热传导方程的分离变量法
热传导方程的求解
热传导方程的求解热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的数学模型。
求解热传导方程有多种方法，下面将介绍两种常用的求解方法。
一、分离变量法分离变量法是一种常见且简单的求解热传导方程的方法。
它基于热传导方程的偏微分方程特性，将变量分离并进行独立的求解。
1. 问题设定假设需要求解的热传导问题为一维情况，物体的长度为L，初始时刻温度分布为u(x,0)=f(x)，物体两端保持恒温边界条件u(0,t) = A，u(L,t) = B。
2. 分离变量假设u(x,t)可表示为u(x,t) = X(x)T(t)，将u(x,t)代入热传导方程中，可得到两个方程：X''(x)/X(x) = T'(t)/αT(t)，其中α为热扩散系数。
由于左侧只依赖于x，右侧只依赖于t，所以二者必须等于一个常数λ。
3. 求解分离后的方程将上述得到的分离变量方程代入边界条件，可得到两个常微分方程，分别是X''(x)/X(x) = λ 和T'(t)/αT(t) = -λ。
这两个常微分方程可以求解得到X(x)和T(t)。
4. 求解系数通过使用初始条件u(x, 0) = f(x)，可以求解出常数λ的值，进而求解出X(x)和T(t)。
5. 求解问题最终将X(x)和T(t)重新结合，即可得到热传导问题的解u(x, t)。
二、有限差分法有限差分法是一种数值求解热传导方程的常用方法，它通过将连续的空间和时间离散化，将偏微分方程转化为差分方程进行求解。
1. 空间和时间离散化将物体的空间进行网格划分，时间进行离散化，并在网格节点上计算温度的近似值。
2. 差分方程将热传导方程中的偏导数进行近似，得到差分方程。
例如，可以使用中心差分法来近似偏导数。
3. 迭代求解根据差分方程，通过迭代计算每个网格节点的温度值，直到达到收敛条件。
4. 求解问题最终，根据求解的温度值，在空间和时间通过插值或者线性拟合等方法得到热传导问题的解。
pde分离变量法
pde分离变量法PDE分离变量法偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是数学中的重要概念，广泛应用于物理、工程等领域的建模和求解。
PDE分离变量法是求解PDE的一种常见方法，它通过将多元函数分离成一元函数的乘积形式，从而简化求解过程。
本文将介绍PDE分离变量法的基本思想和应用，并以实例展示其求解过程。
PDE分离变量法的基本思想是将多元函数拆分成一元函数的乘积形式，然后将PDE转化为一系列常微分方程（Ordinary Differential Equation，简称ODE），进而求解得到原方程的解。
这种方法在求解特定类型的PDE问题时非常有效，尤其适用于满足边界条件的问题。
我们来看一个简单的例子来说明PDE分离变量法的具体步骤。
假设有一个二维波动方程，即偏导数方程中的一个常见类型：∂²u/∂t² - c²(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²) = 0其中，u(x, y, t)表示待求解的函数，c是波速。
我们希望找到满足边界条件的解。
我们将u(x, y, t)表示成三个一元函数的乘积形式：u(x, y, t) = X(x)Y(y)T(t)然后，将u(x, y, t)的偏导数代入原方程，并将方程两边除以u(x, y, t)，得到：1/T(t) * d²T(t)/dt² - c²/X(x) * d²X(x)/dx² - c²/Y(y) * d²Y(y)/dy² = 0由于等式左边只依赖于t，右边只依赖于x和y，所以等式两边必须等于一个常数，我们将其记为-k²。
这样，我们得到了三个常微分方程：1/T(t) * d²T(t)/dt² = -k²c²/X(x) * d²X(x)/dx² = -k²c²/Y(y) * d²Y(y)/dy² = -k²接下来，我们分别求解这三个常微分方程。
热扩散方程的研究
热扩散方程的研究热扩散方程是描述热能传递过程的方程，它在物理学、工程学、科学计算等领域有着广泛的应用。
它的形式是 $u_t = \alpha u_{xx}$，其中 $u$ 表示温度场，$t$ 表示时间，$x$ 表示空间位置，$\alpha$ 是热扩散系数。
