2015.05.31热身考试卷

第4题图福建省厦门双十中学2015届高三热身考数学（文）试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2x x 20,A x x Z =--≤∈，集合{}420，，=B ，则B A ⋃ 等于A ．{}4,2,1,0,1-B ．{}4,2,0,1-C ．{}420，，D ．{}4210，，， 2．如果mi i+=-112（R m ∈，i 表示虚数单位），那么=m （ ）A ．2B ．1C ． 0D ． 1-3.已知0a b >>，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．11()()43a b < B. 11a b >C.ln()0a b ->D. 31a b -<4. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的x 值是A ．3B ．4C ．6D ．85. 在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并且以线段AM 为边作正方形， 则这正方形的面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率为（ ）A ．13B ．14 C ．274 D ．45126.已知命题:p R x ∀∈，0xe >命题:q R x ∃∈，22x x ->，，则（ ）A ．命题p q ∨是假命题 B.命题p q ∧是真命题 C.命题()p q ∧⌝是真命题 D.命题()p q ∨⌝是假命题 7．已知函数()()21cos ,4f x x x f x '=+是函数()f x 的导函数，则()fx '的图象大致是A ． B. C. D.PN MCBAO8．已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+-≤-+0101205x y x y x ，则y x 的最小值是A.1B. 4C.23D.09.已知某几何体的三视图如图所示，三个视图都为直角三角形， 其中正视图是以2为直角边的等腰直角三角形，则该几何体的 外接球的表面积为( )A ．π16B ．π9C ．π8D ．π410. 已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，向量()()1,3,sin ,cos -==A A ．若向量m与向量的夹角是2π，且cos cos sin a B b A c C +=，则B A -的大小为（ ） A ．6π-B ．2πC ．6π D ．011. 如图,2=,2=,m =,n =,若83=m ,那么=n （ ） .A 12 .B 23 .C 34 .D 4512．设点(,)P x y 是曲线1(0,0)a x b y a b +=≥≥上任意一点，其坐标(,)x y 均≤b +取值范围为（ ）A. (]0,2B. []1,2C. [)1,+∞D. [)2,+∞第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置.13.过抛物线2x y =上的点)41,21(M 的切线的倾斜角等于__________.14.已知函数22cos ,0()sin(),0x x x f x x x x α⎧+>=⎨-++<⎩是奇函数，则sin α= ．15．以抛物线x y 202=的焦点为圆心，且与双曲线221169x y -=的两条渐近线都相切的圆的方程为__________________16.设函数()f x 的定义域为D ，如果x D ∀∈，存在唯一的y D ∈，使()()2f x f y C +=（C 为常数）成立。

则称函数()f x 在D 上的“均值”为C .已知四个函数：①3()y x x R =∈；②1()2xy =()x R ∈；③ln ((0,))y x x =∈+∞；④2sin 1().y x x R =+∈上述四个函数中，满足在定义域上的“均值”为１的函数是 ．（填上所有满足条件函数的序号）俯视图三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） 已知等差数列{a n }中，其前n 项和c n S n +=2（其中c 为常数），(1)求{a n }的通项公式；(2)设{}n n b a b +=,11是公比为2a 等比数列，求数列{b n }的前n 项和n T18. （本题满分12分）某环保部门对甲、乙两类A 型品牌车各抽取5辆进行2CO 排放量检测，记录如下(单位：g/km ).经测算发现，乙品牌车2CO 排放量的平均值为120x =乙g/km ．（Ⅰ）从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，则至少有一辆2CO 排放量超过130()/g km 的概率是多少？ （Ⅱ）若90130x <<，试比较甲、乙两类品牌车2CO 排放量的稳定性． 19．（本小题满分12分）设函数)0,0( )sin()(<<->+=ϕπωϕωx x f 的最小正周期是π，其图像的一条对称轴是直线8π=x ，又锐角三角形ABC 中，满足()22-=C f （Ⅰ）求函数()x f 的解析式； （Ⅱ）若B AA tan 2sin 1tan =-，求角A ；20．（本题满分12分）在四棱锥ABCD P -中（如图），底面ABCD 是直角梯形，M 为PC 中点，且//AB DC ，45=∠ABC ，1DC =，2=AB ，⊥PA 平面ABCD ，1=PA ．