受外力作用时保持静止或匀速直线运动。
- 第二定律（运动定律）：物体受到的合力等于质量乘以加速度，即 $F = ma$。
- 第三定律（作用与反作用定律）：任何两个物体之间的相互作用力大小相等、方向相反。
根据牛顿第二定律，我们可以推导出一些重要的等式，用于解决各种力学问题。
例如，结合万有引力定律，我们可以得到开普勒第三定律 $T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}r^3$，其中 $T$ 是行星公转周期，$G$ 是引力常数，$M$ 是太阳的质量，$r$ 是行星与太阳的平均距离。
3. 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组是电磁学的基础方程，描述了电磁场的产生和传播规律。
麦克斯韦方程组包括四个方程：- 高斯定律：$\nabla \cdot E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$- 安培定律：$\nabla \cdot B = 0$- 法拉第电磁感应定律：$\nabla \times E = -\frac{\partial B}{\partial t}$- 完整的麦克斯韦方程：$\nabla \times B =\mu_0J+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}$其中，$E$ 和 $B$ 分别表示电场和磁场，$\rho$ 表示电荷密度，$J$ 表示电流密度，$\varepsilon_0$ 是真空中的介电常数，$\mu_0$ 是真空中的磁导率。
方程知识点整理归纳
方程知识点整理归纳一、什么是方程？方程是数学中的一种关系式，表示两个或多个量之间的相等关系。
它由等号连接的两个表达式组成，其中至少有一个未知数。
二、一元一次方程1. 定义：一元一次方程是只包含一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程。
2. 解法：通过合并同类项、移项和化简等步骤，将方程化为形如ax+b=0的标准形式，然后求解未知数的值。
三、一元二次方程1. 定义：一元二次方程是只包含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的方程。
2. 解法：可以通过配方法、因式分解、求根公式或完全平方式等方法来解一元二次方程。
四、线性方程组1. 定义：线性方程组是由多个线性方程组成的方程组。
2. 解法：通过消元法、代入法、逆矩阵法或克拉默法则等方法，可以求解线性方程组的解。
五、二元二次方程1. 定义：二元二次方程是包含两个未知数，并且未知数的最高次数为2的方程。
2. 解法：可以通过代入法、消元法或求根公式等方法，来求解二元二次方程的解。
六、指数方程1. 定义：指数方程是含有指数的方程。
2. 解法：可以通过取对数、变形等方法，将指数方程转化为对数方程或其他形式的方程来求解。
七、对数方程1. 定义：对数方程是含有对数的方程。
2. 解法：可以通过化简、变形或替换变量等方法，将对数方程转化为其他形式的方程来求解。
八、无理方程1. 定义：无理方程是含有无理数的方程。
2. 解法：可以通过平方等方法，将无理方程转化为有理方程或其他形式的方程来求解。
九、绝对值方程1. 定义：绝对值方程是含有绝对值的方程。
2. 解法：可以通过分情况讨论、化简或替换变量等方法，将绝对值方程转化为其他形式的方程来求解。
总结：方程是数学中研究量之间关系的重要工具，包括一元一次方程、一元二次方程、线性方程组、二元二次方程、指数方程、对数方程、无理方程和绝对值方程等。
每种方程都有不同的解法和特点，在数学问题的求解中起到重要作用。
理解方程的基本概念和解题方法，可以帮助我们更好地解决实际问题。
数理方程重点总结
X (0) A 0 B 1 0
断 言: B 0， 于 是 有
u
u
0,
0 (2)
x x0
x xl
X ( x) A sin x
又 由 边 界 条 件u
0， 得
x xl
sin l 0
于 是 ， 得 到 空 间 变 量 问题 的 本 征 值
l n
或
n
( n l
)2
(n 1,2,3,)
据此，解得H( y)
H ( y) cos y 1 y2 1 H (0) 6
(7)
将 （5） 、 （7） 代 入 （4） 式 ， 即 得 特 解
u( x, y) 1 x3 y2 cos y 1 y2 1 x2
6
6
再另附：直接积分法 求偏微分方程的通解
2u u
t
2 2xt
xt x
可 以 由 两 个 边 界 条 件 唯一 地 被 确 定 。
例如 f (x) x
W (x)
1 6a 2
x3
C1 x C2
W (0) M1
M1 C2
W (l) M2
l3 M2 6a2 C1l M1
据此，得到W ( x) 的解
C1
M2
M1
l3 6a 2
l
M2
l
M1
l2 6a 2
X X 0
(1)
u x
0 , u
x0
x
0
