数理方程第四章课件
合集下载
数理方程第四章
1 在区域 K 内直到边界上，v 可任意求导。 r
v u 在第二格林公式 (u v v u)dV (u v )dS n n
2 2
1 中, 取 u 为调和函数, 而令 v , 并以 K r 代替第二格林公式中的 . 则我们有
lim u( x, y, z ) 0,
r
(r x 2 y 2 z 2 ).
以保证解的唯一性。
§4.2
高斯(Gauss)公式
格林公式
设 是以光滑曲面 为边界的有界区域，P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) 在闭域 上连续, 在 内 1 P , Q , R C C 有一阶连续偏导数，即
两式相减, 得
2 2
第二格林公式
v u ( u v v u)dV ( u v )dS n n
利用格林公式, 可以得到调和函数的一些性质：
1) 牛曼内问题有解的必要条件
设 u 是以 为边界的区域 内的调和函数, 在 上有一阶连续偏导数, 则在第二格林公式 中取 u 为上述调和函数, 取 v 1, 有
3）调和函数的积分表达式
所谓调和函数的积分表达式 , 是指用调和函数及 其在区域 边界 上的法向导数沿 的积分来表 达调和函数在区域 内任一点的值。 设 M 0 x0 , y0 , z0 是 内的点, 下面求调和函数在 该点的值。 构造辅助函数
1 v r
1
x x0 y y0 z z0
2u 2u 2u 2 2 0 2 x y z
它描述了稳恒状态下的物理现象。 拉普拉斯方程 u 0的连续解，也叫调和 函数。
数理方程第4讲
题的解是惟一的. 如果不具有这个条件, 外
问题的解可能不惟一, 例如, 在单位球面
外求调和函数, 在边界上满足 u| =1, 容易看
出, u1(x, y, z) 1及u2 (x, y, z)
1
都
x2 y2 z2
在单位球外满足拉普拉斯方程, 并且在单位
球面 上满足上述边界条件.
对于二维拉氏方程, 外问题在无穷远点的条
u|=f.
(4.4)
11
(4) 牛曼外问题 在光滑的闭曲面上给定连
续函数 f, 要找出这样一个函数 u(x,y,z), 它
在闭曲面的外部区域内调和, 在
上连续, 在无穷远处满足条件(4.3), 而且它
在上任一点的法向导数 u 存在, 并满足
n
u f ,
(4.5)
n
这里n是边界曲面的内法向矢量.
u|=f.
(4.1)
第一边值问题也称为狄利克莱(Dirichlet)问
题, 或简称狄氏问题.
5
§2.3中所讨论过的问题就是圆域内的狄氏问 题. 拉普拉斯方程的连续解, 也就是说, 具有二阶 连续偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函 数, 称为调和函数. 所以, 狄氏问题也可以换一
种说法: 在区域内找一个调和函数, 它在边 界上的值为已知.
7
以上两个边值问题都是在边界上给定某些
边界条件, 在区域内部求拉普拉斯方程的解, 这样的问题称为内问题. 在应用中我们还会遇到狄氏问题和牛曼问题 的另一种提法. 例如, 当确定某物体外部的稳
恒温度场时, 就归结为在区域的外部求调和 函数u, 使满足边界条件u| = f, 这里是的
边界, f 表示物体表面的温度分布. 像这样的定 解问题称为拉普拉斯方程的外问题.
人教版七年级数学 第四章 一 元一次方程 11页
观察下列各式哪些是代数式，哪些是等式？ (1) 1 (2) a (3) 2xyz/3 (4) x2+2xy+y2 (5) 1+2=3 (6) s=ab (7) a+b=b+a (8) 4+x=7 (9) a+2b>0
Hale Waihona Puke 代数式是：（1）、（2）、（3）、（4） 等式是： （5）、（6）、（7）、（8）
例２ 填写解简易方程的依据
８x + 9 = 49
8x = 40
x=5
(
(
)
)
例３用适当的数或整式填空，使所得的 结果仍是等式，并说明是根据等式的哪 一条性质以及怎样变形？
（１）如果２ｘ＝５－３ｘ， 那么２ｘ＋——＝５ （２）如果０.２ｘ＝１０，那 么ｘ＝——
通过本节课我们学到了什么？ 等式的意义 等式的性质 能应用等式的性质将等式变形 作业：习题4.1 1, 3.
