数理方程课件一

数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
3、拉普拉斯方程
稳定的温度分布导热物体内的热源分布和边界条件不随时间变化 故热传导方程中对时间的偏微分项为零，从而热传导方程 即变为下列拉普拉斯方程和泊松方程.
∂2u ∂2u ∂2u + 2 + 2 =0 2 ∂x ∂y ∂z
∂2u ∂2u ∂2u 1 + 2 + 2 = − 2 f (x, y, z) ∂x2 ∂y ∂z a
如果在位移方向上还受外力的作用， 如果在位移方向上还受外力的作用，设单位长度上受 的外力为 f, 则
单位质量所受外 力，力密度
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第1章 典型方程和定解条件的推导
说明： 说明：
• 质点的位移是以t为自变量的函数，其运动是以t为 质点的位移是以t为自变量的函数，其运动是以t 自变量的常微分方程； 自变量的常微分方程； • 弦的位移是x,t的函数，其运动方程是以x,t为自变 弦的位移是x,t的函数，其运动方程是以x,t为自变 x,t的函数 x,t 量的偏微分方程。 量的偏微分方程。 • uxx项反映弦上的各个质点彼此相联 。 • utt项反映弦在各个时刻的运动之间的联系。 项反映弦在各个时刻的运动之间的联系。
第1章 典型方程和定解条件的推导
第一章 一些典型方程和 定解条件的推导
一、 基本方程的建立 二、 定解条件的推导 三、 定解问题的概念
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
一、 基本方程的建立
导出步骤： 导出步骤：
1、确定物理量，从所研究的系统中划出一小部分，分析邻 确定物理量，从所研究的系统中划出一小部分， 近部分与它的相互作用。 近部分与它的相互作用。 2、根据物理规律，以算式表达这个作用。 根据物理规律，以算式表达这个作用。 3、化简、整理。 化简、整理。
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第1章 典型方程和定解条件的推导
经典的定解问题举例
热传导方程的混合问题
∂u ∂ 2u = a 2 2 + f ( x , t ), t > 0,0 < x < L ∂x ∂t u ( x , t ) = ϕ ( x ) t =0 u ( x , t ) x ) x = L = h (t )
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第1章 典型方程和定解条件的推导
2、热传导方程
分析： 分析：
热流 x x x+dx
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第1章 典型方程和定解条件的推导
1.热学问题：温度u(x,t)是根本量 1.热学问题：温度u(x,t)是根本量 热学问题 u(x,t) 2.能量守恒定律和热传导定律 2.能量守恒定律和热传导定律 q是单位时间垂直流过单位面积的热 热流强度）； 为导热率， ）；k 量(热流强度）；k为导热率，与材料 有关，温度范围不大时，视为常数。 有关，温度范围不大时，视为常数。 dt时间内小段 温度升高所需热量: 时间内小段dx温度升高所需热量 （1） dt时间内小段dx温度升高所需热量: Q=c(ρsdx)[u(x,t+dt)-u(x,t)] dt很小 dt很小 Q=cρsu dx dt t 时间内流入小段dx热量 （2） dt时间内流入小段 热量： 时间内流入小段 热量： Q=-kux(x,t)sdt-(-kux(x+dx,t)sdt)=ksdtuxx dx
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第1章 典型方程和定解条件的推导
何为适定性？ 何为适定性？
存在性 唯一性 连续依赖性（稳定性） 连续依赖性（稳定性） 稳定性： 稳定性：只要定解条件的偏差足够小，相 应的定解问题解的偏差也将非常小． 若PDE在附加条件及求解域的一定要求下，它的解在已 知度量的某函数类中存在、唯一而且关于附加条件为 稳定的，就称定解问题在相应的函数类中为适定的。 适定性
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第1章 典型方程和定解条件的推导
2、边界条件——描述系统在边界上的状况 、边界条件——描述系统在边界上的状况 ——
A、 波动方程的边界条件 (1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
u |x =0 = 0,
或： u (a, t ) = 0
第一类边界条件
(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。 第二类边界条件 ∂u ∂u u x ( a, t ) = 0 =0 T =0 ∂x x = a ∂x x = a (3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支 第三类边界条件 承。 ∂u ∂u +σu =0 或 T = −k u x =a ∂x x=a ∂x x = a
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第1章 典型方程和定解条件的推导
B、热传导方程的边界条件 (1) 给定温度在边界上的值
u |s = f
(2) 绝热状态
S——给定区域v 的边界
第一类边界条件 第二类边界条件
(3)热交换状态
∂u =0 ∂n s
牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流
∂u dQ = k1 (u − u1 )dSdt = −k dSdt ∂n
(dx) 2 + (du ) 2 ≈ dx
于是有： 于是有：
弦中各点的张力相等
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第1章 典型方程和定解条件的推导
于是有： 于是有：
弦的线密度
即：
令
于是：
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第1章 典型方程和定解条件的推导
由于B是任选的，所以方程适用于弦上的各处， 由于B是任选的，所以方程适用于弦上的各处，称为 弦的振动方程 utt - a2uxx=0 (a2=T/ρ)
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第1章 典型方程和定解条件的推导
经典的定解问题举例
波动方程的初值问题（一维）
∂ u 2 ∂ u + f ( x , t ), t > 0, x ∈ R 2 =a 2 ∂t ∂x u ( x , t ) = ϕ ( x ) t =0 ∂u ( x, t ) = ψ ( x ) ∂t t =0
Lui = f i
∑f
i
=f
∑u ∑u
i
i
=u
Lu = f
Lu = 0
k1交换系数；1周围介质的温度 u
到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。
∂u + σ u = σ u1 S ∂n S
σ=
k1 k
第三类边界条件
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三、定解问题的概念
1、定解问题
把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解 条件结合在一起，就构成了一个定解问题。 (1) 初值问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题； (2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题； (3) 混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。
PDE中对所含未知函数及其各阶导数的 线性PDE： 全体都是线性的。例如： 线性
n ∂ 2u ∂u aij ( x1 ,L , xn ) + ∑ b j ( x1 ,L , xn ) + c( x1 ,L , xn )u = f ( x1 ,L , xn ), ∑1 ∂xi ∂x j j =1 ∂x j i, j= n
α = 1, β = 0 α = 0, β = 1 α > 0, β > 0
第一边值问题（Dirichlet） 第二边值问题（Neumann） 第三边值问题（Robin）
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2、偏微分方程的基本概念
x = ( x1 , x2 ,L , xn ) u ( x) = u ( x1 , x2 ,L , xn )
2 2
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第1章 典型方程和定解条件的推导
经典的定解问题举例
拉普拉斯方程的边值问题 边值问题
∂ 2u ∂ 2u + 2 = 0, ( x , y ) ∈ Ω ⊂ R 2 2 ∂x ∂y (α ( x ) u + β ( x ) ∂ u ) = g ( x ) ∂ n ∂Ω
1、波动方程的导出 、
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第1章 典型方程和定解条件的推导
u T2 θ2
均匀弦的微小横振动
分析： 分析：
θ1
B
1 .力学问题：位移 力学问题： 力学问题 位移u(x,t)是根本量 是根本量 2. 在弦上取微元 考虑邻近相 在弦上取微元,考虑邻近相
T1 x x+dx x
互作用,找物理规律 互作用 找物理规律------遵循牛顿第二定律 找物理规律 遵循牛顿第二定律 3 .弦是柔软的：张力沿弦的切线方向 弦是柔软的： 弦是柔软的 4. 轻弦：重力是张力的几万分之一，不考虑 轻弦：重力是张力的几万分之一， 5.只在横向有位移，纵向没有位移 只在横向有位移， 只在横向有位移
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第1章 典型方程和定解条件的推导
内无热源， 内无热源，二者相等 Q=cρsutdx dt =ksdtuxx dx ut-a2uxx=0 a2=k/(cρ) -----此即一维热传导方程 此即一维热传导方程 若杆内有热源,热源密度（单位时间单位体积放热量) 若杆内有热源,热源密度（单位时间单位体积放热量)为f(x,t) 则方程变为 ut-a2uxx=f/ρc 若考虑的是三维,六个面都有热传递, 若考虑的是三维,六个面都有热传递,则 ut-a2∆u=0 a2=k/(cρ)
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第1章 典型方程和定解条件的推导
常见的线性边界条件分为三类： 常见的线性边界条件分为三类： 第一类边界条件:直接给出了所研究的物理量在边界上的数值； 第一类边界条件:直接给出了所研究的物理量在边界上的数值； 第二类边界条件:给出了所研究的物理量在边界外法线方向 上方向导数的数值； 第三类边界条件:给出了所研究的物理量及其外法向导数的 线性组合在边界上的数值. .