本文将探讨热扩散方程的基本性质、数学解法以及应用实例。
1. 基本性质热扩散方程是一种偏微分方程，具有以下基本特征：1.1 不存在瞬间传递热的传递需要时间，热扩散方程中的 $\alpha$ 系数就是用来描述热的传递速度的。
显然， $\alpha$ 越小，热的传递越慢。
因此，不存在瞬间传递的情况。
这也是热扩散方程与热传导方程的区别。
1.2 保持温度平衡热扩散方程中，温度场会随着时间不断变化，但是在空间上保持着平衡状态。
也就是说，在一个区域内，温度场的变化和扩散是相互平衡的，它们能够保持一定的稳定性。
1.3 稳定性分析热扩散方程是一个稳定性问题，它的稳定性与初始条件和边界条件有关。
通过数学分析，可以证明热扩散方程在满足一些条件的情况下是稳定的，这为实际应用提供了理论基础。
2. 数学解法求解热扩散方程是一种常见的数学问题，有多种数值方法可以用来求解。
下面介绍几种常见的解法：2.1 分离变量法分离变量法是一种简单但有效的求解热扩散方程的方法。
它利用了热扩散方程的线性性质和特殊的解法形式，可以快速得到精确的解。
2.2 有限差分法有限差分法是一种常用的数值求解方法，它利用有限差分的技巧将热扩散方程转化为一个差分方程，然后通过迭代求解来得到近似解。
这种方法的求解速度较快，但精度较低。
2.3 有限元法有限元法是一种比较新的数值解法，它利用有限元分析的技术将热扩散方程转化为一个线性方程组，然后通过求解线性方程组得到精确解。
这种方法的计算量较大，但精度较高，可以用于复杂的热传递问题。
3. 应用实例热扩散方程在实际应用中有着广泛的应用，下面介绍几个实例：3.1 材料热处理材料热处理是一种重要的制造工艺，通过控制材料的温度来改变其微观结构和性质。
一维热传导方程数值解法及matlab实现分离变量法和有限差分法
一维热传导方程数值解法及matlab实现分离变量法和有限差分法一维热传导方程的Matlab解法：分离变量法和有限差分法。
问题描述：本实验旨在利用分离变量法和有限差分法解决热传导方程问题，并使用Matlab进行建模，构建图形，研究不同情况下采用何种方法从更深层次上理解热量分布与时间、空间分布关系。
实验原理：分离变量法：利用分离变量法，将热传导方程分解为两个方程，分别只包含变量x和变量t，然后将它们相乘并求和，得到一个无穷级数的解。
通过截取该级数的前n项，可以得到近似解。
有限差分法：利用有限差分法，将空间和时间分别离散化，将偏导数用差分代替，得到一个差分方程组。
通过迭代求解该方程组，可以得到近似解。
分离变量法实验：采用Matlab编写代码，利用分离变量法求解热传导方程。
首先设定x和t的范围，然后计算无穷级数的前n项，并将其绘制成三维图形。
代码如下：matlabx = 0:0.1*pi:pi;y = 0:0.04:1;x。
t] = meshgrid(x。
y);s = 0;m = length(j);for i = 1:ms = s + (200*(1-(-1)^i))/(i*pi)*(sin(i*x).*exp(-i^2*t));endsurf(x。
t。
s);xlabel('x')。
XXX('t')。
zlabel('T');title('分离变量法（无穷）');axis([0 pi 0 1 0 100]);得到的三维热传导图形如下：有限差分法实验：采用Matlab编写代码，利用有限差分法求解热传导方程。
首先初始化一个矩阵，用于存储时间t和变量x。
然后计算稳定性系数S，并根据边界条件和初始条件，迭代求解差分方程组，并将其绘制成三维图形。
代码如下：matlabu = zeros(10.25);s = (1/25)/(pi/10)^2;fprintf('稳定性系数S为:\n');disp(s);for i = 2:9u(i。
热传导方程求解-分离变量法
牛曼外问题
拉普拉斯方程的狄氏内问题
Q(x, y, z)
拉普拉斯方程的基本解
• 1 三维空间的拉氏方程基本解
将三维空间拉氏方程用球坐标系表示
z
r M(x, y,z)
z
1 r2
r
(r2
u ) r
1
r2 sin
(sin
u )
r2
1
sin2
2u
2
0
A xo
xy
P
y
求其球对称解 u u(r)（解只与r有关，与角度无关）
0
n 0,1, 2,....
