函数的极大值与极小值
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高等数学 函数的极值与最大值、最小值
解：（1）设平均成本为 y ，则 y = 25000 + 200 + x
x
40
由
y′
=
−
25000 x2
+
1 40
=
0
，得
x1
= 1000
，
x2
=
−1000
（舍去）
因为 y′′ |x=1000 = 5×10−5 > 0 ，所以当 x = 1000 时， y 取极小值，
也即最小值，因此，要使平均成本最小，应生产 1000 件产品。
2009年7月3日星期五
21
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（2） 利润函数为
L(x)
=
500x
−
⎛ ⎜⎝
问 x = a 是为 f (x) 的极值点？如果是极值点， f (x) 在
x = a 取得极大值还是极小值？（课本 例 3）
解题思路：
（1） f ′(x) 在点 x = a 处连续
lim f ′(x) = f ′(a)
x→a
（2） f ′(a) = lim f ′(x) = lim f ′(x) × (x − a) = (−1) × 0 = 0
又因为 f ′′(x) = − 1 < 0 ， 25
所以当 x = 1800 时， f (x) 取得最大值，
即房租定为 1800 元时，可获得最大收入。
2009年7月3日星期五
17
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例8
证明
1 2 p−1
≤
xp
+
(1 −
x) p
≤1
(0 ≤ x ≤ 1, p > 1) ．
极大值与极小值
4.(2006年北京卷)已知函数 f ( x) ax bx cx 在点 x0 处取得极大值5,其导函数 y f '( x) 的图像 (如图)过点（1,0）,（2,0）, 求： （1） x0 的值；（2）a,b,c的值； 略解： (1)由图像可知：x0 1
3 2
(2)
f / ( x）＝3ax 2 2bx c (a 0) f (1) a b c 5
0
1 1 9 因此,当x 时, f(x)有极小值f( ) . 2 2 4
1 3 1 例2 求函数 y x 4x 的极值。 3 3 解：定义域为R，y′=x2-4 由y′=0可得x=-2或 x=2
当x变化时，y′, y的变化情况如下表：
x y′ y
(-∞，-2）
-2
0 极大值 17/3
练习：
1、函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为 ( D)
A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值 B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值 C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值
D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值
2（ 、2006年天津卷)函数 f ( x) 的定义域为开区间( a, b) 导函数 f ( x)在 ( a, b) 内的图像如图所示，则函数f ( x) 在开区间 ( a, b) 内有（ A ）个极小值点。
再根据解集写出单调递增区间
（4）求解不等式f ′(x)<0，求得其解集，
再根据解集写出单调递减区间
（5）确定f(x)的单调区间
观察图像：函数 y=f (x)在点x1 、x2 、x3 、x4处的
函数值f (x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4)，与它们左右 近旁各点处的函数值，相比有什么特点?
函数的极值与最大值最小值
极值点是否一定是驻点？ 驻点是否一定是极值点？ 考察x=0是否是函数y=x3的 驻点, 是否是函数的极值点.
x1 x2 x3 x4 x5
定理1(必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值, 那么f ′(x0)=0. •驻点 使导数f ′(x)为零的点(方程f ′(x)=0的实根)称为函数 f(x)的驻点. 观察与思考： (1) 观察曲线的升降与极值
x1 x2
x3 x4 x5
定理2(第一充分条件)
设函数f(x)在x0处连续, 且在(a, x0)∪(x0, b)内可导. (1)如果在(a, x0)内f ′(x)>0, 在(x0, b)内f ′(x)<0, 那么函数f(x) 在x0处取得极大值; (2)如果在(a, x0)内f ′(x)<0, 在(x0, b)内f ′(x)>0, 那么函数f(x) 在x0处取得极小值; (3)如果在(a, x0)及(x0, b)内 f ′(x)的符号相同, 那么函数f(x) 在x0处没有极值.
