数理方程总结完整版
数理方程知识点总结
数理方程知识点总结数理方程是数学理论中的重要分支，其主要研究方向是解决各种类型的方程，包括一元多项式方程、二元一次方程以及各种变形形式的方程等。
数理方程的解决方法非常多元化，通常采用代数、几何、分析等多种方法进行解决，本文将对数理方程的相关知识点进行总结。
一、一元多项式方程1、一元n次多项式方程形如$f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + ... + a_{n-1}x + a_n = 0$，其中$a_0 \neq 0$, $n$为任意正整数，求出方程的根$x_1, x_2, ...,x_n$。
求解该方程的方法有以下几种：（1）牛顿迭代法牛顿迭代法的基本思想是：将一元n次多项式方程重新构造成$x = g(x)$的形式，并求该函数在曲线上的切线截距，不断通过切线截距逼近根的值。
具体算法如下：• 任选一个随机数$x_0$作为初值；• 计算$y = f(x)$在$x = x_0$处的导数$f'(x_0)$；• 根据切线公式$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$，计算出当$y = 0$时的$x$值$x_1$，即$x_1 = x_0 - f(x_0) / f'(x_0)$；• 重复上述过程，将$x_1$作为$x_0$，计算出$x_2$；• 重复以上步骤，直到$x_n$接近被求解的根。
（2）二分法二分法的基本思想是根据函数值的符号改变区间的端点，使函数在这个区间内单调递增或递减，从而迅速缩小待求解根所在的“搜索区间”，达到求解根的目的。
算法流程如下：• 选定区间$[a, b]$值满足$f(a)f(b) < 0$，即根在$[a, b]$区间内；• 取区间中点$c = (a + b) / 2$，计算$f(c)$；• 如果$f(c) = 0$，即找到根；• 如果$f(a)f(c) < 0$，即根在区间$[a, c]$内，则将$b$更新为$c$；• 如果$f(b)f(c) < 0$，即根在区间$[c, b]$内，则将$a$更新为$c$；• 重复以上过程，不断缩小区间，直到找到根或直到区间长度足够小时停止。
数理方程概念汇总
1、什么是泛定方程？以及解的稳定性物理规律，用数学的语言“翻译”出来，不过是物理量u在空间和时间中的变化规律，换句话说，它是物理量u在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。
正是这种联系使我们有可能从边界条件和初始条件去推算u在任意地点（x，y，z）和任意时刻 t 的值u（x，y，z，t）。
而物理的联系总是取的值之间的关系式。
这种邻近地点、邻近时刻之间的关系式往往是偏微分方程。
物理规律用偏微分方程表达出来，叫作数学物理方程。
数学物理方程，作为同一类物理现象的共性，跟具体条件无关。
在数学上，数学物理方程本身（不连带定解条件）叫作泛定方程2、什么是定解条件？答：给定一个方程，一般只能描写某种运动的一般规律，还不能确定具体的运动状态，所以把这个方程称为泛定方程。
如果附加一些条件（如已知开始运动的情况或者在边界上受到外界的约束）后，就能完全确定具体运动状态，称这样的条件为定解条件。
表示开始情况的附加条件称为初始条件，表示在边界上受到的约束的条件称为边界条件。
3、什么是定解问题？答：给定了泛定方程（在区域D内）和相应的定解条件的数学物理问题为定解问题。
根据不同定解条件，定解问题分为三类：1）初值问题只有初始条件和没有边界条件的定解问题为初值问题或者柯西问题；2）边界问题只有边值条件而没有初值条件的定解问题称为边值问题。
3）混合问题既有边界条件也有初值条件的定解问题称为混合问题（有时也称为边值问题）4、什么是定解问题的解？答：设函数u在区域D内满足泛定方程，当点从区域D内趋于给定初值的超平面或者趋于给出边界条件的边界曲面时，定解条件中要求的u及它的倒数的极限处处存在而且满足相应定解条件，就称u为定解问题的解。
5、什么是解的稳定性？答：如果定解条件的微小变化只引起定解问题解在整个定义域中的微小变化，也就是解对定解条件存在这连续依赖关系，那么称定解问题的解是稳定的。
6、什么是定解问题的适应性？如果定解问题的解存在与唯一并且关于定解条件的稳定的，就说定解问题的提法是稳定的。
数理方程公式总结
