函数极值的概念
函数的极值与最值
函数的极值与最值函数是数学中常见的概念，它描述了一种输入与输出之间的关系。
在数学的研究中，我们经常需要探讨函数的极值与最值，这些信息对于理解函数性质以及解决实际问题非常重要。
一、极值的概念及求解方法极值是函数在定义域内取得的最大值或最小值。
函数的极大值对应于其图像的局部最高点，而极小值对应于其图像的局部最低点。
要找到一个函数在定义域内的极值，我们可以通过以下步骤进行求解：1. 找到函数的导数，导数可以帮助我们找到函数的增减性以及临界点。
2. 求解导数为零的点，这些点即为函数的可能的极值点。
3. 利用导数的符号确定这些临界点是极大值还是极小值。
4. 在临界点以及函数定义域的端点处进行比较，找到函数的极值。
举个例子来说明。
考虑函数f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 1在定义域[-3, 4]上的极值问题：1. 首先求解导数f'(x) = 6x^2 - 18x + 12。
2. 将导数置为零并解方程，得到6x^2 - 18x + 12 = 0，化简后得到x = 1。
3. 利用导数的符号，可以得出当x < 1时，导数为负，即函数单调递减；当x > 1时，导数为正，即函数单调递增。
所以x = 1是函数的极小值点。
4. 比较临界点x = 1以及函数定义域的端点x = -3和x = 4处的函数值，找到函数的极小值为f(1) = 6。
二、最值的概念及求解方法最值是函数在整个定义域内取得的最大值或最小值。
与极值不同的是，最值不要求在一定的区间内取得，而是考虑了整个定义域。
要找到一个函数在定义域内的最值，我们可以通过以下步骤进行求解：1. 首先找到函数的定义域，即函数取值的范围。
2. 在定义域内比较函数取值，找到最大值与最小值。
继续以函数f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 1为例：1. 函数f(x)的定义域为整个实数集，因此我们需要在全局范围内找到最值。
2. 比较函数在定义域内的取值，可以通过求导并求解导函数为零的点，或者观察函数的图像来找到最大值与最小值。
极值的定义
极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f （x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）=0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，。
函数极值的定义
为极小值点， ∴ x = − e − 1为极小值点，极小值为
− e.
函数的极大值与极小值统称为极值 使函数取得 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值 极值的点称为极值点 极值点. 极值的点称为极值点
二、函数极值的求法
• 极值存在的必要条件
定理1(必要条件) 定理1(必要条件) 设 f (x) 在点x0 处具有导数,且 1(必要条件 处具有导数, 处取得极值, 在x0 处取得极值,那末必定 f ′( x0 ) = 0 . 定义 使导数为零的点 (即方程 f ′( x ) = 0 的实根 )叫
x
( −∞ ,−1) − 1
+
(−1,3) −
−
3 0
极 小 值
( 3,+∞ )
+
f ′( x ) f ( x)
0
极 大 值
↑
↓
↑
极 值 f (−1) = 10, −
极 值 f ( 3) = −22.
f ( x ) = x 3 − 3 x 2 − 9 x + 5图形如下
M
m
定理3(第二充分条件) 定理3(第二充分条件)设 f (x)在x0 处具有二阶导数, 3(第二充分条件 处具有二阶导数, 且 f ' ( x0 ) = 0, f '' ( x0 ) ≠ 0, 那末 f '' ( x0 ) < 0时, 函数 f ( x)在x0 处取得极大值; (1)当 处取得极大值; (1)当 '' (2)当 处取得极小值. (2)当 f ( x0 ) > 0时, 函数 f ( x)在x0 处取得极小值.
Q f ′′( x ) = 6 x + 6,
函数极值的概念
2.3.3
y M
函数最值的求法
y=f(x)
观察极值与最值的关系：
m O a x1 x2 x3 x5
x4
b x
问：最大值与最小值可能在何处取得？ 怎样求最大值与最小值？
函数的最值一般分为两种情况：
（1） 如果函数 f (x)在[a, b]上单调增加(减少)，
则 f (a)是 f(x)在[a, b]上的最小值(最大值)，f (b)
探究
f ( x ) <0 a
f ’(a)=0
f ( x) >0
o 极小值点 b
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x y-=f(x)
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进一步探究:极值点两侧函数图像单调性有何特点?
极大值
极小值
即: 极值点两侧单调性互异
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探究:极值点两侧导数正负符号有何规律?