1 2 所以当b= d 时, 抗弯截面模量 W 最大, 这时 h = d . 3 3
讨论：
函数f(x)=x4, g(x)=x3在点x=0是否有极值？ >>>
例2 求函数f(x)=(x2−1)3+1的极值. 解 f ′(x)=6x(x2−1)2. 令f ′(x)=0, 求得驻点x1=−1, x2=0, x3=1. f ′′(x)=6(x2−1)(5x2−1). 因为f ′′(0)=6>0, 所以f (x)在x=0处取得极小值, 极小值为f(0)=0. 因为f ′′(−1)=f ′′(1)=0, 所以用定理3无法判别. 因为在−1的左右邻域内f ′(x)<0, 所以f(x)在−1处没有极值. 同理, f(x)在1处也没有极值.
x1 x2 x3 x4 x5
定理1(必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值, 那么f ′(x0)=0. •驻点 使导数f ′(x)为零的点(方程f ′(x)=0的实根)称为函数 f(x)的驻点. 观察与思考： (1) 观察曲线的升降与极值
x1 x2
x3 x4 x5
定理2(第一充分条件)
设函数f(x)在x0处连续, 且在(a, x0)∪(x0, b)内可导. (1)如果在(a, x0)内f ′(x)>0, 在(x0, b)内f ′(x)<0, 那么函数f(x) 在x0处取得极大值; (2)如果在(a, x0)内f ′(x)<0, 在(x0, b)内f ′(x)>0, 那么函数f(x) 在x0处取得极小值; (3)如果在(a, x0)及(x0, b)内 f ′(x)的符号相同, 那么函数f(x) 在x0处没有极值.
1 2 所以当b= d 时, 抗弯截面模量 W 最大, 这时 h = d . 3 3
讨论：
函数f(x)=x4, g(x)=x3在点x=0是否有极值？ >>>
例2 求函数f(x)=(x2−1)3+1的极值. 解 f ′(x)=6x(x2−1)2. 令f ′(x)=0, 求得驻点x1=−1, x2=0, x3=1. f ′′(x)=6(x2−1)(5x2−1). 因为f ′′(0)=6>0, 所以f (x)在x=0处取得极小值, 极小值为f(0)=0. 因为f ′′(−1)=f ′′(1)=0, 所以用定理3无法判别. 因为在−1的左右邻域内f ′(x)<0, 所以f(x)在−1处没有极值. 同理, f(x)在1处也没有极值.
极大值与极小值
无极值
(-1,0) －
0 0
极小值 0
(0,1) +
1 0
无极 值
(1,+∞) +
因此，当x=0时， y极小值=0
点评：一点是极值点的充分条件是这点两侧的导数异号。
课堂练习
1.（2006年天津卷)函数 f (x) 的定义域为开区间 (a, b) 导函数 f (x)在 (a, b) 内的图像如图所示，则函数f (x) 在开区间 (a, b) 内有（ A ）个极小值点。
解:函数的定义域为( ,0) (0,),
a 2 ( x a )( x a ) f ( x ) 1 2 . 2 x x
令 f ( x ) 0 ,解得x1=-a,x2=a(a>0). 当x变化时, f ( x ) ,f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-a) -a (-a,0) (0,a) a (a,+∞)
3 2
f (1) a b c 5
.
2b － 3a 3 或 c 2 3a
f / (1) 3a 2b c 0 f / ( 2) 12a 4b c＝0
a 2, b 9, c 12
a2 例2:求函数 f ( x ) x x (a 0) 的极值.
•极值点处的导数不一定是存在的； •导数为0的点不一定是极值点； •若极值点处的导数存在，则一定为0
二、求可导函数f(x)极值的 步骤：
(1) 确定函数的定义域； (2)求导数f ’(x)； (3)求方程f ’(x）=0的根； (4)把定义域划分为部分区间，并列成表格 检查f ’(x)在方程根左右的符号—— •如果左正右负（+ ~ -）， 那么f(x)在这个根处取得极大值；
(-1,0) －
0 0
极小值 0
(0,1) +
1 0
无极 值
(1,+∞) +
因此，当x=0时， y极小值=0
点评：一点是极值点的充分条件是这点两侧的导数异号。
课堂练习
1.（2006年天津卷)函数 f (x) 的定义域为开区间 (a, b) 导函数 f (x)在 (a, b) 内的图像如图所示，则函数f (x) 在开区间 (a, b) 内有（ A ）个极小值点。
解:函数的定义域为( ,0) (0,),
a 2 ( x a )( x a ) f ( x ) 1 2 . 2 x x
令 f ( x ) 0 ,解得x1=-a,x2=a(a>0). 当x变化时, f ( x ) ,f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-a) -a (-a,0) (0,a) a (a,+∞)
3 2
f (1) a b c 5
.