X
n
(
x)
sin
2n 2a
1
x
n 0,1, 2....
ux (0, y) u(a, y) 0 u(x, 0) (x) u(x,b) (x)
X (x) X (x) 0
X (0)
X (a)
0
n
(2n 1 2a
)2
0
n 0,1, 2,....
ux (0, y) ux (a, y) 0 u(x,0) (x) u(x,b) (x)
内容回忆
分离变量法(齐次方程 齐次边界条件/周期条件)
• 一维波动
• 一维热传导 • 二维矩形域拉普拉斯 • 二维扇形域拉普拉斯
利用齐次边界条件，
确定特征值问题， 确定特征值和特征 函数
• 二维环扇域拉普拉斯 • 二维圆环域拉普拉斯 • 二维圆域拉普拉斯
利用周期条件，确定
特征值问题，特征 值和特征函数
X (x) X (x) 0
X (0) X (l) 0
n
( n l
)2
0
分离变量法
1.2
分离变量法的物理意义
令 Nn =
2 A2 n + Bn ,
αn = arctan 混合问题 (1) 的解的每一项可化为 un (x, t) = Nn sin
Bn , An
nπ anπ x sin t + αn . l l
un (x, t) 是振动元素。对于弦上任意一点 x ， un (x, t) 描述了这一 anπ nπ ， 频 率 ωn (x) = ，初 点 的 简 谐 振 动 ， 其 振 幅 an (x) = Nn sin l l l n−1 相位为 αn 。于是 ，当 x = 0, , . . . , l, l 时，振幅 an (x) = 0 ；当 n n l 3l 2n − 1 x= , ,..., l 时，振幅 an (x) = ±Nn 达到最大。因此弦的振动 2n 2n 2n 可以看作一系列具有特定频率的驻波的叠加。 特别地，考虑定解问题 utt − a2 uxx = A (x) sin ωt, (x, t) ∈ (0, l) × (0, +∞) , u (x, 0) = ut (x, 0) = 0, x ∈ [0, l] , u (0, t) = u (l, t) = 0, t ∈ [0, +∞) . x 我们可得
4
将 u (x, t) ， f (x, t) ， ϕ (x) ， ψ (x) 均按特征函数系展开：
∞
u (x, t) =
n=1 ∞
Tn (t) sin fn (t) sin
n=1 ∞
nπ x, l nπ x, l
f (x, t) = ϕ (x) =
n=1 ∞
ϕn sin ψn sin
n=1
nπ x, l nπ x, l
热传导方程与拉普拉斯方程特殊函数解析求解与应用
热传导方程与拉普拉斯方程特殊函数解析求解与应用热传导方程和拉普拉斯方程是数学物理中常见的偏微分方程，广泛应用于能量传输、温度分布、电势分布等领域。
为了求解这些方程，一种常用的方法是利用特殊函数解析求解。
本文将介绍热传导方程和拉普拉斯方程的基本概念，并详细阐述特殊函数解析求解的方法和应用。
一、热传导方程热传导方程描述了物质内部温度分布随时间的变化规律。
假设我们有一个热导率为k的均匀材料，其温度分布由函数u(x, t)表示，其中x 表示空间坐标，t表示时间。
则热传导方程可表示为：∂u/∂t = k∇²u其中，∇²是拉普拉斯算子，定义为∇² = ∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z²。
该方程描述了温度分布变化的速率与热导率和温度分布的曲率之间的关系。
为了求解热传导方程，可以采用分离变量法。
我们假设温度分布u(x, t)可以表示为两个函数的乘积：u(x, t) = X(x)T(t)。
将这个表达式代入热传导方程中可以得到：X(x)T'(t) = kX''(x)T(t)这里，X''(x)表示X(x)对x的二阶导数，T'(t)表示T(t)对t的一阶导数。
由于等式两侧只含有x和t两个变量，所以可以等号两侧除以X(x)T(t)，得到两个方程：T'(t)/T(t) = kX''(x)/X(x)左侧只含有t，右侧只含有x，而等式两侧是相等的常数，表示为λ。
于是，我们可以得到两个简化的方程：T'(t)/T(t) = λkX''(x)/X(x) = λ由于左侧只含有t，右侧只含有x，两个方程可以分别等于一个常数。
这两个方程分别称为时间方程和空间方程，它们的解分别为特殊函数T(t)和X(x)。
二、特殊函数解析求解特殊函数是满足某些特定条件的函数，常见的特殊函数有奇异函数、超几何函数、贝塞尔函数等等。
数学物理方程课后参考答案第二章
