2.6固有值和固有函数
25-26具有非齐次边界条件的问题以及固有值和固有函数资料
6
utt a 2uxx f (x, t) (0 x l, t 0), (79) 若边界条件不全是第一类，也可采用类似方法 把非齐次边界条件化成齐次的。 我们就下列几种
非齐次边界条件的情况，分别给出相应辅助函数
w(x,t) 的表达式：
(1) u(0,t) u1(t),
于是可得
w(t, x)
x l
[u2
(t
)
u1
(t
)]
u1
(t
).
因此，令
u( x, t )
v( x, t )
x l
[u2 (t)
u1(t)]
u1 (t ).
则问题(79)-(81)可化成v(x,t) 的定解问题
(79) (80) (81) (82)
(85)
4
utt a 2uxx f (x, t) (0 x l, t 0),
4
vt (x,0) sin l x.
为了将 v(x,t) 的边界条件也化成齐次，则 w(x)满足
w(0) 3,
w(l) 6.
13
utt a 2uxx u(0,t) 3,
sin 2 x cos 2
l
l
u(l,t) 6,
x
(0
x l,
t
0),
(91)
u ( x,0)
l
x,
为了将此方程化成齐次的，自然选取w(x) 满足
a2w sin 2 x cos 2 x 0.
l
l
12
例2 求解下列问题：
utt a 2uxx u(0,t) 3,
固有值问题和特殊函数Bessel方程
(1) y j (2) yi 得 d dyi d dy j [x ]y j [x ] yi (ki 2 k j 2 ) xyi y j 0,即 dx dx dx dx d (ki 2 k j 2 ) xyi y j [ x( y j yi yi y j )]. dx 再从0到1积分得， (ki k j ) xyi y j dx d [ x( y j yi yi y j )]
因为a1 0，故由上式可得 a2 k 1 0，k 0,1, 2, a2 k a2 k 2 a 2 2 k 2 , k 1, 2, 2k (2 2k ) 2 k ( k ) (5)
反复应用(5)，有 (1) 2 a2 k 22 a2 k 22 2 k (k 1)( k )( k 1) (1)3 a2 k 23 23 2 k (k 1)(k 2)( k )( k 1)( k 2) (1) k a0 2k 2 k !( k )( k 1) ( 1) (1) k 2 ( 1)a0 2 k . 2 k !( k 1)
四、Bessel函数的正交性及模
1.含参数的Bessel方程 x 2 y xy ( 2 x 2 n 2 ) y 0 (*) y (0) 且满足端点条件 的固有值问题。 y (a) 0 在(*)中令 x，方程变为
2 2 y y ( n ) y 0. 2
(ii)s1 s2 2 2n(n 1,2),即s1 n, s2 n.
(1)k x2k n (1)k x2k n 此时J n ( x) 2k n , J n ( x) 2k n . k !(n k 1) k !(n k 1) k 0 2 k 0 2 1 而当 n k 1为零和负整数时(n k 1) ，即 0， (n k 1)
数理方程常规例题I
数学物理方程常规例题I(1-20题)一、数学模型例题例1． 密度为ρ均匀柔软的细弦线x =0端固定，垂直悬挂，在重力作用下，横向拉它一下，使之作微小的横振动。
试导出振动方程。
解：考虑垂直悬挂的细弦线上一段微元ds ，该微元在坐标轴上投影为区间[x ，x+d x ]，在微元的上端点处有张力：)(1x L g T -=ρ，在下端点处有张力：)(2dx x L g T --=ρ考虑张力在位移方向的分解，应用牛顿第三定律，有tt u m T T =-1122sin sin αα 由于细弦作微小振动，所以有近似)(tan sin 22dx x u x +=≈αα )(tan sin 11x u x =≈αα代入牛顿第三定律的表达式，有tt x x u ds t x u x L g t dx x u dx x L g ρρρ≈--+--),()(),()(上式两端同除以ds ρ，得tt x x u dsx u x L dx x u dx x L g≈--++-)()()())((由于dx ds ≈，而x x x x x u x L dxx u x L dx x u dx x L )]()[()()()())((-≈--++-所以，细弦振动的方程为tt x x u u x L g =-])[(例2． 长为L 密度为ρ底半径为R 的均匀圆锥杆（轴线水平）作纵振动，锥顶点固定在x =0处。
导出此杆的振动方程。
（需要包括假设在内的具体推导） 解：设均匀圆锥杆作纵振动时位移函数为u (x ，t )则在点x 处，弹力与相对伸长量成正比，即),(),(t x Yu t x P x = 其中，Y 为杨氏模量。
在截面上张力为T (x , t ) = S (x ) P (x , t )这里，S (x )为x 处圆锥截面积。
考虑圆锥杆上对应于区间[x ，x+dx ]处的微元（如右图所示）。