代数式与等式的关系
区别：代数式表示运算关系，等式表示 相等关系，从形式上主要看式子中是否 含有等号（ “=” ）。 联系：等式是用“=”把两个代数式连接 而成的式子。
等式的性质
等式的性质1 等式两边都加上（或减去） 同一个数或整式，所得结果仍然是等式。 等式的性质2 等式两边都乘以（或除以） 同一个数（除数不能是0），所得结果仍 然是等式。
学习等式性质应注意的问题
根据等式的两条性质，对等式进 行变形，必须等式两边同时进行 （同时加或减，同时乘或除）不 漏掉一边。 等式变形时，两边加或减，乘或 除以的数或整式必须相同。 利用性质2进行变形时，须注意 除以的这个数不能为0。
等式性质的应用
数理方程课件-第 4 章 4.3-4.4 格林函数的应用;试探法,泊松方程求解-精选文档
38yyxx的特解求方程xy是自变量由于的一个二次多项式不妨取其特解为为了计算方便xyxy显然泊松方程的一个特解为则上述问题化为上述问题的解为由极值原理问题的解为40在空间的某一封闭曲面上给定一个连续要求函数的外部区域内满足拉普拉斯方程无穷远点除外上连续并且满足条件函数及条件33狄氏外问题原来的狄氏问题称为狄氏内问题41在空间的光滑封闭曲面上给定一个连续要求函数的外部区域内满足拉普拉斯方程无穷远点除外上连续其中函数及条件33诺依曼外问题上任一点的法向导数存在并且满足条件
0
0
0
(26)
8
f ( x , y ) z dxdy 1 0 . u(M0 ) 3 / 2 2 2 2 2 ( x x ) ( y y ) z
0
0
0
(26)
例1 设在均匀的半空间的边界上保持定常温度 2 2 ，在圆 K:x 而在其外等于 y 1之内等于1， 0. 求在半空间内温度的稳定分布。 解 这个问题归结为如下定解问题
13
G u ( M ) f ( x , y ) dS . 0 n C
1 1 1 G ( M ,M ) ln ln , 0 2 r MM MM 0 1 r
(20’) (24’)
G 为了求得问题(22’)(23’)的解，需要计算 n | y 0 .
2
1 G ( M ,M v , 0) 4 r MM 0
(17) (20)
G u ( M ) f ( M ) dS 0 n
4.3.1 半空间的格林函数及狄利克雷问题 求解上半空间z 0内的狄利克雷问题
u u u 0 ( z 0 ), xx yy zz
0
0
0
(26)
8
f ( x , y ) z dxdy 1 0 . u(M0 ) 3 / 2 2 2 2 2 ( x x ) ( y y ) z
0
0
0
(26)
例1 设在均匀的半空间的边界上保持定常温度 2 2 ，在圆 K:x 而在其外等于 y 1之内等于1， 0. 求在半空间内温度的稳定分布。 解 这个问题归结为如下定解问题
13
G u ( M ) f ( x , y ) dS . 0 n C
1 1 1 G ( M ,M ) ln ln , 0 2 r MM MM 0 1 r
(20’) (24’)
G 为了求得问题(22’)(23’)的解，需要计算 n | y 0 .
2
1 G ( M ,M v , 0) 4 r MM 0
(17) (20)
G u ( M ) f ( M ) dS 0 n
4.3.1 半空间的格林函数及狄利克雷问题 求解上半空间z 0内的狄利克雷问题
u u u 0 ( z 0 ), xx yy zz
高等数学第四章课件.ppt
例3 求 lim x x . x0
e 解 原式 lim e xln x x0
lim x ln x
x0
( 00 )
ln x lim x0 1
e x
1
e lim x0
x 1
x2
e0 1.