第 二 章 热 传 导 方 程§1 热传导方程及其定解问题的提1. 一均匀细杆直径为l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律dsdt u u k dQ )(11-= 又假设杆的密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k ，试导出此时温度u 满足的方程。
解：引坐标系：以杆的对称轴为x 轴，此时杆为温度),(t x u u =。
记杆的截面面积42l π为S 。
由假设，在任意时刻t 到t t ∆+内流入截面坐标为x 到x x ∆+一小段细杆的热量为t x s xuk t s x u k t s x u k dQ x x x x ∆∆∂∂=∆∂∂-∆∂∂=∆+221 杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。
由假设，在时刻t 到t t ∆+在截面为x 到x x ∆+一小段中产生的热量为()()t x s u u lkt x l u u k dQ ∆∆--=∆∆--=111124π又在时刻t 到t t ∆+在截面为x 到x x ∆+这一小段内由于温度变化所需的热量为()()[]t x s tuc x s t x u t t x u c dQ t ∆∆∂∂=∆-∆+=ρρ,,3由热量守恒原理得：()t x s u u lk t x s x uk t x s t u c x t ∆∆--∆∆∂∂=∆∆∂∂11224ρ消去t x s ∆∆，再令0→∆x ，0→∆t 得精确的关系：()11224u u l kxu k t u c --∂∂=∂∂ρ或 ()()11222112244u u l c k xu a u u l c k x u c k t u --∂∂=--∂∂=∂∂ρρρ 其中 ρc k a =22. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。
解：在扩散介质中任取一闭曲面s ，其包围的区域 为Ω，则从时刻1t 到2t 流入此闭曲面的溶质，由dsdt nuDdM ∂∂-=，其中D 为扩散系数，得 ⎰⎰⎰∂∂=21t t sdsdt nuDM 浓度由u 变到2u 所需之溶质为()()[]⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ∂∂=∂∂=-=2121121,,,,,,t t tt dvdt t uC dtdv t u C dxdydz t z y x u t z y x u C M两者应该相等，由奥、高公式得：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ∂∂==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=21211t t t t dvdt t uC M dvdt z uD z y u D y x u D x M 其中C 叫做孔积系数=孔隙体积。
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数学物理方法Mathematical Method in Physics 西北师范大学物理与电子工程学院豆福全第三章 热传导方程的分离变量法引 言上一章对弦振动方程为代表的双曲型方程进行了研究，它的研究包括从方程的导出到应用行波法。
本章我们对抛物型方程−以热传导方程为代表进行研究。
复习：数理方程的导出步骤（−−−−→定量化物理模型数学模型） ⅰ 建坐标系 ⅱ 选物理量u ⅲ 找物理规律 ⅳ 写表达式本章，我们先对热传导进行推导。
3.1 热传导方程1. 物理模型截面积为A 均匀细杆，侧面绝热，沿杆长方向有温差，求热量的流动。
2.相关概念和定律ⅰ相关概念①热传导：由于温度分布不均匀产生的热传递现象。
设热量：Q 面积：S 体积：V 时间：t 密度：ρ 温度：T ， ②比热：单位物质，温度升高一度所需热量QC VTρ=③热流密度：单位时间流过单位面积的热量（Fourier 实验定律）Q u q tS nκ∂==-∂，κ：导热率 ④热源强度：单位时间，单位体积放出的热量（热源密度）Qf tV= ⅱ用到的物理学规律① Fourier 实验定律(热传导定律)：当物体内存在温度差时，会产生热量的流动。
热流强度（热流密度）q 与温度的下降成正比。
即q u κ→=-∇。
κ：热导系数（热导率），不同物质ℜ不同，(),x u κκ=。
对均匀杆κ是常 数。
负号表示温度下降的方向。