2b － 3a 3 或 c 2 3a
f / (1) 3a 2b c 0 f / ( 2) 12a 4b c＝0
a 2, b 9, c 12
a2 例2:求函数 f ( x ) x x (a 0) 的极值.
•极值点处的导数不一定是存在的； •导数为0的点不一定是极值点； •若极值点处的导数存在，则一定为0
二、求可导函数f(x)极值的 步骤：
(1) 确定函数的定义域； (2)求导数f ’(x)； (3)求方程f ’(x）=0的根； (4)把定义域划分为部分区间，并列成表格 检查f ’(x)在方程根左右的符号—— •如果左正右负（+ ~ -）， 那么f(x)在这个根处取得极大值；
函数的极值与最大值最小值
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
函数极值的判定法 由费马引理可知可导函数的极值点一定是驻点 .
注意: 1) 函数的极值是函数的局部性质.
2) 对常见函数, 极值可能出现在驻点或导数 不存在的点.
y
3) 函数的最值是函数的全局性质.
x 1 , x4 为极大点 x 2 , x5 为极小点
提示: 利用 f ( x) 单调增加 , 及
f (1) f (0) f ( ) (0 1)
利用导数求函数的最值是导数的又一重要应用.
若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则值的方法: (1) 求 f ( x)在 (a , b) 内的极值可疑点
x1 , x2 , , xm
(2) 最大值
M max f ( x1 ) , f ( x2 ) ,, f ( xm ) , f (a) , f (b)
最小值
m min f ( x1 ) , f ( x2 ) , , f ( xm ) , f (a) , f (b)
特别:
• ●当 f ( x) 在 [a , b]内只有一个极值可疑点时, 若在 此点取极大 (小)值 , 则也是最大 (小)值 . • ●当 f ( x) 在 [a , b]上单调时, 最值必在端点处达到.
(证明略)
例如, 容易验证x=0是 y x2 , x ( , ) 的极小 值点. 而 x=0不是 y x , x ( , ) 的极值点.
3
例3 求函数 f ( x) ( x 1) x 的极值 . 2 x 2 1 2 5 解 1) 求导数 f ( x) x 3 ( x 1) x 3 5 3 3 3x 2) 求极值可疑点 2 令 f ( x) 0 , 得 x1 ; 令 f ( x) , 得 x2 0 5 3) 列表判别
4.3.2函数的极大值和极小值
6
6
即y=f′(x)关于直线x=- a 对称.
6
从而由题设条件知- a =- 1 ,即a=3.
62
又由于f′(1)=0,即6+2a+b=0,
得b=-12.
②由①知f(x)=2x3+3x2-12x+1, 所以f′(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2), 令f′(x)=0,即6(x-1)(x+2)=0,解得x=-2或x=1. 当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0, 即f(x)在(-∞,-2)上单调递增;
因为ex>0,所以y=f′(x)的零点就是g(x)=-ax2+
(2a-b)x+b-c的零点,且f′(x)与g(x)符号相同.
又因为a>0,所以-3<x<0时, g(x)>0,即f′(x)>0, 当x<-3或x>0时,g(x)<0,即f′(x)<0, 所以f(x)的单调增区间是(-3,0), 单调减区间是(-∞,-3),(0,+∞).
2.(2017·全国卷Ⅱ)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1
的极值点,则f(x)的极小值为 ( )
A.-1
B.-2e-3 C.5e-3
D.1
【解析】选A.由题可得f′(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax1)ex-1=[x2+(a+2)x+a-1]ex-1,因为f′(-2)=0,所以a= -1,f(x)=(x2-x-1)ex-1,故f′(x)=(x2+x-2)ex-1,令 f′(x)>0,解得x<-2或x>1,所以f(x)在(-∞,-2)和 (1,+∞)上单调递增,在(-2,1)上单调递减,所以f(x) 的极小值=f(1)=(1-1-1)e1-1=-1.