应用牛顿第二定律，得),()]()()[(31),(),(t x u x xS dx x S dx x t x T t dx x T tt -++=-+ρ 由于圆锥截面积2)()(x LR x S π= 微元（圆台）体积)33()(31)]()()[(313222dx xdx dx x LRx xS dx x S dx x ++=-++ρπρ 所以),()33()(31)],(),()[()(3222222t x u dx xdx dx x L Rt x u x t dx x u dx x L R Y tt x x ++=-++ρππ两端除dx ，并取极限，得),()],([22t x u x t x u x Y tt x x ρ=记ρ/2Y a =，则有方程)2(2x xx tt u xu a u += 二、二阶偏微分方程化简与求通解只考虑未知函数是两个自变量情形，即),(y x u 。
信号与系统_2.5-2.6
y (t ) = =
∞
−∞ ∞
∫ x ( τ ) h (t − τ ) d τ =
−(t − τ)
∞
−∞
u ( τ ) e − ( t − τ ) u (t − τ ) d τ ∫
u (τ)
1
0
−∞
∫e
u ( τ )u (t − τ ) d τ
以上积分式中，积分变量是 。 以上积分式中，积分变量是τ。 式中的u(τ)u(t-τ)决定了积分的上下 式中的 决定了积分的上下 也确定了积分结果的定义区间。 限，也确定了积分结果的定义区间。
= δ(t ) − e −2t u (t )
一般的， 一般的，对于如下形式的微分方程
ak y ( k ) (t ) =∑ bk x( k ) (t ) ∑
k =0 k =0 N M
当N>M，单位冲激响应中只有自由响应；当N≤M，则还 ，单位冲激响应中只有自由响应； ， 有受迫响应分量：冲激和冲激的各阶导数。 有受迫响应分量：冲激和冲激的各阶导数。
α 2 = −2
h(t ) = A1e − t + A2 e −2t h(t ) = ( A1e −t + A2 e −2t )u (t )
确定特解，并确定t=0 时刻的初始条件。 ⑵ 确定特解，并确定 +时刻的初始条件。 比较以上方程两边可设： 比较以上方程两边可设：在t=0时刻 时刻
h′′(t ) = B1δ ′(t ) + B0δ (t ) + B∆u (t ) 于是在t=0时刻 于是在 时刻 h′(t ) = B1δ (t ) + B0 ∆u (t ) h(t ) = B1∆u (t )
rzs (t ) = ∫ e(τ )h(t −τ )dτ
数学物理方程 2-3章课后部分习题答案 李明奇主编 电子科技大学出版社
数学物理方程 李明奇主编 电子科技大学出版社2-3章部分习题答案习题2.14.一根长为L 、截面面积为1的均匀细杆，其x=0端固定，以槌水平击其x=L 端，使之获得冲量I 。
试写出定解问题。
解：由Newton 定律： tt x x Sdxu t x YSu t dx x SYu ρ=-+),(),(，其中，Y 为杨氏模量，S 为均匀细杆的横截面积，x u 为相对伸长率。
化简之后，可以得到定解问题为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==========)(|,0|0|,0|)/(0002L x Iu u u u u a u Y u t t t L x x x xx xx tt δρρ。
习题2.23.设物体表面的绝对温度为u ，它向外辐射出去的热量，按斯特凡-波尔兹曼定律正比于4u ，即dSdt ku dQ 4=，设物体与周围介质之间，只有热辐射而无热传导，周围介质的绝对温度为已知函数),,,(t z y x ϕ，。
试写出边界条件。
解：由Fourier 热传导实验定律dSdt nuk dQ ∂∂-=1，其中1k 称为热传导系数。
可得dSdt u k dSdt nuk )(441ϕ-=∂∂-，即可得边界条件：)(441ϕ--=∂∂u k k nus。
习题2.34.由静电场Gauss 定理⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅VsdV dS E ρε01，求证：0ερ=⋅∇E ，并由此导出静电势u 所满足的Poisson 方程。
证明：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=⋅VVsdV dV divE dS E ρε01，所以可以得到：0ερ=divE 。
由E divE ⋅∇=与u E -∇=，可得静电势u 所满足的Poisson 方程：2ερ-=∇u 。
习题2.42.求下列方程的通解：（2）：;032=-+yy xy xx u u u （5）：;031616=++yy xy xx u u u解：（2）：特征方程：03)(2)(2=--dx dy dx dy解得：1-=dx dy 和3=dxdy。
李明奇主编 数学物理方程全套课后部分习题答案__电子科技大学出版社
数学物理方程 电子科技大学出版社习题2.14.一根长为L 、截面面积为1的均匀细杆，其x=0端固定，以槌水平击其x=L 端，使之获得冲量I 。
试写出其定解问题。
解：由Newton 定律： tt x x Sdxu t x YSu t dx x SYu ρ=-+),(),(，其中，Y 为杨氏模量，S 为均匀细杆的横截面积，x u 为相对伸长率。
