数理方程重点总结共53页
方程全部知识点总结
方程全部知识点总结一、方程的定义在数学上，方程是指由未知数和已知数，通过运算符号以及等号组成的数学式，常用于描述两个数量在某种关系上相等的情况。
通常来说，方程可以表示为：F(x) = G(x)，其中F(x)和G(x)是两个关于未知数x的表达，它们的值相等。
例如：x + 2 = 5就是一个简单的方程，表示未知数x加上2的结果等于5。
二、方程的基本概念1. 未知数和已知数：在方程中，未知数是指需要求解的数，常用x、y、z等字母来代表；已知数是指已知值或者变量，可以是数字、常数或者其他未知数。
2. 等式：方程的基本构成要素之一就是等式，表示两个数或两个式子相等。
等号左边和等号右边的值相等，才能构成一个方程。
3. 解：求解方程意味着找到使得方程成立的未知数的值。
解可以有一个或者多个，也可能没有解。
解方程的过程就是找到使得等式成立的未知数的值。
4. 方程的次数：方程中未知数的最高次数称为方程的次数。
比如一次方程、二次方程等。
5. 线性方程和非线性方程：根据未知数的次数，方程可以分为线性方程和非线性方程。
一次方程是线性方程的典型例子，非线性方程则包括二次方程、三次方程等。
6. 系数：方程中未知数前面的数字或者参数称为系数，它们可以是实数、复数、甚至函数。
7. 参数方程：在一些特殊的问题中，方程中还会出现参数（通常用t表示），这时方程称为参数方程。
三、方程的解法1. 方程的解法就是求解未知数的值，常用的解法包括代数法、几何法、图像法、方法学法等。
最常用的代数法有以下几种：（1）唯一解的求法：对于只有一个解的方程，可以通过代数运算，利用等式的性质逐步消解未知数的系数，得到最终的解。
（2）一元二次方程的求解：一元二次方程通常是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其解法包括因式分解、配方法、公式法等。
（3）二元一次方程组的求解：当方程中含有两个未知数时，就构成了二元一次方程组，常用的求解方法包括代数消元法、矩阵法、图解法等。
方程主要知识点总结
方程主要知识点总结一、方程的定义在代数学中，方程是指含有一个或多个未知数的等式，通常用字母表示未知数。
方程的一般形式为：$a_1x^n + a_2x^{n-1} + ... + a_nx + a_{n+1} = 0$，其中$x$为未知数，$a_1,a_2, ..., a_{n+1}$为已知的常数，n为方程的次数。
方程的解即是使等式成立的未知数的值。
二、方程的类型1. 一元一次方程：一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程，一般有形式：$ax + b = 0$，其中$a$和$b$为已知的常数，$x$为未知数。
2. 一元二次方程：一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，一般有形式：$ax^2+ bx + c = 0$，其中$a$、$b$和$c$为已知的常数，$x$为未知数。
3. 二元一次方程组：二元一次方程组是指含有两个未知数的一次方程组，一般有形式：$ \begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}$，其中$a$、$b$、$c$、$d$、$e$和$f$为已知的常数，$x$和$y$为未知数。
4. 二元二次方程：二元二次方程是指含有两个未知数的二次方程，一般有形式：$ \begin{cases} ax^2 + by^2 = c \\ dx + ey = f \end{cases}$，其中$a$、$b$、$c$、$d$、$e$和$f$为已知的常数，$x$和$y$为未知数。
5. 多元线性方程组：多元线性方程组是指含有多个未知数的一次方程组，一般有形式：$\begin{cases} a_11x_1 + a_12x_2 + ... + a_1nx_n = b1\\ a_21x_1 + a_22x_2 + ... + a_2nx_n =b_2 \\ \cdots \\ a_m1x_1 + a_m2x_2 + ... + a_mnx_n = b_m \end{cases}$，其中$a_{ij}$和$b_i$为已知的常数，$x_i$为未知数，$i=1, 2, ..., n; j=1, 2, ..., m$。
数理方程概念汇总
1、什么是泛定方程？以及解的稳定性物理规律，用数学的语言“翻译”出来，不过是物理量u在空间和时间中的变化规律，换句话说，它是物理量u在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。