函数的极值与最大值最小值
第五节 函数的极值与最大值最小值
一、函数的极值及其求法 二、最大值与最小值问题
一、函数的极值及其求法
极值定义 设函数 f ( x)在 x0 的某邻域U ( x0 )内有定义,
如果对 x U ( x0 ) ,有 f ( x ) f ( x0 ) ( 或 f ( x ) f ( x0 ) ),
求函数 f ( x ) x 2 3 x 2 在 [3,4] 上的 例3 最大值与最小值 .
解: 显然
一定取得最大值与最小值.
f ( x) ( x 2)( x 1)
又
x 1, x 2为不可导点
x [3,1] [2,4] x (1,2).
x 2 3 x 2, f ( x) 2 x 3 x 2,
2 5
0 0.33
2 ( 5 , )
其极大值为 是极大点，
是极小点， 其极小值为
确定函数极值点和极值的步骤
(1) 确定函数定义域 , 并求导数 f ( x );
(2) 求出 f ( x ) 的全部驻点与不可导点;
(3)驻点和不可导点将定义域区间分成若干个区间， 列表考察导函数在各个区间内的符号，以便确定该点
x 最大(小)值若在区间内部取得,则它一定是极大(小)值. o a x1 x2 x3x4 b x 2 , x4 为极小值点
费马( Fermat )引理
设函数 f ( x)在 x0 的某邻域U ( x0 )内有定义,
若 (1) f ( x)在 x0 点可导
则 f ( x0 ) 0.
(2) f ( x)在 x0 点取得极大值或极小值
点处的切线与直线 y 0 及 x 8 所围成的三角形
一、函数的极值及其求法 二、最大值与最小值问题
一、函数的极值及其求法
极值定义 设函数 f ( x)在 x0 的某邻域U ( x0 )内有定义,
如果对 x U ( x0 ) ,有 f ( x ) f ( x0 ) ( 或 f ( x ) f ( x0 ) ),
求函数 f ( x ) x 2 3 x 2 在 [3,4] 上的 例3 最大值与最小值 .
解: 显然
一定取得最大值与最小值.
f ( x) ( x 2)( x 1)
又
x 1, x 2为不可导点
x [3,1] [2,4] x (1,2).
x 2 3 x 2, f ( x) 2 x 3 x 2,
2 5
0 0.33
2 ( 5 , )
其极大值为 是极大点，
是极小点， 其极小值为
确定函数极值点和极值的步骤
(1) 确定函数定义域 , 并求导数 f ( x );
(2) 求出 f ( x ) 的全部驻点与不可导点;
(3)驻点和不可导点将定义域区间分成若干个区间， 列表考察导函数在各个区间内的符号，以便确定该点
x 最大(小)值若在区间内部取得,则它一定是极大(小)值. o a x1 x2 x3x4 b x 2 , x4 为极小值点
费马( Fermat )引理
设函数 f ( x)在 x0 的某邻域U ( x0 )内有定义,
若 (1) f ( x)在 x0 点可导
则 f ( x0 ) 0.
(2) f ( x)在 x0 点取得极大值或极小值
点处的切线与直线 y 0 及 x 8 所围成的三角形
高二数学极大值与极小值
新
课
讲
授
一、函数极值的定义
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果 f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就 说f(x0)是函数的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0 是极大值点。如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函
数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值。记
作y极小值=f(x0)，x0是极小值点。极大值与极小值统
称为极值.
注
意
1 、在定义中，取得极值的点称 为极值点，极值点是自变量 (x)
的值，极值指的是函数值(y)。
2、极值是一个局部概念，极值只 是某个点的函数值与它附近点的函
数值比较是最大或最小,并不意味
着它在函数的整个的定义域内最大
或最小。
3、函数的极值不是唯一的即一个函
2 、如果 x0 是 f′(x)=0 的一个根，并 且在x0的左侧附近f′(x)<0，在x0右 侧附近 f′(x)>0 ，那么是 f(x0) 函数 f(x)的一个极小值。
例１：求f（x）＝x２－x－２的极值.