（Ⅰ）求证：//CD 平面MAB ； （Ⅱ）求三棱锥M PAD -的体；（Ⅲ）若点K 线段PA 上，试判断平面KBC 和平面PAC 的位置关系，并加以证明.21. （本小题满分12分）已知椭圆C:22221x ya b+=( 0a b >>)的离心率为21,点(1,32)在椭圆C 上. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 若椭圆C 的两条切线交于点M (4,t ),其中t R ∈,切点分别是A 、B ,试利用结论:在椭圆22221x y a b+=上的点(00,x y )处的椭圆切线方程是00221x x y ya b+=,证明直线AB 恒过椭圆的右焦点2F ； (Ⅲ)试探究2211||||AF BF +的值是否恒为常数,若是,求出此常数；若不是,请说明理由. 22．（本小题满分14分）已知函数2()ln (0,,)f x x ax bx x a R b R =++>∈∈， 2.718e =，为自然对数的底数.（Ⅰ）若曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为220x y --=，求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）当1b =时，若()f x 的极大值大于零？求出a 的取值范围；（Ⅲ）证明命题“已知()h x 在其定义域D 上是单调递增函数，若0x D ∃∈，满足()()00h h x x =，则()00h x x = ”是真命题，并探索：当0,1a b >= 时，函数()()y f f x x =- 是否存在大于1 的零点.CB福建省厦门双十中学2015届高三热身考数学（文）试卷答案（2015.05.31）一、ABADB CACBC CD 二、13.4π 14. 1- 15.()2259x y -+= 16. ①③三．17．【解析】：(1) ,111c S a +== ,3122=-=S S a 5233=-=S S a -----------2分 因为等差数列{a n }，所以3122a a a += 得0=c -------------------------------------4分 211==∴d a 12-=n a n -----------------------------------6分(2) 32=a ，211=+b a 132-⨯=+∴n n n b a ------------------------------8分n n n a b -⨯=∴-132-----------------------------------------------9分()()1331312221--=+++---=∴n a a a S n n nn -------------------12分18．解：（Ⅰ）从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，共有10种不同的2CO 排放量结果： 110,80；120,80；140,80；150,80；120,110；140,110；150,110；140,120；150,120；150,140 ---------------2分设“至少有一辆2CO 排放量超过130()/g km ”为事件A ，则事件A 包含以下7种不同的结果：140,80；150,80；140,110；150,110；140,120；150,120；150,140 -----4分所以，7.0107)(==A P ---------------------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）由题可知，120==乙甲x x ，220=+y x ---------------------------7分()22580120S =-+甲()+-2120110()+-2120120()+-2120140()30001201502=--------8分25S =乙()+-2120100()+-2120120()+-2120x ()+-2120y ()2120160- +=2000()+-2120x ()2120-y -----------------------------------------------9分220,x y +=∴25S =乙+2000()+-2120x ()2100-x ，令t x =-120，13090<<x ，1030<<-∴t ， 25S ∴=乙+2000+2t ()220+t ，2255S S ∴-=乙甲22406002(30)(10)0t t t t +-=+-<120==乙甲x x ，22<S S 乙甲，∴乙类品牌车碳排放量的稳定性好-----------------12分19. 【解析】：（Ⅰ）由已知，2,2=∴=ωπωπ-----------------------------1分因为其图像的一条对称轴是直线8π=x 42418ππϕππϕππ+=⇒+=+∴±=⎪⎭⎫⎝⎛∴k k f -----3分 43,0πϕϕπ-=∴<<- -------4分 所以 )432sin()(π-=x x f -------5分 （法二：因为其图像的一条对称轴是直线8π=x ，所以()04f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 得sin sin cos 2πϕϕϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得tan 1ϕ= ……）（Ⅱ）()22-=C f 得22432sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πC ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈-∴⎪⎭⎫⎝⎛∈4,434322,0ππππC