数理方程方法汇总
数理方程课件
数理方程课件数理方程是数学中的重要分支，它研究方程的解和性质。
随着计算机技术的不断发展，数理方程的研究变得越来越重要，其在科学、工程和金融等领域都有着广泛的应用。
本文将介绍数理方程的基本概念、解的求解方法和一些经典方程的应用案例。
一、数理方程的基本概念数理方程是指含有未知数和已知数之间关系的等式。
它通常由代数方程、微分方程和积分方程组成。
在数理方程的研究中，我们需要关注方程的次数、阶数和特殊形式，并通过分析方程的性质来解决相关问题。
在解数理方程时，我们常用的方法包括代数方法、几何方法和数值方法。
其中，代数方法主要通过变换和化简方程，将其转化为更简单的形式进行求解；几何方法通过图形和几何关系来推导方程的解；数值方法则借助计算机的力量，利用数值逼近的方法求解方程。
二、数理方程的解的求解方法1. 代数方程的解的求解方法代数方程是最常见的数理方程形式，其解的求解方法众多。
常见的方法包括因式分解、配方法、二次公式、根号法等。
例如，对于一元二次方程$a x^{2}+b x+c=0$，我们可以使用二次公式来求解：$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$2. 微分方程的解的求解方法微分方程描述了函数与其导数之间的关系，其解的求解方法也有多种。
常见的方法有分离变量法、常数变易法、齐次线性微分方程的解法等。
例如，对于一阶线性微分方程$\frac{d y}{d x}+P(x) y=Q(x)$，我们可以使用常数变易法进行求解。
3. 积分方程的解的求解方法积分方程是利用积分关系表达的方程，其解的求解方法也有多种。
常见的方法有分离变量法、常数变易法、特殊积分方程的解法等。
例如，对于柯西问题（Cauchy problem）中的积分方程$u(x)=f(x)+\int_{a}^{x} K(x, t) u(t) d t$，我们可以使用定积分的性质进行求解。
三、常见数理方程的应用案例1. 常微分方程的应用常微分方程在物理学、化学、生物学等领域有着重要的应用。
数理方程知识点总结
数理方程知识点总结数理方程是数学理论中的重要分支，其主要研究方向是解决各种类型的方程，包括一元多项式方程、二元一次方程以及各种变形形式的方程等。
数理方程的解决方法非常多元化，通常采用代数、几何、分析等多种方法进行解决，本文将对数理方程的相关知识点进行总结。
一、一元多项式方程1、一元n次多项式方程形如$f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + ... + a_{n-1}x + a_n = 0$，其中$a_0 \neq 0$, $n$为任意正整数，求出方程的根$x_1, x_2, ...,x_n$。
求解该方程的方法有以下几种：（1）牛顿迭代法牛顿迭代法的基本思想是：将一元n次多项式方程重新构造成$x = g(x)$的形式，并求该函数在曲线上的切线截距，不断通过切线截距逼近根的值。
具体算法如下：• 任选一个随机数$x_0$作为初值；• 计算$y = f(x)$在$x = x_0$处的导数$f'(x_0)$；• 根据切线公式$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$，计算出当$y = 0$时的$x$值$x_1$，即$x_1 = x_0 - f(x_0) / f'(x_0)$；• 重复上述过程，将$x_1$作为$x_0$，计算出$x_2$；• 重复以上步骤，直到$x_n$接近被求解的根。
（2）二分法二分法的基本思想是根据函数值的符号改变区间的端点，使函数在这个区间内单调递增或递减，从而迅速缩小待求解根所在的“搜索区间”，达到求解根的目的。
算法流程如下：• 选定区间$[a, b]$值满足$f(a)f(b) < 0$，即根在$[a, b]$区间内；• 取区间中点$c = (a + b) / 2$，计算$f(c)$；• 如果$f(c) = 0$，即找到根；• 如果$f(a)f(c) < 0$，即根在区间$[a, c]$内，则将$b$更新为$c$；• 如果$f(b)f(c) < 0$，即根在区间$[c, b]$内，则将$a$更新为$c$；• 重复以上过程，不断缩小区间，直到找到根或直到区间长度足够小时停止。
数理方程总结完整终极版
00|()()t t u x ux t ϕψ===⎧⎪∂⎨=⎪∂⎩拉普拉斯算子：四种方法:分离变量法、 行波法、 积分变换法、 格林函数法 定解问题：初始条件.边界条件.其他 波动方程的初始条件:热传导方程的初始条件初始时刻的温度分布 :泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件：不含初始条件，只含边界条件条件 波动方程的边界条件: (1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：或：(2)自由端：x =a 端既不固定，又不受位移方向力的作用.(3) 弹性支承端：在x =a 端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。
