华科大数理方程课件——贝塞尔函数(2014)
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Bessel函数介绍
第一类贝塞尔函数图2 0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数（贝塞尔J函数）曲线（在下文中，第一类贝塞尔函数有时会简称为“J函数”，敬请读者留意。
）第一类α阶贝塞尔函数Jα(x)是贝塞尔方程当α为整数或α非负时的解，须满足在x= 0 时有限。
这样选取和处理Jα的原因见本主题下面的性质介绍；另一种定义方法是通过它在x= 0 点的泰勒级数展开（或者更一般地通过幂级数展开，这适用于α为非整数）：上式中Γ(z)为Γ函数（它可视为阶乘函数向非整型自变量的推广）。
第一类贝塞尔函数的形状大致与按速率衰减的正弦或余弦函数类似（参见本页下面对它们渐进形式的介绍），但它们的零点并不是周期性的，另外随着x的增加，零点的间隔会越来越接近周期性。
图2所示为0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数Jα(x)的曲线（α = 0,1,2）。
如果α不为整数，则Jα(x)和J−α(x)线性无关，可以构成微分方程的一个解系。
反之若α是整数，那么上面两个函数之间满足如下关系：于是两函数之间已不满足线性无关条件。
为寻找在此情况下微分方程与Jα(x)线性无关的另一解，需要定义第二类贝塞尔函数，定义过程将在后面的小节中给出。
贝塞尔积分α为整数时贝塞尔函数的另一种定义方法由下面的积分给出：（α为任意实数时的表达式见参考文献[2]第360页）这个积分式就是贝塞尔当年提出的定义，而且他还从该定义中推出了函数的一些性质。
另一种积分表达式为：和超几何级数的关系贝塞尔函数可以用超几何级数表示成下面的形式：第二类贝塞尔函数（诺依曼函数）图3 0阶、1阶和2阶第二类贝塞尔函数（贝塞尔Y函数）曲线图（在下文中，第二类贝塞尔函数有时会简称为“Y函数”，敬请读者留意。
）第二类贝塞尔函数也许比第一类更为常用。
这种函数通常用Yα(x)表示，它们是贝塞尔方程的另一类解。
x = 0 点是第二类贝塞尔函数的（无穷）奇点。
Yα(x)又被称为诺依曼函数（Neumann function），有时也记作Nα(x)。
贝塞尔函数PPT课件
由条件(4），得
u 0 , u U (4)
z0
zh
u(, 0)
m1
(Cm
Dm
)
J
0
(
(0 m b
)
)
0
于是得
Cm Dm 0 (m 1,2, ) (11)
再由条件（5）得
u 0 (5) b
u(, h)
m1
m(0) h
(Cm e
m(0) h
(0)
Dm
e
)J0(
m
b
)
U
第31页/共37页
F r C1J0 r C2Y0 r
由 u(r, t) 的有界性, 可以知道 C2 0. 再由条件
u 0, r 1
知：J0 0, 即 是 J0( x) 的零点.
用
(n =1,2…) 表示
以上结果可得:
的正零点, 综合
第16页/共37页
方程
的特征值为：
相应的特征函数为： 这时方程
-0.5
第7页/共37页
Jn( x) 的零点和 Jn1( x) 的零点是彼此相间分 布，即 Jn( x) 的任意两个相邻零点之间有且仅有 一个 Jn1( x) 的零点，反之亦然；
1.0 J0( x)
0.5
J1( x)
o
246
-0.5
8 10 12
第8页/共37页
以
(n) m
(m 1, 2,
由条件（8）知 D 0 .