C 44432πππ=∴-=-∴C C ------------7分 43π=+∴B A -----------------------------① 由B A A tan 2sin 1tan =-得BBA A A A cos sin cos sin 21cos sin =-得BBA A A cos sin cos sin 21sin 22=- 得B B A A cos sin 2sin 2cos =-------------------------------9分得0sin 2sin cos 2cos =+B A B A 得()02cos =-B A ----------------------10分 22ππ+=-∴k B A B k A ++=22ππ 因为B A ,都是锐角 B A +=∴22π------②解①②得=A 125π---------------------------------------------12分20．【解析】证明：（Ⅰ）因为AB CD ，--------------------------------------------------1分又AB ⊂平面MABCD ⊄平面MAB ------------------------- 3分∴//CD 平面MAB --------------------------------------------------------------------4分（Ⅱ）∵M 是PC 中点， ∴M 到面ADP 的距离是C 到面ADP 距离的一半 -----------5分111111()(11)3232212M ACD APD V S CD -∆=⋅=⨯⨯⨯⨯=----------------------------------7分（Ⅲ）在直角梯形ABCD 中，过C 作CE AB ⊥于点E ，则四边形ADCE 为矩形，∴1AE DC ==， 又2AB =，∴1BE =,在Rt BEC ∆中，45ABC ∠=， ∴1,CE BE CB ==，∴1AD CE ==则AC =，222AC BC AB +=∴BC AC ⊥ -----------------------------------------------------------------8分 又PA ⊥平面ABCD ，∴PA BC ⊥ ---------------------------------------------9分 PA AC A ⋂=∴BC ⊥平面PAC ---------------------------------------------------------------------10分 又因为BC ⊂平面KBC ，所以平面K ⊥BC 平面PAC -----------------------------12分21【解析】： (Ⅰ)设椭圆C 的方程为22221x y a b +=(0a b >>) ，431222=-=e ab ①点(1,32)在椭圆C 上,221914a b+=②, 由①②得:224,3a b == ∴椭圆C 的方程为22143x y +=， ……………… 4分 (Ⅱ)设切点坐标11(,)A x y ,22(,)B x y ,则切线方程分别为11143x x y y +=,22143x x y y+=. 又两条切线交于点M(4,t ),即1113t x y +=,2213tx y += 即点A 、B 的坐标都适合方程13tx y +=,显然对任意实数t ,点(1,0)都适合这个方程， 故直线AB 恒过椭圆的右焦点2F . ……………… 8分 (Ⅲ)将直线AB 的方程13tx y =-+，代入椭圆方程,得 223(1)41203t y y -++-=,即22(4)2903t y ty +--=所以122612t y y t +=+,1222712y y t =-+……………… 10分 不妨设120,0y y ><,21||AF y ===,同理22||BF y =所以2211||||AF BF +21121211()y y y y y y --==1243= 所以2211||||AF BF +的值恒为常数43.----------------------------------12分22（Ⅰ）依题意，1'()2f x ax b x=++， ·································································································· 1分 又由切线方程可知，1(1)2f =-，斜率12k =， 所以1'(1)12,21(1),2f a b f a b ⎧=++=⎪⎪⎨⎪=+=-⎪⎩-----------------------2分解得0,12a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以()ln 2x f x x =- ································································································· 4分 （Ⅱ）依题意，2()ln f x x ax x =++，所以2121'()21(0)ax x f x ax x x x++=++=> ①当0a ≥时，'()0f x >在(0,)+∞上恒成立，故无极值； ······························································ 5分②当0a <时，令'()0f x =，得2210ax x ++=，则180a ∆=->，且两根之积12102x x a=<， 不妨设120,0x