xl
(2)
(1) 式的通解为
X ( x) Acos x B sin x
(3)
对上式求导，得
X ( x) A sin x B cos x
X ( x) A sin x B cos x
数理方程课件
一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
一阶常微分方程可以用于描述各种实际问题中变量的变化规律，如物理中的自由落体运动、电路中的电流变化等。在经济学中，一阶常微分方程可以用于描述供求关系的变化、消费和储蓄的动态过程等。在工程学中，一阶常微分方程也广泛应用于控制系统、化学反应动力学等领域。
数理方程可以根据其形式和性质进行分类。
总结词
根据其形式和性质，数理方程可以分为线性与非线性、自治与非自治、常系数与变系数等多种类型。这些分类有助于更好地理解和研究数理方程的性质和应用。
详细描述
数理方程的分类
总结词
数理方程在各个领域都有广泛的应用。
详细描述
数理方程在物理学、工程学、经济学、生物学等许多领域都有重要的应用。例如，在物理学中，描述波动、热传导、引力场等问题的方程都是数理方程。在工程学中，流体动力学、电磁学等领域的问题也都可以通过数理方程来描述和解决。
总结词
一阶常微分方程的定义
一阶常微分方程的解法
求解一阶常微分方程的方法主要有分离变量法、积分因子法、常数变易法和线性化法等。
总结词
分离变量法是将方程中的变量分离出来，使方程变为可求解的形式。积分因子法是通过引入一个因子，使方程变为全微分方程，从而简化求解过程。常数变易法适用于形式为y' = f(x)y的方程，通过代入可求解。线性化法则是将非线性方程转化为线性方程，便于求解。
分离变量法
有限差分法
有限元法
变分法
用离散的差分近似代替连续的微分，适用于求解初值问题和边界问题。
将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域，适用于求解复杂的几何形状和边界条件。
通过求某个泛函的极值来求解偏微分方程，适用于求解某些特殊类型的方程。
数理方程公式整理
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝无限长弦的一般强迫振动定解问题200(,)(,0)()()tt xx t t t u a u f x t x R t u x u x ϕψ==⎧=+∈>⎪=⎨⎪=⎩解()()().().0()111(,)(,)222x at t x a t x at x a t u x t x at x at d f d d a a ττϕϕψξξατατ++----⎡⎤=++-++⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 三维空间的自由振动的波动方程定解问题()2222222220001,,,,0(,,)(,,)t t u uu a x y z t t x y z u x y z u x y z t ϕϕ==⎧⎛⎫∂∂∂∂=++-∞<<+∞>⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎪⎪=⎨⎪∂⎪=∂⎪⎩在球坐标变换sin cos sin sin (0,02,0)cos x r y r r z r θϕθϕϕπθπθ=⎧⎪=≤<+∞≤≤≤≤⎨⎪=⎩21()1()(,)44M Mat r S S M M u M t dS dS a t r a rϕψππ⎡⎤''∂=+⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰(r=at)221()1()(,)44M M at atS S M M u M t dS dS a t t a tϕψππ⎡⎤''∂=+⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰无界三维空间自由振动的泊松公式()sin cos ()sin sin (02,0)()cos x x at y y at z z at θϕθϕϕπθπθ'=+⎧⎪'=+≤≤≤≤⎨⎪'=+⎩2()sin dS at d d θθϕ=二维空间的自由振动的波动方程定解问题()222222200,,,0(,)(,)t t u uu a x y t t x y u u x y x y t ϕψ==⎧⎛⎫∂∂∂=+-∞<<+∞>⎪ ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎨∂⎪==⎪∂⎩2222222200001(cos ,sin )1(cos ,sin )(,,)22at at x r y r x r y r u x y t rdrd rdrd a t a a t r a t r ππϕθθψθθθθππ⎡⎤⎡⎤∂++++=+⎢⎥⎢⎥∂--⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 傅立叶变换1()()2i xf x