分量形式：x u q x κ∂=-∂ ，y u q y κ∂=-∂，z uq zκ∂=-∂一维问题：uq nκ∂=-∂ ②热量守恒（质量）定律：物体内部温度升高所吸收的热量（浓度增加 所需要的质量），等于流入物体内部的净热量（质量）与物体内部的热源所 产生的热量（质量）之和。
3分析研究的问题: 热流流动是由温差造成,设u 为温度. 已知：C ，ρ，κ常数(),u u x t =是一维问题4研究建立方程取x 轴与细杆重合，(),u x t 表示在x 点t 时刻的温度。
考虑任一x ∆段在t ∆时间热量情况 ①流入x 面：1xuQ A t x κ∂=-⋅∆∂ ②流出x x +∆面：2x xu Q A t xκ+∆∂=-⋅∆∂③热源产生：设有热源其密度为(),f x t ，杆内热源在x ∆段产生的热量为 ④x ∆段温度要升高u ∆所吸收的热量Q ⑤ 根据能量守恒定律流入x ∆段总热量与x ∆段中热源产生的热量即 ()(),,C A x u x t t u x t ρ⋅∆+∆-⎡⎤⎣⎦()(),,x x u x x t u x t A t fA x t κ=+∆-∆+∆∆⎡⎤⎣⎦ 两边同除以1A x t∆∆当0x ∆→，0t ∆→时，t xx C u u f ρκ⋅⋅=⋅+t xx u Du f =+， 其中D C κρ=，F f C ρ= 同理 ，二维热传导方程为 三维热传导方程为或 t u D u f -∆= 或 2t u a u f -∆= ⒈初始条件 ()(),0u x x ϕ= ⒉ 边界条件提法有三种ⅰ第一类边界条件：直接给出物理量在边界上的数值（边界上各点 的温度）。
()()10,u t t μ= ，()()2,u l t t μ= ()()10,x u x t t μ==，()()2,x l u x t t μ==ⅱ第二类边界条件：研究物理量在边界外法线方向上方向导数的数 值。
()10x u v t x=∂=∂ ，()2x lu v t x=∂=∂或()()10,x x u x t v t == ， ()10xx u v t ==已知通过细杆端点的热量，特殊情形()0v t = 如 (),0x u l t = 绝热条件。
物理意义：把细杆端点x l =处的截面用一种定点绝热的物质包裹起来，使得在端点x l =处，既无热量流出去，又无热量流进来。
ⅲ 第三类边界条件：物理量与外法向导数的线性组合。
已知杆端x l =与某种介质接触，它们之间按热传导中的牛顿实 验定律进行热交换，相应的边界条件为()()(),,x u l t u l t t κθ+=，κ：热导系数 ，：热交换系数介质通过边界按 冷却定律散热：单位时间通过单位面积表 面和外界交换的热量与介质表面温度u 边界和外界温度u 之差成正 比。
设比例系数为a ，则()ua u u n κ∂-=-∂边界边界如在x l =处，()()(),,x u l t u l t t κθ-+=3 .2 混合问题的分离变量解有界杆的热传导现象 其中()x ϕ 为已知函数。
分析： 求解： 第一步：分离变量ⅰ.设热导方程具有如下分离变量解（特解）()()(),u x t X x T t =ⅱ.将其代入泛定方程有'''21T X a T Xλ==-，其中λ是常数。
于是有 ''0X x λ+=，'20T a T λ+=ⅲ 由边界条件有当()0,0u t =，则()00X =， 当(),0u l t =，则()0X l =即本征值问题第二步：求解本征值问题上章已经证明只有当0λ>时，证本征值问题有非零解。
ⅰ.()X x A B =+ ⅱ. 由()()00000X B A X l =⎫⎪⇒= , =⎬=⎪⎭∴222n lπλ= ，1,2,3,n =⋅⋅⋅即特征值是2n n l πλ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,2,3,n =⋅⋅⋅ⅲ .本征函数是()sinn n X x x lπ= 第三步：求特解，并叠加出一般解又由'20T a T λ+=，2n n l πλ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得 2'0n a T T l π⎛⎫+= ⎪⎝⎭两边积分其中n C 是积分常数。
于是()()()2,sinn a t l n n n n n u x t X x T t C ex lππ⎛⎫- ⎪⎝⎭== ，1,2,3,n =⋅⋅⋅ 故一般解 ()21,sinn a t l n n n u x t C ex lππ⎛⎫∞- ⎪⎝⎭==∑ 第四步：确定叠加系数由初始条件()(),u x t x ϕ=，有 ()1sinn n n C x x lπϕ∞==∑ 两端同乘以sin m x lπ，逐次积分有 于是()21,sinn a t l n n n u x t C exdx lππ⎛⎫∞- ⎪⎝⎭==∑，1,2,3,n =⋅⋅⋅ 分析解答由初始温度()x ϕ引起的温度分布(),u x t 可看作是由各个瞬间热源引起的温 度分布的叠加。