化简之后，可以得到定解问题为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==========)(|,0|0|,0|)/(0002L x Iu u u u u a u Y u t t t L x x x xx xx tt δρρ。
习题2.23.设物体表面的绝对温度为u ，它向外辐射出去的热量，按斯特凡-波尔兹曼定律正比于4u ，即dSdt ku dQ 4=，设物体与周围介质之间，只有热辐射而无热传导，周围介质的绝对温度为已知函数),,,(t z y x ϕ，。
试写出边界条件。
解：由Fourier 热传导实验定律dSdt nuk dQ ∂∂-=1，其中1k 称为热传导系数。
可得dSdt u k dSdt nuk )(441ϕ-=∂∂-，即可得边界条件：)(441ϕ--=∂∂u k k nus。
习题2.34.由静电场Gauss 定理⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅VsdV dS E ρε01，求证：0ερ=⋅∇E ，并由此导出静电势u 所满足的Poisson 方程。
证明：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=⋅VVsdV dV divE dS E ρε01，所以可以得到：0ερ=divE 。
由E divE ⋅∇=与u E -∇=，可得静电势u 所满足的Poisson 方程：2ερ-=∇u 。
习题2.42.求下列方程的通解：（2）：;032=-+yy xy xx u u u （5）：;031616=++yy xy xx u u u解：（2）：特征方程：03)(2)(2=--dx dy dx dy解得：1-=dx dy 和3=dxdy。
数学物理方程2-3章课后部分习题答案
数学物理方程 李明奇主编 电子科技大学出版社2-3章部分习题答案习题2.14.一根长为L 、截面面积为1的均匀细杆，其x=0端固定，以槌水平击其x=L 端，使之获得冲量I 。
试写出定解问题。
解：由Newton 定律： tt x x Sdxu t x YSu t dx x SYu ρ=-+),(),(，其中，Y 为杨氏模量，S 为均匀细杆的横截面积，x u 为相对伸长率。
化简之后，可以得到定解问题为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==========)(|,0|0|,0|)/(0002L x I u u u u u a u Y u t t t L x x x xx xx tt δρρ。
习题2.23.设物体表面的绝对温度为u ，它向外辐射出去的热量，按斯特凡-波尔兹曼定律正比于4u ，即dSdt ku dQ 4=，设物体与周围介质之间，只有热辐射而无热传导，周围介质的绝对温度为已知函数),,,(t z y x ϕ，。
试写出边界条件。
解：由Fourier 热传导实验定律dSdt nuk dQ ∂∂-=1，其中1k 称为热传导系数。
可得dSdt u k dSdt n uk )(441ϕ-=∂∂-，即可得边界条件：)(441ϕ--=∂∂u k k nus。
习题2.34.由静电场Gauss 定理⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅VsdV dS E ρε01，求证：0ερ=⋅∇E ，并由此导出静电势u 所满足的Poisson 方程。
证明：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=⋅VVsdV dV divE dS E ρε01，所以可以得到：0ερ=divE 。
由E divE ⋅∇=与u E -∇=，可得静电势u 所满足的Poisson 方程：02ερ-=∇u 。
习题2.42.求下列方程的通解：（2）：;032=-+yy xy xx u u u （5）：;031616=++yy xy xx u u u 解：（2）：特征方程：03)(2)(2=--dxdydx dy 解得：1-=dx dy 和3=dxdy。
固有模态函数
固有模态函数1固有模式函数固有模态函数（IMF）是指在固有振动中，物体中心坐标的幅值变化的函数。
它将一定的振动机构的物体状态变化的特征图形的定量化，用以描述物体系统在某一特定频率和振型运动时的动力学状态。
它可以用来衡量系统在振动期间的特性以及系统的变形情况，从而为求解动力学系统，分析结构物的振动行为，研究变形和消除振动提供基础数据。
固有模态函数有三个主要特征，即振型，频率和能量。
振型：物体由于振动载荷的作用而相应变形，变形的模式称为振型；频率：振动物体在一定时间内发生一次振动所需的时间，即振动的频率；能量：物体在变形过程中产生的能量，能量的大小可用比例递减的振幅或功率的幅值表示。
固有模态函数即可用来分析频谱，即求取物体振动的频谱，分析物体在多种频率下的反应情况。
即得到响应的最小的频率值，同时从而得到物体在各振型频率下的反应模式与振幅；又可用于求解物体系统的限制性在单一模态下的振动行为，以及分析平衡系统模态匹配问题；可用于分析物体振动时传递过程中传递的能量，以及物体自振动传递的能量；可用来研究物体振动及其衰减的过程，以及求解特定的问题等。