第28页/共37页
二、求本征值、本征函数
再由条件（9）得,
R(b) CJ0 ( b) 0
即，J0 ( b) 0 ，由此可知 b 是 J0 (x) 的零点。
贝塞尔函数PPT演示课件
1
r 2 sin 2
2u
2
k 2u
0
设u(r, ,) R(r)( )()，代入原方程
''() m2() 0
1
s in
d
d
s in
d ( 2 d
m2
sin 2 ) 0
d r 2 dR (k 2r 2 2 )R 0
要使等式两边成立，则x各次幂的系数为零
(1) (c2 v2 ) C0 0 (k 0)
(c2 v2 ) 0
c v
(2) [(c 1)2 v2 ]C1 0 (k 1)
(3) [(c k)2 v2 ]Ck Ck2 0 (k 2)
将c=v代入(2)，得C1=0
k 2u
0
u(,, z) R()()Z(z)
''() m2() 0
Z''(z) 2Z(z) 0
2
d 2R
d 2
dR
d
(k 2
2 ) 2
m2
R
0
x (k 2 2) y(x) R()
贝塞尔方程
x2
0
0
0
0
(1) etdt et 1 0 0
(2) 1 (1) 1
(3) 2 (2) 2!
(4) 3(3) 3! (n 1) n!
求证： 1 2
(x) ett x1dt
令t=u2
(1)m
2(2mv) m ! (m 1 v)
第五章 数理方程 贝塞尔函数
(1) 由 ( n m 1) ( n m )! 得 1 1 m J n ( x) 1 n2 m xn2m 2 m! n m ! 1 m 0 0 （２）取n=N , 在 J n x 中,由于m<N时， N m 1
a 2 t
5.1 贝塞尔方程的引入
(2) 亥姆霍兹方程(Helmholtz)
2V 2V 2 V 0 2 x y
由边界条件，可知
V
x2 y2 R2
0
在极坐标系下，问题可以写成
2V 1 V 1 2V 2 V 0 0 R 2 2 V | 0 R
2 k 1 d x k 1 k (2k 2) x 1 2 k 2 2 1 2 k 2 2 dx 2 k 1 ! 2 [ k 1 !] 1 1 n m 2m Jn x 1 x n2m 2 k 1 2 m! n×（－１） m ! x0 k m 1 2k 1 2 及k ! 1 ! : k 得 n 1 分别令n 0
所以级数从m=N开始 1 1 m J N ( x) 1 N 2 m x N 2m 2 m ! N m 1 m N
N N 1 N 4 x x x N (1) N N 2 N 4 2 N ! 2 ( N 1)! 2 ( N 2)!2! (1) N J N ( x)
y CJ n x DYn x
5.3 n 为整数时贝塞尔方程的通解
x 2 (1) x Y0 x J 0 x (ln C ) 2 m 0 (m !)2 2 2
n 1 m
2m m
贝塞尔函数
本征值 n n ， 本征函数 a0 0 2 n a n cos n bn sin n , n 1,2,
2
2
将 n n 2 代入另一方程得
2 P" P' 2 n 2 P 0
及
0
n 1得:
x2 x4 x6 x2k k J0 x 1 2 4 6 1 2 k 所以 2 2 2 2 2 2! 2 3! 2 k !
J1 x
x 2
3 xd x5 x 2 k 1 k 3 J 0 x J 1 1 2 k 5 x 2 dx 2! 2 2! 3! 2 k ! k 1!
