数理方程-总结复习及练习要点
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七年级数学方程知识点总汇
七年级数学方程知识点总汇数学中的“方程”这一概念是我们学好数学的必经之路。
七年级时的代数学习就是方程学习的入门。
为了让大家更好地学习方程，本文总结了七年级数学方程知识点，希望对大家有所帮助。
一、方程的定义和表示方程是一个等式，用字母表示，两边是相等的。
一个方程中可能有多个未知数，我们要通过解方程来求得这些未知数。
形如ax+ b = c的一元一次方程是七年级最基础的方程类型。
二、一元一次方程1. 解一元一次方程解一元一次方程有两种方法：（1）移项法：将含有未知数的项移到一边，不含未知数的项移到另一边，直至只剩下未知数。
对于形如ax + b = c的方程，我们可以通过移项得到x = (c-b)/a的解。
（2）相消法：将方程中相同的项合并，在两侧同时去掉相同的项，得到未知数。
2. 一元一次方程的应用一元一次方程的应用很广，我们平时会遇到很多关于成本、时间、速度等问题。
比如：（1）已知小华走到学校需要5分钟，放慢速度10%需要6分钟,求小华平时所走的路程每分钟走多少米?（2）甲机器和乙机器同时从A地向B地行驶，它们相遇时甲已行（30× 1.2）千米，而乙还有（21×1.2）千米路程没有走完，求机器的速度。
三、二元一次方程二元一次方程是名字已经提示了，有两个未知数的方程。
形如ax + by = c的一次方程是二元一次方程的一种。
1. 解二元一次方程解二元一次方程有多种方法，其中较为常用的有：（1）消元法：通过消去一个未知数，然后带入另一个方程解出此未知数的值，再回代得到另一个未知数的值。
（2）代入法：把一个方程的解代入另一个方程后解出未知数的值。
（3）图像法：将二元一次方程转化为直线方程，利用直线之间的位置关系来求解未知数的值。
2. 二元一次方程的应用二元一次方程的应用主要在以两种物品或者两种现象为主体的问题上。
比如：（1）甲物价值3元/件，乙物价值2元/件，现在甲物和乙物总价值是21元，数量一共是10件，求甲物和乙物的数量分别是多少？（2）一间房每日租金为x元，但因某原因9天来不单日租出，只好统一减低租金，第一天减低x元，第二天减低2x元直到第9天，九天后全房租金收入162元，求原来每日租金多少元？四、一元二次方程现在我们跨入了新的难点——一元二次方程。
数理方程重点总结共53页
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
数理方程重点总结
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
数学物理方程复习资料
∞ n=1
bn
sin= nπl x (x ∈ C), 其中 bn
2= l f (x) sin nπ xdx (n 1, 2,3, ).
l0
l
∑ ∫ 当 f (x) 为偶函数时， f (x) = a20 + n∞=1 an cos= nπl x (x ∈ C), 其中 an
2= l f (x) cos nπ xdx (n
的常微分方程，并由齐边值条件可得固 有值问题。
二阶线常性微齐分次方微程分方程→
特征方程为 r2 + λ =0
求解固有值问题，即解出固有值以及固 有函数
结合定解条件讨论 λ 的取值范围
确定系数，由选定的固有值来求 T (t) ，
进而得到一系列特解，然后利用叠加原 理叠加特解得到一个无穷级数解，并由 初始条件确定无穷级数的系数。 M2 积分变换法 根据自变量的变化范围以及定解条件 的具体情况，选取适当的积分变换。然 后对方程两端取变换，把一个含两个自 变量的偏微分方程化为含一个参变量 的常微分方程。
（1） 固定端（第一边值条件= ）： u = x 0= 0, u =x l 0, t ≥ 0
（2） （3）
自由端（第二边值条件= ）： ∂∂ux = x 0= 0, ∂∂ux=x l 0, t ≥ 0
弹性支承端（第三边值条件= ）： (∂∂ux + σ u) x 0= =0, (∂∂ux + σ u) x l =0, t ≥ 0 ，其中σ = k / T 。
1.偏微分方程&数学物理方程：含有未知多元函数及其偏导数（也可仅含有偏导数）的方程称为偏微分方程； 描述物理规律的偏微分方程称为数学物理方程。 2.方程的阶：偏微分方程中未知函数的偏导数的最高阶数；
