传热学第三章new分析
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传热学-第三章
截断误差
同样可得：
t tm,n1 2tm,n tm,n1 o(y 2 ) y 2 m,n y 2
2
未明确写出的级数余项 中的Δ X的最低阶数为2
对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热 微分方程为：
2t 2t v 0 2 2 x y
其节点方程为：
温度ti-1,j
tm1,n
t 2t x 2 3t x3 t m ,n x 2 3 x m,n x m,n 2! x m,n 3!
若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加 移项整理即得二阶导数的中心差分：
2t x 2
m ,n
tm1,n 2tm,n tm1,n o(x 2 ) x 2
Φ 内热源： v Φ V Φ xy
Φ上 Φ下 Φ左＋Φ右 Φv 0
tm1,n tm ,n tm1,n tm ,n tm ,n1 tm ,n tm ,n1 tm ,n y y x x x x y y Φxy 0
例如：根据第 k 次迭代的数值 可以求得节点温度：
(k) (k) (k) t1 、t2 ....tn
( ( ( ( ( t1 k 1) a11t1 k ) a12t2k ) ...... a1ntnk ) b1 k )
在计算后面的节点温度时应按下式（采用最新值）
( ( ( ( ( t 2k 1) a21t1 k 1) a22t 2k ) ...... a2 n t nk ) b2k ) ( ( ( ( ( t3k 1) a31t1 k 1) a32t 2k 1) ...... a3n t nk ) b3k )
h1t f
x
同样可得：
t tm,n1 2tm,n tm,n1 o(y 2 ) y 2 m,n y 2
2
未明确写出的级数余项 中的Δ X的最低阶数为2
对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热 微分方程为：
2t 2t v 0 2 2 x y
其节点方程为：
温度ti-1,j
tm1,n
t 2t x 2 3t x3 t m ,n x 2 3 x m,n x m,n 2! x m,n 3!
若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加 移项整理即得二阶导数的中心差分：
2t x 2
m ,n
tm1,n 2tm,n tm1,n o(x 2 ) x 2
Φ 内热源： v Φ V Φ xy
Φ上 Φ下 Φ左＋Φ右 Φv 0
tm1,n tm ,n tm1,n tm ,n tm ,n1 tm ,n tm ,n1 tm ,n y y x x x x y y Φxy 0
例如：根据第 k 次迭代的数值 可以求得节点温度：
(k) (k) (k) t1 、t2 ....tn
( ( ( ( ( t1 k 1) a11t1 k ) a12t2k ) ...... a1ntnk ) b1 k )
在计算后面的节点温度时应按下式（采用最新值）
( ( ( ( ( t 2k 1) a21t1 k 1) a22t 2k ) ...... a2 n t nk ) b2k ) ( ( ( ( ( t3k 1) a31t1 k 1) a32t 2k 1) ...... a3n t nk ) b3k )
h1t f
x
传热学-第三章
2021/5/9
cV d hA d
求通解ln hA c General Solution cV
初始条件 : 0，t t0， 0 t0 t
Initial condition
0
t t t0 t
exp
hA
cV
7
※
时间常数
c
cV
hA
e c
0
time constant
2021/5/9
2021/5/9
※ t x 4 a
热边界层 t
※
t
x 2 22
•
1 a
x2 16a
惰性时间 t x2
31
2021/5/9
（冰冻三尺 非一日之寒）
设大地温度为10ºC，后受到冷空气侵袭地表温度降 为-15ºC并维持不变。确定这种条件下地下1m 处温度
降为0ºC时所需时间？设土壤的物性为 a 1.38107 m2 / s
t
t0
2
end
26
2021/5/9