解：
x f ( x ) f ( x)
1 f ( x ) 2 x 1, 令f ( x ) 0, 解得 x .列表 2 1 1 1
知识回顾
1、一般地,设函数y=f(x)在某个区间
内可导,则函数在该区间
如果f′(x)>0, 则f(x)为增函数;
王新敞
奎屯 新疆
如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.
２、用导数法确定函数的单调性时的 步骤是： （1）求出函数的导函数 求解不等式f′(x)>0，求得其解集， （2） 再根据解集写出单调递增区间 求解不等式f′(x)<0，求得其解集， （3） 再根据解集写出单调递减区间
极大值极小值知识点-概述说明以及解释
极大值极小值知识点-概述说明以及解释1.引言1.1 概述极值问题是数学分析中的一个重要内容，它在数学、物理、经济等领域都有着广泛的应用。
极大值和极小值是函数在一定区间内取得的最大值和最小值，它们是优化问题中的关键概念。
本文将从极值的基本概念出发，介绍如何求解极值，以及极值在实际问题中的应用。
让我们一起深入了解极值的知识，掌握求解极值的方法，从而更好地应用于实际问题中。
1.2 文章结构文章结构部分是对整篇文章的框架和内容进行概述和介绍。
在这一部分，我们将简要介绍本文的章节安排和各个部分的主要内容。
第一部分是引言部分，包括概述本文要讨论的内容、文章结构和目的。
在引言部分，我们将简要介绍极大值和极小值的概念，以及为什么学习这些知识点是重要的。
第二部分是正文部分，包括极大值的概念、求解极大值的方法和极小值的概念。
在这一部分，我们将详细讨论极大值和极小值的含义，以及如何通过不同的方法来求解极值的问题。
第三部分是结论部分，包括总结极值概念、应用实例和展望。
在结论部分，我们将对本文所讨论的内容进行总结，并展示极大值和极小值在实际问题中的应用和未来的发展方向。
通过这样的文章结构，读者可以清楚地了解到本文的主要内容和各个部分的重点，帮助他们更好地理解极值的知识点。
1.3 目的目的部分的内容:本文旨在系统地介绍极大值和极小值的概念，以及求解极值的方法，从而帮助读者更全面地理解这一数学知识点。
同时，通过应用实例的分析，读者能够更好地理解极值在实际问题中的应用，并对未来在相关领域的研究和实践提供一定的启发和参考。
最终，期望本文能够为读者提供一个清晰的极值概念框架，帮助他们更有效地应用这一知识，解决实际问题。
2.正文2.1 极大值的概念极大值是在函数曲线上某一点附近的最大函数值。
具体来说，对于函数f(x)，如果存在一个区间[a, b]，使得在该区间内，当x不等于a或b时，f(x)小于等于f(a)或f(b)，那么f(x)在该区间内的最大值就是极大值。
4函数的极值与最大小值
解 由于 f (x) = x3(x - 1)2(7x - 4) ， 因此 x 0,1, 4 是函数
的三个稳定点． f 的二阶导数为
7
f (x) = 6x2 (x - 1)(7x2 - 8x + 2)
由此得 f (0) f (1) 0及f ( 4) 0，所以 f ( x)在x 4 时取得极小
有 f (4)(0) 0. 因为n = 4 为偶数，故 f 在 x 0 取得极大值.
综上所述， f (0) 0 为极大值，
f( 4 ) = -( 4 )4 ( 3 )3 = - 6912
7
77
823543
为极小值.
注 定理6.12仍是判定极值的充分条件而非必要条件．
考察函数
f(x)
=
e -
f n x0 0, 则
（ⅰ）当n为偶数时， f 在 x0处取得极值，且当 f (n)( x0 ) 0 时 取极大值，f (n) ( x0 ) 0 时取极小值.
（ⅱ）当n为奇数时， f 在 x0 处不取极值.
该定理的证明类似于定理6.11，我们将它留给读者.
例3 试求函数 x4( x 1)3的极值.