1 中,由于m<N时， N m 1 0
xN x N 1 x N 4 N (1) N N 2 N 4 2 N ! 2 ( N 1)! 2 ( N 2)!2! (1) N J N ( x)
5.3 n 为整数时贝塞尔方程的通解
结论： n 不为整数时, J n x 和 J n x 线性无关． 当 所以方程的通解可以表示为
y AJ n x BJ n x
5.2
贝塞尔方程的求解
如果选取 得到
A ctgn ,
1 B sin n
(n 1, 2,)
J n x cos n J n x Yn x sin n
当 n 不为整数时, J n x 和 Yn x 线性无关． 称 Yn x 为 n 阶第二类贝塞尔函数或者牛曼函数,
方程的通解也可表示为
y CJ n x DYn x
贝塞尔公式(精品课件)
样本标准差的表示公式数学表达式：•S—标准偏差（％）•n—试样总数或测量次数，一般n值不应少于20—30个•i—物料中某成分的各次测量值，1～n；[编辑］标准偏差的使用方法•在价格变化剧烈时,该指标值通常很高。
•如果价格保持平稳,这个指标值不高。
•在价格发生剧烈的上涨/下降之前,该指标值总是很低. [编辑]标准偏差的计算步骤标准偏差的计算步骤是：步骤一、（每个样本数据－样本全部数据之平均值)2。
步骤二、把步骤一所得的各个数值相加。
步骤三、把步骤二的结果除以 (n — 1)（“n”指样本数目）。
步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是抽样的标准偏差。
［编辑］六个计算标准偏差的公式[1][编辑]标准偏差的理论计算公式设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、l2、……l n。
令测得值l与该量真值X之差为真差占σ，则有σl i−X.。
.。
文档交流1 =σ2 = l2−X……σn = l n−X我们定义标准偏差（也称标准差）σ为（1）由于真值X都是不可知的，因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。
［编辑]标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式由于真值是不可知的，在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值来代表真值。
理论上也证明, 随着测量次数的增多，算术平均值最接近真值，当时，算术平均值就是真值。
.。
.文档交流于是我们用测得值l i与算术平均值之差——剩余误差(也叫残差）V i来代替真差σ，即设一组等精度测量值为l1、l2、……l n则……通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为将上式代入式(1)有(2)式(2)就是著名的贝塞尔公式（Bessel).它用于有限次测量次数时标准偏差的计算.由于当时，,可见贝塞尔公式与σ的定义式（1）是完全一致的。
应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。
它不是总体标准偏差σ。
因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。
第4章-贝塞尔函数
级数解的导数为： y '
k 0
(
k )ck
x k1
y"
k 0
(
k
)(
k
1)ck
x k 2
20
y x cn xn n0
( c0 0, 为常数)
代入方程(2)，
y 1 y (1 2 ) y 0 (2)
x
x2
( v 为任意实数)
得到
(n )(n 1)cn xn2 (n )cn xn2 cn xn
利用级数的比值判别法（或达朗贝尔判别法）
可以判定这个级数在除 x=0 点外的整个实数轴 上收敛，因此，级数式是贝塞尔方程的解．
28
下面我们分两种情况，找出方程贝塞尔的两个线性无 关的解，得到方程贝塞尔的通解：
（１） 1 及 2 不是整数， 将 1 代入式
y(x) (1)n
1
( x)2n
n0
n!(n 1) 2
18
由定理2知, 在 x=0点的邻域 x 0 内至少存在
一个下面形式的级数解
y x cn xn n0
( c0 0, 为常数)
将此式代入方程
y
1 x
y
2
(1 x2
)y
0
(2)
( v 为任意实数)
19
y
1 x
y
(1
x
2 2
)y
0
(2)
( v 为任意实数)
y x cn xn n0
( c0 0, 为常数)
31
我们可用
J
(x)
(1) n
n0
1
n!(n
( x )2n 1) 2
统一表示第一类贝塞尔函数(也称为第一类柱函数)。
数学物理方程----3-Bessel-函数PPT优秀课件
贝 塞
erx (r2 + pr + q) = 0 .
尔
由于erx 0，因此，只要 r 满足方程
函 数
r2 + pr + q = 0，
⑤
即 r 是上述一元二次方程的根时，y = erx 就是
④式的解. 方程⑤称为方程④的特征方程. 特征方
程根称为特征根.
西安交通大学 数学与统计学院
例 1 求方程 y - 2y - 3y = 0 的通解.
西安交通大学 数学与统计学院
定理 4 设二阶线性非齐次方程为
数
y + p(x)y + q(x)y = f1 (x) + f2 (x)， ① 第
学
三
物
理 且y1*与y2*分 别 是
方
程
y + p(x)y + q(x)y = f1 (x)，
章 贝 ②塞
尔
和
函
y + p(x)y + q(x)y = f2 (x)
数 学
y = C1 y1 + C2 y2
第 三
物理是该方程的通解，其中
方
C1,
C2为任意常数.