定解问题的分类和检验：(1) 初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；(2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；(3) 混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。
• 解的存在性：定解问题是否有解；• 解的唯一性：是否只有一解；• 解的稳定性：定解条件有微小变动时，解是否有相应的微小k z j y i x ˆˆˆ∂∂+∂∂+∂∂=∇u u ∇=grad 2222222z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅∇=∇22222y u x u u ∂∂+∂∂=∇0(,)|()t u M t M ϕ==0|0,x u ==(,)0u a t =变动。
分离变量法：基本思想：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。
把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。
适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等分离变量法步骤：一有界弦的自由振动 二有限长杆上的热传导 三拉普拉斯方程的定解问题常用本征方程 齐次边界条件2''0(0)()0,/,1,2,sin k k X X X X l k l k X xλλββπβ+=⎧⎨==⎩====0,1,2,0,1,2,λ0,1,2,λ非齐次方程的求解思路用分解原理得出对应的齐次问题。
数理方程总结复习及练习要点-V1
数理方程总结复习及练习要点-V1数理方程是整个数学中最为基础、也最为重要的一个分支。
在学习数学时，数理方程是必修课程之一。
但由于涉及到复杂的计算和具有一定的抽象性质，因此很多学生可能会感到难以掌握。
下面我们一起来总结复习及练习中的要点。
一、基本概念数理方程，又称代数方程，是指含有一个或多个未知量的式子，其中未知量是我们需要求解的。
数理方程主要包括一元一次方程、一元二次方程、多元线性方程组等。
二、重要公式复习数理方程需要掌握一些重要的公式，如求根公式、配方法、消元法等。
这些公式在解题时经常会用到，掌握它们有助于我们快速准确地解题。
三、解题技巧在解数理方程时，我们需要注意一些技巧。
例如：1. 整式变形：将不易求解的方程转化为易求解的方程，如配方法。
2. 对称性：通过利用数学上的对称性，简化计算。
3. 系数对应逐项相消：将一个数学表达式与另一个表达式逐项对应相消，简化计算过程。
四、常见误区在学习数理方程时，我们需要注意一些常见误区。
例如：1. 不认真阅读题目，以及不分析题目中的数据和条件，导致解题错误。
2. 没有掌握好基本概念和公式，导致做题准确性不高。
3. 对题目中的关键词理解不透彻，导致无法准确解题。
五、练习要点练习数理方程需要注意以下要点：1. 反复练习基本公式和解题技巧，多进行心算和口算练习。
2. 练习时要重视细节，注意避免因粗心大意而犯错。
3. 建立练习记录，对带有难度的题目进行整理分类，加强对知识点的掌握。
总之，无论是在学习还是练习中，都要保持认真、耐心、细致的态度。
只有不断地努力和积累，才能准确解出所有的数理方程。
数理方程总结完整版
此方程的特征函数和特征值分别为：
②“左一右二”齐次边界条件的齐次方程： 2 2u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1 1 则
u ( x, t ) (Cn cos
sin
(n 1/ 2) x l
③：“左二右一”齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1
③“左二右一”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1
则
2 2 ( n 1/ 2) ( n 1/ 2) 2 此方程的特征函数和特征值分别为： X ( x) cos x, = = , n 1,2,3... 2 l l
②：“左一右二”齐次边界条件的齐次方程：
2 u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1
a 2 ( n1/2 )2 2 t l2
(n ) a (n ) a (n ) 2 2 2 u ( x, t ) (Cn cos t Dn sin t ) cos x l l l n 1
1
