数学物理方程 第三章 分离变量法
静电场的微分方程与解的唯一性(中文)
通解。
数学物理方程描述物理量随时间和空间的变化特性。
定解条件
初始条件 边界条件
静电场与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及
拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。
根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静
电场的边值问题。
此处边界条件实际上是指给定的边值，它不同 于前一章描述静电场的边界上场量变化的边界条件。
第三章 静电场的边值问题
主要内容 电位微分方程、镜像法、分离变量法。
1. 电位微分方程 2. 镜像法 3. 直角坐标系中的分离变量法 4. 圆柱坐标系中的分离变量法 5. 球坐标系中的分离变量法
1. 电位微分方程 已知电位 与电场强度 E 的关系为
E
对上式两边取散度，得
EHale Waihona Puke 2对于线性各向同性的均匀介质，电场强度 E
的散度为
E
那么，电位满足的微分方程式为
2
泊松方程
2
对于无源区， ，0 上式变为
2 0
拉普拉斯方程
已知分布在 V 中的电荷 (r在) 无限大的自由空
间产生的电位为
(r)
1 4π
(r) dV V| r r|
上式为泊松方程在自由空间的特解。
利用格林函数可以求出泊松方程在有限空间的
可以证明电位微分方程解具有惟一性。
若静电场的边界为导体，此时给定导体上的电位就
是第一类边界。 已知
ﾶ ﾶn
S
可见，表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。
因此，若给定导体表面上的电荷量就是第二类边界。
因此，对于导体边界，当边界上的电位，或电位 的法向导数给定时，或导体表面电荷给定时，空间的 静电场即被惟一地确定。这个结论称为静电场惟一性 定理。
数学物理方法-14.2 分离变量法-1维热传导
2
(n 0,1,2,3,)
l
, (n 0,1,2,3,)
na 时间函 (t ) T Tn (t ) 0 n 数方程 l
Tn (t ) Cn e
na t l
2
(n 0,1,2,3,)
两端绝热杆的热传导问题
• 则定解问题的解为
分离变量法
将解表示为
时间函数X(x)×空间函数T(t) 导出时间函数和空间函数的常微分方程 逐个求解X(x)和T(t)，每一个记为Xn(x)×Tn(t)
对于线性问题，叠加原理成立，则通解为
u( x, t ) un ( x, t ) X n ( x)Tn (t )
基本步骤： 1. 变量分离，分别导出初始值问题，固有值问题； 2. 求解固有值问题，确定边值问题的固有值和固有函数； 3. 根据固有值，求解初始值问题，含未知系数； 4. 解的叠加，根据偏微分方程的初始条件确定未知系数。
t=1s t=0 t=100s t=5s
u
x
作 业
pp 354, T3， T5
n 1 n 1 na t l
2
n sin x l
• 由初始条件得
n ( x) C n sin x l n 1
2 l n C n ( x) sin xdx (n 1,2, ) l 0 l
？
算例：原始温度分布
u(x, 0)
分离变量法： 均匀杆的热传导问题
• [问题]设有一均匀细杆，长为l，两个端点的坐标为x=0和 x=l，端点处的温度保持为零度，已知杆上初始温度分布 为 ( x) ，求杆上的温度变化规律。 ( x) x 0 0
第三章 静电场边值关系
电位所满足的拉普拉斯方程在圆柱坐标系
中的展开式只剩下包含变量r 的一项，即电 位微分方程为
2 1 d d r 0 r dr dr
求得
C1 ln r C 2
利用边界条件：
V r a
C1 ln a C 2 V C1 ln b C 2 0
q q 4 π r 4 π r
可见，为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为
r q q r
上任一点均具有同一数值。由上图可见，若要求三角形 △OPq
r 为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求比值 对于球面 r
r a 与 △ OqP 相似，则 常数。由此获知镜像电荷应为 r f
代入上述边界条ห้องสมุดไป่ตู้，求得镜像电荷如下：
q
1 2 q 1 2
q
2 2 q 1 2
例 已知同轴线的内导体半径为a，电位为V，外导体接地，其
内半径为b。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。
解
V a b
O
对于这种边值问题，镜像法不适
用，只好求解电位方程。为此，选用圆柱 坐标系。由于场量仅与坐标 r 有关，因此，
以格林函数表示的积分解。