洛必达法则
型
00 ,1 , 0 型
0型 0 型
0 型
第三节 函数的单调性
一、函数单调性的判定方法 二、函数单调性的应用
其中 C 为常数．
三、柯西中值定理
定理 设函数f(x)与g(x)满足： (1)在闭区间[a,b]上都连续，
(2)在开区间(a,b)内都可导，
(3)在开区间(a,b)内，g(x) 0,
则至少存在一点 (a,b)，使 f (b) f (a) f ( ) .
g(b) g(a) g( )
在柯西中值定理中，若取g(x)=x，则得到拉格 朗日中值定理.因此柯西中值定理可以看成是拉格朗 日中值定理的推广.
定理 3 设函数 f (x) 在点 x0 处存在二阶导 数，且 f (x0 ) 0, f (x0 ) 0 ，（1）若 f (x0 ) 0 ， 则 函 数 f (x) 在 点 x0 处 取 得 极 大 值 ；（ 2 ） 若 f (x0 ) 0 ，则函数 f (x) 在点 x0 处取得极小值．
求极值的步骤:
(1) 求出导数 f ( x); (2) 求出f ( x)的全部驻点，即方程 f ( x) 0的根;
(3) 考察 f ( x) 在驻点左右的正负号,判断极值点; (4) 求出各极值点处的函数值.
三、函数的最值
函数最大值和最小值统称为函数的最值；使 得函数取得最大值或最小值的点，统称为函数的 最值点．
f (0) 0 ，从而推出当 x 0 时， f (x) 0 ，即
e 解 原式 lim e xln x x0
lim x ln x
x0
( 00 )
ln x lim x0 1
e x
1
e lim x0
x 1
x2
e0 1.
洛必达法则
型
00 ,1 , 0 型
0型 0 型
0 型
第三节 函数的单调性
一、函数单调性的判定方法 二、函数单调性的应用
其中 C 为常数．
三、柯西中值定理
定理 设函数f(x)与g(x)满足： (1)在闭区间[a,b]上都连续，
(2)在开区间(a,b)内都可导，
(3)在开区间(a,b)内，g(x) 0,
则至少存在一点 (a,b)，使 f (b) f (a) f ( ) .
g(b) g(a) g( )
在柯西中值定理中，若取g(x)=x，则得到拉格 朗日中值定理.因此柯西中值定理可以看成是拉格朗 日中值定理的推广.
定理 3 设函数 f (x) 在点 x0 处存在二阶导 数，且 f (x0 ) 0, f (x0 ) 0 ，（1）若 f (x0 ) 0 ， 则 函 数 f (x) 在 点 x0 处 取 得 极 大 值 ；（ 2 ） 若 f (x0 ) 0 ，则函数 f (x) 在点 x0 处取得极小值．
求极值的步骤:
(1) 求出导数 f ( x); (2) 求出f ( x)的全部驻点，即方程 f ( x) 0的根;
(3) 考察 f ( x) 在驻点左右的正负号,判断极值点; (4) 求出各极值点处的函数值.
三、函数的最值
函数最大值和最小值统称为函数的最值；使 得函数取得最大值或最小值的点，统称为函数的 最值点．
f (0) 0 ，从而推出当 x 0 时， f (x) 0 ，即
数学物理方程课件第四章拉普拉斯方程的格林函数法
r M 0 M
M 1
1
4 xx02 y y02 zz02
解：
1
4 xx02 y y02 zz02
u(M 0)G (M n,M 0)f(M )dS G(M z,M0)|z0 f(x,y)dS
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
1
1
G ( M , M 0 ) 4 x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 4 x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2
调和函数的积分表达式
k
拉 普l1r拉n 斯1
1 方x程2的基y本2 解z
ln 1
2
r
x2 y2
三维 二维
1 1 1 u
u (M 0)4 S(u n(r)r n)d S
调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个
函数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。
2 牛曼内问题有解的必要条件
V (u 2 v v 2 u )d V S (u n v v u n )d S
一 拉普拉斯方程边值问
题 的 1提 第法一边值问题（狄氏问题）
第四章
