北邮数理方程课件第三章的分离变量法
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第三章 分离变量法
3。2 基础训练
3.2.1 例题分析
例1 解下列定解问题：
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂-==∂∂=><<∂∂=∂∂====0,20,00,002
002
2222t t l
x x t u lx x u x u
u t l x x u a t u （1） 解：分离变量，即令
(,)()()u x t X x T t = （2） 代入方程（（1）中第一式），得
0)()(2=+''t T a t T λ （3）
0)()(=+''x X x X λ （4）
其中λ为分离常数。（2）式代入边界条件（（1）中第二式），得
0)()0(='=l X X （5）
相应的本证值问题为求
⎩⎨
⎧='==+''0
)()0(0
)()(l X X x X x X λ （6） 的非零解．下面针对λ的取值情况进行讨论： （1）当0λ<时，（6）式中方程的通解是
()X x Ae =+ （7）
其中A ，B 为积分常数，（7）代入（6）中边界条件，得
00
A B Ae
+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ （8）
由（8）得A=B=0，得X （x ）=0，为平凡解，故不可能有0λ<。 (2) 当0λ=时，（6）式中方程的通解是 ()X x Ax B =+
由边界条件得A=B=0，得X （x ）=0，为平凡解，故也不可能有0λ=。 （3）当 02
>=βλ时，上述固有值问题有非零解．此时式（6）的通解为
x B x A x X ββsin cos )(+=
代入条件（6）中边界条件，得
0cos ,0==l B A β
由于 0≠B ，故 0cos =l β，即
),2,1,0(212Λ=+=
n l
n πβ
从而得到一系列固有值与固有函数
2
2
24)12(l n n πλ+=
),2,1,0(2)12(sin
)(Λ=+=n x l
n B x X n n π
与这些固有值相对应的方程（3）的通解为
),2,1,0(2)12(sin 2)12(cos )(Λ=+'++'=n t
l
a
n D t l a n C t T n n
n ππ
于是，所求定解问题的解可表示为
x l n t l a n D t l a n C t x u n n n 2)12(sin 2)12(sin 2)12(cos ),(0πππ+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+++=∑∞
=
利用初始条件确定其中的任意常数n n D C ,，得
0=n D
3
32
02)12(322)12(sin )2(2ππ+-
=+-=⎰n l xdx
l
n lx x l C l n 故所求的解为
x l
n t l a n n l t x u n 2)12(sin 2)12(cos
)
12(1
32),(0
3
3
2
π
ππ++⨯+-
=∑∞
=
例2 演奏琵琶是把弦的某一点向旁边拨开一小段距离，然后放手任其自由振动。设弦 长为l ，被拨开的点在弦长的
1
n (0n 为正整数)处，拨开距离为h ，试求解弦的振动，即求解定解问题
⎪⎪
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--≤≤===<<=-====0
|)
1()()10(|0
||)0(000
000002t t t l x x xx tt u l n n l l x l h n x l hx
n u u u l x u a u
解：将)()(),(t T x X t x u =代入原方程及边界条件得
''
2
0T a T μ+= （1）
''0
(0)()0X X X X l μ⎧+=⎨==⎩
（2）
解(2)第一式可得
x D x C x X μμsin cos )(+=
由（2）的第二式得
22
2l
n n πμ=，
Λ,3,2,1,sin
)(==n l
x
n D x X n n π
将μ代入（1）并解得
l
at
n B l at n A t T n n n ππsin
cos
)(+= 1(,)(cos
sin )sin n n n n at n at n x u x t A B l l l
πππ∞
==+∑ 由初始条件得
⎪
⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≤--≤≤=∑∞=)1()()10(cos 0
00
01l n n l l x l h n x l hx
n l at n A n n π 0sin cos 1=∑∞=l
x
n l at n B l a n n n
πππ 所以
0=n B
00222
0101
00sin
)
1(2)(sin [200n n n n h n dx
n l l x l h dx l x
n l hx n l A l n n n πππ-=--+=⎰⎰ 从而
∑∞
=-=102
0220sin cos sin 1)1(2),(n l x
n l at n n n n n h n t x u ππππ 例3 求解细杆的导热问题，杆长l ，两端保持零度，初始温度分布2
0/)(|t x l bx u t -==.
解：该问题的定解问题为
⎪⎪
⎩⎪
⎪⎨⎧==-=====0
||)(|02
02l x x t xx
t u u l x l bx u u a u （1）