数学物理方程是描述物理量随空间和时间的变化规律。对于某 一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始值与边界值， 这些初始值和边界值分别称为初始条件和边界条件，两者又统称为 该方程的定解条件。静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的 泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界 条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题。
q q
电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半
数学物理方程第二版答案
数学物理方程第二版答案第一章. 波动方程§ 1方程的导出。
定解条件4.绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。
解：如图2，设弦长为I，弦的线密度为，则x点处的张力T(X)为T(x) g(l x)且T(x)的方向总是沿着弦在x点处的切线方向。
仍以u(x,t)表示弦上各点在时刻t沿垂直于x轴方向的位移，取弦段(x,x x),则弦段两端张力在u轴方向的投影分别为其中(x)表示T(x)方向与x轴的夹角于是得运动方程x, y,t 有二阶连续偏导数。
且(t2 x23 y2) 2(t2x23y2) 23(t2 x2y2)g(l x)sin (x); g(l (x x)) sin (x x) sin tgx.利用微分中值定理，消去[I (x x)]」x再令[I x]」x2ug [(lt xu x)]。
x5.验证u(x, y,t) 在锥t2 2 y >0 中都满足波动方程2u 2 x 证：函数u(x,y,t) 2 2 2在锥t x y >0内对变量即得所证。
§ 2达朗贝尔公式、3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 (x)=F ( 0)+G ( 2x ) 令 x+at=0 得 (x)=F ( 2x )+G(0)所以F(x)=(-)-G(0).G（x =（；）刊0）. 且 F(0)+G(0)=(0)x at x at x所以u(x,t)=(丁)+ (丁)- (0).即为古尔沙问题的解。
&求解波动方程的初值问题同理 所以(t 2 (t 22U飞x x 2x 2t 22u2u 7t 2 x 2 2u3y 2) 2x 2 y 2 x 2t 2(2t 2 y 252 t 2 x 2 y 2)3t 2 2x 2 x 2 y 2y 252x 2t 2 x 2 2y 252 2t 2 x 2y 22u波的传抪2u 下 ux atx at 0x 2 (x) (x).(0) (0)22u ..—2 tsinx x 0,丄 |t 0t解：由非齐次方程初值问题解的公式得tsin x sin(ttsin x即u(x,t) tsin x 为所求的解。
数学物理方程课后参考答案第三章
解：令
又 故取 则 满足调和方程
即
代入原定解问题，得 满足
用分离变量法零解 ，得
.
所以
再由另一对边值得
所以 .
得
最后得
8.举例与说明在二维调和方程的狄利克莱外问题，如对解 不加在无穷远处为有界的限制，那末定解问题的解以不是唯一的。
是区域 中的调和函数（无穷远点除外）.
如果区域 为球面K以外的无界区域，则函数u 在 中除去原点O外是调和的，函数 称为函数 的凯尔文（Kelvin）变换。
证明：只需证明 满足 。
=
=
代入 的表达式，有
=
=
若u在包含原点O的有界区域内处处式调和的即 ,则除无穷远点（O的反演点）外， 即除 点外v是调和的。若u在无界域 上是调和的，则除去O点外，v也是调和的。证毕。
且矩阵( )是正定的，即
由于矩阵( )是非正定的，故 可以写成 的线性齐次式的平方和，即
=
所以
于是
因此在 点
与 在 点满足方程是矛盾的，故 不能在 内部达到正的最大值。
7．证明第6题中讨论的椭圆形方程第一边值问题的唯一性与稳定性。
证：唯一性。只须证明方程在齐次边值条件只的零解。
设 在 内满足方程，在 边界 上 。因 在 上连续，故 是有界的，
第三章调和方程
§1建立方程定解条件
1．设 是n维调和函数（即满足方程
），试证明
其中 为常数。
证： ,
即方程 化为
所以
若 ，积分得
即 ，则
若 ，则 故
即 ，则
2．证明拉普拉斯算子在球面坐标 下，可以写成
第三章静电场5—分离变量法
第三章静电场（5）分离变量法陈德智2011年3月分离变量法之要点•求解区域边界与坐标面平行。
（矩形，圆形，球形等，共11种坐标系可解）•微分方程和部分边界条件皆为齐次。
（便于叠加）•将方程分解为若干只与某个坐标相关的函数的乘积，求解本征值问题。
•利用边界条件和本征函数的正交性确定系数。
分离变量法举例1：栅极的静电场设栅网与极板均为无限大，栅网只有平行的格线组成，栅格宽度为a。
栅网平面上的电位呈周期性分布，可用Fourier级数表示。
2nπ分离变量法举例1：栅极的静电场电位分布212(1)cos()nxannx n y U U ed aππϕ∞−==−+∑分离变量法举例2：尖角/凹陷处的静电场接地的两平面导体形成一定夹角α ，在远处有一些电荷或带电体，分析夹角附近的场分布。
构建模型：设远处有一同心圆弧形导体，电位为U。