（1）建立物理模型 ( Physical Model ) （2）建立数学模型( Mathematical Model ) （3）求通解( General Solution ) （4）建立定解条件( initial and boundary condition) （5）求特解( Special Solution ) （6）求解换热量( Flowrate of heat）
1.瞬间换热量 transient heat transfer rate
hA(t
t )
hA
hA0
exp(
hA
cV
)
2. 0~ 内传给流体的总热量：
传热学第3章非稳态导热PPT课件
x x h Bi
2）毕渥数Bi对温度分布的影响
O( / Bi, 0)
2）毕渥数Bi对温度分布的影响
§3.2 集中参数法分析导热问题
当物体内部导热热阻远小于其表面的换热热阻， 也就是物体内部温度分布几乎趋于一致，可以近似 认为物体内部在同一瞬间均处于同一温度下。 此时 Bi h 0
对于任意形状的物体当Bi<0.1， 0.95 物体内部的过余温度与其表面的过m 余温度之比为 0.95。其内部热阻就可忽略，从而采用集中参数 法。
物体的温度随时间的变化关系是一条负 自然指数曲线，或者无因次温度的对数
0
与时间的关系是一条负斜率直线。
e
A cV
e
(V
A
)•(VaA
)2
e Bi •Fo
0
其中V/A具有长度的量纲，称为特征长度。
（2）导热量的计算
cV hA 称为系统的时间常数，记为s。
时间常数是反应物体对流体温度变动响应快慢的指标。它 取决于自身的热容量ρcv及表面换热条件hA。热容量越大， 温度变化得越慢；表面换热条件越好单位时间内传递的热 量越多，则越能使物体自身温度迅速接近流体温度。
突然把两侧介质温度降低 为 t并保持不变；壁表 面与介质之间的表面传热 系数为h。
两侧冷却情况相同、温度 分布对称。中心为原点。
3.3 无限大平壁非稳态导热
导热微分方程：
t 2t
a x2
初始条件： 0, t t 0
边界条件： (第三类)
x 0, t x 0
x
,
- t
x
h(t
t )
对于圆柱体和球体在第三类边界条件下的一维非
稳态导热问题，也可以求得温度分布的分析解。
传热学-第三章 new
第三章 非稳态导热
25
2 半无限大物体周期性变化边界条件下的温度波
微分方程式
周期性边界条件
t 2t a 2 x
2 AW cos T
(0, ) w
利用分离变量法求解 温度分布的表达式
2 ( x, ) AW exp( x ) cos( x ) aT T aT
第三章 非稳态导热 14
当物体被冷却时（t>t）,由能量守恒可知
dt hA(t t ) - Vc d
令： t t — 过余温度，则有
控制方程 hA - Vc d d ( 0) t t 初始条件 0 0 方程式改写为：
dy] w erfc (u )
常热流边界条件下：
解为：
热流渗透厚度：它是随时间而变化的，它反映在所考虑的时间范围内，界 面上热作用的影响所波及的厚度。
第三章 非稳态导热 21
§3-4 其它形状物体的瞬态导热
无限长圆柱体(查表3-13，3-14，3-15)
m f ( Bi, Fo) 0
第三章 非稳态导热 27
地面参数： 最高温度：30.5 最低温度：-3.5 平均温度：13.5 振幅：17 10m处振幅：0.3 15m处振幅：0.04
28
第三章 非稳态导热
2 ( x, ) AW exp( x ) cos( x ) aT T aT
⑵温度波的延迟
2 T aT 1 T x 2 a
第三章 非稳态导热 3
4 学习非稳态导热的目的：
(1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
t f ( x, y, z, ) ;
Φ f( )
传热学第三章
θ (x,τ ) = θ (x,τ ) ⋅ θm (τ ) ;
θ (x,τ ) = f (Bi,
x )
θ0
θm (τ ) θ0
θm (τ )
δ
传热学 Heat Transfer
3-4 二维及三维非稳态导热的求解
在二维和三维非稳态导热问题中，几种典型几何 形状物体的非稳态导热问题可以利用一维非稳态导 热分析解的组合求得。无限长方柱体、短圆柱体及 短方柱体就是这类典型几何形状的例子。
华北电力大学
∂θ ∂τ
=
a
∂ 2θ ∂x 2
τ = 0,θ = θ0
x = 0,τ > 0,θ = 0
x → ∞,τ > 0,θ = θ0
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
三、解的结果
Θ
=
θ θ0
=
t − tw t0 − tw