④“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t 2 x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
初中数学教案：解方程的方法总结 (2)
初中数学教案：解方程的方法总结一、解方程的方法总结解方程是初中数学中的重要内容，是培养学生逻辑思维和解决实际问题能力的基础。
本文将总结初中数学教学中常用的解方程的方法，包括一次方程、二次方程以及分式方程的解法，并提供相应的解题示例。
二、一次方程的解法一次方程是指未知数的最高次项为一次幂的方程，常见的形式为ax+b=c，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
常用的解方程方法有反运算法和等式性质法。
1. 反运算法反运算法是对等式两边进行反运算，使等式两边的运算逐步化简，直到求出未知数x的值。
例如，对于方程2x+5=11，可以先将等式两边减去5，得到2x=6，然后再将等式两边除以2，最终得到x=3。
2. 等式性质法等式性质法是利用等式两边的性质进行等式的变形，将未知数转移到一个方程的一边，从而求解未知数的值。
例如，对于方程3x-7=8，可以先将等式两边加上7，得到3x=15，然后再将等式两边除以3，最终得到x=5。
三、二次方程的解法二次方程是指未知数的最高次项为二次幂的方程，常见的形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
常用的解方程方法有因式分解法、配方法和求根公式法。
1. 因式分解法因式分解法是通过将二次方程转化成两个一次方程的乘积形式，从而求解未知数的值。
例如，对于方程x^2+5x+6=0，可以将其因式分解为(x+3)(x+2)=0，然后令每个括号中的式子等于零，解得x=-3和x=-2。
2. 配方法配方法是通过添加恰当的数使一个二次方程成为一个完全平方的形式，从而求解未知数的值。
例如，对于方程x^2+6x=7，可以通过添加和减去3个量（即(b/2)^2，其中b为x^2项和x项的系数之和的一半），将其转化为(x+3)^2=16，然后开根号，解得x=-3±4。
3. 求根公式法求根公式法是通过应用二次方程的求根公式，直接计算未知数的值。
二次方程的求根公式为x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
数理方程重点总结
X (0) A 0 B 1 0
断 言: B 0， 于 是 有
u
u
0,
0 (2)
x x0
x xl
X ( x) A sin x
又 由 边 界 条 件u
0， 得
x xl
sin l 0
于 是 ， 得 到 空 间 变 量 问题 的 本 征 值
l n
或
n
( n l
)2
(n 1,2,3,)
据此，解得H( y)
H ( y) cos y 1 y2 1 H (0) 6
(7)
将 （5） 、 （7） 代 入 （4） 式 ， 即 得 特 解
u( x, y) 1 x3 y2 cos y 1 y2 1 x2
6
6
再另附：直接积分法 求偏微分方程的通解
2u u
t
2 2xt
xt x
可 以 由 两 个 边 界 条 件 唯一 地 被 确 定 。
例如 f (x) x
W (x)
1 6a 2
x3
C1 x C2
W (0) M1
M1 C2
W (l) M2
l3 M2 6a2 C1l M1
据此，得到W ( x) 的解
C1
M2
M1
l3 6a 2
l
M2
l
M1
l2 6a 2
X X 0
(1)
u x
0 , u
x0
x
0
xl
(2)
(1) 式的通解为
X ( x) Acos x B sin x
(3)
对上式求导，得
X ( x) A sin x B cos x
X ( x) A sin x B cos x
数学方程解答技巧整理方法
数学方程解答技巧整理方法数学是一门需要逻辑思维和解题技巧的学科，而方程解答则是数学中最基础也是最重要的一部分。
解方程的过程可以锻炼我们的思维能力和逻辑思维能力，培养我们的分析和解决问题的能力。
在这篇文章中，我将整理几种常见的数学方程解答技巧，希望能对广大学生有所帮助。
一、一元一次方程一元一次方程是最简单的方程形式，通常可以表示为ax + b = 0。
解这类方程的基本思路是将未知数移项，使得方程变为x = c的形式。
具体的解题步骤如下：1. 将方程中的常数项移到等号右边，得到ax = -b；2. 将方程两边同时除以a，得到x = -b/a。
需要注意的是，如果方程中的系数a为0，则方程无解或有无穷多解。
二、一元二次方程一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知常数且a ≠ 0。
解这类方程的方法有多种，下面介绍两种常用的解法。
1. 因式分解法如果一元二次方程可以因式分解，那么解方程就变得相对简单。
假设方程为(x - m)(x - n) = 0，其中m、n为已知常数，那么方程的解为x = m或x = n。