拉普 u f
2 第二边值问题（牛曼问题）
拉斯方程的格 u f 林函数法 n
3 内问题与外问题
4 调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程 的连续函数。
二 格林公式及其结论
V (u 2 v )d V S u n vd S V u v d V 格V 林(u 公 2 式v 的v 结 2 论u )：d V S (u n v v u n )d S
半空间的格林函数
1 1 1
G(M,M0)4rM
r M 0 M
M 1
M0q d
华科数理方程课件第4章
r n r 1/ r 1 1/ r 1 在球面 上 n r r 2 2
r
r n
u(M 0 )
[u ( M ) ( 4 n r
)
MM 0
rMM 0
n
]dS M
4
上午10时28分
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
c1 d 2 dV V (r ) c2 , (r 0, c1 , c2 为任意常数)。 (r ) 0 其通解为： r dr dr 1 1 若取 c1 , c2 0 ,则得到特解 V0 (r ) 4r ,称此解为 4
三维Laplace方程的基本解，它在研究三维拉普拉斯方程中 起着重要的作用. 对二维拉普拉斯方程 u uxx u yy 0,其极坐标形式为:
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
4.1.1 拉普拉斯方程的基本解 对拉普拉斯方程 u uxx u yy uzz 0, 其球坐标形式为：
求方程(1)的球对称解 u V (r ) (即与 和 无关的解) ,则有：
4.1 格林公式及其应用
1 2 u 1 u 1 2u (r ) 2 (sin ) 2 2 0 (1) 2 2 r r r r sin r sin
1 4R 2
u ( M 1 ) 。因此有
1 4R 2
S
u ( M ) ds
R
S u ( M 1 )ds u ( M 1 )
R
这与平均值性质矛盾。由于 R 的任意性，则在球 k R 中 恒有 u u ( M 1 ) .任取 N ,在 中作连结 M 1 ， N 两 点的折线 L ，记L 到 的边界 的最小距离为 d ，以M 1 为中心，小于d 的数为半径在 内作求 K1 ，则在 K1上
数理方程课件
详细描述
一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
一阶常微分方程可以用于描述各种实际问题中变量的变化规律，如物理中的自由落体运动、电路中的电流变化等。在经济学中，一阶常微分方程可以用于描述供求关系的变化、消费和储蓄的动态过程等。在工程学中，一阶常微分方程也广泛应用于控制系统、化学反应动力学等领域。
数理方程可以根据其形式和性质进行分类。
总结词
根据其形式和性质，数理方程可以分为线性与非线性、自治与非自治、常系数与变系数等多种类型。这些分类有助于更好地理解和研究数理方程的性质和应用。
详细描述
数理方程的分类
总结词
数理方程在各个领域都有广泛的应用。
详细描述
数理方程在物理学、工程学、经济学、生物学等许多领域都有重要的应用。例如，在物理学中，描述波动、热传导、引力场等问题的方程都是数理方程。在工程学中，流体动力学、电磁学等领域的问题也都可以通过数理方程来描述和解决。
总结词
一阶常微分方程的定义
一阶常微分方程的解法
求解一阶常微分方程的方法主要有分离变量法、积分因子法、常数变易法和线性化法等。
总结词
分离变量法是将方程中的变量分离出来，使方程变为可求解的形式。积分因子法是通过引入一个因子，使方程变为全微分方程，从而简化求解过程。常数变易法适用于形式为y' = f(x)y的方程，通过代入可求解。线性化法则是将非线性方程转化为线性方程，便于求解。
分离变量法
有限差分法
有限元法
变分法
用离散的差分近似代替连续的微分，适用于求解初值问题和边界问题。
将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域，适用于求解复杂的几何形状和边界条件。
通过求某个泛函的极值来求解偏微分方程，适用于求解某些特殊类型的方程。
一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
一阶常微分方程可以用于描述各种实际问题中变量的变化规律，如物理中的自由落体运动、电路中的电流变化等。在经济学中，一阶常微分方程可以用于描述供求关系的变化、消费和储蓄的动态过程等。在工程学中，一阶常微分方程也广泛应用于控制系统、化学反应动力学等领域。