=
erf
(
式中:
η=
2
x aτ
x 4aτ
)
=
erf
(η
)
erf (η) 称为误差函数 ,查图 3-12和附录17计算。
华北电力大学
刘彦丰
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
矩形截面的无限长方柱体是由两个无限大平壁 垂直相交而成；短圆柱是由一个无限长圆柱和一个 无限大平壁垂直相交而成 ；短方柱体（或称垂直六 面体）是由三个无限大平壁垂直相交而成；
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
对于无限长方柱体
Fo
=
aτ l2
称为傅立叶数
FoV
=
aτ (V / A)2
传热学第三章
θ ( x ,τ ) x = f ( Bi, Fo, ) θ0 δ
13
可以证明：若保持过余温度的定义不变，上述公式 14 同样适用于加热过程
θ ( x ,τ ) = θ 0 ∑
n =1
∞
若Fo≥0.2：
2 sin β n 2 x cos( β n )e −β n Fo β n + sin β n cos β n δ
τ =0
t = t0 τ = 0
τ3
τ2
τ1
t = t0 τ = 0
τ1 > 0
t = t0
τ1 > 0
τ2
τ2 > τ1
τ
2
>τ1
t∞
−δ
Bi→0 是一个极限情况，工程上把 Bi<0.1看作是接近这种极限的判 据。 Bi<0.1时，平壁中心温度与表 面温度的差别≤5%，接近均匀一致 29 —— 可用集总参数法求解
θ ( x,τ ) = θ 0
2 sin β1 x 2 cos(β1 )e −β1 Fo β1 + sin β1 cos β1 δ
Bi和位置 x/δ 的函数
Bi =
hδ λ
2
ln θ = − mτ + K ( Bi,
a δ2
与时间无关；只取决于第三类边界条 件、平壁的物性与几何尺寸 当平壁及其边界条件给定后，m 为一 个 常数，它与时间 τ 、地点 x/δ 无关 表明：Fo≥0.2时（τ* ≥ 0.2δ2/a） 平壁内所有各点过余温度的对 数都随时间按线性规律变化， 变化曲线的斜率都相等 正规状况阶段：初始温度分布 的影响已消失 22
x ) δ
两边取对数：
m = β1
传热学第3章非稳态导热
对于一个特征数，应该掌握其定义式＋物理意义，以及定义式中各个参数的意义。
2019/8/31 - 8 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
Bi r h
rh
1h
当 Bi 时， r rh ，因此，可以忽略对流换热热阻 当 Bi 0 时， r rh ，因此，可以忽略导热热阻
第三章 非稳态导热
第3章 非稳态导热
§3-1 非稳态导热的基本概念 §3-2 零维问题的分析法——集中参数法 §3-3 典型一维物体非稳态导热的分析 §3-4 半无限大物体的非稳态导热 §3-5 简单几何形状物体多维非稳态导热的解析解
2019/8/31 - 2 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
3、工程上几种典型非稳态导热过程温度变化率的数量级
2019/8/31 - 3 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
着重讨论瞬态非稳态导热
4、温度分布：
t
开始的一段时间，物体内部温度变化一层
层逐渐深入到内部，温度变化速度不一样，反映 到吸热量上，吸热量不一样。
t1 P
金属壁 保 温 层
BiV
FoV
BiV
h(V
A)
FoV
a
(V A)2
2019/8/31 - 12 -
第3章 非稳态导热——§3-2 集中参数法
BiV
h(V
A)
FoV
a
(V A)2
FoV 是傅立叶数
0
exp(
hA
cV
)
exp( BiV
2019/8/31 - 8 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
Bi r h
rh
1h
当 Bi 时， r rh ，因此，可以忽略对流换热热阻 当 Bi 0 时， r rh ，因此，可以忽略导热热阻
第三章 非稳态导热
第3章 非稳态导热
§3-1 非稳态导热的基本概念 §3-2 零维问题的分析法——集中参数法 §3-3 典型一维物体非稳态导热的分析 §3-4 半无限大物体的非稳态导热 §3-5 简单几何形状物体多维非稳态导热的解析解