分离变量法矩形区域（特征方程形式0)x ()x (n =+''X X λ）齐次波动问题⎪⎩⎪⎨⎧==><<=-)()0,(),()0,(边界条件如表)0,0(0u 2x x u x x u t l x u a t xx tt ψϕ分离变量后产生两个常微分方程： ①0)x ()x (n =+''X X λ ②⎪⎩⎪⎨⎧+=⇒=+''at b at a T T a t T n n n n 2n sin cos )t (通解0)t ()(λλλ①式结合边界条件构成特征值问题，得到特征值，特征函数系；②式解出的通解糅合到特征函数系中得到解的通式；热传导问题⎪⎩⎪⎨⎧=><<=-)()0,(边界条件如表)0,0(0u 2x x u t l x u a xx t ϕ分离变量后产生两个常微分方程： ①0)x ()x (n =+''X X λ ②⎩⎨⎧=⇒=+'-t2n 2n )t (通解0)t ()(a n e a T T a t T λλ行波法（一） 自由振动 无限长均匀弦的振动问题⎪⎩⎪⎨⎧==>∞<<-∞=-)()0,(),()0,()0(02ux x t u x x u t x xx u a tt ψϕ变量变换at x -=ξ，at x +=η 解的通式：ξξψϕϕd aat x at x t x u atz atx ⎰+-+++-=)(21)]()([21),( （二） 强迫振动的初值问题 无限长均匀弦的振动问题⎪⎩⎪⎨⎧==>∞<<-∞=-)()0,(),()0,()0(),(f 2ux x t u x x u t x t x xx u a tt ψϕ由叠加原理：I ⎩⎨⎧==>∞<<-∞=-)()0,(),()0,()0(0u 2x x u x x u t x u a t xx tt ψϕ通解形式：ξξψϕϕd aat x at x t x u atz atx ⎰+-+++-=)(21)]()([21),(II ⎪⎩⎪⎨⎧==>∞<<-∞=-0)0,(,0)0,()0(),(f 2ux t u x u t x t x xx u a tt通解形式：⎰⎰-+--=t t a x t a x d d at x 0）()(),(f 21),(u τττξτξ所以通解为：⎰⎰⎰-+--+-++++-=t t a x t a x atz atx d d a d aat x at x t x u 0）()(),(f 21)(21)]()([21),(τττξτξξξψϕϕ（三） 二阶线性偏微分方程的分类与小结11221121212a a a a a dx dy -+=，11221121212a a a a a dz dy --= 积分变换法傅里叶变换在数理方程中的应用 一维热传导方程的初值问题⎩⎨⎧=>∞<<-∞=)()0,()0,(),(-u 2x x u t x t x f u a xx t ϕ变换⎩⎨⎧=>=+)(ˆ)0,(ˆ)0(),(ˆˆu ˆ22ξϕξξξut t f u a t方程的通解：]),(ˆ[t),(u ˆ02222⎰+=-ta t a C d e f e ττξξτξξ由初值条件得⎰+=-tt a ta d ef e 0）-（-2222),(ˆ)(ˆt),(u ˆττξξϕξτξξ 逆变换τξττξπξξϕπττπτπϕτξξτξξd d e t f a d ta d t a x f ta t x t a x t ta x t a x tta x )(4)(04)()(4)(04)(22222222),(21e ）(21e)(21),(e21）x （),(u ---∞∞-∞∞--------⎰⎰⎰⎰-+=-*+*=。
数理方程总结完整终极版
00|()()t t u x ux t ϕψ===⎧⎪∂⎨=⎪∂⎩拉普拉斯算子：四种方法:分离变量法、 行波法、 积分变换法、 格林函数法 定解问题：初始条件.边界条件.其他 波动方程的初始条件:热传导方程的初始条件初始时刻的温度分布 :泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件：不含初始条件，只含边界条件条件 波动方程的边界条件: (1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：或：(2)自由端：x =a 端既不固定，又不受位移方向力的作用.(3) 弹性支承端：在x =a 端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。
定解问题的分类和检验：(1) 初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；(2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；(3) 混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。
• 解的存在性：定解问题是否有解；• 解的唯一性：是否只有一解；• 解的稳定性：定解条件有微小变动时，解是否有相应的微小k z j y i x ˆˆˆ∂∂+∂∂+∂∂=∇u u ∇=grad 2222222z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅∇=∇22222y u x u u ∂∂+∂∂=∇0(,)|()t u M t M ϕ==0|0,x u ==(,)0u a t =变动。
分离变量法：基本思想：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。