程
章 贝
塞
尔
函
数
西安交通大学 数学与统计学院
定理 3 如果函数 y* 是线性非齐次方程的一个
特解，Y 是该方程所对应的线性齐次方程的通解，则
数
第
学 物
y = Y + y*，
理 方
是线性非齐次方程的通解.
程
数
解 该方程的特征方程为 r2 - 4r + 4 = 0，它 有 第
学 物
重根
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m
16
y ( x) a k x s k
k 0
(a0 0),
(13)
a 2 m (1) m
a0 , 2m 2 m!(n 1)( n 2) (n m)
由于 a 0 是任意常数，我们可以这样取值： 使一般项系数中 2 与 x 有相同的次数，并且同时 使分母简化。 为此取
8
G G 0,
r 2 F rF (r 2 ) F 0.
(9) (10) (11)
将 n 2代入方程(10)得
r 2 F rF (r 2 n 2 ) F 0,
该方程叫做 n 阶贝塞尔方程。 由边界条件(8)V | r R 0 可知 V ( R, ) F ( R)G( ) 0,
k 0
(a0 0),
(13)
其中 s 为常数， 下面来确定 s , a k (k 0, 1, 2, ). 为此，将(13)以及
y a k ( s k ) x s k 1 ,
k 0
k 0
带入方程(12)
y a k ( s k 1)( s k ) x s k 2
F ( R) 0.
另外，由于圆盘上的温度是有限的， 特别在圆心 处也应如此，由此可得
| F (0) | ,
9
因此，原定解问题的最后解决就归结为求问题 r 2 F rF (r 2 n 2 ) F 0, (11)
F ( R) 0
| F (0) | ,
的固有值与固有函数。 若令 x
x r , 并记 F (r ) F y ( x), 则
Fr y x , Frr ( y xx ) y xx , 将上式代入方程(11)可得 (12) x 2 y xy ( x 2 n 2 ) y 0.
k 0
(12) (13)
(a0 0),
得到方程(12)的一个特解，记作 J n ( x)
J n ( x) a 2 m x
m 0 n2m
x n2m (1) n 2 m , (18) 2 m!(n m 1) m 0
m
J n ( x)称为 n 阶第一类贝塞尔函数。 又由于
3
这个问题归结为求解下列定解问题：
u t a 2 (u xx u yy ) (0 x 2 y 2 R 2 ), u | x 2 y 2 R 2 0,
(1) (2) (3)
u |t 0 ( x, y ).
应用分离变量法求这个问题的解。为此，令 u( x, y, t ) V ( x, y)T (t ), 代入方程(1)得
另外
a0 a0 a2 2 , 2( 2 n 2) 2 1 (n 1) a0 a2 a4 4(2n 4) 2 4(2n 2)( 2n 4) a0 4 , 2 2 1(n 1)( n 2)
a2m a0 (1) 2 m , 2 m!(n 1)( n 2) (n m)
2
5.1
贝塞尔方程及贝塞尔函数
一、贝塞尔方程的导出 在应用分离变量法解决圆形膜的振动问题或 薄圆盘上瞬时温度分布规律时，我们就会遇到 贝塞尔方程。下面，我们以圆盘的瞬时温度分 布为例来导出贝塞尔方程。 设有半径为 R 的圆形薄盘，上下两面绝热， 圆盘边界上的温度始终保持0度， 且初始温度 分布为已知，求圆盘内的瞬时温度分布规律。 我们用u( x, y, t )来表示时刻 t 圆盘上点 ( x, y ) 处的温度函数。
方程(12)是具有变系数的二阶线性常微分方程， 它的解称为贝塞尔函数。 (有时称之为柱函数)。
10
x 2 y xy ( x 2 n 2 ) y 0.