2019/8/31 - 2 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
3、工程上几种典型非稳态导热过程温度变化率的数量级
2019/8/31 - 3 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
着重讨论瞬态非稳态导热
4、温度分布：
t
开始的一段时间，物体内部温度变化一层
层逐渐深入到内部，温度变化速度不一样，反映 到吸热量上，吸热量不一样。
t1 P
金属壁 保 温 层
BiV
FoV
BiV
h(V
A)
FoV
a
(V A)2
2019/8/31 - 12 -
第3章 非稳态导热——§3-2 集中参数法
BiV
h(V
A)
FoV
a
(V A)2
FoV 是傅立叶数
0
exp(
hA
cV
)
exp( BiV
传热学第三章
第三章 稳态导热
第一节 一维稳态导热
※简化假设： （1）导热体为几何形状简单、均质各向同性材料； （2）常物性、无内热源、壁面温度均匀一致； （3）一维稳态导热。 ※一维稳态导热计算公式的导出途径： （1）
导热微分方程 边界条件 Fourier定律 边界条件 Fourier定律 边界条件
①温度分布 t t ( x)或 t t (r ) 和q ② ③R 和r 若定积分，则可以不求解温度场而直接求得
（ e） （f ）
（ g）
r r 1 , t t w1 r r2 , t t w2
同样的计算公式：
求解上述方程，经过整理可以得出和第一种求解方法 温度分布①、热流量或线热流量②、热阻③。
第三章 稳态导热
第一节 一维稳态导热
（3）对傅里叶定律表达式分离变量，并进行定积分:
tw 2 dr dt t w1 2l r
t w1 t w3 q 解：本题为多层平壁的导热问题，应有 1 2
把所有的已知数据代入，有
1
2
1300 30 0.02 t w1 t w3 1 ) 0.35 0.238 m 2 ( ) 2 ( 1830 1.3 q 1
第三章 稳态导热
流量Φ为常量，但热流密度 q
※工程计算中，一般采用热流量或线热流量。 线热流量：是指单位长度圆筒壁的导热热流量，即
却是变量。
l l
第三章 稳态导热
第一节 一维稳态导热
将温度分布代入傅里叶定律，可求出其热流量或线热流量为：
dt dt 2l (t w1 t w2 ) 2l (t w1 t w2 ) A (2rl ) r d dr dr ln 2 ln 2 r1 d1 l 2 (t w1 t w 2 ) 2 (t w1 t w 2 ) r2 d2 l ln ln r1 d1
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第三章 非稳态导热
11
正常情况阶段的温度分布特点： * 0.2 2 a
ln
12
a 2
ln[0
2sin 1 sin cos
cos(
x )]
ln m K(Bi, x )
1
m
12
a
2
①该式说明当Fo＞0.2时，物体
在给定的边界条件下，物体中
任何给定地点过余温度的对数
值将随时间按线性规律变化。
a 2
x 2
0
0
x
0 x , 0 0
x0
h x
x
第三章 非稳态导热
7
用分离变量法并整理得到
ctg( ) h
h 为毕渥准则数，用符号 Bi 表示，并令
ctg( )
Bi
第三章 非稳态导热
8
用分离变量法可得其分析解为：
e (x, )
2
s in( n
第三章 非稳态导热
3-1 非稳态导热的基本概念 3-2 无限大平壁的瞬态导热 3-3 无限大物体的瞬态导热 3-4 其他形状物体的瞬态导热 3-5 周期性非稳态导热
第三章 非稳态导热
1
§3-1 非稳态导热的基本概念
1 非稳态导热的定义 : t f (x, y, z, )
2 非稳态导热的分类 : 周期性非稳态导热和瞬态非稳态导热 本课程重点讨论瞬态非稳态导热
Vc
0
d
ln hA
t t
hA
e Vc
Vc 0
0 t0 t
其中的指数：
过余温度比
hA
cV
hV
A
A2 V 2c
h(V
A) a
(V A)2
Bi
Fo
第三章 非稳态导热
16
Bi h(V A)
Fo a
(V A)2
hA
e Vc
eBi Fo
物体中的温度 呈指数分布
0
方程中指数的量纲：
第三章 非稳态导热
13
5 集总参数法的简化分析
(1) 定义：忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的
分析方法。此时， Bi 0 ，温度分布只与时间有