数理方程可以根据其形式和性质进行分类。
总结词
根据其形式和性质，数理方程可以分为线性与非线性、自治与非自治、常系数与变系数等多种类型。这些分类有助于更好地理解和研究数理方程的性质和应用。
详细描述
数理方程的分类
总结词
数理方程在各个领域都有广泛的应用。
详细描述
数理方程在物理学、工程学、经济学、生物学等许多领域都有重要的应用。例如，在物理学中，描述波动、热传导、引力场等问题的方程都是数理方程。在工程学中，流体动力学、电磁学等领域的问题也都可以通过数理方程来描述和解决。
总结词
一阶常微分方程的定义
一阶常微分方程的解法
求解一阶常微分方程的方法主要有分离变量法、积分因子法、常数变易法和线性化法等。
总结词
分离变量法是将方程中的变量分离出来，使方程变为可求解的形式。积分因子法是通过引入一个因子，使方程变为全微分方程，从而简化求解过程。常数变易法适用于形式为y' = f(x)y的方程，通过代入可求解。线性化法则是将非线性方程转化为线性方程，便于求解。
分离变量法
有限差分法
有限元法
变分法
用离散的差分近似代替连续的微分，适用于求解初值问题和边界问题。
将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域，适用于求解复杂的几何形状和边界条件。
通过求某个泛函的极值来求解偏微分方程，适用于求解某些特殊类型的方程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• u（x，y，z）满足：
1、 在闭域Ω＋Г(Ω)上连续； 2、 在Ω内有二阶连续偏导数；
2 2 2 u u u 3、 满足拉普拉斯方程 2u 2 2 0 2 x y z 4、 u f
调和函数
• 具有两阶连续偏导数的且满足拉普拉斯方程
的连续函数
• 狄氏问题就是在Ω内找到一个调和函数u，且
已经学过的偏微分方程解法
• 行波法
• 分离变量法
• 特征函数法 • 积分变换法 • 冲量法 • 转换法
• 特解法
分离变量法 2 2类边界条件的振动、热传导及矩形域拉氏问题
n 2 特征值n ( ) 0特征函数 l n 0,1, 2,....
2 n
n X n ( x) cos x l n 0,1, 2....
K M0
1 1 v ln ln r ( x x0 )2 ( y y0 ) 2
1 1 1 u ( M ) u(M 0 ) u ( M ) (ln ) (ln ) ]ds 2 n rM 0 M rM 0 M n
rM 0 M ( x x0 )2 ( y y0 )2
0
1 1 u( M ) [u( M ) ( ) ]dS 4 u( M 0 ) n rM0 M rM0 M n
调和函数的积分表达式
1 u(M 0 ) 4 1 1 u ( M ) [u ( M ) ( ) ]dS n rM 0 M rM 0 M n
点M0到点M的距离
调和函数的边值性质
v u (u v v u )dV (u v )dS n n u 取u为调和函数，V＝1，则 dS 0 n
2 2
牛曼内问题有解的必要条件为，f满足
f dS 0
充分必要条件
平均值公式
拉普拉斯方程解的唯一性
r (r r )0
x
P
y
三维空间拉氏方程的基本解
求解得
C1 u C2 r
1 u (r 0) r
拉普拉斯方程的基本解
• 2 二维平面的拉氏方程基本解
与三维问题类似，首先建立极坐标系下的二维拉氏方程
) 求其圆对称解 u u (r（解只 与半径有关，与角度无关）可得到
平面拉氏方程的基本解 求解得
P Q R dV x y z dS P cos( n , x ) Q cos( n , y ) R cos( n , z )
v (u v)dV ( gradu gradv)dV u dS n
u
f
第二边值问题（牛曼问题）
• 在某光滑的闭曲面Г上给定了连续函数f， • u（x，y，z）满足：
1、在Г内部的区域Ω中是调和函数；
2、在闭域Ω＋Г上连续； 3、在Г上任一点处的法向导数存在，且
u n
f
内问题
• 在边界上给定某些边界条件，在区域内
部求拉普拉斯方程的解
狄氏问题 牛曼问题
域内点M0的值可以用边界上的条件求得
调和函数在区域内任一点的值用调和函数及其 在区域边界处的法向导数沿边界的积分来描述
对于泊松方程
F
域内点M0的值可以用边界上的条件求得
二维平面调和函数的积分表达式