正是这种联系使我们有可能从边界条件和初始条件去推算u在任意地点（x，y，z）和任意时刻 t 的值u（x，y，z，t）。
而物理的联系总是取的值之间的关系式。
这种邻近地点、邻近时刻之间的关系式往往是偏微分方程。
物理规律用偏微分方程表达出来，叫作数学物理方程。
数学物理方程，作为同一类物理现象的共性，跟具体条件无关。
在数学上，数学物理方程本身（不连带定解条件）叫作泛定方程2、什么是定解条件？答：给定一个方程，一般只能描写某种运动的一般规律，还不能确定具体的运动状态，所以把这个方程称为泛定方程。
如果附加一些条件（如已知开始运动的情况或者在边界上受到外界的约束）后，就能完全确定具体运动状态，称这样的条件为定解条件。
表示开始情况的附加条件称为初始条件，表示在边界上受到的约束的条件称为边界条件。
3、什么是定解问题？答：给定了泛定方程（在区域D内）和相应的定解条件的数学物理问题为定解问题。
根据不同定解条件，定解问题分为三类：1）初值问题只有初始条件和没有边界条件的定解问题为初值问题或者柯西问题；2）边界问题只有边值条件而没有初值条件的定解问题称为边值问题。
3）混合问题既有边界条件也有初值条件的定解问题称为混合问题（有时也称为边值问题）4、什么是定解问题的解？答：设函数u在区域D内满足泛定方程，当点从区域D内趋于给定初值的超平面或者趋于给出边界条件的边界曲面时，定解条件中要求的u及它的倒数的极限处处存在而且满足相应定解条件，就称u为定解问题的解。
5、什么是解的稳定性？答：如果定解条件的微小变化只引起定解问题解在整个定义域中的微小变化，也就是解对定解条件存在这连续依赖关系，那么称定解问题的解是稳定的。
6、什么是定解问题的适应性？如果定解问题的解存在与唯一并且关于定解条件的稳定的，就说定解问题的提法是稳定的。
数学物理方程复习资料
∞ n=1
bn
sin= nπl x (x ∈ C), 其中 bn
2= l f (x) sin nπ xdx (n 1, 2,3, ).
l0
l
∑ ∫ 当 f (x) 为偶函数时， f (x) = a20 + n∞=1 an cos= nπl x (x ∈ C), 其中 an
2= l f (x) cos nπ xdx (n
的常微分方程，并由齐边值条件可得固 有值问题。
二阶线常性微齐分次方微程分方程→
特征方程为 r2 + λ =0
求解固有值问题，即解出固有值以及固 有函数
结合定解条件讨论 λ 的取值范围
确定系数，由选定的固有值来求 T (t) ，
进而得到一系列特解，然后利用叠加原 理叠加特解得到一个无穷级数解，并由 初始条件确定无穷级数的系数。 M2 积分变换法 根据自变量的变化范围以及定解条件 的具体情况，选取适当的积分变换。然 后对方程两端取变换，把一个含两个自 变量的偏微分方程化为含一个参变量 的常微分方程。
（1） 固定端（第一边值条件= ）： u = x 0= 0, u =x l 0, t ≥ 0
（2） （3）
自由端（第二边值条件= ）： ∂∂ux = x 0= 0, ∂∂ux=x l 0, t ≥ 0
弹性支承端（第三边值条件= ）： (∂∂ux + σ u) x 0= =0, (∂∂ux + σ u) x l =0, t ≥ 0 ，其中σ = k / T 。
1.偏微分方程&数学物理方程：含有未知多元函数及其偏导数（也可仅含有偏导数）的方程称为偏微分方程； 描述物理规律的偏微分方程称为数学物理方程。 2.方程的阶：偏微分方程中未知函数的偏导数的最高阶数；
高二数学方程知识点归纳总结
高二数学方程知识点归纳总结方程是数学中重要的概念之一，也是数学建模和问题求解的基础。
高二数学中，方程的学习变得更加深入和复杂。
本文将对高二数学中的方程知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和掌握相关内容。
一、一元一次方程一元一次方程形如ax + b = 0，其中a和b为已知数，x为未知数。
解一元一次方程的方法有两种：试探法和化简法。
试探法即将可能的解代入方程进行验证，化简法则通过运用运算性质和运算法则来求解方程。
二、一元一次方程组一元一次方程组是由两个或多个一元一次方程组成的方程组。
解一元一次方程组的方法有三种：消元法、代入法和加减消法。
消元法通过运用加减消法，将含有相同未知数的两个方程相减或相加，消去这个未知数的系数，最终求得解；代入法则是将其中一个方程中某个未知数用另一个未知数的表达式代入另一个方程中，从而降低未知数的个数，最终求得解；加减消法是将多个方程相加或相减，消去某些未知数，最终求得解。
三、二元二次方程二元二次方程形如ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数。
解二元二次方程的方法有因式分解法和配方法。