(析) 由条件及 f 在 x0 处的二阶泰勒公式
f (x)
f ( x0 )
f
( x0 )( x
x0 )
1 2!
f x0 x
x0 2
x x0 2
知
f
( x)
f
( x0 )
f
x0
2
1 x
x0 2
0,
a 2
内解得稳定点
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B
) B.y=x2
A.y=-x3 A.y=-
C.y=x2-x
D.y=1/x
分析: 做这题需要按求极值的三个步骤, 分析 : 做这题需要按求极值的三个步骤 , 一个一个求出来吗? 不需要, 一个一个求出来吗 ? 不需要 , 因为它只要判断 x=0是否是极值点,只要看x=0点两侧的导数是否 是否是极值点, 异号就可以了. 异号就可以了.
减 极小植f(x 极小植 2) 增
f (x)
(三),导数的应用 ),导数的应用
2-x-2的极值. )=x 的极值. 例1:求f(x)=x
解:
1 f ′( x) = 2 x 1, 令f ′( x) = 0, 解得x = .列表 2
xf ′(x ) Fra bibliotek (x )(∞,
1 ) 2
1 2
1 ( ,+∞) 2
a 解: y ' = ( a ln x + bx + x) ' = + 2bx + 1 x
2
因为在x=1和x=2处,导数为 和 导数为0 因为在 处 导数为
2 a + 2b + 1 = 0 a = 3 ∴ a 1 + 4b + 1 = 0 2 b = 6
解 : y′ = e ( cos x sin x ) , 令y′ = 0,
(二),极值与导数的关系 ),极值与导数的关系 极大值与导数之间的关系
X X1左侧 X1 X1右侧
f ′(x )
f ′( x ) > 0 f ′( x ) = 0 f ′( x ) < 0
增 极大植f(x1) 极大植 减
f (x )
X
极小值与导数之间的关系
X2左侧 X2 X2右侧
f ′(x )
f ′( x ) < 0 f ′( x ) = 0 f ′( x ) > 0
注
意
在定义中, 1 , 在定义中 , 取得极值的点称为极值 极值点是 自变量(x) 的值, 极值指 (x)的值 点 , 极值点 是 自变量 (x) 的值 , 极值 指 函数值(y) 的是函数值(y). 的是函数值(y).
2,极值是一个局部概念,极值只是某个点 极值是一个局部概念, 局部概念 的函数值与它附近点的函数值比较是最大 的函数值与它附近点的函数值比较是最大 附近点 或最小, 不意味着它在函数的整个的定义 或最小,并不意味着它在函数的整个的定义 域内最大或最小. 域内最大或最小.
三,课堂练习
1,下列说法正确的是( 下列说法正确的是( 极小值大 B.函数在闭区间上的最大值一定是 极大值 x+1 |p|< C.对于f(x)=x3+px2+2x+1,若|p|< 6 , 对于f(x)=x 则f(x)无极值 f(x)无极值 D.函数f(x)在区间(a,b)上一定存在最值 函数f(x)在区间(a,b)上一定存在最值 f(x)在区间(a
函数的极大值与极小值
一,构建数学
二,新课讲授
(一),函数极值的定义 ),函数极值的定义
一般地,设函数y=f(x)在 及其附近有定义, 一般地,设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义, y=f(x) 如果f(x 的值比x 附近所有各点的函数值都大, 如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大,我 们就说f(x 是函数的一个极大值 记作y 极大值, 们就说f(x0)是函数的一个极大值,记作y极大值=f(x0), x0是极大值点. 是极大值点. 如果f(x 的值比x 附近所有各点的函数值都小, 如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小, 我们就说f(x 是函数的一个极小值.记作y 我们就说f(x0)是函数的一个极小值.记作y极小值 极小值 是极小值点. =f(x0),x0是极小值点. 极大值与极小值统称为极值. 极大值与极小值统称为极值. 极值
1 解: f '( x ) = (a sin x + sin 3 x ) ' = a cos x + cos 3 x 3
∵ f '( ) = 0 , 3 π π 1 ∴ a cos + cos(3 × ) = 0 a 1 = 0
3 3 2
π
∴a=2 ∴a=2.