(12)
二、贝塞尔函数 由微分方程解的理论知：方程(12)有如下形式 的广义幂级数解：
y ( x) a k x s k
G( ) G( 2 ),
求解常微分方程的边值问题
G G 0,
G( ) G( 2 ),
可得
G0 ( ) 1 a0 2
n2
(n 0, 1, 2, )
Gn ( ) a n cos n bn sin n . (n 1, 2, )
( s k ) 2 n 2 a k a k 2 x s k 0,
k 2
13
y ( x) a k x s k
k 0
(a0 0),
(13)
( s 2 n 2 )a 0 x s [( s 1) 2 n 2 ]a1 x s 1
(7)
(8)
V | r R 0.
再令 V (r , ) F (r )G( ), 代入方程(7)得
1 1 F G F G 2 FG FG 0, r r
r2 两端乘以 FG
移项得
G r 2 F rF r 2 F G F
,
附录：
函数的基本知识
( x) e t t x1dt ( x 0),
0
(1) 定义
(1) 1,
1 ( ) . 2
(2) 函数的递推公式
( x 1) x( x ), ( x 0).
特别的，当 x 为正整数 n 时，有
(n 1) n!
14
y ( x) a k x s k
k 0
(a0 0),
(13) (15) (16)
[( s 1) 2 n 2 ]a1 0,
[( s k ) 2 n 2 ]a k a k 2 0 (k 2, 3, )
情形1 如果 n 不为整数(包括0)和半奇数， 先取 s1 n, 代入(15)得 a1 0, 代入(16)得
k 0
可得
s k sk a ( s k ) x a ( s k 1 )( s k ) x k k
k 0
k 0
n
2
a
k 0
k
x
s k
a k x s k 2 0,
k 0
sk 2 sk a x a ( s k 1 )( s k ) ( s k ) n x k 2 0, k
11
x 2 y xy ( x 2 n 2 ) y 0.
y( x ) a k x s k
k 0
(12) (13)
(a0 0),
y a k ( s k ) x s k 1 ,
k 0
y ak ( s k 1)( s k ) x s k 2
2 2 2
我们采用平面上的极坐标系，则得定解问题
2V 1 V 1 2V 2 V 0 (0 r R), 2 2 r r r r
(7)
V | r R 0.
(8)
6
2V 1 V 1 2V 2 V 0 (0 r R), 2 2 r r r r
(6)
5
u t a 2 (u xx u yy ) (0 x 2 y 2 R 2 ), u | x 2 y 2 R 2 0,
(1) (2) (3)
u |t 0 ( x, y ).
为了求解方程(5)满足条件(6)的非零解， (5) Vxx V yy V 0, (6) V | x y R 0.
ak 2 ak . (k 2, 3, ). k ( 2n k )
(17)
由(17)可知
a1 a3 a5 0,
15
y ( x) a k x s k
k 0
(a0 0),
(13) (17)
ak 2 ak . (k 2, 3, ). k ( 2n k )
u |t 0 ( x, y ).
于是有
T a 2T 0,
Vxx V yy V 0.
方程(4)的解为
T (t ) Ae
a 2 t
.
由边界条件(2)有
V | x 2 y 2 R 2 T ( t ) 0,
V | x 2 y 2 R 2 0.
1 a0 n . 2 (n 1) 利用递推公式 n(n) (n 1), 则一般项系数变为
a2m 1 (1) n 2 m 2 m!(n m 1)
m
17
将此系数表达式代回(13)中，
x 2 y xy ( x 2 n 2 ) y 0.
y ( x) a k x s k
( s k ) 2 n 2 a k a k 2 x s k 0,
k 2
比较上式两边系数则有 ( s 2 n 2 )a0 0,
(14) (15) [( s 1) 2 n 2 ]a1 0, [( s k ) 2 n 2 ]a k a k 2 0 (k 2, 3, ) (16) 由于 a0 0, 从(14)可得 s1 n, s 2 n. 下面分三种情形讨论
m
lim
u m 1 um
x2 lim m 4( m 1)( n m 1)
0 1
则由达朗贝尔判别法可知级数(18)在整个实轴上 是绝对收敛的。
18
x 2 y xy ( x 2 n 2 ) y 0.