(u v v u )dS
2 2
v u (u v )ds n n
将三维空间拉氏方程用球坐标系表示
1 2 u 1 u 1 u ( r ) (sin ) 0 2 2 2 2 2 r r r r sin r sin
2
z
A
x
r
M ( x, y, z )
z
o
y
求其球对称解 u u (r（解只 与r有关，与角度无 ) 关）可得到 2 u
外问题
• 在区域外部求调和函数且满足边界条件 • 在求解外问题时，常常附加一下条件：
lim u( x, y, z ) 0
r
r x y z
2 2
2
lim u 0 有界 r
r x2 y 2
狄氏外问题（以三维空间为例）
牛曼外问题
拉普拉斯方程的基本解
• 1 三维空间的拉氏方程基本解
（4.5）
要解决拉普拉斯方程的狄氏或牛曼问题，需
u 要把 n
或u消去，引入格林函数的概念。
格林函数
在第二格林公式中，取u，v均为Ω内的调和函数， 且在Ω＋Г上有连续的一阶偏导数，则得到 v u 2 2 (u v v u )dV (u v )dS n n
2
v (u v)dS u ds ( gradu gradv)dS n v u 2 2 ( u v v u ) dS ( u v ) ds n n
2
平面域
调和函数的基本性质
• 调和函数的积分表达式
研究调和函数在区域内任一点M0点的值
(4.1)
边界 外法向的方向余弦
格林公式
• 设 u ( x, y , z ) ， v( x, y, z ) 在 具有一阶连续
偏导数，在 内具有连续的二阶偏导数
v v v P u ,Q u , R u x y z
格林公式
v v v P u ,Q u , R u x y z
u (c0 d0 y ) (cn e n y d n e n y ) cos n x
n 1
分离变量法 2 2类边界条件的（环）扇形域拉氏问题
特征值 n (
n
) Βιβλιοθήκη 02特征函数 n ( ) cos
n
n 0,1, 2,....
扇形域拉氏问题
u C1 ln r C2
1 u ln (r 0) r
• 三维拉普拉斯方程的基本解
1 1 v r ( x x0 )2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2
• 二维拉普拉斯方程的基本解
1 1 v ln ln r ( x x0 )2 ( y y0 ) 2
v 1 1 1 u u[ ( )] ( v) n 4 n rM 0 M 4 rM 0 M n
dS
1 u u ( M 0 ) ( v) dS Gf dS 4 rM 0 M n
格林函数
定义 G( M , M 0 )
1 G ( M , M 0 ) 4 r MM 0 G(M , M 0 ) 0
2 2
1 ( ) 1 u r u dS n r n
1 1 ( ) ( ) r r 1 n r 2
1 ( ) 1 2 1 u 2 1 r (u u )dV u dS r r n r n K
n 0,1, 2....
扇环域拉氏问题
数理方程中的定解问题反映了物理现象中一种 特定的场和产生这种场的源之间的关系。
如果能够找到一个点源所产生的场，利 用叠加的方法就可以算出任意源的场
格林函数
第四章 拉普拉斯方程的格林函数法
• §4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
• §4.2 格林公式
• §4.3 格林函数 • §4.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏
空间域 v
1 1 v G ( M , M 0 ) 2 ln r MM 0 G(M , M 0 ) 0
平面域
拉普拉斯方程的格林函数
2
v (u v)dV u dS ( gradu gradv)dV n
2
(4.2)
第一格林公式
格林公式
• 将（4.2）中的u，v交换位置，得到
u (v u )dV v dS ( gradv gradu )dV n
u v 0 (v u )dS n n
（4.6）
1 u(M 0 ) 4
1 1 u ( M ) [u ( M ) ( ) ]dS n rM 0 M rM 0 M n
（4.5）
格林函数
（4.5）－（ 4.6 ）得到： v 1 1 1 u u ( M 0 ) u[ ( )] ( v) n 4 n rM 0 M 4 rM 0 M n
2
(4.3)
（4.2）与（4.3）相减，得到
v u (u v v u )dV (u v )dS n n