2. 公式法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以使用求根公式来求解。
求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
需要注意的是，根的个数和判别式Δ = b^2 - 4ac的正负有关。
如果Δ > 0，则有两个不相等的实根；如果Δ = 0，则有两个相等的实根；如果Δ < 0，则无实根，但有两个共轭复根。
三、一元高次方程一元高次方程是指次数大于2的方程，如三次方程、四次方程等。
解这类方程的方法有很多，下面介绍两种常用的解法。
1. 因式分解法如果一元高次方程可以因式分解，那么解方程就变得相对简单。
通过观察方程中的因式，将方程分解为若干个一元一次方程，然后分别解这些一元一次方程，最后得到方程的解。
2. 代换法对于一元高次方程，有时候可以通过代换的方法将其转化为一元一次方程。
数理方程重点总结.doc
数理方程重点总结数学物理方法,一些典型方程和定解条件,第一讲（基础）,CaculationsofSomeTypicalEqationswithDifinitecConditions,数学物理方程与特殊函数,一.均匀弦的横振动方程,二.传输线方程(电报方程),,——一维波动方程,——高频传输线方程,,,三.电磁场方程,——三维波动方程,四.热传导方程,(场点t时刻的温度分布),——三维热传导方程,(振幅),(电流、电压),第一类边界条件：物理条件直接规定了u在边界上的值，如,第二类边界条件：物理条件并不直接规定了u在边界上的值，而是规定了u的法向微商在边界上的值，如,第三类边界条件：物理条件规定了u与un 在边界上值之间的某个线性关系，如,,,,例.设长为的均匀细弦，两端固定，初始位移为0。
开始时，在处受到冲量为的作用，试写出其定解问题。
,解：建立坐标系，并选取研究对象如图示。
,其一维波动方程为：,泛定方程（1）,由两端固定，知：,边界条件（2）,为了导出初始条件，考虑：由初始位移为0，知,由开初时，在处受到冲量的作用知,上的动量改变，即为冲量，于是有,对于点周围足够小的，弦段,,,,为了导出初始条件，考虑：由初始位移为0，知,由开初时，在处受到冲量的作用知,上的动量改变，即为冲量，于是有,对于点周围足够小的，弦段,,质量,速度,,由此可见：初始条件为,初始条件（3）,冲量：力的时间作用效应。
,动量定理：动量的改变=冲量的作用。
,受冲击时的初位移,受冲击时的初速度,动量：质量与速度的乘积。
,最后可得定解问题,泛定方程（1）,边界条件（2）,初始条件（3）,,例,,数学物理方法,第二讲直接积分法(ofDirecitIntegration),将积分结果作为e的幂，这就是积分因子。
这里，大可不必去考虑它了。
,数学物理方法,第三讲分离变量法(ofSeparateVariable),,,例,,,最易混淆的概念！,,,,,最易出错的地方！,,,,,,,,,,,,,,,数学物理方法,第四讲行波法ofTravlingWave,,,二阶线性偏微分方程自变量的非奇异变换,二阶线性偏微分方程自变量的非奇异变换,其通解为：,上述偏微分方程的特征方程,积分，得到两族积分曲线（特征曲线）为,,,对特征方程行因式分解，得,二阶线性偏微分方程自变量的非奇异变换,,（2）得到特征变换为,（3）通解为,试写出下列方程的通解,例求下面柯西问题的解：,解泛定方程所对应的特征方程为,特征曲线（两族积分曲线）为,作特征变换,其中是两个任意二次连续可微的函数。
数理方程公式整理
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝无限长弦的一般强迫振动定解问题200(,)(,0)()()tt xx t t t u a u f x t x R t u x u x ϕψ==⎧=+∈>⎪=⎨⎪=⎩解()()().().0()111(,)(,)222x at t x a t x at x a t u x t x at x at d f d d a a ττϕϕψξξατατ++----⎡⎤=++-++⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 三维空间的自由振动的波动方程定解问题()2222222220001,,,,0(,,)(,,)t t u uu a x y z t t x y z u x y z u x y z t ϕϕ==⎧⎛⎫∂∂∂∂=++-∞<<+∞>⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎪⎪=⎨⎪∂⎪=∂⎪⎩在球坐标变换sin cos sin sin (0,02,0)cos x r y r r z r θϕθϕϕπθπθ=⎧⎪=≤<+∞≤≤≤≤⎨⎪=⎩21()1()(,)44M Mat r S S M M u M t dS dS a t r a