x <>，则122()()'()a x x x x f x x--=，()20,x x ∈时， ()0f x '> ，()f x 单调递增， ()2,x x ∈+∞时，()0f x '< ，()f x 单调递减，所以()f x 的极值大为22222()lnx f x ax x =++即求使2()0f x >的实数a 的取值范围. ·························································································· 7分因为2x 满足222210,ax x ++=所以 2()f x =221l n 02x x -+> ··············································· 8分 构造函数1()ln 2x g x x -=+，则11'()02g x x =+>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增， ··········· 9分 又(1)0g =，所以()0g x >解得1x >，即21x =>，解得10a -<<.由①②可得，a 的范围是10a -<<. ····························································································· 10分 （Ⅲ）由已知()0h x D ∈ ，若()00h x x >，则()()()00h h x h x >，所以()00x h x >，矛盾若()00h x x <，则()()()00h h x h x <，所以()00x h x <，矛盾 所以()00h x x =--------------------------------------------------------------------12分 函数()()y f f x x =-的零点，即方程()()f f x x =的根由（Ⅱ）知，当0,1a b >= 时，函数()f x 在()0,+∞ 上单调递增 即方程 ()f x x = 的根 设()()2ln x f x x x ax ϕ=-=+因为()120x ax xϕ'=+> ，所以函数()x ϕ在()0,+∞ 上单调递增 且0x > 且0x → 时，()x ϕ→-∞，()10f a =>故函数()x ϕ存在唯一零点在区间()0,1 上，所以，当0,1a b >= 时，函数()()y f f x x =- 不存在大于1 的零点.-----------14分福建省厦门双十中学2015届高三热身考数学（文）试卷(说明：大题的答案必须写在虚线内，否则无效；必须用黑色签字笔书写)一、二、 13 14. 15. 16.班级 姓名 班级座号 考场 考场座号17. 18.21、---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4D 【解析】3,223242,431,1,12==⨯+=→==+=→==k S k S S k82,4,10010333223==∴=>=⨯+=→k x k S ，选D6.C 因为命题:p R x ∀∈，0x e >是真命题，而命题:q R x ∃∈，22x x ->，是假命题，由复合命题的真值表可知命题()p q ∧⌝是真命题.10．C 解析：,3tan ,0sin cos 3==-=⋅A A A 3π=∴A 由cos cos sin a B b A c C +=得，()C B A C A B B A 22sin sin ,sin cos sin cos sin =+∴=+ 62,1s i n ππ=∴=∴=∴B C C 故=-B A 6π 16.①③ ①对于函数3y x = ，定义域为R ，设x R ∈ ，由3312x y += ，得332y x =-，所以y R =∈，所以函数3y x =是定义域上“均值”为1的函数；②对于函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，定义域为R ，设x R ∈ ,由11221,2x y⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=得11222y x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，当2x =-时 ，21222-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ，不存在实数y 的值，使122y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以该函数不是定义域上“均值”为1的函数；③对于函数ln y x = ，定义域是()0,+∞ ，设l n l n 12x y += ，得l n 2l n y x =- ，则()2l n 0,x y e -=∈+∞ ，所以该函数是定义域上“均值”为1的函数；④对于函数2sin 1y x =+ ，定义域为R ，设x R ∈ ,由2sin 12sin 112x y +++= ，得sin sin y x =- ，因为sin [1,1]x -∈-，所以存在实数y ，使得 sin sin y x =-成立，但这时y 的取值不唯一，所以函数2sin 1y x =+不是定义域上“均值”为1的函数.13.某企业三月中旬生产，A ．B ．C 三种产品共3000件，根据分层抽样的结果；企业统计员制作了如下的统计表格：由于不小心，表格中A ．C 产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C 的产品数量是 件。