把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。
适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等分离变量法步骤：一有界弦的自由振动 二有限长杆上的热传导 三拉普拉斯方程的定解问题常用本征方程 齐次边界条件2''0(0)()0,/,1,2,sin k k X X X X l k l k X xλλββπβ+=⎧⎨==⎩====0,1,2,0,1,2,λ0,1,2,λ非齐次方程的求解思路用分解原理得出对应的齐次问题。
数理方程重点总结
X (0) A 0 B 1 0
断 言: B 0， 于 是 有
u
u
0,
0 (2)
x x0
x xl
X ( x) A sin x
又 由 边 界 条 件u
0， 得
x xl
sin l 0
于 是 ， 得 到 空 间 变 量 问题 的 本 征 值
l n
或
n
( n l
)2
(n 1,2,3,)
据此，解得H( y)
H ( y) cos y 1 y2 1 H (0) 6
(7)
将 （5） 、 （7） 代 入 （4） 式 ， 即 得 特 解
u( x, y) 1 x3 y2 cos y 1 y2 1 x2
6
6
再另附：直接积分法 求偏微分方程的通解
2u u
t
2 2xt
xt x
可 以 由 两 个 边 界 条 件 唯一 地 被 确 定 。
例如 f (x) x
W (x)
1 6a 2
x3
C1 x C2
W (0) M1
M1 C2
W (l) M2
l3 M2 6a2 C1l M1
据此，得到W ( x) 的解
C1
M2
M1
l3 6a 2
l
M2
l
M1
l2 6a 2
X X 0
(1)
u x
0 , u
x0
x
0
xl
(2)
(1) 式的通解为
X ( x) Acos x B sin x
(3)
对上式求导，得
X ( x) A sin x B cos x
X ( x) A sin x B cos x
数理方程公式整理
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝无限长弦的一般强迫振动定解问题200(,)(,0)()()tt xx t t t u a u f x t x R t u x u x ϕψ==⎧=+∈>⎪=⎨⎪=⎩解()()().().0()111(,)(,)222x at t x a t x at x a t u x t x at x at d f d d a a ττϕϕψξξατατ++----⎡⎤=++-++⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 三维空间的自由振动的波动方程定解问题()2222222220001,,,,0(,,)(,,)t t u uu a x y z t t x y z u x y z u x y z t ϕϕ==⎧⎛⎫∂∂∂∂=++-∞<<+∞>⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎪⎪=⎨⎪∂⎪=∂⎪⎩在球坐标变换sin cos sin sin (0,02,0)cos x r y r r z r θϕθϕϕπθπθ=⎧⎪=≤<+∞≤≤≤≤⎨⎪=⎩21()1()(,)44M Mat r S S M M u M t dS dS a t r a rϕψππ⎡⎤''∂=+⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰(r=at)221()1()(,)44M M at atS S M M u M t dS dS a t t a tϕψππ⎡⎤''∂=+⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰无界三维空间自由振动的泊松公式()sin cos ()sin sin (02,0)()cos x x at y y at z z at θϕθϕϕπθπθ'=+⎧⎪'=+≤≤≤≤⎨⎪'=+⎩2()sin dS at d d θθϕ=二维空间的自由振动的波动方程定解问题()222222200,,,0(,)(,)t t u uu a x y t t x y u u x y x y t ϕψ==⎧⎛⎫∂∂∂=+-∞<<+∞>⎪ ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎨∂⎪==⎪∂⎩2222222200001(cos ,sin )1(cos ,sin )(,,)22at at x r y r x r y r u x y t rdrd rdrd a t a a t r a t r ππϕθθψθθθθππ⎡⎤⎡⎤∂++++=+⎢⎥⎢⎥∂--⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 傅立叶变换1()()2i xf x f e d λλλπ+∞-∞=⎰基本性质 线性性质[]1212[][]F ff F f F f αβαβ+=+1212[][][]F f f F f F f *=12121[][][]2F f f F f F f π=* 微分性质[][]F f i F f λ'=()[]()[]k k F f i F f λ=[][]dF f F ixf d λ=- ()()i xf f x e dx λλ+∞--∞=⎰1[()]dixf F f d λλ--= 00[()][()]i x F f x x e F f x λ--= 00[()]()i x F e f x f λλλ=- ..1[()][()]xF f d F f x i ξξλ-∞=⎰ .0.