（这样假设是为了解题方便；远处的场不是关心的所在）0100(sin cos )ρφραραα=−+⎜⎟⎝⎠E e e 0ρ→当απ<0πααρ−→如果0100(sin cos )ρφραραα=−+⎜⎟⎝⎠E e e 0ρ→当απ=1πααρ−→如果010004(sin cos )4y U U ρφφφρπρπ=−+=−E e e e01004(sin cos )U πααρφρπφπφραραα−⎛⎞=−+⎜⎟⎝⎠E e e 0ρ→当πααρ−→∞απ>如果尖劈局部电场分布（右图电力线按反方向绘制）尖劈电场分布的ANSYS有限元计算结果采用ANSYS计算尖劈电场分布的两种有限元网格分离变量法学过数学物理方程的人会有这样的经验，使用分离变量法求解边值问题是相当麻烦的。
可是，当你看到那么复杂的电磁场问题，通过一步步的推导，得出了美妙的结果，会产生一种发自内心的愉悦。
要知道，这些问题的解决，曾经想破了无数最聪明的脑袋，是数学物理史上了不起的成就，——而现在，它属于你了。
其次，虽然过程有些繁琐，但是不难，因为解题的步骤都大同小异。
数学物理方程2-3章课后部分习题答案
数学物理方程 李明奇主编 电子科技大学出版社2-3章部分习题答案习题2.14.一根长为L 、截面面积为1的均匀细杆，其x=0端固定，以槌水平击其x=L 端，使之获得冲量I 。
试写出定解问题。
解：由Newton 定律： tt x x Sdxu t x YSu t dx x SYu ρ=-+),(),(，其中，Y 为杨氏模量，S 为均匀细杆的横截面积，x u 为相对伸长率。
化简之后，可以得到定解问题为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==========)(|,0|0|,0|)/(0002L x I u u u u u a u Y u t t t L x x x xx xx tt δρρ。
习题2.23.设物体表面的绝对温度为u ，它向外辐射出去的热量，按斯特凡-波尔兹曼定律正比于4u ，即dSdt ku dQ 4=，设物体与周围介质之间，只有热辐射而无热传导，周围介质的绝对温度为已知函数),,,(t z y x ϕ，。
试写出边界条件。
解：由Fourier 热传导实验定律dSdt nuk dQ ∂∂-=1，其中1k 称为热传导系数。
可得dSdt u k dSdt n uk )(441ϕ-=∂∂-，即可得边界条件：)(441ϕ--=∂∂u k k nus。
习题2.34.由静电场Gauss 定理⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅VsdV dS E ρε01，求证：0ερ=⋅∇E ，并由此导出静电势u 所满足的Poisson 方程。
证明：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=⋅VVsdV dV divE dS E ρε01，所以可以得到：0ερ=divE 。
由E divE ⋅∇=与u E -∇=，可得静电势u 所满足的Poisson 方程：02ερ-=∇u 。
习题2.42.求下列方程的通解：（2）：;032=-+yy xy xx u u u （5）：;031616=++yy xy xx u u u 解：（2）：特征方程：03)(2)(2=--dxdydx dy 解得：1-=dx dy 和3=dxdy。
数学物理方法技巧-14.4分离变量法-非齐次方程
格林函数法
方法概述
格林函数法是一种通过构造格林函数 ，将非齐次方程的求解转化为格林函 数的求解的方法。
适用范围
适用于一些具有特定边界条件的非齐 次方程，如具有初值条件或边值条件 的非齐次方程等。
求解步骤
首先，根据非齐次方程的形式和边界 条件，构造一个合适的格林函数；然 后，通过求解格林函数的微分方程或 积分方程，得到格林函数的具体形式 ；最后，利用格林函数的性质，将原 非齐次方程的求解转化为格林函数的 求解，从而得到原方程的解。
对于某些特定的哈密顿算符和初始条件，可以通过分离变量法将含时薛定谔方程简化为一系列常微分 方程，进而求得波函数的解析解或数值解。
06 总结与展望
分离变量法在非齐次方程中的意义和价值
分离变量法是一种重要的数学物理方法，用于求解非齐次方程，特别是偏微分方程。通过将多变量问 题转化为单变量问题，分离变量法能够大大简化问题的求解过程。
变量分离
将多元函数中的各个变量分离开来， 使得每个变量仅出现在一个函数中， 从而简化问题。
分离变量法的适用范围
线性偏微分方程
适用于线性偏微分方程，特别是具有 齐次边界条件的偏微分方程。
可分离变量的方程
适用于通过变量代换可将偏微分方程 转化为可分离变量的常微分方程的方 程。
分离变量法的步骤
变量代换
数学物理方法技巧-14.4分离变量 法-非齐次方程
目 录
• 分离变量法概述 • 非齐次方程的基本概念 • 分离变量法在非齐次方程中的应用 • 其他求解非齐次方程的方法 • 非齐次方程在实际问题中的应用 • 总结与展望
01 分离变量法概述
分离变量法的基本思想
偏微分方程求解
通过适当的变量代换，将偏微分方程 转化为常微分方程进行求解。