2固有模态函数的应用固有模态函数在工程中有着广泛的应用。
（1）在机械领域中：可以用于快速有效预测机械系统振动特性，检测结构设计中存在的问题，测试可靠性结构，分析物体在机械衰减中的衰减过程，以及研究实验数据与理论结果之间的差异等。
（2）在建筑和土木工程领域，可以预测建筑结构的振动行为，选取合理的结构支持，分析建筑结构的稳定性；有助于求解建筑断面及窗户等各种结构的应力，研究减缓地震变形和结构损坏的措施；有助于分析复杂地下工程的振动，研究水力机构的能量传输特性等。
（3）在振动控制方面：可以用来分析机械系统振动场景，以定位振动源，研究对某个特定振型有效控制能量，实现系统振动提升与降低，明确影响机械系统行为的各项因素，提高控制准确性等。
总之，固有模态函数能够比较完整地描述物体振动特性，可以重要反映物体运动的形态及其能量分布；因此它有着广泛的应用，在各个结构的设计及振动控制中发挥着重要的作用。
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解 (1)当 0 时，方程通解为 X ( x) Ae x Be
x
,
x
从而有 X ' ( x) Ae
由边界条件得 A B 0,
A B 0,
x
Be
A B 0.
X ( x) 0.
即此时原问题没有非平凡解。
练习 14.(2) 求下列问题的特征值与特征函数
yn ( x)的具体表达式 (1)首先求出固有函数系 t t ln x 作变换 x e 则有
解
1 y x yt , x
y xx
1 1 1 1 1 ( y tt ) y t ( 2 ) 2 ytt 2 y t , x x x x x
代入原方程有
ytt yt yt y 0
2.6
固有值与固有函数
在本章的前三节我们应用分离变量法求解弦振
动方程、一维热传导方程和二维拉普拉斯方程的 有关定解问题时，都需要解决一个含参变量 的 常微分方程的边值问题，
X ( x) X ( x) 0, X (0) X (l ) 0.
这样的问题称为固有值问题。 也属于施图姆-刘维尔问题
1
施图姆-刘维尔方程的一般形式
d dy p( x) q( x) y ( x) y 0 dx dx
(95)
其中 1. p( x), p( x) C[a, b], p( x) 0 (a x b); 2. q( x) C[a, b], 或者 q( x) C (a, b), 而在 区间端点处至多有一阶极点，且 q( x) 0; 3. ( x) C[a, b], ( x) 0. 方程(95)加上边界条件就称为施图姆-刘维尔问题
n (n ) ,
yn (t ) sinnt (n 1, 2, ).
n ln x), 将 t ln x 代入即得 yn ( x) sin(
(n 1, 2, )
则原问题的固有函数系为 yn ( x) sin(n ln x)
(n 1, 2, )
7
练习 15. 试证问题
X ' ( x) A sin x B cos x
B sin 0.
A sin 0.
若 sin 0, n n2 (n 1, 2 , ). 代入通解有 X n ( x) An cosnx Bn sin nx (n 1, 2, ).
(97)
(n 2, 3, );
其中
cn
b
a
( x) f ( x) y n ( x)dx
b
a
2 ( x) y n ( x)dx
4
(3) 类似于傅里叶级数，按固有函数系展开有下 面的收敛性：
f ( x) cn y n ( x),
n 1
(97)
若函数 f ( x), f ( x) 在 (a, b) 内是分段连续函数， 则级数(97)在 f ( x) 的间断点 x0 处收敛于
对应的特征函数为：
1, cos x, sinx, cos2 x, sin2 x,, cosnx, sinnx,
练习
13. 用分离变量法写出下列定解问题： u t a 2 u xx (0 x l , t 0), (u x u ) | x 0 0, u x | x l 0, u ( x,0) ( x) 的固有值问题；并写出 (1)边界条件中的 0 时的固有值及固有函数；
n 0 (n 1, 2, 3, ); 对应于这些固有值 当 q( x) 0 时， 有无穷多个固有函数： y1 ( x), y2 ( x),, yn ( x),. (2) 如果把对应于固有值 n 的固有函数记为 yn ( x), 那么所有yn ( x)组成一个带权函数 ( x) 的正交函数 系，即 b (m n). (96) a ( x)ym ( x) yn ( x)dx 0
yn ( x)的具体表达式 (1)首先求出固有函数系 t t ln x 作变换 x e 则有
解
1 y x yt , x
y xx
1 1 1 1 1 ( y tt ) y t ( 2 ) 2 ytt 2 y t , x x x x x
代入原方程有
ytt yt 3 yt y 0
e
1
1
x y n ( x) y m ( x)dx
t 作变换 x e
e 2t y n (t ) y m (t )dt
0
sin nt sin mtdt 1
0
1
0 , m n,
2 ,
m n.