因式分解法适用于方程能够很容易进行因式分解的情况，通过因式分解得到方程的解；配方法则适用于方程难以因式分解的情况，通过完成平方得到方程解。
四、高次方程高次方程包括二次方程、三次方程和四次方程等。
解高次方程的方法有因式分解法、配方法、万能公式等。
因式分解法和配方法在前文已经提到，万能公式即利用二次方程的求根公式，适用于解二次方程的情况。
五、分式方程分式方程是方程中含有分式的方程。
解分式方程的方法是通分、化简、整理方程，最终求得方程的解。
六、绝对值方程绝对值方程是方程中含有绝对值的方程。
解绝对值方程的方法是考虑绝对值的两种情况，即当绝对值内的值为正数和负数时，分别求解方程，并根据实际情况判断解的可行性。
七、参数方程参数方程是用参数表示的方程。
解参数方程的方法是将参数代入方程中，化简方程，最终求得方程的解。
数学物理方程公式总结
无限长弦的一般强迫振动定解问题200(,)(,0)()()tt xx t t t u a u f x t x R t u x u x ϕψ==⎧=+∈>⎪=⎨⎪=⎩ 解:()()().().0()111(,)(,)222x at t x a t x at x a t u x t x at x at d f d d a a ττϕϕψξξατατ++----⎡⎤=++-++⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 三维空间的自由振动的波动方程定解问题()22222222200,,,,0(,,)(,,)t t u uu a x y z t tx y z u x y z u x y z t ϕψ==⎧⎛⎫∂∂∂∂=++-∞<<+∞>⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎪⎪=⎨⎪∂⎪=∂⎪⎩球坐标变换sin cos sin sin (0,02,0)cos x r y r r z r θϕθϕϕπθπθ=⎧⎪=≤<+∞≤≤≤≤⎨⎪=⎩无界三维空间自由振动的泊松公式21()1()(,)44M M atrS S M M u M t dS dS a tra rϕψππ''∂=+∂⎰⎰⎰⎰, r at =.()sin cos ()sin sin (02,0)()cos x x at y y at z z at θϕθϕϕπθπθ'=+⎧⎪'=+≤≤≤≤⎨⎪'=+⎩2()sin dS at d d θθϕ=二维空间的自由振动的波动方程定解问题()222222200,,,0(,)(,)t t u uu a x y t t x y u u x y x y t ϕψ==⎧⎛⎫∂∂∂=+-∞<<+∞>⎪ ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎨∂⎪==⎪∂⎩2222222200001(cos ,sin )1(cos ,sin )(,,)22at at x r y r x r y r u x y t rdrd rdrd a t a a t r a t rππϕθθψθθθθππ∂++++=+∂--⎰⎰⎰⎰三个Green 公式 Gauss 公式：设空间区域V 是由分片光滑的闭曲面S 所围成，函数P,Q,R 在V 上具有一阶连续偏导数，则：VSV SP Q R FdV F dSdV Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z ⎛⎫∂∂∂∇=⇔++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰第一格林公式设u(x,y,z),V(x,y,z)在S ŲS V 上有一阶连续偏导数，它们在V 中有二阶偏导， 则：SVVu v dS u vdV u vdV ∇⋅=∇⋅∇+∆⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰第二格林公式设u(x,y,z),V(x,y,z)在S ŲS V 上有一阶连续偏导数，它们在V 中有二阶偏导， 则：()()SVu v v u dS u v v u dV ∇-∇⋅=∆-∆⎰⎰⎰⎰⎰第三格林公式设M 0，M 是V 中的点，u(x,y,z)满足第一格林公式条件，则有：()014M Mv M r π=-000011111()44M M M M M M S V u u M u dS u dV r n n r r ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂=--∆⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ 推论1：Laplace 