数理方程-总结复习及练习要点
数理方程基本知识
➢ 方向导数
x x0 cos
数量场函数
uu(x,y,z;t)沿射线 cos
的差商的极限存在，则称此极限为数量场在点 (x0, y0, z0)
沿方向e r c o s,c o s,c o s方向导数，记作 Deu(x, y, z)
如同一元函数导数反应的是函数变化率一样，方向导
➢ 偏微分方程的基本概念
－偏微分方程的阶数 最高的求导次数 －偏微分方程的齐次与非齐次 不含有研究函数的非零项 －偏微分方程的线性与非线性
光学与电子科技学院 6 COLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGY
数理方程基本知识
•
－劈形算符符合矢量运算
g=x22 y22 z22
➢ 数学物理方程研究一些物理量在某些特定条件下 按照物理规律变化的情况。这些物理量所满足的 物理规律具有共性,它反映的是同一类物理现象的 共同规律。物理量受某些特定条件约束，所产生 的物理问题又各具有自身的特殊性，即个性。
光学与电子科技学院 3 COLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGY
基本知识 定解问题的确立及分析 定解问题求解之行波法 定解问题求解之分离变量法 定解问题求解之Green函数法 定解问题求解之积分变换法
数理方程基本知识
➢ 具有共性的物理规律可以用偏微分方程的形式描述 ，这些方程在不附加个性条件的情况下称为泛定方 程。
➢ 约束物理量的特定条件可以使符合共性物理规律的 物理量确定，或者说，也能够使满足泛定方程的解 确定下来，这些特定条件都可以称为定解条件。我 们研究数理方程的目的就是为了确定方程的解，进 而研究特定条件下物理量确定值或变化情况。
数理方程总结完整版
此方程的特征函数和特征值分别为：
②“左一右二”齐次边界条件的齐次方程： 2 2u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1 1 则
u ( x, t ) (Cn cos
sin
(n 1/ 2) x l
③：“左二右一”齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1
③“左二右一”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1
则
2 2 ( n 1/ 2) ( n 1/ 2) 2 此方程的特征函数和特征值分别为： X ( x) cos x, = = , n 1,2,3... 2 l l
②：“左一右二”齐次边界条件的齐次方程：
2 u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1
a 2 ( n1/2 )2 2 t l2
(n ) a (n ) a (n ) 2 2 2 u ( x, t ) (Cn cos t Dn sin t ) cos x l l l n 1
1
④“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t 2 x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
方程的整理与复习
整体法
总结词
通过将一个方程中的变量看作一个整体，对方程进行变换和化简，从而求解。
详细描述
整体法是一种较为高级的解二元一次方程组的方法。首先，选择一个方程中的变量看作一个整体，进 行代数变换和化简。然后，将化简后的结果代回原来的方程组中，求得变量的值。整体法可以简化计 算过程，提高解题效率，但需要较高的代数变换技巧。
方程的几何应用问题
方程的几何应用问题
这类问题通常涉及到几何图形的性质和关系，如面积、周长、角度等。解决这 类问题需要利用几何知识建立方程，然后求解方程。
例子
已知一个直角三角形两条直角边的长度分别为3和4，求斜边的长度。
THANKS
感谢观看
02
一元一次方程的解法
移项与合并同类项
移项
将方程中的某项从一边移动到另一边 ，以简化方程。
合并同类项
将方程中相同或相似的项合并在一起 ，使方程更易于解决。
系数化为
01
将方程中的未知数系数化为1，从 而找到未知数的具体数值。
02
通过两边同时除以未知数的系数 来实现。
去括号与去分母
去括号
