2.6 固有值和固有函数

r 2 F ′′ + rF ′ + (λr 2 − n 2 ) F = 0
3
类似于傅里叶级数， 固有函数系展开有下 (3) 类似于傅里叶级数，按固有函数系展开有下 面的收敛性 收敛性： 面的收敛性： 若函数 f (x)在 (a, b) 内有一阶连续导数及分段 连续的二阶导数，并且满足所给的边界条件， 连续的二阶导数，并且满足所给的边界条件， 内可以按固有函数展开为绝对且 则 f (x)在 (a, b) 内可以按固有函数展开为绝对且 一致收敛的级数 的级数： 一致收敛的级数：
这样的问题称为固有值问题。 这样的问题称为固有值问题。 固有值问题 也属于施图姆也属于施图姆-刘维尔问题 施图姆
1
施图姆施图姆-刘维尔方程的一般形式
d dy p ( x) − q ( x) y + λρ ( x) y = 0 dx dx
(95)
其中 1. p( x), p ′( x) ∈ C[a, b], p( x) > 0 (a < x < b); 2. q( x) ∈ C[a, b], 或者 q( x) ∈ C (a, b), 而在 区间端点处至多有一阶极点， 区间端点处至多有一阶极点，且 q( x) ≥ 0; 3. ρ ( x) ∈ C[a, b], ρ ( x) > 0. 方程(95)加上边界条件就称为施图姆方程(95)加上边界条件就称为施图姆-刘维尔问题 (95)加上边界条件就称为施图姆 那些使施 刘问题存在 存在非 那些使施-刘问题存在非0解的 λ 值，称为该问题 固有值，而相应于给定的固有值的非 的固有值，而相应于给定的固有值的非0解，称为 固有函数。 固有函数。
∫
e
1
1
x y n ( x) y m ( x)dx
t 作变换 x = e
= ∫ e 2t y n (t ) y m (t )dt
0
= ∫ sin nπt sin mπtdt = 1
0
1
0, m ≠ n,
2 ,
m = n.
15
固有函数系 {y n (x)} 在 [1, e] 上带权函数 x 正交。 正交。
{ (1)首先求出固有函数系 (1)首先求出固有函数系 y n (x)}的具体表达式 t t = ln x 作变换 x = e 则有
解
1 y x = yt ⋅ , x
1 1 1 1 1 y xx = ( y tt ⋅ ) ⋅ + y t ⋅ (− 2 ) = 2 y tt − 2 y t , x x x x x
f ( x) = ∑ c n y n ( x),
n =1 ∞
(97)
内是分段连续函数， 若函数 f (x), f ′(x) 在 (a, b) 内是分段连续函数， 则级数(97) (97)在 则级数(97)在 f (x) 的间断点 x 0 处收敛于
1 [ f ( x0 + 0) + f ( x0 − 0)], 2
齐次欧拉方程
x 2 y ′′ + xy ′ + λy = 0, (1 < x < e) y (1) = y (e) = 0 1 固有函数系 {y n (x)} 在 [1, e] 上带权函数 x 正交。 正交。
解
{ (2)现在验证固有函数系 (2)现在验证固有函数系 y n (x)}的函数正交性
x 2 y ′′ + xy ′ + λy = 0, (1 < x < e) y (1) = y (e) = 0 1 固有函数系 {y n (x)} 在 [1, e] 上带权函数 x 正交。 正交。
解
y tt + λy = 0
y (0) = y (1) = 0.
λ n = ( nπ ) 2 ,
7
X ′′( x ) + λX ( x ) = 0, X ′(0) = αX (0), X ′ | = 0. x =l
(1)边界条件中的 (1)边界条件中的 α = 0 时固有值问题简化为
X ′′( x) + λX ( x) = 0, X ′ | x =0 = 0, X ′ | x =l = 0.
∫
e
1
1 y n ( x) y m ( x)dx x
t 作变换 x = e
= ∫ y n (t ) y m (t )dt
0
1
= ∫ sin nπt sin mπtdt = 1
0
1
0, m ≠ n,
2 ,
m = n.