rϕψππ⎡⎤''∂=+⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰(r=at)221()1()(,)44M M at atS S M M u M t dS dS a t t a tϕψππ⎡⎤''∂=+⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰无界三维空间自由振动的泊松公式()sin cos ()sin sin (02,0)()cos x x at y y at z z at θϕθϕϕπθπθ'=+⎧⎪'=+≤≤≤≤⎨⎪'=+⎩2()sin dS at d d θθϕ=二维空间的自由振动的波动方程定解问题()222222200,,,0(,)(,)t t u uu a x y t t x y u u x y x y t ϕψ==⎧⎛⎫∂∂∂=+-∞<<+∞>⎪ ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎨∂⎪==⎪∂⎩2222222200001(cos ,sin )1(cos ,sin )(,,)22at at x r y r x r y r u x y t rdrd rdrd a t a a t r a t r ππϕθθψθθθθππ⎡⎤⎡⎤∂++++=+⎢⎥⎢⎥∂--⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 傅立叶变换1()()2i xf x f e d λλλπ+∞-∞=⎰基本性质 线性性质[]1212[][]F ff F f F f αβαβ+=+1212[][][]F f f F f F f *=12121[][][]2F f f F f F f π=* 微分性质[][]F f i F f λ'=()[]()[]k k F f i F f λ=[][]dF f F ixf d λ=- ()()i xf f x e dx λλ+∞--∞=⎰1[()]dixf F f d λλ--= 00[()][()]i x F f x x e F f x λ--= 00[()]()i x F e f x f λλλ=- ..1[()][()]xF f d F f x i ξξλ-∞=⎰ .0.[)]1i x i xx F x x e dx e λλδδ∞--=-∞===⎰（（） ()()..[]i x i F x x e dx e λλξδξδξ∞---∞-=-=⎰1[()]()F f ax f a aλ=若[()]()F f x g λ=则 [()]2()F g x f πλ=- []12()F πδλ=22242ax aF ee λπ--⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭1c o s ()21s i n ()2i a i ai a i aa e e a e e i --=+=-cos sin cos sin ia ia e a i a e a i a -=+=-2x e d x π+∞--∞=⎰＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝拉普拉斯变换()()sx f s f x e dx +∞-=⎰[]Re Re ax c L ce p a p a=>- 21[]L x s =21[]()x L e x s ββ-⋅=+ []22sin k L kt s k =+ []22cos s L kt s k ==+ []22[]2ax ax e e aL shax L s a --==-Re Re s a >[]22[]2ax ax e e sL chax L s a -+==+Re Re s a >基本性质[]1212[][]L f f L f L f αβαβ+=+ 1111212[][]L f f L f L f αβαβ---⎡⎤+=+⎣⎦[()][()],0s L f x e L f x τττ--=≥ 0[()](),Re()ax L e f x f s a s a σ=-->1[()](),(0)sL f cx f c c c=> ()12(1)[][](0)(0)(0)n n n n n L f s L f s f s f f ---'=----..01[()][()]xL f d L f x s ττ=⎰[][()]nn n d L f L x f ds=-..