消除方程中的括号，将其中的项展开， 以简化方程。
方程的整理与复习
• 方程的概念与分类 • 一元一次方程的解法 • 二元一次方程组的解法 • 一元二次方程的解法 • 分式方程的解法 • 方程的应用题解法
01
方程的概念与分类
方程的定义
总结词
方程是数学中表示数量关系的一 种基本工具。
详细描述
方程是通过数学符号和等号来表 示数量之间相等或不等的关系， 通常由等号连接两个或多个数学 表达式。
方程的分类
总结词
方程可以根据不同的标准进行分类。
数理方程复习
1(t) 2 (t)
wx wx
(0, t ) (l , t )
1(t) 2 (t)
南京邮电大学、应用数理系
边界条件（四种）： X '' X 0
数理方程
u u
x0 xl
0
0
n
l
2
, Xn (x)
A sin
n
l
x,
n 1, 2,
ux ux
x0 xl
0
0
n
l
2
, Xn (x)
l
bk
1 l
l l
f
( x) sin
nxdx
l
南京邮电大学、应用数理系
k 0
复数形式的傅里叶变换
F () f (x)eixdx
f (x) 1 F ()eixd
2
傅里叶变换式 傅里叶逆变换式
数理方程
南京邮电大学、应用数理系
分离变量(傅立叶级数)法
数理方程
基本思想：通过分离变量，把偏微分方程分解成几个常微分 方程，其中的常微分方程带有附加条件而构成本征值问题。
数理方程 波动方程 (双曲型偏微分方程)
数 学 物 数学角度 理 方 程
偏微分方程 积分方程
输运方程 (抛物型偏微分方程) 恒定场方程(椭圆型偏微分方程)
微分积分方程
定解问题：边界条件和初始条件反映了具体问题的特定环境和
历史，也即个性。在数学上，边界条件和初始条件合称为定解
条件。把在给定的定解条件下求解数学物理方程称为数学物理
南京邮电大学、应用数理系
双曲型方程 椭圆型方程 抛物型方程
数理方程 过其中每一点有两条不同的实的特征线 过其中每一点不存在实的特征线 过其中每一点有一条实的特征线
数学物理方程复习
习题课和总复习鉴于数学物理方程课程对大多数同学来讲有一定的学习难度，为帮助同学们较好地掌握本课程的基本内容和定解问题主要的求解方法，下面将这学期的教学内容进行总结，并提出每部分的教学基本要求。
希望同学们能够参考下面总结《一》到《四》的具体要求安排好个人的复习计划，认真看书（结合以往的作业题）和总结；也希望同学们之间能够加强讨论并积极地参加答疑。
祝同学们学习愉快并取得考试好成绩！《一》 特征线方法掌握两个自变量一阶线性方程的解法：三步，求出特征线族；在特征线上求解原问题；代入求出原问题的解。
如书上269P 例1.1；276P 第1题。
(新书107P 例6.1；118P 第1题) 《二》格林函数法1. 记住基本解0(,)p p Γ， 0(,),(,)p p x y ξη或0(,,),(,,)p p x y z ξηζ。
2. 记住并会证明格林第三公式：0()()u u p u ds udV n n ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 【 在()()v uu v v u dV uv ds n nΩ∂Ω∂∂∆-∆=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 取00\(,),(,)B p v p p εεΩ=Ω=Γ 0(,)()()()B p u uu u dV uds u ds n n n n εεΩ∂Ω∂∂Γ∂∂Γ∂⇒∆Γ-Γ∆=-Γ+-Γ∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，利用 0, in ε-∆Γ=Ω和当0ε+→时000(,)(,)(),0B p B p uuds u p ds n n εε∂∂∂Γ∂→Γ→∂∂⎰⎰⎰⎰即可 】 由此可得 0()()u Gu p Gu ds G udV n n ∂ΩΩ∂∂=--∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰，和如下问题解的表达式 , , u f in u on ϕ-∆=Ω⎧⎨=∂Ω⎩ ⇒0()Gu p ds GfdV n ϕ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰⎰⎰。
在这里要注意，0p ∈Ω固定而动点为p 。