2 2
(4.4)
第二格林公式
格林公式
v (u v)dV u dS ( gradu gradv)dV n 空间 域 v u 2 2 (u v v u )dV (u v )dS n n
4.2 格林公式
• 奥－高公式
Q( x, y, z )
P ( x, y , z ) Q ( x , y , z ) R ( x, y , z )
在 上连续，在 内具有
一阶连续偏导数
P Q R dV x y z dS P cos( n , x ) Q cos( n , y ) R cos( n , z )
1 v 4 rM 0 M
dS
1 u ( M 0 ) u ( v)dS n 4 rM 0 M
对狄氏问题
1 G(M , M 0 ) v 4 rM 0 M
u ( M 0 )
G f dS n
1、 在闭域Ω＋Г(Ω)上连续； 2、 在Ω内有二阶连续偏导数；
2 2 2 u u u 3、 满足拉普拉斯方程 2u 2 2 0 2 x y z 4、 u f
调和函数
• 具有两阶连续偏导数的且满足拉普拉斯方程
的连续函数
• 狄氏问题就是在Ω内找到一个调和函数u，且
已经学过的偏微分方程解法
• 行波法
• 分离变量法
• 特征函数法 • 积分变换法 • 冲量法 • 转换法
• 特解法
分离变量法 2 2类边界条件的振动、热传导及矩形域拉氏问题
n 2 特征值n ( ) 0特征函数 l n 0,1, 2,....
2 n
n X n ( x) cos x l n 0,1, 2....
K M0
1 1 v ln ln r ( x x0 )2 ( y y0 ) 2
1 1 1 u ( M ) u(M 0 ) u ( M ) (ln ) (ln ) ]ds 2 n rM 0 M rM 0 M n
rM 0 M ( x x0 )2 ( y y0 )2
0
1 1 u( M ) [u( M ) ( ) ]dS 4 u( M 0 ) n rM0 M rM0 M n
调和函数的积分表达式
1 u(M 0 ) 4 1 1 u ( M ) [u ( M ) ( ) ]dS n rM 0 M rM 0 M n
点M0到点M的距离
调和函数的边值性质
v u (u v v u )dV (u v )dS n n u 取u为调和函数，V＝1，则 dS 0 n
2 2
牛曼内问题有解的必要条件为，f满足
f dS 0
充分必要条件
平均值公式
拉普拉斯方程解的唯一性
r (r r )0
x
P
y
三维空间拉氏方程的基本解
求解得
C1 u C2 r
1 u (r 0) r
拉普拉斯方程的基本解
• 2 二维平面的拉氏方程基本解
与三维问题类似，首先建立极坐标系下的二维拉氏方程
) 求其圆对称解 u u (r（解只 与半径有关，与角度无关）可得到
平面拉氏方程的基本解 求解得
P Q R dV x y z dS P cos( n , x ) Q cos( n , y ) R cos( n , z )
v (u v)dV ( gradu gradv)dV u dS n
u
f
第二边值问题（牛曼问题）
• 在某光滑的闭曲面Г上给定了连续函数f， • u（x，y，z）满足：
1、在Г内部的区域Ω中是调和函数；
2、在闭域Ω＋Г上连续； 3、在Г上任一点处的法向导数存在，且
u n
f
内问题
• 在边界上给定某些边界条件，在区域内
部求拉普拉斯方程的解
狄氏问题 牛曼问题
域内点M0的值可以用边界上的条件求得
调和函数在区域内任一点的值用调和函数及其 在区域边界处的法向导数沿边界的积分来描述
对于泊松方程
F
域内点M0的值可以用边界上的条件求得
二维平面调和函数的积分表达式
(u v v u )dS
2 2
v u (u v )ds n n
将三维空间拉氏方程用球坐标系表示
1 2 u 1 u 1 u ( r ) (sin ) 0 2 2 2 2 2 r r r r sin r sin
2
z
A
x
r
M ( x, y, z )
z
o
y
求其球对称解 u u (r（解只 与r有关，与角度无 ) 关）可得到 2 u
外问题
• 在区域外部求调和函数且满足边界条件 • 在求解外问题时，常常附加一下条件：
lim u( x, y, z ) 0
r
r x y z
2 2
2
lim u 0 有界 r
r x2 y 2
狄氏外问题（以三维空间为例）
牛曼外问题
拉普拉斯方程的基本解
• 1 三维空间的拉氏方程基本解
（4.5）
要解决拉普拉斯方程的狄氏或牛曼问题，需
u 要把 n