关，即 t f (，) 与空间位置无关，因此，也称为
零维问题。
(2)温度分布
如图所示，任意形状的物体， 参数均为已知。
0时，t t0
将其突然置于温度恒为 t的流
)
c
os(
n
x
)
0
n1 n sin(n ) cos(n )
2 n
a 2
傅立叶准则：
a
F0 2
因此 ( x, ) 是以平板厚度一半为特征尺度的Fo, Bi
0
和x 函数，即
(x, ) f (Fo, Bi, x )
0
第三章 非稳态导热
9
考察热量的传递
0 2c (t0 tf )
0 --非稳态导热所能传递的最大热量
第三章 非稳态导热
3
4 学习非稳态导热的目的：
(1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
t f (x, y, z, ) ; Φ f( )
(2) 非稳态导热的导热微分方程式：
c t ( t ) ( t ) ( t ) qv x x y y z z
(3) 求解方法：分析解法、近似分析法、数值解法
②如图所示，图中
范围
即为瞬态非稳态温度变化的正常
情况阶段，其特征是各时刻lnθ—τ斜率相等。
第三章 非稳态导热
12
3 Bi数对温度分布的影响
Bi r h rh 1 h
无量纲数
当 Bi 时， r rh ，因此，可以忽略对流换热热阻 当 Bi 0 时， r rh ，因此，可以忽略导热热阻
hA
W m2K
m2
w1
Vc
kg m3
Jkg K
[
m3
]
J
s
即与 1 的量纲相同，当 Vc 时，则
hA
hA 1 此时， Vc
e1 36.8%
体中。
第三章 非稳态导热
14
当物体被冷却时（t>t）,由能量守恒可知
h
A(t
t
)
-
Vc
dt
d
令： t t — 过余温度，则有
hA
-Vc
d d
( 0) t0 t 0
控制方程 初始条件
方程式改写为：
d hA d Vc
第三章 非稳态导热
15
d hA d Vc
积分
0
d
hA
10
2. 正常情况阶段-F0对温度分布的影响
F0 a 2
对无限大平板 当
误差小于1%
F0 0.2
取级数的首项，板中心温度
e (x, )
0
1
2 sin 1 sin 1 cos 1
cos(1
x)
12 F0
e (0, ) m ( )
2 sin 1
12 F0
0
0
1 sin 1 cos 1
热流规律
无论对哪一类非稳态导热过程，由于在热量传递的路径中，物体各 处本身温度的变化要积聚或消耗热量，所以即使对穿过平壁的导 热来说，非稳态导热过程中在与热流方向相垂直的不同截面上热 流量也是处处不等的，这是非稳态导热区别于稳态导热的一个特 点。
三个阶段的特征：不规则情况阶段中q1急剧减小，q2保持不变； 正常情况阶段中q1逐渐减小，q2逐渐增大；建立新的稳态阶段后 q1与q2保持不变并相等。
3 温度分布的特点： 4 热流量分布特点：
第三章 非稳态导热
2
温度场的特征
依据温度变化的特点，可将加热或冷却过程分为三个阶段： ⑴不规则情况阶段：温度变化从边界面逐渐地深入到物体内，温度 分布受初始温度分布的影响很大。 ⑵正常情况阶段：初始温度分布影响消失，物体内各处温度随时间 的变化率具有一定的规律。 ⑶建立新的稳态阶段：温度分布不再随时间变化。
h=const
5
此半块平板的数学描写（一维瞬态导热问题）：
导热微分方程
t a 2 t (0 x , 0)
x2
初始条件 边界条件
t t0 0
t 0 x 0 x
t x
h(tຫໍສະໝຸດ ttf)(对称性)
x
第三章 非稳态导热
6
引入变量－－过余温度
令
(x, ) t(x, ) t f
上式化为：
若令 为 [ 0, ]内所传递热量
c [0 (x, )]dx
e
2 c 0 [1
n1
n2
12
2 sin 2 (n ) n sin(n ) cos(n )
]
2 n
F
0
e
0 [1
n1
n2
12
2 sin 2 (n ) n sin(n ) cos(n )
]
2 n
F
0
第三章 非稳态导热
分析解法： 分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换 近似分析法：集总参数法、积分法 数值解法： 有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、
分子动力学模拟
第三章 非稳态导热
4
§3-2 无限大平壁的瞬态导热
1.加热或冷却过程的分析解法
tf
tf
λ=const
a=const
因两边对称，只研究半块平壁
第三章 非稳态导热