3.掌握利用对称法求格林函数的方法，如半空间，半平面和圆域等。
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23
定解问题求解之一—行波法
无界一维波动问题
utt a 2u xx 0 u t 0 ( x), ut
t 0
( x)
的特殊求解——达朗贝尔公式
1 1 x at u ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] ( )d x at 2 2a
utt a2u f (M , t ) 属于双曲型
ut a2u f (M , t ) 属于抛物型
属于椭圆型
2 a12 a11a12 0
－稳态方程 u f ( M , t )
判定依据
双曲型 2 a12 a11a12 0 抛物型 2 a12 a11a12 0 椭圆型
第二篇 数学物理方程
•1
基本知识
定解问题的确立及分析
定解问题求解之行波法 定解问题求解之分离变量法 定解问题求解之Green函数法 定解问题求解之积分变换法
2
数理方程基本知识
数学物理方程主要是指数学物理所涉及的偏微分 方程，有时也包括相关的积分方程、微分积分方 程，或者说物理规律用数学语言描述出来的偏微 分方程就是数学物理方程。 数学物理方程研究一些物理量在某些特定条件下 按照物理规律变化的情况。这些物理量所满足的
t 0 t 0
泛定方程的齐次与非齐次；边界条件的类型；是否有初 始条件； 可用的方法：行波法(达朗贝尔公式)，分离变量法+傅 里叶级数法+冲量定理法+叠加原理，Green函数(+冲量 定理)，积分变换法；
22
基本知识
定解问题的确立及分析
定解问题求解之行波法
定解问题求解之分离变量法
定解问题求解之Green函数法 定解问题求解之积分变换法
Deu ( x, y, z ) u x ( x0 , y0 , z0 ) cos u y ( x0 , y0 , z0 ) cos u z ( x0 , y0 , z0 ) cos
10
数理方程基本知识
梯度
Deu ( x, y, z ) gardu e u u u gardu i j k x y z
沿方向 e cos ,cos ,cos 方向导数，记作
u( x, y, z; t ) 沿射线
y y0 cos
Deu( x, y, z)
如同一元函数导数反应的是函数变化率一样，方向导 数反应的是数量场在点 ( x0 , y0 , z0 ) 出沿方向e对距离的 变化率。
15
泛定方程的建立
16
泛定方程的建立
如何获得给出问题的泛定方程？
－扩散方程结合高斯定律
q Du q ku
－热传导定律结合高斯定律
17
泛定方程的建立
从物理角度看三大类泛定方程
－波动方程(描述波的传播、杆振动、电路中电流传播等物 理现象的泛定方程)
utt a2u f (M , t ) 其中齐次情况下f(M,t)=0
gradu称为数量场u的梯度，它的方向与u在M点上升的 最快的方向同向
11
数理方程基本知识
发散量
对于一般的矢量场 a
散度
和封闭曲面 ，我们称 a
向着
的外法矢量 n 方向流过 的流量为发散量 ad s
单位体积的发散量在点M0处的极限称为矢量场在点M0
32
定解问题求解之三—Green函数法
定解问题转化为格林函数的定解形式
泊松方程的基本积分公式
各类边值条件下格林函数解的形式
－第一类边值问题的积分表示式
或者两者皆有(视偏微分方程中对时间变量求导的阶数而定) 注：1.初始条件描述物理量的状态为整个系统并非单个点; 2.稳定场问题没有初始状态；
20
定解条件的确定
边界条件
边界上物理量的状况，数学上可以是物理量本身的值也可以线性组合，具体分为三种边界条件： 第一类 第二类
物理规律具有共性,它反映的是同一类物理现象的
共同规律。物理量受某些特定条件约束，所产生
的物理问题又各具有自身的特殊性，即个性。
3
数理方程基本知识
具有共性的物理规律可以用偏微分方程的形式描述
，这些方程在不附加个性条件的情况下称为泛定方
程。 约束物理量的特定条件可以使符合共性物理规律的 物理量确定，或者说，也能够使满足泛定方程的解 确定下来，这些特定条件都可以称为定解条件。我 们研究数理方程的目的就是为了确定方程的解，进 而研究特定条件下物理量确定值或变化情况。
u (r , t ) f ( M , t )
狄里希利问题
u 诺依曼问题 f (M , t ) n u 第三类 u (r , t ) f (M , t ) n