或u消去，引入格林函数的概念。
格林函数
在第二格林公式中，取u，v均为Ω内的调和函数， 且在Ω＋Г上有连续的一阶偏导数，则得到 v u 2 2 (u v v u )dV (u v )dS n n
2
v (u v)dS u ds ( gradu gradv)dS n v u 2 2 ( u v v u ) dS ( u v ) ds n n
2
平面域
调和函数的基本性质
• 调和函数的积分表达式
研究调和函数在区域内任一点M0点的值
(4.1)
边界 外法向的方向余弦
格林公式
• 设 u ( x, y , z ) ， v( x, y, z ) 在 具有一阶连续
偏导数，在 内具有连续的二阶偏导数
v v v P u ,Q u , R u x y z
格林公式
v v v P u ,Q u , R u x y z
u (c0 d0 y ) (cn e n y d n e n y ) cos n x
n 1
分离变量法 2 2类边界条件的（环）扇形域拉氏问题
特征值 n (
n
) Βιβλιοθήκη 02特征函数 n ( ) cos
n
n 0,1, 2,....
扇形域拉氏问题
u C1 ln r C2
1 u ln (r 0) r
• 三维拉普拉斯方程的基本解
1 1 v r ( x x0 )2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2
• 二维拉普拉斯方程的基本解
1 1 v ln ln r ( x x0 )2 ( y y0 ) 2
v 1 1 1 u u[ ( )] ( v) n 4 n rM 0 M 4 rM 0 M n
dS
1 u u ( M 0 ) ( v) dS Gf dS 4 rM 0 M n
格林函数
定义 G( M , M 0 )
1 G ( M , M 0 ) 4 r MM 0 G(M , M 0 ) 0
2 2
1 ( ) 1 u r u dS n r n
1 1 ( ) ( ) r r 1 n r 2
1 ( ) 1 2 1 u 2 1 r (u u )dV u dS r r n r n K
n 0,1, 2....
扇环域拉氏问题
数理方程中的定解问题反映了物理现象中一种 特定的场和产生这种场的源之间的关系。
如果能够找到一个点源所产生的场，利 用叠加的方法就可以算出任意源的场
格林函数
第四章 拉普拉斯方程的格林函数法
• §4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
• §4.2 格林公式
• §4.3 格林函数 • §4.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏
空间域 v
1 1 v G ( M , M 0 ) 2 ln r MM 0 G(M , M 0 ) 0
平面域
拉普拉斯方程的格林函数
2
v (u v)dV u dS ( gradu gradv)dV n
2
(4.2)
第一格林公式
格林公式
• 将（4.2）中的u，v交换位置，得到
u (v u )dV v dS ( gradv gradu )dV n
u v 0 (v u )dS n n
（4.6）
1 u(M 0 ) 4
1 1 u ( M ) [u ( M ) ( ) ]dS n rM 0 M rM 0 M n
（4.5）
格林函数
（4.5）－（ 4.6 ）得到： v 1 1 1 u u ( M 0 ) u[ ( )] ( v) n 4 n rM 0 M 4 rM 0 M n
2
(4.3)
（4.2）与（4.3）相减，得到
v u (u v v u )dV (u v )dS n n
2 2
(4.4)
第二格林公式
格林公式
v (u v)dV u dS ( gradu gradv)dV n 空间 域 v u 2 2 (u v v u )dV (u v )dS n n
4.2 格林公式
• 奥－高公式
Q( x, y, z )
P ( x, y , z ) Q ( x , y , z ) R ( x, y , z )
在 上连续，在 内具有
一阶连续偏导数
P Q R dV x y z dS P cos( n , x ) Q cos( n , y ) R cos( n , z )
1 v 4 rM 0 M
dS
1 u ( M 0 ) u ( v)dS n 4 rM 0 M
对狄氏问题
1 G(M , M 0 ) v 4 rM 0 M
u ( M 0 )
G f dS n