处有极值, 3,y=alnx+bx2+x在x=1和x=2处有极值, 求a,b的值. 的值.
0
1 极小值f ( ) 2
+
1 1 9 因此, 因此 ,当 x = 时 , f ( x ) 有极小值 f ( ) = . 有极小值f 2 2 4
小结:求函数f(x)的极值的步骤: 小结:求函数f(x)的极值的步骤: f(x)的极值的步骤 (1)求导数f (1)求导数f′(x); 求导数 (x为极值点 (2)求方程f (x)=0的根 (x为极值点.) 的根; (2)求方程f′(x)=0的根; 为极值点.) 求方程 用函数的导数为0的点, (3)用函数的导数为0的点,顺次将函 数的定义区间分成若干小开区间, 数的定义区间分成若干小开区间 , 并 列成表格. 检查f (x)在方程根左右的 列成表格 . 检查 f′(x) 在方程根左右的 值的符号,求出极大值和极小值. 值的符号,求出极大值和极小值.
1 3 例2:求 y = x 4 x + 4 的极值 1 3 3 2
3 y′=0,解得x 令y′=0,解得x1=-2,x2=2
解: y ' = ( x 4 x + 4) ' = x 4 = ( x + 2)( x 2)
当x变化时,y′,y的变化情况如下表 变化时,
x
(-∞,-2)
-2 0
28 极大值 3
�
C
)
A.函数在闭区间上的极大值一定比
1 2,函数 f ( x) = a sin x + sin 3 x 在 π 处具有极值,3 a的值 x = 处具有极值,求
3
分析:f(x)在 分析:f(x)在 x = 必要条件可知, 必要条件可知, f
π
3
'(
处有极值, 处有极值,根据一点是极值点的
π
3
可求出a的值. ) = 0可求出a的值.
(-2,2)
2 0
4 极小值 3
(2,+∞)
f ′(x )
f (x )
↗ 28 x=- 有极大值且y ∴当x=-2时,y有极大值且y极大值= 3 4
当x=2时,y有极小值且y极小值= x=2 有极小值且y
+ ↗
-
+
↘
3
例3:下列函数中,x=0是极值点的函数 3:下列函数中,x=0是极值点的函数 下列函数中 是(
x
4,求 y = e cos x的极值. 的极值.
x
即cos x sin x = 0得,x = kπ +
π
π 5π 当x ∈ 2kπ + ,2kπ + ( k ∈ Z )时,y′ < 0, f ( x ) 为减函数, 4 4 3π π 当x ∈ 2kπ ,2kπ + ( k ∈ Z )时,y′ > 0, f ( x ) 为增函数, 4 4 π 2 kπ + π 2 4, 因此当x= 2kπ + ( k ∈ Z )时, y极大值 = e 4 2
3,函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间 函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间 极值不是唯一 上或定义域内极大值或极小值可以不止一个. 上或定义域内极大值或极小值可以不止一个. 4,极大值与极小值之间无确定的大小关系即一 个函数的极大值未必大于极小值 如下图所示, 极大值未必大于极小值, 个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示, x1 是极大值点,x4是极小值点,而 f ( x4 ) > f ( x1 ) 是极大值点, 是极小值点,
4
(k ∈ Z ),
3π 2 当x= 2kπ ( k ∈ Z )时, y极小值 = 4 2
3π 2 kπ 4 . e
四,课堂小结
求函数f(x)的极值的步骤: 求函数f(x)的极值的步骤: f(x)的极值的步骤 (1)求导数f (1)求导数f′(x); 求导数 (x为极值点 (2)求方程f (x)=0的根 (x为极值点.) 的根; (2)求方程f′(x)=0的根; 为极值点.) 求方程 用函数的导数为0的点, (3)用函数的导数为0的点,顺次将函 数的定义区间分成若干小开区间, 并 数的定义区间分成若干小开区间 , 列成表格. 检查f (x)在方程根左右的 列成表格 . 检查 f′(x) 在方程根左右的 值的符号,求出极大值和极小值. 值的符号,求出极大值和极小值.