[)]1i x i xx F x x e dx e λλδδ∞--=-∞===⎰（（） ()()..[]i x i F x x e dx e λλξδξδξ∞---∞-=-=⎰1[()]()F f ax f a aλ=若[()]()F f x g λ=则 [()]2()F g x f πλ=- []12()F πδλ=22242ax aF ee λπ--⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭1c o s ()21s i n ()2i a i ai a i aa e e a e e i --=+=-cos sin cos sin ia ia e a i a e a i a -=+=-2x e d x π+∞--∞=⎰＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝拉普拉斯变换()()sx f s f x e dx +∞-=⎰[]Re Re ax c L ce p a p a=>- 21[]L x s =21[]()x L e x s ββ-⋅=+ []22sin k L kt s k =+ []22cos s L kt s k ==+ []22[]2ax ax e e aL shax L s a --==-Re Re s a >[]22[]2ax ax e e sL chax L s a -+==+Re Re s a >基本性质[]1212[][]L f f L f L f αβαβ+=+ 1111212[][]L f f L f L f αβαβ---⎡⎤+=+⎣⎦[()][()],0s L f x e L f x τττ--=≥ 0[()](),Re()ax L e f x f s a s a σ=-->1[()](),(0)sL f cx f c c c=> ()12(1)[][](0)(0)(0)n n n n n L f s L f s f s f f ---'=----..01[()][()]xL f d L f x s ττ=⎰[][()]nn n d L f L x f ds=-..()[]pf x f s ds L x∞=⎰（） 1212[][][]L f f L f F f *= 0[()]()1sxL x x e dx δδ+∞-==⎰ ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝三个格林公式 高斯公式：设空间区域V 是由分片光滑的闭曲面S 所围成，函数P ,Q,R 在V 上具有一阶连续偏导数，则：V SP Q R dV Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z ⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰或()()()cos ,cos ,cos ,V SP Q R dV P n x Q n y R n z dS x y z ⎛⎫∂∂∂++=++⎡⎤ ⎪⎣⎦∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 第一格林公式：设u(x,y,z),V(x,y,z)在SŲS V 上有一阶连续偏导数，它们在V 中有二阶偏导，则：SVVu v dS u vdV u vdV ∇⋅=∇⋅∇+∆⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰第二格林公式：设u(x,y,z),V(x,y,z)在SŲS V 上有一阶连续偏导数，它们在V 中有二阶偏导，则：()()SVu v v u dS u v v u dV ∇-∇⋅=∆-∆⎰⎰⎰⎰⎰第三格林公式设M 0，M 是V 中的点，v(M)=1/r MM0, u(x,y,z)满足第一格林公式条件，则有：000011111()44MM MM MM S V u u M u dS u dV r n n r r ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂=--∆⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ 定理1：泊松方程洛平问题 (,,),(,,)(,,),((,,),(xx yy zz SS S u u u u f x y z x y z V uu x y z x y z n ϕψ∆=++=∈⎧⎪⎨∂==⎪∂⎩连续）连续）的解为： 011111()()()()44S V u M M M dS f M dV r n r r ψϕππ⎡∂⎤⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ 推论1：拉氏方程洛平问题 0,(,,)(,,),((,,),(xx yy zz SS S u u u u x y z V uu x y z x y z n ϕψ∆=++=∈⎧⎪⎨∂==⎪∂⎩连续）连续）的解为： 0111()()()4S u M M M dS r n r ψϕπ⎡∂⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦⎰⎰ ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝调和函数1、定义：如果函数u(x,y,z)满足:(1) 在V S 具有二阶连续偏导数；(2) 0u ∆= 称u 为V 上的调和函数。
数学下册方程知识点总结
数学下册方程知识点总结一、一元一次方程1.概念一元一次方程是指只含有一个未知数，并且该未知数的最高次数是1的方程。
一元一次方程通常的一般形式为：ax+b=0 （a≠0）。
2. 解一元一次方程的基本方法（1）加减消元法：根据“等式两边加（或减）上（或减去）相同的数得到的仍然是等式”的性质，可以通过加减的方式将含有未知数的项移到等式同一边，直至消去。
最终将未知数的系数移到等式右边，即得到未知数的解。
例如：2x+3=5，将3移到等式右边，得到2x=5-3，再将2移到等式右边，得到x=2。
（2）倍加减性质：在一元一次方程中，可以通过乘除的方式将含有未知数的项移到等式同一边，得到未知数的解。
例如：3x+4=7，将3移到等式右边得到4=7-3x，再将-3移到等式右边得到4-7=-3x，即得到-3x=-3，再将-3移到等式右边得到x=1。
3. 解一元一次方程的步骤（1）移项：将含有未知数的项移到等式同一边。
（2）合并同类项：将同一边的所有项相加（或相减）化简。
（3）将未知数的系数移到等式右边，然后进行运算得出未知数的解。
4. 一元一次方程的解法总结对于一元一次方程的解法，无论是加减消元法还是倍加减性质，其核心思想都在于通过等式的变形将未知数的系数移到等式右边，从而得到未知数的解。
因此在解一元一次方程时，需要灵活运用这些解法，并且注意合并同类项的处理。
二、一元一次方程的应用1.实际问题的建立在现实生活中，很多问题都可以用一元一次方程来描述。
例如：某个物品的价格，某种人群的年龄和数量等等。
为了解决这些问题，需要首先将问题用一元一次方程进行建模，然后根据所建立的方程求解出未知数的值。
2.实际问题的解决步骤（1）分析问题，找出未知数。
（2）建立方程。
（3）解方程，得到未知数的值。
（4）检验所得的解是否符合实际意义。
三、一元二次方程1.概念一元二次方程是指含有一个未知数，并且该未知数的最高次数是2的方程。
一元二次方程通常的一般形式为：ax^2+bx+c=0 （a≠0）。
数理方程总结复习及练习要点报告
4
数理方程基本知识
➢ 我们研究的这些定解条件或者约束物理量的特定条 件大体可以分为两大类，一类关乎于环境对物理量 发展过程的约束，这类约束主要体现于物理环境周 围边界的物理状况，即边界条件。另一类关乎于物 理量发展的历史状况，或者说这个物理量之前是什 么样的，这类约束主要体现于时间上我们人为定义 从何时开始针对于物理量的研究，或者说这个物理 量研究初始时的状况，即初始条件。
➢ 数学物理方程研究一些物理量在某些特定条件下 按照物理规律变化的情况。这些物理量所满足的 物理规律具有共性,它反映的是同一类物理现象的 共同规律。物理量受某些特定条件约束，所产生 的物理问题又各具有自身的特殊性，即个性。
3
数理方程基本知识
➢ 具有共性的物理规律可以用偏微分方程的形式描述 ，这些方程在不附加个性条件的情况下称为泛定方 程。
➢ 数学上边界条件和初始条件也统称为定解条件。
5
数理方程基本知识
➢ 由泛定方程、定解条件构成的研究数学物理方程的 问题称为数学物理定解问题，准确地说就是在给定 定解条件下求解数学物理方程。
➢ 偏微分方程的基本概念
－偏微分方程的阶数 最高的求导次数 －偏微分方程的齐次与非齐次 不含有研究函数的非零项 －偏微分方程的线性与非线性
12
数理方程基本知识
➢ Gauss定理
v
v
v
v
对于一般的矢量场 a P(M )i Q(M ) j R(M )k
vv
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此方程的特征函数和特征值分别为：