11
练习 14.(2) 求下列问题的特征值与特征函数
X ' ' ( x) X ( x) 0, X ( ) X ( ), X ' ( ) X ' ( ).
X ' ' ( x) X ( x) 0, X ( ) X ( ), X ' ( ) X ' ( ).
解 (2)当 0 时，方程通解为 X ( x) A0 x B0 , 从而有
X ' ( x) A0
X ( x) B0
由边界条件得 A0 0,
练习 14.(2) 求下列问题的特征值与特征函数
X ' ' ( x) X ( x) 0, X ( ) X ( ), X ' ( ) X ' ( ).
解 (3)当 0 时，方程通解为 X ( x) A cos x B sin x. 由条件 X ( ) X ( ) 由条件X ' ( ) X ' ( )
n (n ) 1,
yn (t ) et sinnt (n 1, 2, ).
1 将 t ln x 代入即得 yn ( x ) x sin( n ln x ),
(n 1, 2, )
则原问题的固有函数系 1 为 y n ( x) sin(n ln x)
1 f ( x0 0) f ( x0 0), 2
且在 (a, b) 上失去一致收敛性。
5
练习 15. 试证问题
齐次欧拉方程
x 2 y xy y 0, (1 x e) y(1) y(e) 0 1 固有函数系 yn ( x) 在 [1, e] 上带权函数 x 正交。
练习 14.(2) 求下列问题的特征值与特征函数
X ' ' ( x) X ( x) 0, X ( ) X ( ), X ' ( ) X ' ( ).
解 将 0 和 0 时对应的结果综合即得：
2 n 特征值 n
(n 0, 1, 2 , ).
ytt 2 yt y 0
9
思考 试证问题
x 2 y 3xy y 0, (1 x e) y (1) y (e) 0 固有函数系 yn ( x) 在 [1, e] 上带权函数 x 正交。
解
ytt 2 yt y 0
2
y(0) y(1) 0.
x
(n 1, 2, )
10
思考 试证问题
x 2 y 3xy y 0, (1 x e) y (1) y (e) 0 固有函数系 yn ( x) 在 [1, e] 上带权函数 x 正交。
解
yn ( x)的函数正交性 (2)现在验证固有函数系
(3) 类似于傅里叶级数，按固有函数系展开有下 面的收敛性： 若函数 f ( x)在 (a, b) 内有一阶连续导数及分段 连续的二阶导数，并且满足所给的边界条件， 则 f ( x)在 (a, b) 内可以按固有函数展开为绝对且 一致收敛的级数：
f ( x) cn y n ( x),
n 1
(2)边界条件中的 时的固有值及固有函数；
18
13. 下列定解问题： u t a 2 u xx (0 x l , t 0), (u x u ) | x 0 0, u x | x l 0, u ( x,0) ( x) 的固有值问题为 X ( x ) X ( x ) 0, X ( x ) X ( x ) 0, ( X X ) | x 0 0, X (0) X (0), X | 0. X (l ) 0. x l
即此时原问题有一个非平凡解，
X 0 ( x) B0
其中 B0 为任意常数。
13
练习 14.(2) 求下列问题的特征值与特征函数
X ' ' ( x) X ( x) 0, X ( ) X ( ), X ' ( ) X ' ( ).
解 (3)当 0 时，方程通解为 X ( x) A cos x B sin x. 由条件 X ( ) X ( ) 由条件X ' ( ) X ' ( )
ytt y 0
6
练习 15. 试证问题
齐次欧拉方程
x 2 y xy y 0, (1 x e) y(1) y(e) 0 1 固有函数系 yn ( x) 在 [1, e] 上带权函数 x 正交。
解
ytt y 0
2
y(0) y(1) 0.
那些使施-刘问题存在非0解的 值， 称为该问题 的固有值，而相应于给定的固有值的非0解，称为 固有函数。 例如: r 2 F rF (r 2 n 2 )F 0