y ( x) a k x s k
16
y ( x) a k x s k
k 0
(a0 0),
(13)
a 2 m (1) m
a0 , 2m 2 m!(n 1)( n 2) (n m)
由于 a 0 是任意常数，我们可以这样取值： 使一般项系数中 2 与 x 有相同的次数，并且同时 使分母简化。 为此取
8
G G 0,
r 2 F rF (r 2 ) F 0.
(9) (10) (11)
将 n 2代入方程(10)得
r 2 F rF (r 2 n 2 ) F 0,
该方程叫做 n 阶贝塞尔方程。 由边界条件(8)V | r R 0 可知 V ( R, ) F ( R)G( ) 0,
k 0
(a0 0),
(13)
其中 s 为常数， 下面来确定 s , a k (k 0, 1, 2, ). 为此，将(13)以及
y a k ( s k ) x s k 1 ,
k 0
k 0
带入方程(12)
y a k ( s k 1)( s k ) x s k 2
F ( R) 0.
另外，由于圆盘上的温度是有限的， 特别在圆心 处也应如此，由此可得
| F (0) | ,
9
因此，原定解问题的最后解决就归结为求问题 r 2 F rF (r 2 n 2 ) F 0, (11)
F ( R) 0
| F (0) | ,
的固有值与固有函数。 若令 x
x r , 并记 F (r ) F y ( x), 则
Fr y x , Frr ( y xx ) y xx , 将上式代入方程(11)可得 (12) x 2 y xy ( x 2 n 2 ) y 0.
k 0
(12) (13)
(a0 0),
得到方程(12)的一个特解，记作 J n ( x)
J n ( x) a 2 m x
m 0 n2m
x n2m (1) n 2 m , (18) 2 m!(n m 1) m 0
m
J n ( x)称为 n 阶第一类贝塞尔函数。 又由于
3
这个问题归结为求解下列定解问题：
u t a 2 (u xx u yy ) (0 x 2 y 2 R 2 ), u | x 2 y 2 R 2 0,
(1) (2) (3)
u |t 0 ( x, y ).
应用分离变量法求这个问题的解。为此，令 u( x, y, t ) V ( x, y)T (t ), 代入方程(1)得
另外
a0 a0 a2 2 , 2( 2 n 2) 2 1 (n 1) a0 a2 a4 4(2n 4) 2 4(2n 2)( 2n 4) a0 4 , 2 2 1(n 1)( n 2)
a2m a0 (1) 2 m , 2 m!(n 1)( n 2) (n m)
2
5.1
贝塞尔方程及贝塞尔函数
一、贝塞尔方程的导出 在应用分离变量法解决圆形膜的振动问题或 薄圆盘上瞬时温度分布规律时，我们就会遇到 贝塞尔方程。下面，我们以圆盘的瞬时温度分 布为例来导出贝塞尔方程。 设有半径为 R 的圆形薄盘，上下两面绝热， 圆盘边界上的温度始终保持0度， 且初始温度 分布为已知，求圆盘内的瞬时温度分布规律。 我们用u( x, y, t )来表示时刻 t 圆盘上点 ( x, y ) 处的温度函数。
方程(12)是具有变系数的二阶线性常微分方程， 它的解称为贝塞尔函数。 (有时称之为柱函数)。
10
x 2 y xy ( x 2 n 2 ) y 0.