y y=f(x) f (x)<0 极大值点两侧 f (x)>0 f (x)<0
y f(x)=x3
O
x
函数极值的判定定理
设函数 f (x)在点 x0 的近旁可导且 f ´(x0) = 0
(1) 若在点 x0 的左侧近旁 f ´(x) 恒为正； 在点 x0 的右侧近旁 f ´(x)恒为负， 则函数 f (x)在点 x0 处取得极大值 f ´( x0 ) (2)若在点 x0 的左侧近旁 f ´(x) 恒为负；
x5
在极值点处，曲线如果有切线，则切线是水平的。
取得极值的必要条件：
如果函数 f (x) 在点 x0 处有极值，且 f (x0)存在， 则必有 f (x0)=0。 驻点：使导数 f (x)为零的点叫函数 f(x)的驻点。 说明： 可导函数 f(x)的极值点必定 是函数的驻点。但函数 f(x)的驻 点却不一定是极值点。 对于函数 f(x)=x3可知， x=0是 函数的驻点，不是函数的极 值点。
函数的极值点是
函数的极值点是函数的极值点是指函数的值在该点取最大值或最小值的点。
函数的极值点是数学中非常重要的概念，它是研究函数变化的核心，因此，掌握其基本原理和计算方法，十分重要。
一、极值点的定义及性质极值点是指函数f(x)在一点x0处取得全局最大值或最小值。
在实际中，极值点作为函数变化趋势的拐点，经常被利用来分析函数的变化规律。
极值点可分为最大值点和最小值点，因此其性质也有不同。
1.最大值点的性质：（1）当x0为最大值点时，f(x)的第一阶导数df/dx在x0处为0；（2）当x0为最大值点时，f(x)的第二阶导数二阶导数d2f/dx2在x0处为负值；2.最小值点的性质：（1）当x0为最小值点时，f(x)的第一阶导数df/dx在x0处为0；（2）当x0为最小值点时，f(x)的第二阶导数d2f/dx2在x0处为正值；二、求极值点的方法1.利用数值方法利用数值方法只需要对f(x)取几个点，然后画图，然后根据函数图像找出最大值点和最小值点，但这只能找到该区间内的极值点，即只能找到局部极值点，而不能找到全局极值点。
2.利用局部极值点性质因为极值点的性质中有一项规律：f(x)的第一阶导数df/dx在x0处为0，因此，利用导数定义可以求得关于极值点的定义。
即：设f(x)是在定义域D上的连续函数，若存在x0，使得f(x)在x0处取得极大值，则当且仅当f(x0)=0时，x0才可能是极大值点。
若存在x0，使得f(x)在x0处取得极小值，则当且仅当f(x0)=0时，x0才可能是极小值点。
由此可见，对于求极值的问题，最先要做的是确定该函数的极值点，以便对结果进行计算，然后计算出其定义域内的最小值和最大值。
3.求极值点的法则（1）函数在其定义域内有最小值或最大值时，其极值点唯一；（2）函数在其定义域内有最小值或最大值，且最小值或最大值不唯一时，函数可能有多个极值点；（3）函数在其定义域内无最小值或最大值时，函数无极值点。
三、函数的极值问题求函数极值的问题一般分为“求函数极大值点”和“求函数极小值点”两大类。
极值判别法知识点总结
极值判别法知识点总结极值判别法是数学分析中的一种重要的方法，用于求解函数的最大值和最小值问题。
在高等数学、微积分等课程中，极值判别法是一个重要的内容，对于理解函数的性质和求解实际问题都具有重要意义。
下面将对极值判别法的相关知识点进行总结。
一、极值的概念在解析几何中，极值通常指的是函数的最大值和最小值。
设函数f(x)在区间(a,b)上有定义，在点x0处取得了极值的情况，分别称x0为函数f(x)的极大值点和极小值点。
如果在x0处左极限和右极限都存在，且f(x)在x0处取得了极大值或极小值，则称f(x)在x0处有极值，x0为极值点。
如果f(x0)是f(x)在区间(a,b)上的最大值，则称f(x0)是f(x)在(a,b)上的最大值，简称最大值；如果f(x0)是f(x)在区间(a,b)上的最小值，则称f(x0)是f(x)在(a,b)上的最小值，简称最小值。
二、函数的极值判别法1.必要条件与充分条件如果函数f(x)在点x0处可导，并且取得了极值，则f'(x0)=0。
这是函数极值的一个必要条件。
但是，对于函数的充分条件来说，如果函数f(x)在某点x0可导并且f'(x0)=0，那么极值不一定存在，即可以是极值也可能不是极值点。
所以f'(x0)=0只是极值的一个必要条件，而不是充分条件。
2.李松法求极值设函数f(x)在区间(a,b)上可导，x0为开区间(a,b)上的驻点，则有：（1）若x0为极大值点，且f"(x0)存在，则f"(x0)<0；（2）若x0为极小值点，且f"(x0)存在，则f"(x0)>0。
3.二阶导数判别法设函数f(x)在点x0处二阶可导，如果满足以下条件：（1）f'(x0)=0；（2）f"(x0)>0，那么f(x)在x0处取得极小值；（3）f"(x0)<0，那么f(x)在x0处取得极大值。
函数的极值与最大值
求函数f(x)=x3－3x的极值. 解 f′(x)=3x2－3,f″(x)=6x.令f′(x)=0,求得驻点x1=－ 1,x2=1. 因f″(1)=6>0,故极小值是f(1)=－2.由于f″(－1)=－ 6<0,故极大值是 f(－1)=2. 如果函数在驻点处的二阶导数为零，则定理3失效，这 种情况必须使用定理2判断.
一、函数的极值及其求法
定理1
必要条件）如果f(x)在点x0处可导，且在x0处取得极值，那么 f′(x0)=0.