方程混合边值问题0,(,,)(,,),((,,),(xx yy zz S S S u u u u x y z V uu x y z x y z n ϕψ∆=++=∈⎧⎪⎨∂==⎪∂⎩连续）连续）的解为：0111()()()4S u M M M dS r n r ψϕπ⎡∂⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦⎰⎰ Poisson 方程的混合边值问题(,,),(,,)(,,),((,,),(xx yy zz SS S u u u u f x y z x y z V uu x y z x y z n ϕψ∆=++=∈⎧⎪⎨∂==⎪∂⎩连续）连续） 的解为：011111()()()()44S V u M M M dS f M dV r n r r ψϕππ⎡∂⎤⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰调和函数1、定义：如果函数u(x,y,z)满足: (1) 在VS 具有二阶连续偏导数；(2) 0u ∆=称u 为V 上的调和函数. 2、调和函数的性质。
数理方程重点总结
X (0) A 0 B 1 0
断 言: B 0， 于 是 有
u
u
0,
0 (2)
x x0
x xl
X ( x) A sin x
又 由 边 界 条 件u
0， 得
x xl
sin l 0
于 是 ， 得 到 空 间 变 量 问题 的 本 征 值
l n
或
n
( n l
)2
(n 1,2,3,)
据此，解得H( y)
H ( y) cos y 1 y2 1 H (0) 6
(7)
将 （5） 、 （7） 代 入 （4） 式 ， 即 得 特 解
u( x, y) 1 x3 y2 cos y 1 y2 1 x2
6
6
再另附：直接积分法 求偏微分方程的通解
2u u
t
2 2xt
xt x
可 以 由 两 个 边 界 条 件 唯一 地 被 确 定 。
例如 f (x) x
W (x)
1 6a 2
x3
C1 x C2
W (0) M1
M1 C2
W (l) M2
l3 M2 6a2 C1l M1
据此，得到W ( x) 的解
C1
M2
M1
l3 6a 2
l
M2
l
M1
l2 6a 2
X X 0
(1)
u x
0 , u
x0
x
0
xl
(2)
(1) 式的通解为
X ( x) Acos x B sin x
(3)
对上式求导，得
X ( x) A sin x B cos x
X ( x) A sin x B cos x
数理方程总结复习及练习要点报告
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数理方程基本知识
➢ 我们研究的这些定解条件或者约束物理量的特定条 件大体可以分为两大类，一类关乎于环境对物理量 发展过程的约束，这类约束主要体现于物理环境周 围边界的物理状况，即边界条件。另一类关乎于物 理量发展的历史状况，或者说这个物理量之前是什 么样的，这类约束主要体现于时间上我们人为定义 从何时开始针对于物理量的研究，或者说这个物理 量研究初始时的状况，即初始条件。
➢ 数学物理方程研究一些物理量在某些特定条件下 按照物理规律变化的情况。这些物理量所满足的 物理规律具有共性,它反映的是同一类物理现象的 共同规律。物理量受某些特定条件约束，所产生 的物理问题又各具有自身的特殊性，即个性。
3
数理方程基本知识
➢ 具有共性的物理规律可以用偏微分方程的形式描述 ，这些方程在不附加个性条件的情况下称为泛定方 程。
➢ 数学上边界条件和初始条件也统称为定解条件。
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数理方程基本知识
➢ 由泛定方程、定解条件构成的研究数学物理方程的 问题称为数学物理定解问题，准确地说就是在给定 定解条件下求解数学物理方程。
➢ 偏微分方程的基本概念
－偏微分方程的阶数 最高的求导次数 －偏微分方程的齐次与非齐次 不含有研究函数的非零项 －偏微分方程的线性与非线性
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数理方程基本知识
➢ Gauss定理
v
v
v
v
对于一般的矢量场 a P(M )i Q(M ) j R(M )k
vv
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40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
数理方程重点总结
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