12
思考 试证问题
x 2 y ′′ + 3xy ′ + λy = 0, (1 < x < e) y (1) = y (e) = 0
2.6
固有值与固有函数
在本章的前三节我们应用分离变量法求解弦振 动方程、 动方程、一维热传导方程和二维拉普拉斯方程的 有关定解问题时， 有关定解问题时，都需要解决一个含参变量 λ 的 常微分方程的边值问题， 常微分方程的边值问题，
X ′′( x) + λX ( x) = 0, X (0) = X ′(l ) = 0.
x 2 y ′′ + xy ′ + λy = 0, (1 < x < e) y (1) = y (e) = 0 1 固有函数系 {y n (x)} 在 [1, e] 上带权函数 x 正交。 正交。
{ (1)首先求出固有函数系 (1)首先求出固有函数系 y n (x)}的具体表达式 t t = ln x 作变换 x = e 则有
此时对应的固有值和固有函数为
nπ 2 nπx λn = ( ) , X n ( x) = cos (n = 0, 1, 2, ⋯). l l
8
X ′′( x ) + λX ( x ) = 0, X ′(0) = αX (0), X ′ | = 0. x =l
(2)边界条件中的 (2)边界条件中的α → ∞ 时固有值问题简化为
x
(n = 1, 2, ⋯)
14
思考 试证问题
x 2 y ′′ + 3xy ′ + λy = 0, (1 < x < e) y (1) = y (e) = 0
固有函数系 {y n (x)} 在 [1, e] 上带权函数 x 正交。 正交。 解
{ (2)现在验证固有函数系 (2)现在验证固有函数系 y n (x)}的函数正交性
2
关于固有值和固有函数的几点结论： 关于固有值和固有函数的几点结论： 存在无穷多个实的固有值： (1) 存在无穷多个实的固有值： λ1 ≤ λ 2 ≤ ⋯ ≤ λ n ≤ ⋯ ,
λ 当 q( x) ≥ 0 时， n ≥ 0 (n = 1, 2, 3, ⋯); 对应于这些固有值 有无穷多个固有函数： 有无穷多个固有函数：
6
下列定解问题： 13. 下列定解问题： u t = a 2 u xx (0 < x < l , t > 0), (u x − αu ) | x =0 = 0, u x | x =l = 0, u ( x,0) = ϕ ( x) 的固有值问题为 X ′′( x ) + λX ( x ) = 0, X ′′( x) + λX ( x) = 0, ( X ′ − αX ) | x =0 = 0, X ′(0) = αX (0), X ′ | = 0. X ′ | = 0. x =l x =l
代入原方程有
y tt − y t + 3 y t + λy = 0
y tt + 2 y t + λy = 0
13
思考 试证问题
x 2 y ′′ + 3xy ′ + λy = 0, (1 < x < e) y (1) = y (e) = 0
固有函数系 {y n (x)} 在 [1, e] 上带权函数 x 正交。 正交。 y tt + 2 y t + λy = 0 解
y1 ( x), y 2 ( x), ⋯, y n 的固有函数记为 y n (x), 那么所有y n (x)组成一个带权函数 ρ (x) 的正交函数 系，即 b (m ≠ n). (96) ∫a ρ ( x)y m ( x) y n ( x)dx = 0 例如
解
1 y x = yt ⋅ , x
1 1 1 1 1 y xx = ( y tt ⋅ ) ⋅ + y t ⋅ (− 2 ) = 2 y tt − 2 y t , x x x x x
代入原方程有
y tt − y t + y t + λy = 0
y tt + λy = 0
10
15. 试证问题
齐次欧拉方程
y (0) = y (1) = 0.
λ n = (nπ ) 2 + 1,
y n (t ) = Bn e − t sin nπt (n = 1, 2, ⋯).
1 将 t = ln x 代入即得 y n ( x) = Bn x sin(nπ ln x), (n = 1, 2, ⋯)
则原问题的固有函数系 1 为 {y n ( x)} = sin(nπ ln x)
f ( x) = ∑ c n y n ( x),
n =1 ∞
(97)
(n = 1, 2, 3, ⋯);
4
其中
cn
∫ =
b
a
ρ ( x) f ( x) y n ( x)dx
∫
b
a
ρ ( x) y ( x)dx
2 n
类似于傅里叶级数， 固有函数系展开有下 (3) 类似于傅里叶级数，按固有函数系展开有下 面的收敛性 收敛性： 面的收敛性：