f e d λλλπ+∞-∞=⎰基本性质 线性性质[]1212[][]F ff F f F f αβαβ+=+1212[][][]F f f F f F f *=12121[][][]2F f f F f F f π=* 微分性质[][]F f i F f λ'=()[]()[]k k F f i F f λ=[][]dF f F ixf d λ=- ()()i xf f x e dx λλ+∞--∞=⎰1[()]dixf F f d λλ--= 00[()][()]i x F f x x e F f x λ--= 00[()]()i x F e f x f λλλ=- ..1[()][()]xF f d F f x i ξξλ-∞=⎰ .0.[)]1i x i xx F x x e dx e λλδδ∞--=-∞===⎰（（） ()()..[]i x i F x x e dx e λλξδξδξ∞---∞-=-=⎰1[()]()F f ax f a aλ=若[()]()F f x g λ=则 [()]2()F g x f πλ=- []12()F πδλ=22242ax aF ee λπ--⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭1c o s ()21s i n ()2i a i ai a i aa e e a e e i --=+=-cos sin cos sin ia ia e a i a e a i a -=+=-2x e d x π+∞--∞=⎰＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝拉普拉斯变换()()sx f s f x e dx +∞-=⎰[]Re Re ax c L ce p a p a=>- 21[]L x s =21[]()x L e x s ββ-⋅=+ []22sin k L kt s k =+ []22cos s L kt s k ==+ []22[]2ax ax e e aL shax L s a --==-Re Re s a >[]22[]2ax ax e e sL chax L s a -+==+Re Re s a >基本性质[]1212[][]L f f L f L f αβαβ+=+ 1111212[][]L f f L f L f αβαβ---⎡⎤+=+⎣⎦[()][()],0s L f x e L f x τττ--=≥ 0[()](),Re()ax L e f x f s a s a σ=-->1[()](),(0)sL f cx f c c c=> ()12(1)[][](0)(0)(0)n n n n n L f s L f s f s f f ---'=----..01[()][()]xL f d L f x s ττ=⎰[][()]nn n d L f L x f ds=-..()[]pf x f s ds L x∞=⎰（） 1212[][][]L f f L f F f *= 0[()]()1sxL x x e dx δδ+∞-==⎰ ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝三个格林公式 高斯公式：设空间区域V 是由分片光滑的闭曲面S 所围成，函数P ,Q,R 在V 上具有一阶连续偏导数，则：V SP Q R dV Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z ⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰或()()()cos ,cos ,cos ,V SP Q R dV P n x Q n y R n z dS x y z ⎛⎫∂∂∂++=++⎡⎤ ⎪⎣⎦∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 第一格林公式：设u(x,y,z),V(x,y,z)在SŲS V 上有一阶连续偏导数，它们在V 中有二阶偏导，则：SVVu v dS u vdV u vdV ∇⋅=∇⋅∇+∆⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰第二格林公式：设u(x,y,z),V(x,y,z)在SŲS V 上有一阶连续偏导数，它们在V 中有二阶偏导，则：()()SVu v v u dS u v v u dV ∇-∇⋅=∆-∆⎰⎰⎰⎰⎰第三格林公式设M 0，M 是V 中的点，v(M)=1/r MM0, u(x,y,z)满足第一格林公式条件，则有：000011111()44MM MM MM S V u u M u dS u dV r n n r r ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂=--∆⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ 定理1：泊松方程洛平问题 (,,),(,,)(,,),((,,),(xx yy zz SS S u u u u f x y z x y z V uu x y z x y z n ϕψ∆=++=∈⎧⎪⎨∂==⎪∂⎩连续）连续）的解为： 011111()()()()44S V u M M M dS f M dV r n r r ψϕππ⎡∂⎤⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ 推论1：拉氏方程洛平问题 0,(,,)(,,),((,,),(xx yy zz SS S u u u u x y z V uu x y z x y z n ϕψ∆=++=∈⎧⎪⎨∂==⎪∂⎩连续）连续）的解为： 0111()()()4S u M M M dS r n r ψϕπ⎡∂⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦⎰⎰ ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝调和函数1、定义：如果函数u(x,y,z)满足:(1) 在V S 具有二阶连续偏导数；(2) 0u ∆= 称u 为V 上的调和函数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
00
|()()t t u x u
x t
ϕψ===⎧⎪∂⎨=⎪∂⎩k z
j y i x ˆˆˆ∂∂+∂∂+∂∂=
∇u u ∇=grad
拉普拉斯算子：
2222222
z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅∇=∇2
2
22
2
y u x u u ∂∂+∂∂=∇ 四种方法:
分离变量法、 行波法、 积分变换法、 格林函数法 定解问题：
初始条件.边界条件.其他 波动方程的初始条
波动方程的边界条件:
(3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。
定解问题的分类和检验：(1) 初始
问题：只有初始条件，没有边界条
件的定解问题；
(2) 边值问题：没有初始条件，只
有边界条件的定解问题；
(3) 混合问题：既有初始条件，也
有边界条件的定解问题。
•解的存在性：定解问题是
否有解；
•解的唯一性：是否只有一
解；
•解的稳定性：定解条件有
微小变动时，解是否有相应的微小变动。
分离变量法：基本思想：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。
把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。
适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等
分离变量法步骤：一有界弦的自由振动二有限长杆上的热传导三拉普拉斯方程的定解问题
常用本征方程齐次边界条件
2''0
(0)()0,/,1,2,sin k k X X X X l k l k X x
λλββπβ+=⎧⎨
==⎩
====212
''0(0)'()0,()/,0,1,2,sin k k X X X X l k l k X x
λλββπβ+=⎧⎨==⎩==
+==2
12''0
'(0)()0,()/,0,1,2,cos k k X X X X l k l k X x
λλββπβ+=⎧⎨
==⎩==+==2''0'(0)'()0
,/,0,1,2,
cos k k X X X X l k l k X x
λλββπβ+=⎧⎨
==⎩====
非齐次方程的求解思路用分解原理得出对应的齐次问题。
解出齐次问题。
求出任意非齐次特解。
叠加成非齐次解。
行波法：1.基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。
这一思想与常微分方程的解法是一样的。
2.关键步骤：通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。
3.适用范围：无界域内波动方程，等…
u f
n
Γ
∂=∂[]11()()()d 22x at x at u x at x at a
ϕϕψξξ+-=++-+⎰一维波动方程的达朗贝尔公式
解的性质：1.只有初始位移时，
[]1
(,)()()2
u x t x at x at ϕϕ=++-()x at ϕ-代表以速度a 沿x 轴正向传播的波。
()x at ϕ+代表以速度a 沿x 轴负向传播的波。
2.只有初始速度时：
1(,)()d 2x at
x at u x t a ψξξ+-=⎰假使初始速度在区间上是常数，而在此区间外恒等于
11(,)()()
u x t x at x at ψψ=+--[]11(,)()()()d 22x at
x at u x t x at x at a ϕϕψξξ+-=
++-+⎰