证明 不妨设x0是f(x)的极小值点，由极小值的定义可知，f(x) 在点x0的某个邻域U(x0)内有定义，且对于x0+Δx∈U(x0)，恒有
Δy=f(x0+Δx)－f(x0)≥0, 于是
因为f(x)在点x0处可导，所以 f′(x0)=f′-(x0)=f′+(x0),
一、函数的极值及其求法
当求出函数的驻点或不可导点后，还要从这些 点中判断哪些是极值点，以及进一步判断极值点是 极大值点还是极小值点.由函数极值的定义和函数单 调性的判定法易知，函数在其极值点的邻近两侧单 调性改变（即函数一阶导数的符号改变），由此可 导出关于函数极值点判定的一个充分条件.
一、函数的极值及其求法
定理2
（第一充分条件）设函数f(x)在点x0处连续，且在 x0的某去心邻域内可导.
（1）若在点x0的左邻域内，f′(x)>0；在点x0的右 邻域内，f′(x)<0，则f(x)在x0处取得极大值f(x0).
（2）若在点x0的左邻域内，f′(x)<0；在点x0的右 邻域内，f′(x)>0，则f(x)在x0处取得极小值f(x0).
函数的极值与 最大值
一、函数的极值及其求法
第三章 函数的极值及其求法
函数的极大值与极小值统称为极值 使函数取得 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值 极值的点称为极值点 极值点. 极值的点称为极值点
二、函数极值的求法
定理1 必要条件) 定理1(必要条件) 设 f (x)在点x0 处具有导数,且 处具有导数, 在x0处 得 值 那 必 f ' ( x0 ) = 0. 取 极 , 末 定 定义 使导数为零的点 (即方程 f ′( x ) = 0 的实根 )叫
M
∴ f ( 2) = 1为f ( x )的极大值 .
2 x 例4 证明x > 0时, x − 2ax + 1 < e (a > 0)
证
记 f ( x ) = x 2 − 2ax + 1 − e x 则 f ′ ( x ) = 2 x − 2a − e x
（不易判明符号） 不易判明符号）
⇒ f ′′( x ) = 2 − e x 令 f ′′( x ) = 0 得 x = ln 2
1 1 f ′( x ) = 2 x ( 2 + sin ) − cos x x 当 x → 0 时，
1 1 2 x ( 2 + sin ) → 0, cos 在–1和1之间振荡 和 之间振荡 x x
的两侧都不单调. 因而 f ( x ) 在 x = 0 的两侧都不单调
故命题不成立． 故命题不成立．
0
y
y
+ − o
x0
−
x
+
x0
o
x
(是极值点情形 是极值点情形) 是极值点情形
y
+ +
y
− −
o
x0
x
o
x0
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函数极值的概念
函数极值（FunctionExtremum）是数学中最常见的概念，是一类在某一条件下能够最大化或最小化的函数值。
由函数极值而产生的数学证明和有效的数学解决方案，可以帮助解决现实生活中的问题，同时也是高等数学学习的一部分。
根据函数极值的定义，函数极值可以分为极大值（Maxima）和极小值（Minima）两类。
极大值是指在给定条件下，函数值不再增大，而极小值则是指函数在给定条件下，函数值不再减小。
函数极值的求解方法有多种，其中局部极值是最常见的一类。
局部极值是函数在其定义域内的一些点处，其函数值在该点处及其邻近点处都达到最大或最小值，而在它们以外的点处函数值并无法达到最大或最小值。
另外一种比较常见的是全局极值，也叫极限极值，是指在函数整个定义域内，函数值达到最大或最小值。
这类极值通常很难求解，因为必须考虑定义域内的所有变量，以及那些对函数值影响最小的变量的极限状态，而计算函数极值的具体过程则是非常繁琐的。
此外，函数极值的计算还受到函数的一阶导数和二阶导数的影响，而计算函数极值的有效方法之一则是结合一阶导数和二阶导数的变
化情况来求解。
例如，在求解函数f(x)在定义域[a,b]内函数极值时，第一步是对所给函数求微分：
f(x)=ax^2+bx+c
然后，将上面求得的一阶导数带入其定义区间[a,b]中，看看其在区间内是否存在极大值极小值：
若f(a)<0，f(b)>0，则在区间[a,b]内存在一个极小值；
若f(a)>0，f(b)<0，则在区间[a,b]内存在一个极大值。
有了上面的判断，就可以通过计算函数的二次导数来确定区间内函数的极值：
若f(x)>0，则区间内存在极小值；
若f(x)<0，则区间内存在极大值。
在求解函数极值时，还需要考虑一些极端情况，例如函数的定义域是有限的，或者存在多组解的情况，此时需要根据满足条件的极值的实际要求来计算函数极值。
从上述示例中可以看出，函数极值的求解是一项比较耗费时间的工作，而函数的一阶和二阶导数也是计算函数极值的有效方法之一。
函数极值的应用也是高等数学学习的一部分，可以帮助解决现实生活中的问题，科学分析问题，求解函数定义域内函数极值的方法，使研究者能够获得最佳的结果与最佳的解决方案。