3.3 初值问题的付氏解法引言：上节求解混合问题时，空间坐标x 变动区间为[]0,l 。
如考虑无界杆的热传导，如何？将(),f x t 等在[],l l -上展成Fourier 级数，再让区间[],l l -无限扩大。
结果：在一定条件下，Fourier 级数变成一个积分形式，称为Fourier 积分。
3.3.1 Fourier 积分设()f x 定义在(),-∞∞内，且在任一有限区间[],l l -上分段光滑，则()f x 可 展开成Fourier 级数 其中 ()1cos l n l n a f d l lπξξξ-=⎰， ()1sin l n l n b f d l lπξξξ-=⎰，0,1,2,n =⋅⋅⋅则现设()f x 在(),-∞∞上这时可积，即()f x dx -∞∞=⎰有限值，则当l =∞时，证1lπλ=，22l πλ=，⋅⋅⋅，n n l πλ=，⋅⋅⋅1n n n l πλλλ+∆=-=，则 上式写成()()01cos d f x d λξλξξπ∞∞-∞=-⎰⎰，()cos x λξ-它是关于λ的偶函数。
∴ ()()()1cos 2f x d f x d λξλξξπ∞∞-∞-∞=-⎰⎰称为()f x 的Fourier 积分可以证明：()f x 及()'f x 的连续点处，()f x 的付氏积分收敛于它在 的函数值。
Fourier 积分还可写为 其中 ()()1cos 2A f d λξλξξπ∞-∞=⎰，()()1sin 2B f d λξλξξπ∞-∞=⎰。
定解问题其中()x ϕ为已知函数。
分析：已知一无限长细杆在初始时刻的温度分布，求其以后的温度分布。
分离变量法求解：令()()(),u x t T t X x =，则有'''0T aT X X λλ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ，λ为常数。
有()2a t T t e λ-=ⅰ 0λ<时，()T t 将随t 的增加而增加，所以不合理。
ⅱ 0λ≤，证2u λ=，则 '0T aT λ+='20T u aT ⇒+=① 当0u =()0λ=时，T T =，12X X C C x ==+T ，1C ，2C 为积分常数，2C 必须0=因为x →∞，()X x 会无界，所以1X C =② 当0u ≠时，22u a t T e -=，cos sin x A ux B ux =+，A ，B 与x ，t 无关，而恒等于u 。
0λ≤，u 取所有实数，解的叠加只能积分。
而 ()()[],0cos sin u x x A ux B ux du ϕ∞-∞==+⎰由Fourier 积分有 而2240cos b ax ae bxdx -∞-=⎰分析解答解的物理意义：由初始温度()ϕξ引起的温度分布(),u x t 可看作由各个瞬 间点热源引起的温度分布的叠加。
说明： ①取()224x a tv ξ--=在单位横截面积细杆上取x 点附近的一个小单元(),x x δδ-+，设在 任意区间外，函数()0x ϕ=，在由()x U ϕ=（常数）物理上：在初始时刻， 这个表示吸取了热量2Q C U ρδ=⋅⋅,使这一段温度为U ，此后温度在细杆上的分布由()()()224,x a tu x t ed ξϕξξ--∞-∞=给出。
②()224x x a tx U e d ξδδξ--+-()224x x a tx e d ξδδξ--+-=0δ→，将分布在整个一小段上的热量Q 看作在极限情形只作用在x 点，则在x x =有瞬时点热源，强度为Q ，这样的热源，在细杆上得到的温度分布为：由积分中值定理()()22224412x x x a ta tx ed eξξδδξδ----+-=⎰其中x x ξ-∂<<+∂，0δ→时，0ξ→，则故v 所代表的温度分布是当初始时刻0t =时，细杆在x ξ=处受到强度为Q C ρ=的瞬时点热源的作用而产生的。
对原问题的解：① 为在初始时刻要使细杆在x ξ=处只有温度()ϕξ，则在此近邻一小单位d ξ上需吸收的热量()()dQ d C C d ρξϕξρϕξξ==，或在x ξ=点有温度为dQ 的瞬时点热源，所产生的温度分布为()()224x a td ξϕξξ--，在细杆的所有点上，初始温度()ϕξ的总作用，就是由这些个别单位的作用由初始温度()ϕξ引起的的温度分布(),u x t 可看作由各个瞬时点热源所 引起的温度分布的。