注：边界问题同样需要与阶数相同的条件个数来确定解
21
定解问题的形成及分析
utt a 2 u F (M, t) u u (r , t ) f (M , t ) n u (r , t ) (M), ut (r , t ) (M)
d 2w dw p( z ) q( z ) w 0 2 dz dz w( z0 ) C0 , w( z0 ) C1
常点和奇点的定义及判别
31
基本知识
定解问题的确立及分析
定解问题求解之行波法
定解问题求解之分离变量法
定解问题求解之Green函数法 定解问题求解之积分变换法
19
a11uxx 2a12uxy a22uyy b1ux b2uy cu f 0
定解条件的确定
初始条件
t=0时刻物理量的状况，数学上可以是物理量本身的值
u( x, y, z) t 0 ( x, y, z)
也可以是对时间变量的导数
ut ( x, y, z) t 0 ( x, y, z)
齐次泛定方程，非齐次边界条件定解问题
utt a 2u xx 0 u x 0 (t ), u x l (t )(0 x l ) u t 0 ( x), ut
t 0
( x)
－构建函数取 u( x, t ) v( x, t ) w( x, t ) ，利用构建的函数
6
数理方程基本知识
－劈形算符符合矢量运算
2 2 2 = 2 2 2 x y z
－Laplace算符 2 2 2 = 2 2 2 x y z
7
数理方程基本知识
场的概念
物理量在空间或一部分空间上的分布就称为场
数量场和矢量场
如果描写场的量是数量函数，也就是没有方向性
－确定泛定方程解的傅里叶级数形式(通过齐次方程分离变
量推导)，保证基函数不变，系数改变，
u ( x, t ) Tn (t ) X n ( x)
n 1
通过分离变量确定
－回代非齐次方程利用待定系数法求解关于 Tn (t ) 的级数解
27
定解问题求解之二—分离变量法
非齐次泛定方程，齐次边界条件定解问题(方案二)
－求解思路(具有变量分离形式的试探解 u X ( x)T (t ) )
－回代入方程探讨关于x的特征值及特征函数
u t 0 ( x), ut
t 0
( x)
－根据边界条件确定特征值及特征函数
－傅里叶级数确定含时间函数级数形式的系数
n at n at n x u ( x, t ) ( An cos Bn sin )sin l l l n 1
4
数理方程基本知识
我们研究的这些定解条件或者约束物理量的特定条 件大体可以分为两大类，一类关乎于环境对物理量 发展过程的约束，这类约束主要体现于物理环境周 围边界的物理状况，即边界条件。另一类关乎于物 理量发展的历史状况，或者说这个物理量之前是什 么样的，这类约束主要体现于时间上我们人为定义
从何时开始针对于物理量的研究，或者说这个物理
26
定解问题求解之二—分离变量法
非齐次泛定方程，齐次边界条件定解问题(方案一)
utt a 2uxx F ( M , t ) u t 0 ( x), ut u x 0 0, u x l 0(0 x l )
t 0
( x)
－结合分离变量法与傅里叶级数法
13
基本知识
定解问题的确立及分析
定解问题求解之行波法
定解问题求解之分离变量法
定解问题求解之Green函数法 定解问题求解之积分变换法
14
泛定方程的建立
如何获得给出问题的泛定方程？
－将各类不均匀的非线性的物理问题以微分转化为均匀的
线性的符合已知物理规律的问题； 例如：线的振荡问题通过分析线元受力获得； 杆的纵振动通过分析杆微元受力获得； 浓度扩散通过分析微小均匀体积内的扩散获得； 温度扩散通过分析微小均匀体积内温度获得
，只有大小之分，这个场就是数量场，如温度场 ，压力场；如果描写场的量是矢量函数就称这个 场为矢量场，如速度场、电磁场、引力场
8
数理方程基本知识
场的表示
除用点的函数来描写场的物理、力学性质外，常在
场中按一定规则绘出曲面或曲线来表示场中物理量 分布； 数量场 矢量场 分量
9
u u( x, y, z; t )
A P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)
其中A中各个分量代表了场矢量在x,y,z三个方向的
数理方程基本知识
方向导数 数量场函数 u
x x0 cos
z z0 cos 的差商的极限存在，则称此极限为数量场在点 ( x0 , y0 , z0 )