()[]pf x f s ds L x∞=⎰（） 1212[][][]L f f L f F f *= 0[()]()1sxL x x e dx δδ+∞-==⎰ ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝三个格林公式 高斯公式：设空间区域V 是由分片光滑的闭曲面S 所围成，函数P ,Q,R 在V 上具有一阶连续偏导数，则：V SP Q R dV Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z ⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰或()()()cos ,cos ,cos ,V SP Q R dV P n x Q n y R n z dS x y z ⎛⎫∂∂∂++=++⎡⎤ ⎪⎣⎦∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 第一格林公式：设u(x,y,z),V(x,y,z)在SŲS V 上有一阶连续偏导数，它们在V 中有二阶偏导，则：SVVu v dS u vdV u vdV ∇⋅=∇⋅∇+∆⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰第二格林公式：设u(x,y,z),V(x,y,z)在SŲS V 上有一阶连续偏导数，它们在V 中有二阶偏导，则：()()SVu v v u dS u v v u dV ∇-∇⋅=∆-∆⎰⎰⎰⎰⎰第三格林公式设M 0，M 是V 中的点，v(M)=1/r MM0, u(x,y,z)满足第一格林公式条件，则有：000011111()44MM MM MM S V u u M u dS u dV r n n r r ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂=--∆⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ 定理1：泊松方程洛平问题 (,,),(,,)(,,),((,,),(xx yy zz SS S u u u u f x y z x y z V uu x y z x y z n ϕψ∆=++=∈⎧⎪⎨∂==⎪∂⎩连续）连续）的解为： 011111()()()()44S V u M M M dS f M dV r n r r ψϕππ⎡∂⎤⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ 推论1：拉氏方程洛平问题 0,(,,)(,,),((,,),(xx yy zz SS S u u u u x y z V uu x y z x y z n ϕψ∆=++=∈⎧⎪⎨∂==⎪∂⎩连续）连续）的解为： 0111()()()4S u M M M dS r n r ψϕπ⎡∂⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦⎰⎰ ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝调和函数1、定义：如果函数u(x,y,z)满足:(1) 在V S 具有二阶连续偏导数；(2) 0u ∆= 称u 为V 上的调和函数。
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数理方程方法汇总
1．0=+y x bu au
（1）行波法 设)(ξf u = （y kx +=ξ） 代入方程得0)()(''=+ξξbf akf 0=+b ak 故通解为)(y x a
b
f u +-
= （2）特征线法 特征方程为0'=-b ay 特征线为C ay bx =- 故通解为)(ay bx f u -= （3）微分算子法
方程记为 0)(=+u bD aD y x 故通解为)(ay bx f u -=
2．0=++cu bu au y x 通解为 )(ξf e
u mx
= （)y kx +=ξ
3．0=++yy xy xx cu bu au
通解为 )()(21y x k g y x k f u +++= 4．0=+++++nu eu du cu bu au y x yy xy xx
微分算子法 0)(2
2=+++++u n eD dD cD D bD aD y x y y x x 试探函数法
5．⎪⎩⎪⎨⎧=+=++===xy
u xy x u u u u a u t t t zz yy xx tt 03
02
|,|)(
设3
23Bt xyt At xy x u ++++=
代入方程得 )6(623
2
2
Bt At x a Bt A ∇+∇+=+
令⎩⎨⎧==∇2
620xa A A ⎩⎨
⎧==∇0
60
B B
6．⎪⎩⎪⎨⎧-=+++==2
302
|6)(yz
x u y u u u a u t zz yy xx t
设Bt Ayt yz x u ++-=23
代入方程得 y B A y t y x a B Ay 6)26(2+∇+∇+-=+ 令⎩⎨
⎧==∇60
A A
⎩⎨⎧-==∇2
)26(0
a
y x B B 7．⎩⎨⎧=====x
w u x w u u a u t t t xx tt 20102sin |,sin |
设x w t aw B x w t aw u 2211sin sin sin cos +=