②“左一右二”齐次边界条件的齐次方程： 2 2u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1 1 则
u ( x, t ) (Cn cos
sin
(n 1/ 2) x l
③：“左二右一”齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1
③“左二右一”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1
则
2 2 ( n 1/ 2) ( n 1/ 2) 2 此方程的特征函数和特征值分别为： X ( x) cos x, = = , n 1,2,3... 2 l l
②：“左一右二”齐次边界条件的齐次方程：
2 u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1
a 2 ( n1/2 )2 2 t l2
(n ) a (n ) a (n ) 2 2 2 u ( x, t ) (Cn cos t Dn sin t ) cos x l l l n 1
1
④“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t 2 x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
①“左一右一”齐次边界条件的齐次方程：
2 2u u 2 , 0 x l , t 0, 2 a 2 x t u | x 0 0, u | x l 0, t 0,
则
n a n a n u ( x, t ) (Cn cos t Dn sin t )sin x l l l n 1
第二章 分离变量法
本章主要掌握三大类方程的解法，分别是有界弦的
自由振动方程，有限杆上的热传导方程，这两个方 程里包括“左几右几”的边界条件的，齐次或非齐 次边界条件的，齐次或非齐次方程的多种形式。 还有一个就是圆域内或扇形域内的二维拉普拉斯方 程，这类方程相对于比较简单，考试时的类型比较 固定。 1.有界弦的自由振动方程（方程是齐次的）的基本 解：
n 1
n n2 2 2 X ( x) sin x, = = 2 , n 1, 2,3... l l
(n ) a
2
l
t Dn sin
(n ) a
2
(n )
2
l
t )sin
l
x
2 2 ( n 1/ 2) ( n 1/ 2) 此方程的特征函数和特征值分别为：X ( x) sin x, = 2 = , n 1,2,3... 2 l l
a 2 ( n 1/2) 2 2 t l2
(n 1/ 2) cos x l
④：“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
n a n a n x t Bn sin t ) cos l l l n 1 2 2 n n 2 此方程的特征函数和特征值分别为：X ( x) cos x, = = 2 , n 0,1, 2,3...
则
u ( x, t ) A0 B0t ( An cos
数理方程总结
第一章：一些典型方程和定解条件的推导
本章没有什么重要的内容，就是一个引子，主要掌握
以下两个知识点： 1：初始条件与边界条件——初始条件是用以说明初 始状态的条件，边界条件是用以说明边界上约束情况 的条件。 2：边界条件的分类——一是在边界S上直接给出了未 知函数u的数值，即u|s=f1，这种形式的边界条件称为 第一类边界条件。二是在边界S上给出了未知函数u沿 S外法线方向的方向导数,即
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最后再补充一点知识，就是有关四类方程的特征函数和特征值， 有可能会考到填空题，大家注意一下。还有就是这四类方程都是 最基本的，考试时的大题不会考到，太简单了，但是解题时会用 到，特别是“左一右一”方程解的形式一定要记住，考试时可以不 再解了，直接写出结果。
2.热传导方程（方程是齐次的）的基本解：
u | s f 2. n
这种形式的边界条件称为第二类边界条件。三是在边界S上给 出了未知函数u及其沿S的外法向的方向导数某种线性组合 的值，即
u u | s f 3 n
这种形式的边界条件称为第三类边界条件。一般的，第三类的边 界条件很少见，考试也很少考，因为用此类边界条件不能求出具 体的值，比如书中§2.2节中例题。此例题的左边的一个边界条件 第一类的，而右边的边界条件是第三类的，有的老师干脆称为这 种方程是“左一右三”的，类似有“左一右一”的，“左一右二” 的，“左 二右一”的，“左二右二”的，等等。
①：“左一右一”齐次边界条件的齐次方程： 2 u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 x t u | x 0 0, u | x l 0, t 0,
则u(x,t)= Cne
n 1
a 2n 2 2 t 2 l
n sin x l