3 积分变换法求解问题的步骤
1.• 对方程的两边做积分变换将偏微分方程变为常微分方程
2.对定解条件做相应的积分变换，导出新方程的定解条件
3.对常微分方程，求原定解条件下解的变换式4,对解的变换式 相应的逆变换，得到原定解问题的解
拉普拉斯方程的格林函数法：拉普拉斯方程边值问题的提法：
2()d d d V
S
V v
u v V u
S u v V
n
∂∇=-∇⋅∇∂⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰222
00022001
1
()()()11ln ln ()()r x x y y z z k r x x y y ⎧=⎪-+-+-⎪
=⎨⎪=⎪-+-⎩三维二维0111()(())d 4S u u M u S n r r n
π
∂∂=-
-∂∂⎰⎰
22()d ()d V S v u u v v u V u v S
n n ∂∂∇-∇=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰d 0S u
S n ∂=∂⎰⎰021()d 4a
k u M u S a π=⎰⎰0
01(,)4MM G M M r π=
001
()()d 4MM u M F M V r πΩ
=⎰⎰⎰
000000
11
(,)()()d ()d 44MM M M G M M F M F M M F M M r r r ππ⊗==-⎰
⎰
()⎩⎨
⎧=Ω--=∇Γ0|,)(02u M u 内r r δ0(,)G M
M ()⎩⎨
⎧=Ω-=∇Γ0
|,)(2u M F M u 内
000()(,)()d u M G M M F M
V Ω=⎰⎰⎰⎩⎨
⎧=Ω-=∇Γ)(|,)(2M f u M F M u 内
）（000000
(,)
()(,)()d ()d G M M u M G M M F M V f M S n
Ω
Γ
∂=-∂⎰⎰⎰⎰⎰
2()0,|()u M u f M Γ⎧∇=Ω⎨
=⎩内
000
(,)
()()d G M M u M f M S n
Γ
∂=-∂⎰⎰
1 第一边值问题（狄氏问题）
u f
Γ= 2 第二边值问题（牛曼问题）
3 内问题与外问题
4 调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函数
22()d ()d V
S
v u
u v v u V u
v S n n ∂∂∇-∇=-∂∂⎰⎰⎰
⎰⎰ --------格林公式及其结论
调和函数的积分表达式1.拉普拉斯方程的基本解
调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个函数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。
2 牛曼内问题有解的必要条件
取 3 平均值公式 4 拉普拉斯方程解的唯一性问题；狄氏问题的解唯一确定，牛曼问题的解除了相差一常数外也是唯一确定的。
纯点源产生的场（不计初始条件和边界条
件的影响),(0M M G 自由空间的格林函数
对泊松问题
对拉普拉斯问题
1v =
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣⎡-
=
1
1141),(0MM MM r r M M G π0(,)G M M 0
0,10(,)4M M G M M r π<<
1221(,)(,)G M M G M M =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡+--=
3210111141),(0MM MM MM MM r r r r M M G π
()222,()0,(00)x y xy x n y x R y R y λλ''⎧<⎪⎨=<+=∞'+-⎪⎩(1)
21()exp ()42n n H x j x x πππ⎛⎫=-- ⎪
⎝
⎭(2)21()()42n n H x j x x πππ⎛
⎫=
--- ⎪⎝
⎭区域的格林函数和狄氏问题的解电象法求格林函数 在区域外找出区域内一点关于边界的象点，在这两个点放置适当的电荷，这两个电荷产生的电位在曲面边界上相互抵消。
这两个电荷在区域中形成的电位就是所要求的格林函数。
半空间的格林函数 格林函数的性质: 1 、格林函数在除去M= M0一点外处处满足拉普拉斯方程。
当M 趋于 M0时,2 、在边界上
格林函数
恒等于零
3 、在区域内，下面的不等式成立 4、在区域内，格林函数具有对称性
四分之一空间的格林函数
，
(
)
2
22
=-+'+''y n x y x y x 20(1)()!(1)2n m
m n m x J x m n m +∞
=-⎛⎫
= ⎪
Γ++⎝⎭
∑απ
απαααsin )(cos )(lim
)(x J x J x Y n n -→-=()()
n n y AJ x BY x =+
A 、
B 为任意常数，n 为任意实数
A 、
B 为。