8．⎩⎨⎧=====x
w u x w u u a u t t t xx tt 20102cos |,cos |
设x w t aw B x w t aw u 2211cos sin cos cos +=
9．⎪⎩⎪
⎨⎧==∂∂+∂∂+∂∂=θ
θn aR u r r m
R r u
r u r u cos |01122222
设θn Ar u n
cos = n
m aR A -=
分离变量法
10.⎪⎩
⎪
⎨⎧====)()0,(0),(),0(2x x u t l u t u u a u xx t φ 设解为 )()(),(t T x X t x u =
得⎪⎩
⎪⎨⎧===+=+0)()0(00'
'2'l X X X X T a T λλ
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧==x l n X l
n n n ππλs i n )(2 x l
n e
A t x u l
n a
n ππsin
),(2
)(1
-∞
∑=
⎰=l x n xd l
n x l A 0sin )(2πφ
11．⎪⎩
⎪
⎨⎧====)()0,(0),(),0(2x x u t l u t u u a u x x xx
t φ
设解为 )()(),(t T x X t x u =
得⎪⎩
⎪
⎨⎧===+=+0)()0(00''''2'l X X X X T a T λλ
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧==x l n X l
n n n ππλcos )(2 x l
n e
A t x u l
n a
n ππc o s ),(2
)(1
-∞
∑=
⎰=
l x n xd l
n x l A 0cos )(2πφ 12．.⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
=∂∂
=====)(|),()0,(0),(),0(02x x x u t l u t u u a u t t u xx tt ψφ
设解为 )()(),(t T x X t x u =
得⎪⎩
⎪⎨⎧===+=+0)()0(00
'
'2''l X X X X T a T λλ
⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧+===l at n b l at n a T x l n X l
n n n n
n
n
ππππλsin cos sin )(2 x l
n l at n b l at n a
t x u n n π
ππsin )sin cos
(),(1
+=
∑∞
⎰=
l x n xd l n x l a 0sin )(2π
φ x l n xd l
n x a n b ⎰=
0sin )(2π
ψπ 13．)()]([1'x J x x J x n n n n -=
)()]([1'
x J x x J x n n
n n
+--=
)(2)()(11x J x
n
x J x J n n n =
++- )(2)()('
11x J x J x J n n n =-+-
14．例题 （1）x x d x J x x d x J '
2223)]([)(-⎰
⎰-=
2)()]([22
222x d x J x x J x x ⎰
--+-=
x d x J x x J )(2)(21
2⎰
-+-=
c x J x J +--=)(2)(12
（2）x x d x xJ x
d x J x '12
03
)]([)(⎰⎰=
2)()]([112
x d x J x x xJ x ⎰
-=
c x J x x J x +-=)(2)(2213 （3）
α
α=x
x J d d )(0α
α=x
x J d d )(0)(1)(0t J d d t
t J α-=)(1x J αα-=
15．0)(2
2
2
'
'
'2
=-++y n x xy y x α的通解为)()(x DN x CJ y n n αα+=
16．12
0)1(sin
+-=⎰n x l n l d l x n x π
π ]1)1[()
(cos 220
--=⎰n
x l
n l d l x n x ππ ])1(1[sin 0n
x l n l d l x n --=⎰π
π ])1(1[)(2sin )(330n
x l
n l d l x n x l x --=-⎰ππ
⎪⎩⎪
⎨⎧=⎰2
0sin 2sin 0l d l x n l x x l ππ )2()
2(=≠n n ⎪⎩⎪
⎨⎧=⎰2
0cos 2cos 0
l d l x n l x x l
ππ )2()
2(=≠n n )4(]
1)1[(32sin sin 82
21
02
---=⎰n n d nx x n x π。