(12)
二、贝塞尔函数 由微分方程解的理论知：方程(12)有如下形式 的广义幂级数解：
y ( x) a k x s k
G( ) G( 2 ),
求解常微分方程的边值问题
G G 0,
G( ) G( 2 ),
可得
G0 ( ) 1 a0 2
n2
(n 0, 1, 2, )
Gn ( ) a n cos n bn sin n . (n 1, 2, )
( s k ) 2 n 2 a k a k 2 x s k 0,
k 2
13
y ( x) a k x s k
k 0
(a0 0),
(13)
( s 2 n 2 )a 0 x s [( s 1) 2 n 2 ]a1 x s 1
(7)
(8)
V | r R 0.
再令 V (r , ) F (r )G( ), 代入方程(7)得
1 1 F G F G 2 FG FG 0, r r
r2 两端乘以 FG
移项得
G r 2 F rF r 2 F G F
,
附录：
函数的基本知识
( x) e t t x1dt ( x 0),
0
(1) 定义
(1) 1,
1 ( ) . 2
(2) 函数的递推公式
( x 1) x( x ), ( x 0).
特别的，当 x 为正整数 n 时，有
(n 1) n!
14
y ( x) a k x s k
k 0
(a0 0),
(13) (15) (16)
[( s 1) 2 n 2 ]a1 0,
[( s k ) 2 n 2 ]a k a k 2 0 (k 2, 3, )
情形1 如果 n 不为整数(包括0)和半奇数， 先取 s1 n, 代入(15)得 a1 0, 代入(16)得
k 0
可得
s k sk a ( s k ) x a ( s k 1 )( s k ) x k k
k 0
k 0
n
2
a
k 0
k
x
s k
a k x s k 2 0,
k 0
sk 2 sk a x a ( s k 1 )( s k ) ( s k ) n x k 2 0, k
11
x 2 y xy ( x 2 n 2 ) y 0.
y( x ) a k x s k
k 0
(12) (13)
(a0 0),
y a k ( s k ) x s k 1 ,
k 0
y ak ( s k 1)( s k ) x s k 2
2 2 2
我们采用平面上的极坐标系，则得定解问题
2V 1 V 1 2V 2 V 0 (0 r R), 2 2 r r r r
(7)
V | r R 0.
(8)
6
2V 1 V 1 2V 2 V 0 (0 r R), 2 2 r r r r
(6)
5
u t a 2 (u xx u yy ) (0 x 2 y 2 R 2 ), u | x 2 y 2 R 2 0,
(1) (2) (3)
u |t 0 ( x, y ).
为了求解方程(5)满足条件(6)的非零解， (5) Vxx V yy V 0, (6) V | x y R 0.
ak 2 ak . (k 2, 3, ). k ( 2n k )
(17)
由(17)可知
a1 a3 a5 0,
15
y ( x) a k x s k
k 0
(a0 0),
(13) (17)
ak 2 ak . (k 2, 3, ). k ( 2n k )
u |t 0 ( x, y ).
于是有
T a 2T 0,
Vxx V yy V 0.
方程(4)的解为
T (t ) Ae
a 2 t
.
由边界条件(2)有
V | x 2 y 2 R 2 T ( t ) 0,
V | x 2 y 2 R 2 0.
1 a0 n . 2 (n 1) 利用递推公式 n(n) (n 1), 则一般项系数变为
a2m 1 (1) n 2 m 2 m!(n m 1)
m
17
将此系数表达式代回(13)中，
x 2 y xy ( x 2 n 2 ) y 0.
y ( x) a k x s k
( s k ) 2 n 2 a k a k 2 x s k 0,
k 2
比较上式两边系数则有 ( s 2 n 2 )a0 0,
(14) (15) [( s 1) 2 n 2 ]a1 0, [( s k ) 2 n 2 ]a k a k 2 0 (k 2, 3, ) (16) 由于 a0 0, 从(14)可得 s1 n, s 2 n. 下面分三种情形讨论
m
lim
u m 1 um
x2 lim m 4( m 1)( n m 1)
0 1
则由达朗贝尔判别法可知级数(18)在整个实轴上 是绝对收敛的。
18
x 2 y xy ( x 2 n 2 ) y 0.
y ( x) a k x s k